Suy nghĩ mới từ một bài toán quen thuộc - Tác giả: Nguyễn Minh Hà

SUY NGHĨ MỚI TỪ MỘT BÀI TOÁN QUEN THUỘC Tác giả: Nguyễn Minh Hà. Nguồn: Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ. Có một bài toán hình học rất đơn giản và quen thuộc. Bài toán 1. Cho đường thẳng d và hai điểm A; B nằm về một phía của nó. Tìm trên d điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất. Bài toán 1 là bài toán hay. Nó còn có ý nghĩa thực tế. Ngoài ra, nhờ kết quả của bài toán 1 cũng như cách giải bài toán 1, ngưởi ta có thể giải được những bài toán hay hơn, khó hơn. Đó là những bài toán sau: Bài toán 2. Cho góc nhọn ; là một điểm trong góc đó. Tìm trên các điểm sao cho chu vi tam giác là nhỏ nhất. Bài toán 3. Cho tam giác nhọn ABC. Tìm trên BC, CA, AB các điểm X,Y,Z sao cho chu vi tam giác là nhỏ nhất. Bài toán 4. Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm đã cho trên AB. Tìm trên BC, CD, DA các điểm N, P, Q sao cho chu vi tứ giác MNPQ là nhỏ nhất. Bài toán 1, cùng với bài toán 2, 3, 4 tạo thành nhóm 4 bài toán quen thuộc và "bền vững" trong hình học sơ cấp. Nói đến một trong bốn bài, người ta nghĩ ngay đến 3 bài còn lại. Chúng thường đặt cạnh nhau trong các bài giảng về hình học sơ cấp cho các học sinh chuyên toán phổ thông cơ sở. Có lẽ vì sự đơn giản của bài toán 1 cũng như sự bềng vững của nhóm bốn bài 1, 2, 3, 4 nên không mấy ai nghĩ rằng bài toán 1 còn có thể được phát triển thao một hướng khác mà những kết cả nhận được cũng có ý nghĩa và sâu sắc không kém gì bài 2, 3, 4. Bài viết này sẽ giới thiệu các kết quả như vậy. Bài toán 5. Cho tứ giác ABCD, M là một điểm thuộc CD (M khác C,D). Chứng minh rằng {} Lời giải. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua CD. A'B cắt CD ở P. Vì M thuộc đoạn CD nên Suy ra Suy ra Vậy {} Bài toán 6. Cho hình chữ nhật ABCD. M là một điểm bên trong hình chữ nhật. Chứng minh rằng: Lời giải. Qua M kẻ đường thẳng song song với AD. Đường thẳng này theo thứ tự cắt AB, CD tại I, J. Áp dụng bài toán 5 cho hình chữ nhật AIJD có {} Suy ra (vì ) Tương tự như vậy với hình chữ nhật BIJC ta có: Từ đó suy ra: Nên MA+MB+MC+MD<AB+IC+ID Áp dụng bài toán 5 cho hình chữ nhật ABCD có ID+IC<max{AC+AD;BC+BD} Suy ra Vậy ta có: Bài toán 7. Cho tứ giác ABCD. M là một điểm trong tứ giác. Đặt Chứng minh rằng {} Lời giải. Kéo dài AM một đoạn M'B bằng MB. Qua M kẻ đường trung trực của BB'. Đường này theo thứ tự cắt hai cạnh tứ giác tại I, J. Có thẻ xảy ra một trong 3 trường hợp như hình 1, 2, 3. Vì các trường hợp trong hình 2, 3 bài toán được cm tương tự và đơn giản hơn trường hợp trong hình 1 nên ở đây ta chỉ chứng minh trong trường hợp ở hình 1. Hình 1 Hình 2 Hình 3 Không mất tổng quát giả sử IC+ID=max{IC+ID;JC+ID} Áp dụng bài toán 5 cho tứ giác CIJD có: Lại có MA+MB=MA+MB'=AB'<IA+IB'=IA+IB Vậy: Áp dụng bài toán 5 cho tứ giác ABCD có: {} Vậy {}{}{} {} Trên đây là một vài suy nghĩ mới từ bài toán 1. Hãy thử suy nghĩ tiếp! Biết đâu chúng ta còn có thêm những kết quả thú vị khác thừ bài toán 1.