Tài liệu dạy ôn của câu lạc bộ Toán THCS - Buổi 17: Nguyên lý dirile - Bài toán chia hết

GV: Dương Tiến Mạnh Ngày dạy: Buổi 17 nguyên lý dirile. bài toán chia hết a/ Mục tiêu HS nắm được kiến thức cơ bản về nguyên lý dirichle Biết vận dụng để giải bài toán chi hết B/ Nội dung I/ Kiến thức cơ bản * Nguyên lý: Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 con trở lên II/ Bài tập: Bài tập 1: Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2 không? cho 5 không? 11935 Bài tập 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 chữ số hàng nghìn là 6, các chữ số hàng trăm và hàng trục bằng nhau. 20 Bài tập 3: Cho A= 119 + 118 +…+ 11 + 1. Chứng minh rằng A 5 B= 2 + 22 + 23 +….+ 220 . Chứng minh rằng B 5 Bài tập 4: Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000. Có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 ? Giải: + Số chia hết cho 2 là: + 1 = 500 (số) + Số chia hết cho 2 và cho 5 là: + 1 = 100 (số) Vậy có 400 số thỏa mãn điều kiện đề bài. Bài tập 5: Tìm 2 STN liên tiếp có 2 c/s biết rằng một số chia hết cho 4 một số chia hết cho 25. (24; 25); (75; 76) Bài tập 6: Dùng 10 c/s khác nhau viết thành số có 10 c/s chia hết cho 4 sao cho. a- Lớn nhất b- Nhỏ nhất 9876543210 1023457896 Bài tập 7: CMR a- 1050 + 5 chia hết cho 3 và 5 b- 1025 + 26 chia hết cho 9 và 2. Bài tập 8: Tìm số có 4 chữ số biết rằng chữ số hàng nghìn là 9 và số đó chia hết cho 2; 4 ; 5 và 9 Giải: Gọi số phải tìm là b = 0 a = 0 => c = 0 b = 2 a = 7 b = 4 a = 5 b = 6 a = 3 b = 8 a = 1 Bài tập 9: Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 3 a =6 => b = 2 a =6 => b = 2 Bài tập 10: Phải thay x bởi chữ số nào để a) 113 + x chia hết cho 7 (x = 6) b) 113 + x chia hết cho 7 dư 5 (x = 4) c) 7 (x = 3) Bài tập 11: Với x; y; z ẻ Z . CMR (100x + 10y + z) 21 ú (x –2y + 4z) 21 Giải Xét hiệu 100x + 10y + z) – 16 (x –2y + 4z) = 48x + 42y – 63z 21 Bài tập 12: CMR: "n ẻ N ta có 2.7n + 1 3 Giải: Với n = 2b => 2.7n + 1 = 2.49b + 1 º 0 (mod 3) n = 2b + 1=> 2.7n + 1 = 14.49b + 1 º 0 (mod 3) Bài tập 13: Có hay không một số nguyên dương là bội của 2003 mà có 4 chữ số tận cùng là 2004 ? Giải Có: Xét dãy số 2004 Theo Dirkhlê có 2 số có cùng số 20042004 dư khi chia cho 2003. Vậy hiệu 2004 ………… Chúng chia hết cho 2003 2004…2004 Hiệu có dạng: 10k. 2004…2004 2003 Mà (10k:2003) = 1 => đpcm./. Bài tập 14: CMR tồn tại b ẻ N* sao cho: 2003b- 1 105 Giải: Xét dãy số: 2003 20032…2003+1 Theo Dirichlê tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 105 Hiệu của chúng có dạng 2003m(2003b - 1) 105 Mà (2003m: 105) = 1 => 2003b – 1 105