Sử dụng ba điểm thẳng hàng trong giảng dạy Hình học lớp 6

PHềNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CAN LỘC TRƯỜNG THCS QUANG LỘC ---------o0o--------- Sử DụNG BA ĐIểM THẳNG HàNG TRONG GIảNG DạY HìNH HọC LớP 6 ---------------------------------- Người thực hiện: Phạm Thế Anh đơn vị: trường thcs Nghèn – Can lộc- hà tĩnh Can Lộc, Tháng 4/2008A - ĐặT VấN Đề Trong chương trình đào tạo, giáo dục toán học đóng vai trò là một trong những môn học hết sức quan trọng và không thể thiếu. Bởi vì ở bất kì đâu trong cuộc sống chúng ta đều bắt gặp sự hiện diện của toán học. Những cành cây, những ngôi nhà, những cây cầu ... đều là những hình ảnh của Toán học – môn Hình học, từ những hình ảnh đơn giản nhất đến những hình ảnh phức tạp hơn luôn xuất hiện trước mắt mỗI chúng ta - mỗi học sinh. Trong chương trình giáo dục, chúng ta luôn mong muốn học sinh nâng cao được kỹ năng toán học để có năng lực thực hành trong thực tiễn, đó là lí do nghành giáo dục phải nâng cao chất lượng sách giáo khoa và đội ngũ cán bộ giáo viên. Trên thực tế, trong hai năm công tác ở THCS tôi nhận thấy học sinh học toán có phần yếu hơn và ít hăng say về môn hình học, kể cả những em có năng lực toán học. Các em có thể học và hiểu trong quá trình học tập nhưng khi trực tiếp làm bài thì gặp rất nhiều khó khăn, bài làm chỉ mang tính chắp vá trình bày không theo một phương hướng cụ thể nào. Vai trò là một giáo viên luôn gắn liền mục tiêu là giúp cho các em đều nắm được kiến thức. Muốn thực hiện được như thế đòi hỏi người giáo viên phải có kiến thức, có phương pháp và có lòng nhiệt tình đối với học sinh. Một số giáo viên và phần lớn học sinh thường coi nhẹ môn hình học, coi đó là một thành phần phụ của môn Toán vì thấy rằng ngay từ đầu nội dung kiến thức ở lớp 6 chỉ có 30 tiết. Kết quả là càng về sau giáo viên dạy thấy khó không biết cần phải thiết kế bài giảng như thế nào để đảm bảo được kiến thức đại trà, còn học sinh càng học càng khó hiểu may chăng một số ít học sinh có điều kiến học thêm thì theo được còn lại gần như không thể theo kịp chương trình. Mong muốn của tôi - một giáo viên dạy toán là học sinh hiểu, tiếp thu kiến thức ngay từ đầu, thấy được cách lập luận - phương pháp giải toán và quan trọng hơn là trình bày được lời giải cho bài toán có tính logic sâu sắc. Như vậy sẽ giúp các em vững vàng trong việc giải toán đồng thời tạo tiền đề cho những năm học tiếp theo và các môn học khác. Để đạt được mục tiêu như trên giáo viên cần tìm được một nội dung có tính cốt lõi và có thể xuyên suốt chương trình từ khi bắt đầu chương trình. Với nội dung kiến thức cơ bản nhất là điểm thì hầu như các hình đều hình thành từ các điểm sắp xếp lại, có thể là thẳng hàng hoặc không thẳng hàng. Tôi đã chọn các điểm thẳng hàng để “làm mốc” để học sinh tiếp cận và nắm vững hầu hết các kiến thức trong chương trình. B. GIảI QUYếT VấN Đề KHắC SÂU KHáI NIệM BA ĐIểM THẳNG HàNG: Bài tập: Bài 1: Vẽ 5 điểm theo thứ tự A, B, C, D, O trong đó ba điểm A, B, C thẳng hàng, ba điểm B, C, D thẳng hàng, ba điểm C, D, O không thẳng hàng. Vì sao ba điểm A, B, D thẳng hàng? Kẽ các đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua ít nhất 2 điểm trong năm điểm nói trên. Kể tên các đường thẳng trong hình vẽ (Các đường thẳng trùng nhau chỉ kể một đường). Trả lời: - Ba điểm A, B, C thẳng hàng nên cùng nằm trên đường thẳng BC