Tài liệu luyện thi đại học môn Toán

MỤC LỤC PHẦN TRANG LƯỢNG GIÁC A - CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT. I. ĐỊNH NGHĨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn lượng giác. 2. Cung lượng giác và góc lượng giác. 3. Định nghĩa các hàm số lượng giác. II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC III. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT IV. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT V. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VI. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LỰONG GIÁC 1. Công thức cộng. 2. Công thức góc nhân đôi +) Công thức hạ bậc. +) Khai triển các hàm số lượng giác theo tg góc chia đôi +) Công thức góc nhân 3 3. Công thức biến đổi tích thành tổng. 4. Công thức biến đổi tổng thành tích. VII. ĐỊNH LÍ HÀM SỐ SIN VÀ COSIN. VIII. CÁC CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC. B. BÀI TẬP. DẠNG 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. 1. Tính hàm số lượng giác của cung a sau. 1) sina = với 0 < a < 2) tga = - với < a < 3) cosa = với - < a < 0 4) sina = với a Î (, p ) 5) tga = 2 với a Î (p, ) 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 1) sin2x + tg2x = - cos2x 2) tg2x - sin2x = tg2xsin2x 3) = sin2xcos2x 4) = 1 5) cosx + cos(2p/3 - x) + cos(2p/3 - x) = 0 6) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a 7) = tg(a +b)tg(a - b) 8) cos3xsinx - sin3xcosx = sin4x 9) = - tg2x 10) = -tg2 11) sin3xcos3x + sin3xcos3x = sin4x 12) sinx - sin2x +sin3x = 4coscosxsin 13) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x 14) = cos2 15) 3. Biểu diễn các biểu thức sau theo sinx và cosx. 1) sin(x + ) - 3cos(x - ) + 2sin(x + p ) 2) sin(x - p/2) + cos(x - p) - 5sin( + x) 3) cos(p/2 + a) + cos(2p - a) + sin(p - a) + cos(p + a) 4) 2cosa - 3cos(p + a) - 5sin(p/2 - a) + cotg( - a) 5) cos(p - a) - 2sin(3p/2 + a) + tg(- a ) + cotg(2p - a) 4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a. 1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin2a 3) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a) 4) D = - 5) E = + 6) F = cos2a + sin(300 + a)sin(300- a) 7) G = sin6a + cos6a + 3sin2acos2a 8) H = 9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b) Trong đó a - b kp và m 1 thì biểu thức: A = + (m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ). 5. Tính các biểu thức đại số. 1) Tính sin3a -cos3a biết sina -cosa = m 2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A = 3) Biết = . Tính tga.tgb 4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) k2p tính tg.tg 5) Tính sin2x nếu: 5tg2x - 12tgx - 5 = 0 ( < x < ) 6. Tính giá trị các biểu thức mà không tra bảng. 1) A = cos200cos400cos600cos800 2) B = cos.cos.cos 3) C = sin60.sin420.sin660.sin780 4) Với a kp chứng minh rằng: cosa.cos2a.cos4a. ...... cos2na = , từ đó tính : D = cos. cos. ........... cos 5) Tính: E = sin50.sin150sin250.sin350. ...... sin850 6) Tính: F = sin.sin.sin.sin. sin 7) A = sin370.cos530 + sin1270.cos3970 8) A = tg1100 + cotg200 9) Tính sin150 và cos150 10) Tính tgx.tgy biết : = 7. Chú ý các công thức sau: 1) 4sinx.sin( - x)sin( + x) = sin3x 2) 4cosx.cos( - x)cos( + x) = cos3x 3) tgx.tg( - x)tg( + x) = tg3x 4) cosa.cos2a.cos4a .......... cos2na = 5) để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) +......+(-1)n. cos(a +nx). thì nhân 2 vế với 2cos nếu cos 0. 