Tài liệu luyện thi đại học môn Toán

MỤC LỤC PHẦN TRANG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b), nếu trong khoảng đó ta có: F'(x) = f(x). +Giả sử trên khoảng (a, b) hàm y = f(x) có một nguyên hàm F(x) thì mọi hằng số C: F(x) + C cũng là nguyên hàm của y = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a, b). +Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là F(x) và k là một hằng số thì hàm số: y = k.f(x) có nguyên hàm là k.F(x) trên (a, b). +Giả sử trên (a, b) có hàm f(x), g(x), h(x) có các nguyên hàm tương ứng là: F(x), G(x), H(x), thì hàm số y = f(x) + g(x) - h(x) có nguyên hàm là: F(x) + G(x) - H(x). +Từ đạo hàm ta có nguyên hàm các hàm cơ bản sau: 1. y = f(x) = xa → F(x) = + C 2. y = f(x) = → F(x) = +C 3. y = f(x) = sinx → F(x) = -cosx +C 4. y = f(x) = cosx → F(x) = sinx + C 5. y = f(x) = → F(x) = -cotgx + C 6. y = f(x) = → F(x) = tgx + C 7. y = f(x) = ex → F(x) = ex + C 8. y = f(x) = ax → F(x) = +C +Mọi hàm liên tục trên một đoạn nào đó đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Người ta kí hiệu họ nguyên hàm: F(x) + C = 2. Vi phân: Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) là một hàm số liên tục và có đạo hàm y' = f'(x) trên khoảng (a, b). Xét một điểm x Î (a, b) tùy ý. Tại điểm cho số gia Dx, sao cho x + Dx Î (a, b), thì tích số gia f'(x).Dx gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x tương ứng với số gia Dx. +dy = df(x) = f'(x).Dx Û dy = y'dx. Ví dụ: +d(x2) = 2x.dx + d(sinx) = cosxdx. -Nếu y = y(u) và u = u(x) → dy = y'(u).du = y'(u).u'(x).dx = y'u(x).u'(x).dx Ví dụ: y = (2x+5)3 → dy = 3. (2x + 5)2.dx 3. Tính chất của tích phân: + + + + + Giả sử F(x) có đạo hàm là f(x) từ đó suy ra: 4. Công thức Newton - Lepnit: 5. Định nghĩa tích phân xác định: +Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và có giá trị không âm xác định trên khoảng (a, b), hình chắn phía trên bởi y = f(x) và phía dưới bởi trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b. 0 x y a b +Để tính diện tích hình thang cong người ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ bởi các điểm x0, x1, ..., xn. Ta gọi Dxi = xi - xi-1. Từ các điểm xi, dựng các đường thẳng song song với trục Oy khi đó hình thang cong được chia làm nhiều hình thang cong nhỏ. +Trong mỗi đoạn Dxi chọn một điểm εi khi đó tung độ yi ứng với điểm εi là yi = f(εi) suy ra, nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ đựng hình chữ nhật có kích thước là (xi - xi-1); f(εi) thì được mỗi hình chữ nhật đó là: δi = f(εi) . (xi - xi-1). Suy ra diện tích toàn phần hình cong là: S = S1 + S2 +...+ Sn = +Nếu n càng lớn thì Dxi càng nhỏ và độ chính xác càng lớn. S = . Giới hạn phía phải được kí hiệu là: . +Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a, b]. Chia đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm (không nhất thiết phải cách đều nhau) a = x0, x1, ..., xn = b. Đặt Di = xi - xi-1 (1 £ i £ n). Gọi số lớn nhất trong các kí hiệu đó là MaxDi. Trong mỗi đoạn [xi-1, xi] chọn một điểm εi tùy ý: xi-1 £ εi £ xi. Lập tích f(εi).Di trên mỗi đoạn chia. Lập tổng Để tính tích phân theo định nghĩa ta thường chia thành các đoạn bằng nhau: Dxi = xi - xi-1 = (b-a)/n = h. Lấy điểm εi là đầu mút phải (hoặc trái) mỗi đoạn. εi = a + (i-1).h (trái) εi = a + i.h (phải) +Tính chất của tích phân xác định: -Nếu f(x) £ g(x) thì: -Nếu m, M là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x) thì: II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN: DẠNG 1: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ TÍNH CHẤT: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Giả sử tính tích phân của f(x)dx (1). +Đặt t = j(x), lấy vi phân để tính dx theo dt và t. +Biến đổi f(x) theo t. +Đưa (1) về dạng: (2) +Thay t trong biểu thức nguyên hàm bằng j(x). Chú ý: Nếu (1) là tích phân xác định thì (2) là tích phân xác định cận từ j(a) đến j(b), khi đó không có bước cuối. Bài tập: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. (a ¹ b ¹ 0) 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Các vấn đề lý thuyết: +Định lý: Cho hai hàm u, v liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có: +Để tính tích phân f(x)dx: -Phải biến đổi tích phân f(x)dx về dạng tích phân của u.dv. -Tính du và v. -Tính tích phân của v.du. +Các dạng thường gặp: a. (P(x) là một đa thức của x, Ax: ex, ax, sinx, cosx...) Thì ta sẽ đặt u = P(x), dv = Ax.dx. b. (P(x) là một đa thức của x, Ax: arsinx, arccosx, arctgx...) 