Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán – Trường THPT Lục Ngạn 4

V. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Tất cả các bài toán và ví dụ trong chương này đều xét trên hệ trục tọa độ Oxyz. V.1. Xác định tọa của độ điểm, véctơ. 1. Xác định toạ độ véctơ theo các véctơ không cùng phương. - Ví dụ: Cho các véctơ Tính Giải: - Giả sử . Từ , ta có: Vậy Nhận xét: Như vậy xác định toạ độ một véctơ thông qua các véctơ không cùng phương, ta biểu diễn hoành độ, tung độ và cao độ lần lượt qua hoành độ, tung độ, cao độ của các véctơ không cùng phương cho trước. 2. Xác định toạ độ điểm. a. Lí thuyết: - Hai vectơ bằng nhau: Cho hai vectơ Ta có Có nghĩa hai vectơ bằng nhau khi hoành, tung, cao độ đều bằng nhau. - Tọa độ của véctơ khi biết tọa độ hai điểm đầu mút: Cho đoạn thẳng AB có có Như vậy toạ độ véctơ bằng toạ độ điểm cuối trừ toạ độ điểm đầu. - Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng: Cho đoạn thẳng AB có toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: Như vậy tọa độ trung điểm đoạn thẳng bằng trung bình cộng tọa độ hai điểm đầu mút. - Tọa độ trọng tâm tam giác: Cho tam giác ABC có tọa độ trọng tâm tam giác là Như vậy tọa độ trọng tâm tam giác bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh. - Tọa một đầu mút của đoạn thẳng khi biết tọa độ trung điểm và tọa độ đầu mút còn lại: Cho đoạn thẳng AB, có trung điểm và Thì tọa độ của A là: Như vậy Tọa một đầu mút của đoạn thẳng bằng 2 lần tọa độ trung điểm trừ đi tọa độ đầu mút còn lại. b. Dạng toán. b.1. Dạng 1: Xác định tọa độ điểm theo yếu tố trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác. - Ví dụ: Cho tam giác ABC có a. Xác định trung điểm M của AB. b. Xác định trọng tâm G của tam giác ABC. c. Xác định điểm G’ đối xứng với G qua M. Giải: Giả sử tọa độ Ta có: Vậy . Giả sử tọa độ trọng tâm Ta có : Vậy Giả sử Do G’ đối xứng với G qua M nên M là trung điểm của GG’, theo công thức xác định tọa một đầu mút của đoạn thẳng khi biết tọa độ trung điểm và tọa độ đầu mút còn lại ta có : Vậy b.2. Dạng 2. Tính tọa độ các điểm dựa vào yếu tố hình bình hành. Nếu hình bình hành ABCD, biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C thì sẽ biết được tọa độ đỉnh D dựa vào . Trong không gian bài toán thường cho dưới dạng liên quan đến hình hộp do vậy ta cần tìm hình bình hành liên quan đến điểm cần tình tọa độ trước, sau đó sử dụng quy tắc trong hình bình hành đó để tìm tọa độ của điểm cần tìm. - Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A (-2 ; 1 ; 1), C (0 ; -2 ; 1) ; D ( -3 ; 1 ; 3) và C’(1 ; 0 ; 2). Tìm tọa độ đỉnh A’ và D’. Giải : Xét hình bình hành AA’C’C, ta có . nên tọa độ đỉnh A’ là : Xét hình bình hành AA ‘D’D, ta có nên tọa độ đỉnh D’ là : C. Hệ thống bài tập. Bài 1 : Cho Tính : Bài 2 : Cho tọa độ các điểm A (-2 ; 3 ;1) ; và . Tìm tọa độ điểm M biết rằng Bài 3: a. Tìm tọa độ trung điểm M của AB biết rằng b. Tìm tọa độ điểm C biết D (2 ; 0 ; 1) và tọa độ trung điểm của CD là M (-1 ;-1 ; 3). c. Tìm tọa độ điểm A biết và Bài 4 : Cho tam giác ABC có A (1 ; 1 ; 2) ; và C (0 ; 0 ; 1). a. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. b. Tìm tọa độ điểm G’ đối xứng với G qua trung điểm của BC. Bài 5 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết  ; B (1 ; -1 ; 2) ; C(-1 ;-1 ; 3) và B’ (0 ; 0 ; -1). a. Tìm tọa độ đỉnh D. b. Tìm tọa độ đỉnh A’. V.2. Mặt cầu. 1. Lý thuyết. - Phương trình mặt cầu dạng chính tắc : Mặt cầu tâm S (a ; b ; c) bán kính R có phương trình: - Nhận xét : Như vậy một mặt cầu hoàn toàn xác định được phương trình khi biết tâm và bán kính. Ví dụ:1/ Mặt cầu tâm I ( -1 ; 2 ; 1) bán kính có phương trình : 2/ Mặt cầu có phương trình Có tâm và bán kính Phương trình mặt cầu dạng tổng quát : Phương trình là phương trình tổng quát của mặt cầu tâm bán kính Ví dụ : Xác định tâm và bán kính của mặt cầu, khi biết phương trình tổng quát có dạng : - Kết quả : a. Tâm bán kính b. Tâm bán kính - Nhận xét : Ta chỉ cần khai triển các hằng đẳng thức của (*) thì được phương trình dạng tổng quát, ngược lại từ dạng phương trình tổng quát (**) ta nhóm theo biến về dạng bình phương thì được phương trình mặt cầu dạng chính tắc. 2. Dạng toán. 2.1. Dạng 1 : Cho sẵn tâm và bán kính. - Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau : Tâm bán kính Tâm và qua Giải : Phương trình mặt cầu là: b. Bán kính Phương trình mặt cầu là: 2.2. Dạng 2 : Viết phương trình mặt cầu khi cho biết đường kính. Mặt cầu đường kính AB là mặt cầu có tâm I là trung điểm của AB và bán kính Viết phương trình mặt cầu đường kính AB ta có các bước giải sau: Tìm tâm I là trung điểm của AB. Tính bán kính R = AB/ 2. Viết phương trình mặt cầu theo công thức (*). Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết A ( 2 ; -1 ; 1) và B (0 ; 1 ; 1). Giải : Tâm I là trung điểm của AB có tọa độ I ( 1 ; 0 ; 1). Bán kính Phương trình mặt cầu là: 2.3. Viết phương trình mặt cầu có tâm cho trước và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước. Mặt cầu này nhận điểm cho trước làm tâm và nhận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng làm bán kính. Do vậy cần giải theo 2 bước : Tính bán kính là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho trước. Viết phương trình mặt cầu theo công thức (*). Ví dụ: Cho điểm A(1 ; -2 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – y + 2z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P). Giải : Bán kính : Phương trình mặt cầu là : 3. Hệ thống bài tập tự luyện. Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu biết nó có phương trình : Bài 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết. 1. Tâm I ( -2 ; 3 ; 1) và bán kính 2. Tâm và qua . Bài 3: Viết phương trình mặt cầu khi biết: 1. Đường kính AB, có A (-1 ; 1 ; 2 ) và B( 2 ; 1 ; 3 ). 2. Đường kính MN, có Bài 4: Viết phương trình mặt cầu khi biết: 1. Tâm và tiếp xúc với mặt phẳng 2. Tâm và tiếp xúc với mặt phẳng Bài 5: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình và Xác định tâm T và bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T tới mặt phẳng (P). - Đề thi tốt nghiệpTHPT năm 2009 - Bài 6: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (Q) có phương trình : và a. Xác định tâm T và bán kính của mặt cầu (S). b. Viết phương trình mặt cầu tâm I (0 ; -1 ; 2) có bán kính bằng khoảng cách từ T đến (Q). Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Có A (1 ; 0 ; 0) ; B(2 ; 0 ; 1) ; D( -1 ; 0 ; 2 ) và A’(1 ; 4 ; 0). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trên. Hướng dẫn: Quy về viết phương trình mặt cầu nhận đường chéo của hình hộp làm đường kính. V.3. Phương trình mặt phẳng. 1. Lý thuyết. - Vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng là một vectơ pháp tuyến của Nếu là một vectơ pháp tuyến của thì cũng là một vectơ pháp tuyến của - Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng : trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0. Nếu mặt phẳng có phương trình trên thì có một vectơ pháp tuyến . Một số trường hợp đặc biệt : + Các mặt phẳng tọa độ: Oxy ; Oyz và Ozx lần lượt có phương trình z = 0 ; x = 0 và y = 0. + Mặt phẳng qua gốc tọa độ có dạng , có nghĩa D = 0. + Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : Cho mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm ( hình bên). Khi đó có phương trình : 2. Dạng toán. 2.1. Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết 2 vectơ chỉ phương. 1-Bài toán : Cho mặt phẳng và 2 vectơ chỉ phương không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên Thì có một vectơ pháp tuyến hay ( Kí hiệu hoặc là tích có hướng của đọc là tích và ). 2- Cách nhớ công thức tích có hướng: Có nhiều cách nhớ công thức tích có hướng thường là nhớ trực tiếp công thức trong SGK tuy nhiên rất khó, sau đây là một cách để nhớ: - Bước 1: Viết sơ đồ : - Bước 2: Triển khaisơ đồ như vậy thì có tọa độ tương ứng : + Hoành độ + Tung độ + Cao độ Như vậy 3- Ví dụ: - Ví dụ 1 : Cho ta xác định như sau: - Bước 1: Viết sơ đồ : - Bước 2: Triển khai sơ đồ: + Hoành độ: + Tung độ: + Cao độ: Vậy * Lưu ý: Việc xác định tích có hướng theo phương pháp trên ta chỉ thực hiện ra nháp và viết kết quả cuối cùng vào bài toán. - Ví dụ 2: Cho 3 điểm và. Xác định một véctơ pháp tuyến của (ABC). Giải: Ta xác định được 2 vectơ: có giá nằm trên (ABC). Lấy ; theo phương pháp trên tính được Ta thấy Nên là một vectơ pháp tuyến của (ABC). 2.2. Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và véctơ pháp tuyến. 1- Bài toán cơ sở: Cho mặt phẳng qua và có một véctơ pháp tuyến . Thì có phương trình: * Nhận xét quan trọng: Mọi bài toán về viết phương trình mặt phẳng đều dựa vào định nghĩa hoặc quy về bài toán cơ sở . - Nếu dựa vào định nghĩa, ta nêu ra dạng phương trình theo công thức (1)_phần định nghĩa rồi xác định các yếu tố chưa biết là A, B, C, D. - Nếu dựa vào bài toán cơ sở, ta cần xác định đúng hai yếu tố là một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến. Sau đó viết theo công thức (2). Các dạng toán sau có phương pháp giải đều dựa trên cơ sở của nhận xét này. 2- Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng qua M ( - 2; 1; 3) và có một véctơ pháp tuyến Giải: - Cách 1. Phương trình mặt phẳng có dạng: - Cách 2: Do có một véctơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng có dạng: x + y – 2z + D = 0. Do qua M nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trìnhthay tọa độ của M vào phương trình ta có: Vậy có phương trình: x + y – 2z + 7 = 0. 2.3. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước. 1. Bài toán. Viết phương trình mặt phẳng qua và song song với mặt phẳng cho trước. - Bước 1: Do nêncó phương trình dạng: . - Bước 2: Do qua M, nên thay tọa độ của M vào phương trình (*) tìm được D1. 2. Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng qua và song song với mặt phẳng có phương trình Giải: Do nêncó phương trình dạng: Mặt khác qua M nên ta có Vậy có phương trình: 2.4. Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng. 1. Bài toán. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C gồm các bước sau: - Bước 1: Xác định các véctơ chỉ phương - Bước 2: Xác véctơ pháp tuyến . - Bước 3: Đưa bài toán về viết phương trình mặt phẳng qua điểm A và có một véctơ pháp tuyến tìm được ở bước 2. 2. Ví dụ. - Ví dụ 1: Cho 3 điểm A, B, C có phương trình Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Giải: Xác định các vectơ: có giá nằm trên (ABC). Lấy Ta có: Do vậy là một vectơ pháp tuyến của (ABC). - Đưa bài toán về viết phương trình mặt phẳng qua A(1 ; 1; 2) và có vectơ pháp tuyến (ABC) có phương trình: * Chú ý: Nếu A, B, C là ba điểm trên gốc tọa độ ta nên viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn sẽ đơn giản hơn. - Ví dụ 2 : Cho ba điểm . Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Giải : - Phương trình mặt phẳng được xác định theo phương trình đoạn chắn: 2.5. Dạng 5. Qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước. 1. Bài toán. Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng (d) cho trước. - Bước 1: Do nên véctơ chỉ phương của (d) là véctơ pháp tuyến của , có nghĩa: - Bước 2: Đưa bài toán về viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và có một véctơ pháp tuyến tìm được ở bước 1. 2. Ví dụ. Cho điểm Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng (d) trong các trường hợp sau: ( t là tham số). Giải: a. Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương . Do nên có một véctơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng là: b. Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương . Do nên có một véctơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng là: 2.6. Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng khác ( Hai đường thẳng phải chéo nhau). 1. Bài toán. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với d2 (d1, d2 chéo nhau). - Bước 1: Từ phương trình của hai đường thẳng d1, d2 rút ra hai vectơ chỉ phương Đây cũng là hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên . - Bước 2: Xác định véctơ pháp tuyến của, và xác định một điểm M nằm trên d1 nên. - Bước 3: Đưa bài toán về viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và có một véctơ pháp tuyến đã biết tọa độ. * Chú ý: Nếu phương trình d1 cho dưới dạng chính tắc thì lấy ; nếu cho dưới dạng phương trình tham số thì thay tham số t bới một giá trị cụ thể thì được điểm M. 2. Ví dụ. Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình ( t là tham số). Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với d2 . Giải: - Từ phương trình hai đường thẳng tham số rút được hai vectơ chỉ phương của d1 ; d2 là: Đây là hai véctơ có giá song song hoặc nằm trên - Do vậy có một vectơ pháp tuyến - Lấy - Bài toán đưa về viết phương trình mặt phẳng qua M và có véctơ pháp tuyến , có phương trình là: - Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh lần lượt là: và Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD. Giải: - Gọi mặt phẳng cần viết là (P), do (P) chứa AB và song song với CD nên và là các vectơ có giá song song hoặc nằm trên (P). - Do vậy (P) có một vectơ pháp tuyến - Mặt phẳng (P) có qua và có một véctơ pháp tuyến nên có phương trình: 2.7. Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB. 1. Bài toán. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB cho trước. Do mặt phẳng trung trực của AB qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB nên ta có phương pháp giải sau: - Bước 1: Xác định trung điểm I của AB, và . - Bước 2: Mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng qua I và nhận làm véctơ pháp tuyến. 2. Ví dụ. Cho . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB. Giải: Trung điểm I của AB có tọa độ , Mặt phẳng trung trực của AB sẽ qua I và nhận làm một véctơ pháp tuyến, có phương trình: 3. Hệ thống bài tập đề nghị. Bài 1: Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng trong các trường hợp sau: 1/ Song song với giá của hai véctơ 2/ Song song với giá của hai véctơ và chứa hai điểm 3/ Qua ba điểm Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua và: 1/ Có một véctơ pháp tuyến 2/ Song song với giá của hai véctơ 3/ Vuông góc với đường thẳng (d ) có phương trình . Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C biết tọa độ A, B, C như sau: 1/ 2/ Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng qua và song song với mặt phẳng có phương trình như sau: Bài 5. Cho tứ diện A.BCD biết Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD. Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b trong các trường hợp sau: 1/ 2/ Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng d trong các trường hợp sau: 1/ 2/ ( t là tham số). 3/ Đường thẳng d chứa Bài 8. Cho hai điểm . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB. Bài 9. Cho điểm và đường thẳng (d). Viết phương trình mặt phẳng qua A và (d), biết (d) có phương trình: 1/ 2/ (d) là trục Ox. V.4. Phương trình đường thẳng. 1. Lý thuyết. - Vectơ khác có giá song song hoặc trùng với (d) gọi là véctơ chỉ phương của (d). Véctơ chỉ phương thường được kí hiệu là - Cho đường thẳng d qua và có véctơ chỉ phương + Có phương trình tham số: + Nếu đều khác 0 thì có phương trình chính tắc: * Nhận xét: Các bài toán về viết phương trình đường thẳng đều quy về tìm một điểm và một véctơ chỉ phương của đường thẳng. Sau đó để viết phương trình sử dụng công thức (1) nếu là phương trình tham số và (2) nếu là phương trình chính tắc. * Lưu ý: Do phương trình đường thẳng có hai loại nên khi làm toán cần chú ý xem đề bài yêu cầu viết phương trình nào thì viêt phương trình đó. 2. Dạng toán. 2.1. Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và có một véctơ chỉ phương cho trước. Ví dụ. a. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua và có một véctơ chỉ phương . b. Viết phương trình đường thẳng chính tắc của đường thẳng (d’) qua và có một véctơ chỉ phương Giải: Phương trình tham số của đường thẳng (d) có dạng: ( t là tham số). Phương trình chính tắc của đường thẳng (d’) có dạng: 2.2. Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm. 1. Bài toán. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N cho trước. - Bước 1: Xác định một véctơ chỉ phương của đường thẳng là - Bước 2: Bài toán đưa về viết phương trình đường thẳng qua điểm M cho trước và có một véctơ chỉ phương cho trước. 2. Ví dụ. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua hai điểm M, N có tọa độ Giải: Đường thẳng có một véctơ chỉ phương Bài toán đưa về viết phương trình đường thẳng qua và có một véctơ chỉ phương Phương trình tham số là: ( t là tham số). Phương trình chính tắc là: 2.3. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. 1. Bài toán. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng cho trước. - Bước 1: Do nên . - Bước 2: Bài toán đưa về viết phương trình đường thẳng qua điểm M và có véctơ chỉ phương cho trước. 2. Bài toán. Cho điểm và mặt phẳng có phương trình Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M và vuông góc với. Giải: - Do nên . - Đường thẳng (d) có phương trình tham số: ( t là tham số). 2.4. Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước. 1. Bài toán. Viết phương trình đường thẳng (b) qua điểm M và song song với đường thẳng (a) cho trước. ( hình dưới). - Bước 1: Do b // a nên - Bước 2: Bài toán đưa về viết phương trình đường thẳng qua điểm M và có véctơ chỉ phương cho trước. 2. Ví dụ. Viết phương trình chỉnh tắc của đường thẳng b qua và song song với đường thẳng a có phương trình: (t là tham số). Giải; Do b // a nên Phương trình chính tắc của đường thẳng b là: 2. 5. Dạng 5. Viết phương trình hình chiếu của một đường thẳng lên các mặt phẳng tọa độ. 1. Bài toán. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng tọa độ. Mặt Oxy, mặt Oyz, mặt Ozx. - Bước 1. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ. Bước này lập hệ gồm phương trình (d) và phương trình mặt phẳng tọa độ thì tìm được giao điểm. - Bước 2. Tìm một điểm N trên (d), Sau đó tìm hình chiếu H của N lên mặt phẳng tọa độ. - Bước 3: Bài toán đưa về viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M, H. * Chú ý: - Phương trình các mặt phẳng tọa độ: Oxy ( Phương trình z = 0); Oyz ( Phương trình x = 0) và Ozx ( Phương trình y = 0). - Điểm N là điểm dễ thấy trên (d), nếu (d) có phương trình dạng chính tắc thì chọn ngay Còn (d) cho dưới dạng tham số thì cho tham số t nhận một giá trị cụ thể ta được N. - Việc tìm hình chiếu của N nên các mặt phẳng tọa độ rất đơn giản lên mặt phẳng tọa độ nào có hoành độ, tung độ hoặc cao độ bằng 0, thì cho phần tọa độ của N tương ứng bằng 0. Ví dụ có hình chiếu lên Oxy ( z = 0) là , lên Oyz ( x = 0 ) là và lên Ozx ( y = 0 ) là 2. Ví dụ. Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng (d) có phương trình lên các mặt phẳng tọa độ sau: a. Oxy. b. Ozx. Giải: - Mặt phẳng Oxy có phương trình z = 0. Giao điểm M của (d) với Oxy là nghiệm hệ: . Từ (3) và (4) rút được t = 3 thế vào (1), (2) ta được tọa độ điểm . Vậy . Lấy ( Ứng với t = 0 ). Hình chiếu của N xuống Oxy là: . - Viết phương trình đường thẳng MH, có phương trình tham số của MH là: Vậy phương trình hình chiếu của (d) lên Oxy là: * Nhận xét: Ngoài phương pháp trên ta có thể lấy hai điểm phân biệt M, N trên (d) rồi tìm hình chiếu H1; H2 lên mặt phẳng tọa độ. Bài toán đưa về viết phương trình đường thẳng H1H2 mà không cần tìm giao điểm của (d) lên mặt phẳng tọa độ. Phần b được giải theo phương pháp này. b. – Mặt phẳng Ozx có phương trình y = 0. - Ta lấy hai điểm phân biệt (Ứng với t = 3) và ( Ứng với t = 0 ) thuộc (d). - Hình chiếu của M, N lên Ozx lần lượt là . - Bài toán đưa về viết phương trình đường thẳng H1H2, ta có: phương trình tham số của H1H2 là: - Vậy phương trình hình chiếu của (d) lên Ozx là: Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng (d) có phương trình lên mặt phẳng Oyz. Giải: - Tìm giao của (d) với mặt phẳng Oyz ta cho x = 0, tìm được Vậy tọa độ giao điểm là: - Lấy thì là hình chiếu của N lên Oyz. - Bài toán đưa về viết phương trình tham số đường thẳng MH, có nên phương trình tham số đường thẳng MH là: ( t là tham số ). - Vậy phương trình tham số hình chiếu của (d) lên Oyz là: ( t là tham số ). 3. Hệ thống bài tập đề nghị. Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và có vectơ chỉ phương , biết: Bài 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d qua M và có vectơ chỉ phương , biết: Bài 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB biết: Bài 4: Cho đường thẳng d qua M( -3; 2; -1) và vuông góc với mặt phẳng a. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d). b. Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của (d) lên mặt phẳng Oxy. Bài 5: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng qua và song song với đường thẳng - Bài 6: Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu của lên các mặt phẳng sau: a. Oxy. b. Oyz. c. Ozx. V.5. Khoảng cách. V.5.1. Khoảng cách giữa hai điểm. 1- Lý thuyết: Trong không gian Oxyz cho hai điểm , khoảng cách AB là: 2- Ví dụ: - Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 1; -2; 3) và B( 2; -1; 1), tính khoảng cách AB. Giải: - Khoảng cách AB là: Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M ( m; 1; 1- m ) và N( 2; m; -m ). Tìm m để Tìm m để khoảng cách MN nhỏ nhất. Giải: Tính được, a. hoặc m = 3. b. Ta có Dấu “=” xảy ra khi Vậy khi V.5.2. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng. 1- Lý thuyết. Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng , khoảng cách giữa M và là: ` 2- Ví dụ. - Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz. Cho điểm A (-2; 1; 1) và mặt phẳng 2x – 3y + 4z – 1 = 0. Tính khoảng cách từ A đến Giải: Khoảng cách từ A đến là: * Nhận xét: Các bài toán trong đề thi tốt nghiệp liên quan đến khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thông thường khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chỉ là một bước đệm cho một bước khác, sau đây là một ví dụ. - Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm I ( 1; 2; -2) và . a. Tính khoảng cách từ I đến b. Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với Giải: Khoảng cách từ I đến là: Mặt cầu tâm I tiếp xúc với có bán kính bằng khoảng cách từ I đến , nên . Phương trình mặt cầu là: V.5.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 1. Lý thuyết. Khoảng cách từ đường thẳng (d) song song với mặt phẳng ( ) bằng khoảng cách từ một điểm M nằm trên (d) xuống 2. Phương pháp. - Chọn một điểm M nằm trên (d). - Tính khoảng cách từ M đến 3. Ví dụ. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) và mặt phẳng có phương trình: và . Tính khoảng cách giữa (d) và Giải: Cho t = 0, chọn được điểm M( 1; -3; 4) nằm trên (d). Khoảng cách giữa (d) vàchính là khoảng cách giữa M và , ta có: * Hệ thống bài tập. Bài 1: Tính khoảng cách giữa: Bài 2: a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng V.6. Một số bài tập tổng hợp về phương pháp tọa độ trong không gian: Để củng cố thêm phần hình giải tích không gian, cũng như để đáp ứng yêu cầu của đề thi tốt nghiệp bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian có sự kết hợp của nhiều phần kiến thức khác nhau. Chúng tôi đã chủ động đưa ra các bài toán tổng hợp để các thầy cô và các em học sinh tham khảo. Các bài toán sau đều xét trong không gian với hệ trục Đêcác vuông góc Oxyz. Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có . a. Tìm tọa độ đỉnh D’. b. Từ đó viết phương trình chính tắc của đường thẳng BD’ và mặt cầu đường kính BD’. c. Viết phương trình mặt phẳng (ABD’). Bài 2: Cho hai điểm và đường thẳng a. Viết phương trình tham số của đường thẳng MN. b. Xét vị trí tương đối của MN và (d). c. Lập phương trình mặt phẳng chứa M, N và song song với (d). d. Tính khoảng cách giữa (d) và . Bài 3: Cho điểm và mặt phẳng có phương trình a. Dựng đường thẳng (d) qua M và vuông góc với . b. Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua . c. Viết phương trình mặt cầu và tiếp xúc với . Bài 4: Cho điểm và đường thẳng . a. Viết phương trình qua M và song song với b. Viết phương trình tham số hình chiếu của lên mặt phẳng Oyz. Bài 5: Cho hai điểm và đường thẳng (d) có phương trình a. Lập phương trình qua A và chứa (d). b. Dựng mặt phẳng qua A, B và vuông góc với Bài 6: Cho hai điểm và mặt phẳng (P) có phương trình ( m là tham số). a. Viết phương trình mặt cầu (S), đường kính AB. b. Tìm tham số m để (S) tiếp xúc với (P). Bài 7: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình và a. Xác định tâm T và bán kính R của mặt cầu (S). b. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng qua T và vuông góc với (P). Tìm giao điểm của I của (d) và (P). c. Viết phương trình mặt cầu (S 1) tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (S). Bài 8: Cho . a. Tìm b. Lập phương trình mặt phẳng qua và nhận làm các vectơ chỉ phương. c. Tìm giao điểm N của với mặt phẳng Bài 9: Cho hai điểm điểm và mặt phẳng . a. Lập phương trình mặt phẳng qua M và song song với b. Lập phương trình mặt phẳng qua M, N và vuông góc với c. Lập phương trình mặt cầu qua và tiếp xúc với hai mặt phẳng Bài 10: Cho điểm và đường thẳng . a. Lập phương trình đường thẳng (d’) qua M song song với (d). b. Tính khoảng cách giữa M và (d’).