8.Các bài tập khác: 1. Chứng minh rằng : a) = b) = 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = sin3x.sin3x + cos3x.cos3x b) B = [1 + ] c) C = cos3x.cos3x - sin3x.sin3x 3. Không dùng bảng số hãy tính: a) A = tg20o.tg40o.tg60o.tg80o b) B = - 2sin70o c) C = sin4 + sin4 + sin4 + sin4 d) D = tg2 + tg2 + tg2 e) E = tg9o - tg27o - tg63o + tg81o. f) F = cos6 + cos6 + cos6 + cos6 g) G1 = sin18o.cos18o; G2 = sin36o.cos36o h) H = cos + cos + cos i) I = sin + sin + sin + cos k) K = cos + cos + cos + cos m) M = cos - cos 4. Với a ≠ kp (k Î Z) chứng minh: a) cosa.cos2a.cos4a...cos16a = b) cosa.cos2a.cos4a....cos2na = 5. Tính: A = cos20o.cos40o.cos60o. 6. Tính: A = sin6o.sin42o.sin66o.sin78o. 7. Tính: A = cos. cos. cos. 8. Tính: cos. cos. cos. cos. cos. cos. 9.Tính: sin. sin. sin. sin. sin. 10. Tính: cos. cos. cos. cos.... cos. 11. Tính: sin5o. sin15o .sin25o... sin85o. 12. Tính: 96.sin.cos. cos. cos. cos. 13. Tính: 16.sin10o.sin30o.sin50o.sin70o. 14. Tính: sin10o.sin20o.sin30o....sin80o. 15. Tính: cos9o. cos27o. cos45o. cos63o. cos81o. cos99o. cos117o. cos135o. cos153o. cos171o. 16. Tính: A = cos + cos B = cos + cos 17. Chứng minh rằng : a) 4.cosx.cos( - x).cos( + x) = cos3x. b) 4.sinx.sin( - x).sin( + x) = sin3x. c) tgx.tg( - x).tg( + x) = tg3x. Áp dụng tính: A = sin20o.sin40o.sin80o. B = cos10o.cos20o.cos30o....cos80o. C = tg20o.tg40o.tg60o.tg80o. 18. Chứng minh rằng : a) sin6x + cos6x = + cos2x b) tgx = Áp dụng tính: A = sin6() + cos6() B = tg2() + tg2(3.) + tg2(5.) 19. Chứng minh rằng: a) sin4x = b) sin8x + cos8x = Áp dụng tính A = sin8() + cos8() B = sin4() + sin4(3.) + sin4(5.) + sin4(7.) 20. Chứng minh rằng: tg2x + tg2() + tg2() = 9tg còn thiếu 21. Tính: cos() + cos() + cos() 22. Tính cos() + cos() + cos() + cos() 23. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính: tga.tgb. 24. Chứng minh rằng: = DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC. I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. + A + B + C = p + < c < a + b + a2 = b2 + c2 - 2a.b.cosC + + S = Trong đó: p = r: bán kính đường tròn nội tiếp ra: bán kính đường tròn ngoại tiếp góc A. + Định lý hàm tang: . + Các công thức tính bán kính: R = r = (p - a)tg = (p - b)tg = (p - c)tg = = = ra = p.tg = p.tg = p.tg. = = = + Đường trung tuyến : ma2 = mb2 = mc2 = + Đường phân giác: la = lb = la = + Mở rộng định lí hàm sin và cosin: CotgA = CotgB = CotgC = II. CÁC ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC. 1. sinA + sinB + sinC = 4cos. cos. cos. 2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC. 3. sin3A + sin3B + sin3C = -4cos. cos. cos. 4. sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C. 5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin.4sin.4sin. 6. cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC. 7. cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin. sin. sin. 8. cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C. 9. tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC. 10. tg2A +tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C. 11. cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 12. tg. tg + tg. tg + tg. tg = 1 13. cotg + cotg + cotg = cotg .cotg. cotg. 14. cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA.cosB.cosC. 15. cos22A + cos22B + cos22C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C. 16. + + = (a2 + b2 + c2). 17. la = = . 18. r = p.tg. tg. tg = . 19. R = . 20. r = 4R.cos. cos. cos. 21. sin = = 22. cos = . 23. tg = . 24. ( + )lc + ( + )lb + ( + )la = 2(cos + cos + +cos). III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC. 1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau: S = = (a2sin2B + b2sin2A) = = p2.tg. tg.tg = 2R2.sinA.sinB.sinC. 