2. Bài tập: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. Tìm a để: DẠNG 4: TÍCH PHÂN CÁC LOẠI HÀM SỐ: 1. Hàm hữu tỷ: a. Dạng tổng quát: Tính tích phân bậc của f(x) nhỏ hơn g(x). +Nếu bậc f(x) lớn hơn bậc g(x) thì chia đa thức đưa về phân số tối giản. +Nếu bậc f(x) nhỏ hơn bậc g(x) thì phương trình hàm hữu tỷ đã cho đưa về hàm hữu tỷ đơn giản hơn bằng phương pháp cân bằng hệ số bằng cách sau: Tương đương với: +Các dạng thường gặp khi tính tích phân xác định: Tích phân = Tích phân Tích phân tùy theo ax2+bx+c = 0 có nghiệm hay không. Nếu có nghiệm thì đưa về dạng: Nếu không có nghiệm thì đưa về dạng sau: b. Bài tập luyện: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 2. Tích phân các hàm số lượng giác: a. Các vấn đề lý thuyết: +Tích phân có dạng: -Trường hợp 1: Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt cosx = t. -Trường hợp 2: Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt sinx = t. -Trường hợp 3: Nếu m, n cùng chẵn, khác dấu thì đặt tgx = t. -Trường hợp 4: Nếu m, n cùng chẵn, cùng dương thì hạ bậc. +Tích phân có dạng: thì đặt . +Sử dụng phương pháp tích phân từng phần trong trường hợp có thể: Xem phương pháp tích phân từng phần. b. Bài tập luyện: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 3. Tích phân của các hàm vô tỷ: a. Các vấn đề về lý thuyết: Giả sử tính tích phân của f(x)dx. + Thì đặt với s là BSCNN của (a, b, c,...) + thì đặt với s là BSCNN của (a, b, c...) + biến đổi ax2+bx+c = -Nếu D < 0 thì: Nếu đặt u = a.sint Nếu đặt u = +Phép thế ơcle: Dùng để biến đổi . -Phép thế 1: Nếu ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm và a > 0 thì đặt -Phép thế 2: Nếu c > 0: Thì đặt -Phép thế 3: Nếu x0 là một nghiệm của ax2 + bx+c=0 thì đặt b. Bài tập luyện: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 1. Công thức newtown - lepnit: 2. Một số chú ý trong phương pháp đổi biến: -Phải đổi cận: Đặt t = j(x) Þ a = j(a); b = j(b). 3. Công thức tính tích phân từng phần: 4. Tính chất: + với f(-x) = f(x). + với f(x) = -f(-x). + với f(x) = f(-x). + + + + + f(x) ≥ 0 trên [a, b] Þ + f(x) ≥ g(x) trên [a, b] Þ + m £ f(x) £ M trên [a, b] Þ m(b - a) £ £ M(b - a) II. BÀI TẬP LUYỆN: +) Tính các tính phân xác định sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. +) Dùng phương pháp đổi biến, tính các tích phân sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. +) Dùng phương pháp tích phân từng phần: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. +) Sử dụng các tính chất đặc biệt của tích phân: nếu f(x) = -f(-x). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ĐỀ THI MỘT SỐ TRƯỜNG ĐẠI HỌC 1. ĐHQG - D/99: 2. ĐHBK -99: Cho hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x. a. Tìm học nguyên hàm của hàm số g(x). b. Tính: 3. ĐHTN A/99: Chứng minh với mọi n nguyên dương ta có: 4. ĐHSPII.99: Tìm nguyên hàm của f(x) = 5. ĐHKTQD-99: Tìm họ nguyên hàm: f(x) = tgx + 6. ĐHTDTT 99: Tính 7. ĐHMỎ 99: a. Tính (n > 2) b. Tính I(t) = +Tính khi t = p. +Chứng minh I(t) + I(-t) = 0 (" t Î R) 8. ĐHTCKT - 99: Tính các tích phân sau: a. b. c. d. 9. ĐHCĐ 99: Tính các tích phân sau: a. b. c. 10. ĐHY 99: a. Biết Tìm nguyên hàm F(x) = b. 11. HVBCVT 99: 12. GTVT 99: y = + 13. HVNH 99: a. b. (a là một số cho trước) 14. ĐHTS 99: 15. ĐHTM 99: 16. ĐHXD 99: a. Cho f(x) = Tính b. (a là một số cho trước) 17. ĐHKT 99: 18. ĐHNT A-99: 19. ĐHNT A-99: 20. ĐHNN 99: 21. ĐHNT 99: 22. ĐHNNI B -99: 23. ĐHXD 99: a. Chứng minh 2,5 < với f(x) = b. (a là hằng số cho trước). 24. HVKTMM 99: a. b. c. d. Chứng minh: 25. ĐHTL 99: 26. ĐH MỎ ĐC 99: Giải bất phương trình: 27. ĐH AN NINH 99: 28. ĐH THỦY LỢI 2000: y = 29. TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 2000: 30. ĐH MỎ 2000: I1 = I2 = 31. ĐH BÁCH KHOA 2000: I = 32. ĐH GTVT 2000: 33. ĐH THƯƠNG MẠI 2000: I = 34. ĐH CÔNG ĐOÀN 2000: I1 = I2 = 35. ĐHSPHNII 2000: I1 = I2 = I3 = ( n = 1, 2, ...) 36. ĐHTHNGUYÊN 2000: I =. (n Î Z). 37ĐH DƯỢC 2000: I = 38. ĐHNNI 2000: I1 = I2 = 39. ĐH LÂM NGHIỆP 2000: 40. ĐH NGOẠI THƯƠNG 2000: 41. CĐSPHN 2000: I1 = I2 = 42. ĐHQG - A - 2001 43. ĐHSPHN - B - 2001. 