nghĩa là: A thuộc đường thẳng BC. - Ba điểm B, C, D thẳng hàng nên D thuộc đường thẳng BC. Vậy A và D đều thuộc đường thẳng BC hay A, B, D thẳng hàng Ta có hình vẽ bên: Các đường thẳng vẽ được là: BC, OA, OB, OC, OD Bài 2: Cho các điểm A, B, C, D, E thuộc một đường thẳng theo thứ tự ấy. Điểm C nằm giữa hai điểm nào? Điểm C không nằm giữa hai điểm nào? Trả lời: Theo bài ra ta có hình vẽ: Vậy điểm C nằm giữa 2 điểm A và D, cũng nằm giữa 2 điểm B và D. Điểm C không nằm giữa 2 điểm A và B. Bài 3: Cho A, B, C là ba điểm thẳng hàng. Điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nếu A không nằm giữa hai điểm B và C, B không nằm giữa hai điểm A và C? Trả lời: Vì A không nằm giữa B và C nên B hoặc C nằm giữa 2 điểm còn lại. Nhưng ta lại có B không nằm giữa 2 điểm còn lại. Vậy điểm nằm giữa hai điểm còn lại là C. Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó điểm B nằm giữa hai điểm A và C, điểm B nằm giữa hai điểm A và D. Có thể khẳng định điểm D nằm giữa hai điểm B và C hay không? Trả lời: Ta thấy: Nếu B nằm giữa A và C thì A và B cùng phía so với C. Nếu B nằm giữa A và D thì A và B cùng phía so với D. Vậy C và D cùng phía so với B nên chưa thể khẳng định D nằm giữa B và C. Nhận xét: Giúp học sinh biết vận dụng linh hoạt định nghĩa ba điểm thẳng hàng và kiến thức về điểm nằm giữa hai điểm, điểm cùng phía với điểm này so với điểm khác. Rèn luyện được khả năng tư duy hình học ở học sinh tạo tiền đề để học sinh nắm được những nội dung tiếp theo. PHƯƠNG PHáP CHứNG MINH BA ĐIểM THẳNG HàNG: Lập luận: Khi đã nắm vững thế nào là ba điểm thẳng hàng học sinh có thể sẽ đặt ra câu hỏi khi làm thể nào để khẳng định được ba điểm đã cho cùng nằm trên một đường thẳng? Phương pháp chứng minh: Hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Bài 1: Cho ba điểm A, B, C trong đó hai tia BA và BC đối nhau. Trong ba điểm A, B, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Trả lời: Vì B là gốc chung của hai tia BA và BC nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Bài 2: Điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Tìm các tia đối nhau, các tia trùng nhau? Trả lời: Vì B nằm giữa A và C nên ta có BA và BC là hai tia đối nhau, tia AB và AC trùng nhau, tia CB và CA trùng nhau. Bài 3: Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, điểm C nằm giữa hai điểm B và D. Vì sao điểm B nằm giữa hai điểm A và D? Trả lời: Điểm B nằm giữa A và C nên ta có hai tia CA và CB trùng nhau. Điểm C nằm giữa B và D nên hai tia CB và CD đối nhau. Vậy hai tia CA và CD đối nhau nghĩa là điểm C nằm giữa A và D. Bài 4: Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm A và B không? Vì sao? Trả lời: Điểm B nằm giữa A và C nên hai tia BA và BC đối nhau. Điểm D nằm giữa hai điểm B và C nên hai tia BD và BC trùng nhau. Vậy hai tia BA và BD đối nhau nghĩa là D không nằm giữa A và B. Bài 5: Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, điểm D thuộc tia BC và không trùng B. Hỏi điểm B có nằm giữa hai điểm A và D không? Vì sao? Trả lời: Điểm B nằm giữa A và C nên hai tia BA và BC đối nhau. Điểm D thuộc tia BC và D khác B nên hai tia BD và BC trùng nhau. Do đó hai tia BA và BD đối nhau. Vậy Điểm B nằm giữa A và D. AM + MB = AB A, M, B thẳng hàng: Bài 1: Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không, nếu: AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 7cm AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm Trả lời: Ta thấy: AB + AC = 3 + 4 = 7cm nên AB + AC = BC. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng. Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì sẽ có một điểm nằm giữa 2 điểm còn lại. Giả sử: A nằm giữa B và C suy ra 3 + 4 = 5 (vô lí) B nằm giữa A và C suy ra 3 +5 = 4 (vô lí) C nằm giữa A và B suy ra 4 + 5 = 3 (vô lí) Vậy không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại, nghĩa là ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Bài 2: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C. Tính độ dài AC biết rằng AB = 5cm, BC = 2cm. Trả lời: Vì ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB > BC nên A không thể nằm giữa. - Nếu B nằm giữa A và C thì AC = AB + BC = 5 + 2 = 7cm. - Nếu C nằm giữa A và B thì AC = AB – BC = 5 – 2 = 3cm. Bài 3: Cho 4 điểm A, B, C, D sao cho: AB + BD = AD và BC + BD = CD. Các điểm A, B, C, D có thẳng hàng không? Vì sao? Trả lời: Vì AB + BD = AD nên ba điểm A, B, D thẳng hàng (A thuộc đường thẳng BD). Vì BC + BD = CD nên ba điểm B, C, D thẳng hàng (C thuộc đường thẳng BC). Vậy các điểm A, B, C, D thẳng hàng (Cùng thuộc đường thẳng BD). Nhận xét: Giúp học sinh thấy được khi ba điểm thẳng hàng thì sẽ tạo thành hai tia đối nhau với gốc chung là điểm nằm giữa hoặc hai tia trùng nhau với gốc chung là một điểm không nằm giữa hai điểm kia. Để từ đó biết cách vận dụng phân tích để chứng minh được ba điểm là thẳng hàng. Sử DụNG BA ĐIểM THẳNG HàNG TRONG GIảNG DẠY HìNH HọC LớP 6: Tia, đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng: Sử dụng hệ thống bài toán đã nêu ở trên. Trung điểm của một đoạn thẳng: Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không? Vì sao? Trả lời: Điểm C là trung điểm của AB nên ta có AC + CB = AB. Vậy 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Bài 2: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Cần có thêm điều kiện nào để B là trung điểm của AC. Trả lời: Theo bài ra: Vì AB + BC = AC nên ba điểm A, B, C thẳng hàng. Để điểm B là trung điểm của AC cần có hai điều kiện: - B nằm giữa A và C và B cách đều A và C AB + BC = AC và AB = BC Suy ra AB + BC = 2BC =AC hay AB = BC = AC. Vậy để B là trung điểm của AC cần thêm điểu kiện là: AB = BC = AC. Bài 3: Cho ba điểm A, B, C, biết điểm B cách đều hai điểm A và C. Có thể khẳng định ba điểm A, B, C thẳng hàng không? Trả lời: Điểm B cách đều A và C suy ra AB = BC. Do đó chưa thể khẳng định được AB + BC = AC. Vậy chưa thể khẳng định ba điểm A, B, C thẳng hàng. Góc và số đo của góc: “Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau.” Bài 1: Cho ba điểm A, B, C. Chứng tỏ rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi một trong các góc, , là góc bẹt. Trả lời: Để ba điểm thẳng hàng thì phải có một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Nếu B nằm giữa A và C thì hai tia BA và BC đối nhau. Suy ra là góc bẹt. Nếu C nằm giữa A và B thì CA và CB là hai tia đối nhau. Suy ra là góc bẹt. Nếu A nằm giữa B và C thì AC và AB là hai tia đối nhau. Suy ra là góc bẹt. Vậy để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì một trong các góc , , là góc bẹt Bài 2: Cho = 900, vẽ tia BD sao cho = 2. Trong các điểm A, B, C, D có ba điểm nào thẳng hàng không? Trả lời: Ta có: = 2 = 2. 