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cotg +(c - a)cotg + (a - b)cotg = 0. c) (b2 - c2)cotgA + (c2 - a2)cotgB + (a2 - b2)cotgC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (a + b)cosC. e) sin = cos. f) cos = sin. g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C). h) cosA + cosB = 2sin2. i) = + + . 3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng: a) 2sinA = sinB + sinC. b) tg. tg = . 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng: a) r = 4R.cos. cos. cos. b) IA.IB.IC = 4Rr2. c) cosA + cosB + cosC = 1 + 5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng đó được xác định theo công thức sau: d = r(tg - tg) 6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. Chứng minh rằng: b2 + c2 = 5a2. 7. Chứng minh rằng: + = + + . 8. Chứng minh rằng các trung tuyến Â' và BB' vuông góc với nhau khi: cotgC = 2(cotgA + cotgB). 9. Cho = ≠ 1 chứng minh rằng : 2cotgA = cotgB + cotgC. 10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi a = . Chứng minh rằng: a) cotga = . b) cotga = cotgC - cotgB. c) cotga = 11. Chứng minh rằng là nghiệm của phương trình: (1 + x2 -2xcosA)(b2 - bc) = a2(1 - x). 12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x2 - 2x +2); (x2 + 2x + 2). Với giá trị nào của x(dương) thì tam giác đó tồn tại. 13. Cho ma = c. Chứng minh rằng: a) bcosC = 3cosB. b) tgB = 3tgC. c) sinA = 2sin(B - C). 14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước. Chứng minh rằng : a) tgB.tgC = 1 + k. b) tgB + tgC = ktgA c) cos(B - C) = ( 1 + )cosA. 15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : cotg cotg = 3. 16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tgA.tgB = 6; =3. Chứng tỏ rằng: tgA, tgB, tgC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng. 17. Tam giác ABC có cotg, cotg, cotg theo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp số cộng. 18. Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng a2, b2, c2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng. 19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tgA = tgB + tgC. Chứng minh rằng : a) tgB.tgC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA. IV - NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN. A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi: 1. atgA + btgB = (a+b)tg 2. 2tgB + tgc = tg2B.tgC. 3. 4. 5. 6. sin 7. (p - b)cotg 8. 9. a2sin2B +b2sin2A=c2cotg 10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0 11. 12. ĐHSP BẮC NINH -B -99 a = 2b.cosC. Chứng minh D ABC cân tại A. B.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : 1. 2. (b2 + c2)sin(C - B) = (C2 - B2)sin(B - C) 3. 4. sin(B - C)= V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG. A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là: 1. cos2a + cos2B + cos2C = -1 2. tg2A + tg2B + tg2C = 0 3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC B. Chứng minh tam giác vuông khi: 1. 2. cotg = 3. 4. 5. cotg2C = 6. 7. 8. sin = 9. cos 10. tg 11. cos(B - C) = 12. S = 13. 14. 1 + cotg(450 - B) = 15. sin4C + 2sin4A + 2sin4B = 2sin2C(sin2A + sin2B) 16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17. (ĐHCĐ - 99) cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0 C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau. 1. sin3A + sin3B + sin3C = 0 2. sin4A + sin4B + sin4C = 0 3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB 4. a3 = b3 + c3 5. c = Ccos2B + Bsin2B 6. (1+cotgA)(1 + cotgB) = 2 7. sin2A + sin2B =5sin2C 8. 9. sin2A + sin2B + sin2C £ 2 10. cos2A + cos2B + cos2C £ 1 11. Chứng minh nếu trong tam giác ABC có: sin = sin.sin thì tg. tg = và ngược lại. 12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a2 = bc + c2 13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD. Chứng minh rằng tgB.tgC = 2. 