44. ĐHSP VINH - A - 2001 a) b) 45. ĐHSP VINH - D - 2001 46. ĐHNN - 2001 47. ĐHGTVT - 2001 48. ĐH KIẾN TRÚC - 2001 49. ĐH TL - 2001 50. ĐHNNI - 2001 51. ĐHNNI - B - 2001 a) b) 52. ĐHTN - A - 2001 53. ĐH DƯỢC - 2001 54. ĐHNT - A - 2001 55. ĐHTM - 2001 . Với n 56. ĐHAN - 2001 57. HVKTQS - 2001 . Với a, b là các tham số cho trước. 58. ĐH Y HN - 2001 59. ĐHSPKT TPHCM - A - 2001 .Với n là số nguyên dương. 60. ĐHSP TPHCM - A - 2001 61. ĐHNT TPHCM - A - 2001 Tìm họ nguyên hàm của f(x) = 62. ĐHQG TPHCM - A - 2001 Đặt I = và J = a) Tính I - 3J và I + J b) Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và K = 63. CĐSPHN - 2001 64. TSĐH - A - 2003 65. TSĐH - B - 2003 66. TSĐH - A - 2004 67. TSĐH - B - 2004 68. TSĐH - A - 2005 69. TSĐH - B - 2005 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I - LÍ THUYẾT 1) DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG B B' A A' a b O x y y = f(x) a) Cho hàm số y = f(x), liên tục và không âm trên [a, b]. Ta biết rằng diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), các đường thẳng x = a, x = b và trục hoành là: S = x y O B1 B' B b A1 A' A a +Nếu f(x) âm trên [a, b] thì diện tích của hình thang cong A'B'BA bằng diện tích của hình thang cong A'B'B1A1 là hình đối xứng của hình thang cong đã cho qua trục hoành khi đó ta có: S = SA'B'BA = = b) Từ công thức tính diện tích của hình thang cong, ta có diện tích của hình phảng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của hai hàm số y1 = f1(x) và y2 = f2(x) liên tục trên [a, b] được cho bởi công thức: S = Để tính diện tích S theo công thức trên trước hết ta phải tìm nghiệm của phương trình f1(x) - f2(x) = 0 thuộc [a, b]. Giả sử đó là a, b: a £ a < b £ b khi đó ta có: S = + + (*) Để tính tích phân ta chú ý rằng voiứ mọi x Î (a, b) thì f1(x) - f2(x) ≠ 0. Vì f1(x) và f2(x) đều liên tục trên (a, b) nên f1(x)-f2(x) luôn mang một dấu Nếu f1(x)-f2(x) > 0 thì: = = Nếu f1(x)-f2(x) < 0 thì: = = Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: = Do đó (*) trở thành: S = = ++ Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3, y =0, x = -1, x = 2. Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đường: f1(x) = x3 - 3x và f2(x) = x c) Diện tích hình tròn và elip 2) Thể tích của các vật thể a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay xung quanh trục ox tạo thành vật thể tròn xoay T. Thiết diện của vật thể T với mặt phẳng vuông góc với ox tại điểm x là một hình tròn bán kính y (y = f(x)) nên diện tích thiết diện S(x) = . Vậy: V = Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của hình giới hạn bởi trục ox và đường y = sinx (0 £ x £ p) b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) trong đó g(y) là một hàm số liên tục trên [a, b]. Nếu hình giới hạn bởi các đường: x = g(y), y = a, y = b, x = 0 quay xung quanh trục oy thì thể tích vật thể tròn xoay sinh ra được tính theo công thức: V = Ví dụ: Tính tiếp tuyến vật thể sinh ra bởi phép quay xung quanh trục oy của hình giới hạn bởi các đường: y = , y = 2, y = 4, x = 0. II - BÀI TẬP 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) x = 0, x = 1 y = 0, y = 5x4 + 3x2 + 3. b) y = x2 + 1, x = y = 3. c) y = x2 + 2, y = 3x. d) y = 4x - x2, y = 0. e) y = lnx, y = 0, x = e. f) x = y3, y = 1, x = 8. g) x = , x = p, y = 0, y = cosx. h) y = x(x - 1)(x - 2), y = 0. i) xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a (a > 0). k) y = ex, y = e-x, x = 1. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3, 5) và oy. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = -x2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm M1(0, -3) và M2(3, 0). 4. TSĐH - B - 2004. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 5. TSĐH - A - 2002. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 6. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục ox: a) y = 0, y = 2x - x2. b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = . c) y = sin2x, y = 0, x = 0, x = p. d) y = x.e, y = 0, x = 0, x = 1. e) y = sinx, y = 0, x = 0, y = . g) . h) y = 2x2, y = x3. i) y = , x = 1, x = 2, y = 0. k) y = lnx, x = 1, x = 2, y = 0. 