900 = 1800 Do đó hai tia BA và BD đối nhau. Vậy ba điểm A, B, D thẳng hàng. Bài 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên nữa mặt phẳng bờ AB lấy điểm M và N sao cho: = và = . Tính các góc: ABM, MBN, NBC Trả lời: Theo bài ra, ba điểm A, B, C thẳng hàng nên = 1800. - = = 1800 = 600. - = = 600 = 200. Vì < nên tia BN nằm giữa hai tia BA và BM hoặc tia BM nằm giữa hai tia BA và BN. * Trường hợp 1: Nếu tia BN nằm giữa hai tia BA và BM thì = - = 600 - 200 = 400 Mà = + = - = 1800 – 400 = 1400 * Trường hợp 2: Nếu tia BM nằm giữa hai tia BA và BN thì + = 600 + 200 = 800 Mà = + = - = 1800 – 800 = 1000. Tia phân giác của một góc: Bài 1: Cho góc = 300, trên cùng nữa mặt phẳng bờ AB vẽ tia BD sao cho BC là tia phân giác góc , vẽ tia BH sao cho = 2. Tính số đo của . Chứng tỏ ba điểm A, B, H có thẳng hàng. Trả lời: Vì BC là tia phân giác góc ABD nên = = 300. Theo bài ra: = 2 = 2.( + ) = 2.2 = 2.600 = 1200 Mà = + = 600 + 1200 = 1800 Do đó hai tia BA và BH đối nhau. Vậy ba điểm A, B, H thẳng hàng. Bài 2: Cho góc và , vẽ tia Bx và By lần lượt là tia phân giác của và . Chứng tỏ rằng, nếu = 900 thì A, B, D thẳng hàng. Trả lời: Theo bài ra ta có: Bx là tia phân giác của nên = = . By là tia phân giác của nên = = . Mặt khác = + = + = ( + ) = hay = 2 Do = 900 nên = 1800 Suy ra BA và BD là hai tia đối nhau. Vậy ba điểm A, B, D thẳng hàng. Bài 3: Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại 0. Vẽ OA và OB lần lượt là tia phân giác của hai góc và . Chứng tỏ rằng ba điểm A, O, B thẳng hàng. Trả lời: Vì xx’ và yy’ cắt nhau tại O nên = = 1800. Ta có: + = 1800 + = 1800 = (1) Vì OA là tia phân giác góc xOy nên = Vì OB là tia phân giác góc x’Oy’ nên = Kết hợp với (1) suy ra: = = Mặt khác: = + + = + + = + + = + = 1800 Vậy OA và OB là hai tia đối nhau hay ba điểm A, O, B thẳng hàng. Tam giác: Bài 1: Cho tam giác ABC có < 900. Trên nữa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia AD, trên nữa mặt phẳng bờ AC vẽ tia AE sao cho: ==. Xác định số đo góc BAC để ba điểm D, A, E thẳng hàng. Trả lời: Để ba điểm A, D, E thẳng hàng thì AD và AE phải là hai tia đối nhau nghĩa là góc = 1800. (1) Theo bài ra ta có: == Mà = + + nên = 3 (2) Từ (1) và (2), suy ra: 3 = 1800 = 600. Vậy nếu = 600 thì ba điểm A, D, E thẳng hàng. Nhận xét: Tận dụng những kiến thức và kĩ năng đã có về ba điểm thẳng hàng, tôi đưa ra một số bài toán giúp học sinh tiếp cận với kiến thức mới sau đó được tốt hơn. c. kết luận Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi rút ra được trong thời gian giảng dạy lớp 6, cùng với quá trình tự học tự bồi dưỡng của bản thân. Dù nội dung kiến thức trong sáng kiến của tôi không có nhiều đặc điểm khó. Nhưng qua thực tế giảng dạy tôi đã thu được kết quả khá tốt, đã tạo được thế giới quan về hình học đối với học sinh lớp 6 và học sinh đã có hứng thú hơn rất nhiều mỗi khi đến tiết hình. Tôi viết sáng kiến này với hi vọng có thể cùng các đồng nghiệp khác đóng góp được một phần nào đó cho công tác giảng dạy của giáo viên và nâng cao hiệu quả học tập của học sinh đối với môn hình học lớp 6. Mặt khác, với sáng kiến này tôi mong có thể phát triển ý tưởng của mình đối với môn hình học lớp 7, lớp 8, lớp 9 với số bài toán phong phú. Do thời gian trực tiếp giảng dạy chưa nhiều nên kinh nghiệm có thể có phần hạn chế, mong lãnh đạo ngành và các đồng nghiệp quan tâm góp ý, bổ sung cho tôi hoàn thiện ý tưởng tốt hơn.