14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a. Chứng minh rằng: sin.sin = lb. 15. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi I là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Chứng minh rằng: tg = tg 16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng: tgB = 3tgC; sin A = 2sin(B - C) 17. (ĐHBK - 99) Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức. 18. (ĐHSP II - A99) Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn. Chứng minh rằng: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > 2 Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao? VI. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. a. Hàm lồi lõm. + Tính chất hàm lồi: "x, y Î R + tính chất hàm lõm: Ứng dụng 1: Xét hàm số y = sinx có y" = -sinx. Nếu x Î [0, p] Còn thiếu B. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. sinA + sinB +sinC £ 2. 1 < sin + sin + sin £ 3. 1 < cosA + cosB + cosC £ 4. Sin2A + Sin2B + Sin2C ≥ 5. 2 < cos2 + cos2 + cos2 £ 6. £ sin2 + sin2 + sin2 < 1. 7. sin. sin. sin £ 8. sinA.sinB.sinC £ 9. cosA.cosB.cosC £ 10. cos. cos. cos £ 11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥ .sinA.sinB.sinC 12. + + ≥ 6 13. + + ≥ 6 14. £ 15. (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) ≥ 5 + 16. (1 + ).(1 + ).(1 + ).(1 + )(1 + )(1 + ) ≥ 135 + 78 17. tg + tg + tg ≥ 18. tg2 + tg2 + tg2 ≥ 1 19. tgA + tgB + tgC ≥ 3. Với DABC nhọn. 20. tg2A + tg2A + tg2A ≥ 9. Với DABC nhọn. 21. tg. tg. tg ≥ 22. cos3A + cos3A + cos3A £ + (cos3A + cos3B + cos3C). 23. 36r2 £ ab + bc + ca £ 9R2. 24. (a + b + c)(ha + hb + hc) ≥ 18S. 25. ha + hb + hc ≥ 9r ( = + + ) 26. (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) £ abc 27. a2(b + c - a) + b2(a + c - b) + c2(a + b - c) £ 3abc. 28. a(b2 + c2 - a2) + b(a2 + c2 - b2) + c2(a2 + b2 - c2) £ 3abc 29. a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc ≥ a3 + b3 + c3 30. + + £ 6R. 31. + + ≥ 3 32. + + ≥ 33. a4 + b4 + c4 ≥ 16S2. 34. tg + tg + tg + cotg + cotg + cotg ≥ 4 35. a2 + b2 + c2 ≥ 4S 36. a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ 16S2. Chứng minh DABC đều khi thỏa mãn các điều kiện sau: 1. R = 2r 2. S = R2(sin3A + sin3B + sin3C) 3. = 5. 6. 7. A, B, C là nghiệm của phương trình: tgx - tg = 8. 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c 9. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C. 10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0 11. cotg2A + cotg2B + cotg2C = 1 12. = 13. = 3.cotgA.cotgB.cotgC. Với DABC nhọn 14. 15. 3tg2A + tg2B + tg2C = tg2A. tg2B. tg2C 16. + + = 17. cotg + cotg + cotg = tgA + tgB + tgC. 18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cotg + cotg cotg = 9 Chứng minh tam giấc ABC là tam giác đều. 19. (ĐH Dược - 99) Cho tam giác ABC thỏa mãn: (A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều. 20. (HVKTQS - 99) Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là: p + R = (2 + 3).r 21. (ĐH Thủy Lợi - 99) Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA.sinB.sinC + (sinA + cosB + cosC) = Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh. 22. (ĐHNT - 99) Các góc của tam giác ABC thỏa mãn: cotgA + cotgB + cotgC = tg + tg + tg Chứng minh tam giác ABC đều. 23. (HVKKTMM - 99) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện: sinA + sinB + sinC =sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC là tam giác đều. 24. (Sỹ Quan - 99) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: và cosB.cosC = thì tam giác đó là tam giác đều. 25. (ĐHAN - 99) Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. 