7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các đường khi nó quay xung quanh: a) Trục ox. b) Trục oy. BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1. f(x) ≥ 0 trên [a, b] Þ 2. f(x) ≥ g(x) trên [a, b] Þ 3. m £ f(x) £ M trên [a, b] Þ m(b - a) £ £ M(b - a) II - BÀI TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP I - LÝ THUYẾT 1) Qui tắc cộng và qui tắc nhân : a) Qui tắc cộng Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đố tượng y nào thì thì có m+n cách chọn một trong các đối tượng đã cho. Dưới dạng tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2... mn cách chọn đối tượng xn và nếu cách chon đối tượng xi không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng xj nào (i≠ j; i, j = 1, 2, 3 ...n) thì có m1 + m2 + ... + mn cách chọn một trong những đối tượng đã cho. Ví dụ 1: có 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau. hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quyển đó. Ví dụ 2: từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có các chữ số khác nhau. : b) Qui tắc nhân Ví dụ: Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng: Tàu hỏa, tàu thủy, máy bay, ôtô. Từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng tàu hỏa, máy bay, ôtô. Muốn đi từ tỉnh A tới tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A tới tỉnh C? Nếu có m cách chọn đối tượng x và với mỗi cách chọn đối tượng x có n cách chọn đối tượng y thì ta có m.n cách chọn cặp đối tượng (x, y) Tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, với mỗi cách chọn đối tượng x1 có m2 cách chọn đối tượng x2. Sau đó với mỗi cách chọn x1 và x2 như thế có m3 cách chọn đối tượng x3...Cuối cùng với mỗi cách chọn x1, x2, x3, ..., xn-1 có mn cách chọn xn, thì ta có m1m2...mn cách chọn dãy x1, x2, ..., xn. 2) Hoán vị a) Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A gọi là một hoán vị của n phần tử đó. b) Số hoán vị của n phần tử. Định lí: Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì ta có: Pn = n(n-1)(n-2)...3.2.1 = n! 3) Chỉnh hợp a) Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1£k£n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Ví dụ 1: Cho A = {a, b, c} tìm số chỉnh hợp chập 2 từ 3 phần tử của A Ví dụ 2: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng là lẻ. b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Định lí: Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k từ n phần tử là thì ta có: 4) Tổ hợp a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 £ k £ n) phần tử của A được gọi là một tổ thợp chập k của n phần tử đã cho. Ví dụ: Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi. Mỗi phòng thi gồm hai giám khảo. Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thầy thành đôi để hỏi thi? b) Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Định lí: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là thì ta có: Ví dụ 1: Có 20 đội bóng tham gia thi đấu tính điểm. Thể lệ cuộc thi là bất kì hai đội nào cũng chỉ gặp nhau một lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? Ví dụ 2: Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi? c) Các hệ thức: A 5) Nhị thức newton a) Công thức nhị thức newton: = b) Các tính chất: Số các số hạng của công thức là n + 1 Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức n. Số hạng tổng quát có dạng: . Đây là số hạng thứ k + 1 trong khai triển của nhị thức. Các hệ số trong khai triển cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. c) Tam giác pascan II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP 1. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số. 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số. 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữ thì giống nhau? 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 5? 5. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, Từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đên thành phố D? 6. Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn? Biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau. 7. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được: a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau. b) bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau. 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau? 9. Cho các số 1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên sao cho: a) Chữ số đầu tiên là 3. b) Các chữ số khác nhau. c) Các chữ số khác nhau và đều chia hết cho 2. d) Các chữ số khác nhau và chia hết cho 5. 10. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số có 5 chữ số, các chữ số khác nhau thỏa mãn: a) Các số là số lẻ. b) Các số đều chia hết cho 5. c) Trong đó nhất thiết phải có số 5. d) trong đó nhất thiết phải có số 0. 11. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần các chữ số khác có mặt đúng một lần. 12. Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. 13. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu từ số 1. b) Bắt đầu bởi 23 c) Không bắt đầu bởi 345 d) không nhỏ hơn 234. 14. Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau: a) Là số chẵn. b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải là 1. 15. (HVCNBCVT TPHCM - 98)Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1. 16.Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số, sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số có mặt một lần. 17. (ĐHQGTPHCM - 99). Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a) có bao nhiêu tập con X của A thỏa mãn điều kiện X chưa 1 và không chứa 2. b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A mà không bắt đầu từ 123. 18. (HVNH TPHCM - 99) Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu: a) Năm chữ số 1 đứng kề nhau. b) Các chữ số được xếp tùy ý. 19. (ĐH KIẾN TRÚC - 98) Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4,. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số, sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số trên có mặt một lần. 20. HVQS - 2000 Một lớp học sinh có 20 em trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập đội gồm 4 em học sinh trong đó có: a) Số nam và số nữ bằng nhau. b) Ít nhất có một nữ. 21. ĐHQG TPHCM - 2000 Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc hai thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng.(6048 cách) b) Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách.(579600 cách) 22. QGTPHCM - 98 Từ 12 học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốn chọn ra một đoàn đại biểu có 5 người ( gồm trưởng đoàn, thư kí và ba thành viên) đi dự trại hè quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra đoàn đại biểu nói trên.(15840 cách) 23. ĐH LUẬT - 99 Một đoàn tàu có 3 toa chở khách, toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 vị khách lên 3 toa.(81 cách) b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên.(24 cách) 24. ĐH HUẾ - 99 Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó sắp xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành.(288 số) b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành.(312 số) 25. ĐHSP VINH - 99 Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số nói trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.(1260 số) 26. ĐHQGHN - B - 2000 Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau mà không chia hết cho 5. (96 số) 27. ĐH HUẾ - A - 2000 Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau: a) Nếu phải có ít nhất là hai nữ. b) Nếu phải chọn tùy ý, 28. ĐH HUẾ - D - 2000. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta lập được: a) Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một.(156 số) b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng đôi một.(36 số) c) Có bao nhiêu số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng đôi một.(16 số) 29. ĐH Y HN - 2000 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Cần lập đoàn công tác gồm 3 người cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?(90 cách) 30. ĐHTN - A - 2000 Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người, sao cho: a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó.(5400 cách) b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.(12900 cách) 31. ĐHTN - D - 2000 Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có đủ mặt 3 chữ số trên.(150 số) 32. ĐHSP II - 2000 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt hai lần, còn các chữ số khác có mặt một lần.(10080 số) 33. HVKTQS - 2000 Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, hai người ở địa điểm B, còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.(1260 cách) 34. ĐHGTVT - 2000 Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có hai cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.(324 cách) 35. ĐHCS - 2000 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.(50.000 số) 36. ĐHQG TPHCM - A - 2000 a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ.(42.000 số) b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số