26. (CĐSP Bắc Ninh - 99) Chứng minh nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều. 27. ĐHSPHN - A - 01 Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn: Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. 28. ĐHSPHN - B - 01 Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thỏa mãn hệ thức: cos2A + (cos2B + cos2C) + = 0 29. ĐHSP VINH - D - 01 Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. 30. ĐHBK - A - 01 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi: 31. ĐH MỎ - 01 Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó đều là nghiệm của phương trình: 32. DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. I. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. 1. Phương trình lượng giác cơ bản. a) sinx = m +) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm. +) Nếu -1 £ m £ 1 đặt m = sina khi đó phương trình đã cho có hai họ nghiệm: .(k, nÎ Z) +) Chú ý: Các trường hợp đặc biệt: m = 0, 1, -1. Các giá trị đặc biệt: m = ±, ±, ±. Sau khi giải phải biết kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác. Không được áp dụng công thức một cách máy móc. Ví dụ giải : sinx = cosx. b) cosx = m +) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm. +) Nếu -1 £ m £ 1 đặt m = cosa khi đó phương trình đã cho có hai họ nghiệm: .(k, n Î Z) +) Chú ý: (giống ý a)) c) tgx = m +) Với " mÎR đặt m = tga khi đó phương trình đã cho có một họ nghiệm: x = a + kp (k Î Z). +) Chú ý: Các giá trị đặc biệt: m = 0, ±, ± Không được áp dụng công thức nghiệm một cách máy móc. d) cotgx = m (như ý c,) 2) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos. a) Dạng: asinx + bcosx = c b) Phương pháp giải: Sử dụng khai triển hàm bậc nhất của sin, cos để đưa phương trình về dạng: Asin(x + j) = c sin(x + j) = . c) Điều kiện có nghiệm: -1 £ £ 1 £ 1 A2 ≥ c2 hay a2 + b2 ≥ c2. 3) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ. a) Phương trình đưa về sin. b) Phương trình đưa về cos. c) Phương trình có thể đưa về tg. +) Phương trình có thể khai triển theo tg góc chia đôi. +) Phương trình đẳng cấp với sin và cos. d) Phương trình đối xứng với sin và cosin. e) Phương trình đối xứng với tg và cotg. ` f) Phương pháp đặt ẩn phụ trong góc. 4) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá. 5) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đại số. II. BÀI TẬP. 1. sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = 1 2. cosx + sinx = 3. sinx + sin2x = 3 + sin3x 4. tgx + cõtg = 1 + 5. 3cotg2x + 2sin2x = (2 + 3)cosx 6. sin2x + 2sinxcosx + 2cos2x = 7. sinxcossx - (sinx + cosx) = -1 8. sin2x(sinx + cosx) = ± 9. sin2x + 4(cosx - sinx) = 4 10. = - 11. sin2x + tgx = 2 12. sin2x + tgx + cos2x = 2 13. + sin2x = sinx + 14. 2(cos2x + ) = 9(cosx - ) + 1 15. + cotg2x + (tgx + cotgx) + 2 = 0 16. sin3(x - ) = sinx 17. sin( + x) = 2sin3( + ) 18. sin2x + sin22x = 1 19. sin2x + sin22x + sin23x = 20. sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 21. cos2x + cos22x = 22. cosx + cos2x + cos3x = 1 23. cos2x + cos22x + cos23x = 1 24. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 25. sinx.cos2x = sin2x.cos3x -sin5x 26. sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 27. sinx.sin2x.sin5x = 1 28. sin4x + (1 - sinx)4 = 29. sin4x + (1 + sinx)4 = 17 30. cos4x + (1 - cosx)4 = 31. sin4x + cos4x -cos2x + sin22x = 2 32. sin3x + cos3x = 1 33. sin3x + cos7x = 1 34. sin3x + cos7x = 35. sin3x +cos3x = 36. sinx.sin2x.sin3x = 37. cosx.cos2x.cos3x = 38. sinx.sin2x.sin3x = sin4x 39. = y2 - 4y +5 40. sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos34x. 41. sin3x.cos3x + cos3x.cos3x = a.(a = -, , ) 42. .cosx + sinx = m.(m = 1, 2) 43. cosx + 2cos2x = + cos3x. 44. 2tg2x + cos2x = (1 + 2)sinx. 45. 3sin2x + cosx = - cos3x. 46. = 0. 47. 4cos2x + sinx.cosx + 3sin2x = 3. 48. sin2x - 4 sinx.cosx + 5cos2x = 5. 49. (1- 50. sin2x(sinx - cosx) = m.(m = ±) 51. = . 52. cotgx - 2sinx = 1. 53. sinx + cotg = 2. 54. cos2x + tg2x = 1. 55. 9cos2x + = - 2(3cosx - ) + 15. 56. sin2x + = - (sinx + - 2. 57. 3tg2x + + m(tgx + cotgx) = 1.(m = 4) 58. sin3(x - ) = 2sinx. 59. sin(2x - ) + sin( - 8x) + cos6x = 1. 60. sin2x + sin22x = .(a = 1, 3) 61. sin2x + sin22x + sin23x = 2. 62. sin2x + sin22x + sin23x +sin24x = . 63. cos2x + cos22x = a (a = 0, 1, 2) 64. cos2x + cos22x + cos23x = a (a = , 3) 65. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 66. 2.sin3x + cos22x = sinx 67. sin(x + ) = sin3x + cos3x 68. tgx - sinx = 1 - tgx.sinx 69. 2sin3x = cosx? 70. 6tg2x - 2cos2x = cos2x 71. sin3x + cos7x = 1 72. cosx.cos2x.cos3x = 73. cosx.cos2x.cos3x = sin4x 74. cos2x + cosx.cosy + cos2y = 0 75. 2.(sinx +cosx)cosy = 3 +cos2y 76. sin2x + sin23x = sinx.sin3x 77. sin24x +cos2x = 2sin4x.cos4x 78. cos23x + cos2x = cos3x.cos4x 79. 2cos3x + cos2x + sin2x = 0 80. cos3x + sin3x = sinx - cosx 81. 2cos3x = sin3x 82. sin22x - cos28x = sin. 83. tg2x = 84. = -sin3x 85. cosx = cos2 86. cos2x = 2 - cos 87. cos - sin = 2sin - 2sin 88. (ĐHQG-D 99): + = 2 89. (ĐHQG -A 99): 8cos3 = cos3x 90. (ĐHTN -A 99): cotg2x - tg2x = 91. (ĐHSPII - B 99): 1 - = cosx 92. (KTQD -99): sin2x + sin23x = cos22x + cos24x 93. (ĐHTDTT-99): cos2x - 3cosx - 2 = 0 94. (ĐH MỞ -99): sin3x = 3sin - 2sin2x 95. (ĐH DƯỢC -99): sin24x - cos26x = sin(10,5 + 10x) 96. (ĐHTCKT -99): = 97. (ĐHCĐ -99): 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 98. (HVKTQS -99): ) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 99. (ĐHY - HN -99): ) sinx - 4sin3x + cosx = 0 100.(HVBCVT -99): sin 101.(ĐHGTVT-99): sin4x + cos4x = 102. (HVNH - 99): cos3x + cos2x + 2sinx - 2 = 0. 103. (CĐGTVT - 99): sin2x(sinx + cosx) = 2. 104. (ĐHTL - 99): tg2x + sin2x =cotgx. 105. (ĐHTS - 99): (sinx +cosx)3 - 4sinx = 0. 106. (ĐHKT - 99): 3tg3x - tgx + - 8cos2  = 0. 107. (ĐHNT - A - 99): sin3x.cos3x + sin3x.cos3x = sin34x. 108. (ĐHNN - B - 99): cos6x + sin6x = cos22x + . 109. (ĐHNN - A - 99): 2sin3x - cos2x + cosx = 0. 110. (ĐH LUẬT - HN - 99): 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx - 1). 111. (HVKTMM - 99): sin8x + cos8x =. 112. (ĐH MỎ - 99): tgx.sin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx). 113. (ĐHAN - 99): cotg= tg+ 2tg. 114. (ĐHQG B - 99): sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x). 115. ĐHQGHN - A - 01: 2sin2x-cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 116. ĐHQGHN - D - 01: sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x) 117. ĐHSP - D - 01: tgx + 2c0tg2x = sin2x. 118. ĐHNN - 01: cos3x.cos3x - sin3x.sin3x = cos34x + 119. ĐHBK - A - 01: sin2x + 2tgx = 3. 120. ĐH Mỏ - 01: 121. ĐHTL - 01: 122. ĐHNNI - B: sin2x - cos2x = 3sinx +cosx - 2 123. ĐH Dược - 01: 124. ĐHKTẾ - 01: 125. ĐHTCKT - 01: 126. ĐHTM - 01: 127. ĐHCĐ - 01: 128. ĐH HÀNG HẢI - 01: 129. ĐHAN - D - 01: sin2x = 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx 130. HVKTQS - 01: 131. HV QUÂN Y - 01: 3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx 132. ĐH Y TB - 01: 133. HVNH - TPHCM - 01: 134. ĐHAN - A - 01 1) Giải phương trình: 2cosx 2) Tính giá trị biểu thức: P = 135. ĐHQGHN - A - 01 Chứng minh rằng : 136. TSĐH - B - 2002 137. TSĐH - A - 2002. Tìm nghiệm thuộc (0, 2p) của phương trình: 138. TSĐH - A - 2003 139. TSĐH - B - 2003 cotgx - tgx + 4sin2x = 140. TSĐH - B - 2004 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg2x. 141. TSĐH - A - 2005 DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. I - CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. 1) Dạng cơ bản: a) sinx < m(1) Nếu m > 1 bất phương trình nhận mọi x là nghiệm. nếu m £ -1 bất phương trình vô nghiệm. Nếu -1 < m £ 1 đặt m = sina ( - < a £ ) nghiệm (1) là: b) sinx > m Nếu m < -1 nghiệm là mọi x nếu m ≥ 1 bất phương trình vô nghiệm. Nếu -1 £ m < 1 đặt đặt m = sina ( - < a £ ) nghiệm (1) là: c) cosx m, cosx £ m, cosx ≥m. d) tgx m, tgx ≥ m e) cotgx m, cotgx ≥ m 2) Phương pháp đặt ẩn phụ. Như phương trình lượng giác. II - BÀI TẬP LUYỆN. Giải bất phương trình : 1) sin2x > 2) tg < tgx. 3) sin3x > . 4) sinx. . 5) sin6x + cos6x . 6) . 7) tg2x 3. 8) 9) > -2. 10) < 2. 11) sin2x . 12) > 2 13) cos2x < 14) sinx £ 15) >0 16) <0 17) tgx + cotgx ≥ 18) > 1 + 2cosx 19) > 1 20) 4cos12x + 8cos6x + sinx ≥ -7 21) cos2x.sinx > - 22) sin4x + cos4x ≥ 23) sin3x.sin3x - cos3x.cos3x < - 24) sin6x + cos6x £ 25) sin6x + cos6x £ 26) cos2x + cos22x + cos23x £ 1 27) 2cos2x + sin2x.cosx + sĩncos2x > 2(sĩn + cosx) 28) 4(sin4x +cos4x) > 2sĩn.cosx + 3 29) sin3x > 1 30) sinx > sin3x; cos2x < 31) £ 0 32) 33) sinx + cosx > 1 34) sin2x.sin3x -cos2x.cos3x > sin10x 35) sinx + cosx > cos 36) sinx > 4 37) 3cos2.sinx - sin3x £ 38) 2 + tgx +cotgx < 0 39) tgx + cotgx < tg 40) 41) 42) < 4tgx DẠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI. II - BÀI TẬP LUYỆN. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Với - < x, y < 18. 19. Với - < x, y < 20. Với - < x, y < HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT. A - CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT. I. HÀM MŨ 1) Định nghĩa: 2) Tính chất: 3) Đồ thị: II. HÀM NGƯỢC 1) Định nghĩa: 2) Điều kiện đủ để hàm số có hàm ngược: 3) Đồ thị hai hàm số bgược nhau: III. HÀM LOGARIT 1) Định nghĩa: 2) Tính chất: 3) Bảng biến thiên và đồ thị: 4) Các định lí về logarit: B - BÀI TẬP. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ. I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 1) Phương trình mũ cơ bản: + Dạng: af(x) = ag(x) Với (a > 0, a ≠ 1) Û f(x) = g(x) + Dạng: f(x)g(x) = f(x)h(x) Û f(x) = 1 2) Phương pháp logarit hóa: 3) Phương pháp đặt ẩn phụ: Nguyên tắc của phương pháp đặt ẩn phụ đối với các loại phương trình và bất phương trình là như nhau. Song tùy theo đặc thù của từng loại phương trình mà ta có những đặc trưng riêng, đối với những phương trình mũ thường có các loại sau: +) Đặt ax = t Þ Được phương trình đối với biến t. +) Tích không đổi ( hay cho dưới dạng tích cơ số bằng 1). +) Đẳng cấp. 4) Phương pháp đánh giá: a) Phương pháp chung Giả sử phải giải phương trình: f(x) = g(x) (1)mà ta đánh giá được: Thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi: b) Đánh gia theo đồ thị: Giả sử phải giải phương trình: f(x) = g(x).(1) Mà ta đánh giá được: f(x) là hàm đồng biến còn g(x) là hàm nghịch biến. Thì (1) có nghiệm duy nhất ( vì đồ thị hàm đồng biến chỉ cắt đồ thị hàm nghịch biến tại 1 điểm). Thường ta sẽ nhẩm được nghiệm duy nhất này dưới dạng nghiệm nguyên. 5) Phương pháp đại số: II - BÀI TẬP LUYỆN: 1. 4x + 2x - 6 = 0 2. 5= 3 - x 3. 3x + 4x = 5x 4. 2.3x = 1,5. 5. 5= 500 6. xx + 3 = 1 7. = 1 8. 51 + x + 51 - x = 24 9. 2x + 3 = 5x 10. (x2 - x + 1)= 1 11. 4x + 6x = 9x 12. 2x + 3 = 1 13. 2= 3 14. 4x + 4-x + 2x + 2-x = 10 15. 2= + p 16. 4x = 2.14x + 3.49x 17. 3.25 + (3x - 10)5+ 3 - x = 0 18. 9x + 2(x - 3).3x