Tài liệu ôn tập Hình học 9

Bài 1, Cho tam gíc ABC góc A vuông. AH vuông góc voi BC. BH=9, HC=16. MN là hình chiếu của H trên AB , AC a, tính MN b, Cm AM.AB=AN.AC c, tính diện tích AMHN Bài2 cho hìng thang ABCD. đường chéo AC và DB vuông góc với nhau . vẽ đường cao BH và hình bình hàng ABEC. Biết DB=12cm, DH=7,2cm .Tính a, DE=? B, diện tích ABCD C, tính góc BDE, BAC, Bài 3 Cho (O;r) , điểm A cách O một khoảng bằng 2r. từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O). đường thẳngvuông góc vớia OB tại O cắt AC tại N. đường thẳng vuông góc với OC cắt AB tại M A, AMON là hìng gì? B, Cm MN là tiếp tuyến của(O) C, tính diện tíc của AMDN Bài 4 Cho (O) đường kính AB=2r . điểm C thuộc đường tròn (O) và khác A, B. trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C kẻ tia Ax tiếp xúc với (O).tia phân giác của góc Abx cắt nửa (O) tại điểm thứ 2 là M. tia BC cắt Ax tại Q, tia AM cắt BC tại N a, Cm tam giác BAN và MCNcân b, khi MB=MQ, tính BC theo r c, khi C là điểm chính giữa của (O), kẻ đường kính CD và M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ ã. Xác định M để P=MA.MB.MC.MD đạt giá trị nhỏ nhất Bài 5 Cho hai đường trìn(O) và (O’)tiếp xúc ngoài tại A. đường nối tâm OO cắt (O) tại B, cắt (O’) tại C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D thuộc (O), E thuộc (O’)). Gọi M là giao điểm của hai đường thẳngBD và CE. Chứng minh A, góc EMD= 900 B, MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn C, MB.MD=ME.MC Bài 6 Cho đường tròn (O) và (O’) giao nhau ở AB và B. một cát tuyến qua A vắt đường tròn (O) tại C, cắt đường tròn tâm (O’) tại D. kẻ OM vuông góc với CD, O’N vuông gcó với CD A, Cm CD=2MN B, gọi I là trung điểm của MN. Cm đường thẳng kẻ qua vuông góc với CD luôn luôn đi qua một điểm cố định khi cát tuyến CAD thay đổi C, qua A kẻ cát tuyến song song vói OO’ cắt các (O)và (O’) tại P và Q. So sánh CD và PQ Bài 7 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2r và điểm M trên nửa (O). vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với đường kính AB tại H. Qua Avà B vẽ hai tiép tuyến AC và BD với (M) trong đó C,D là các tiếp điểm A, Cm C,M,D cùng nằm trên tiếp tuyến của(O) tại M B, Cm AC+BD không đổi, tính tích AC.BD theo DC C, Giả sử CD vắt AB ỏ K. chứng minh OB2=OH.OK Bài 8 Cho 3 điểm A,B,C theo thứ tự trên một đường thẳng và AB=4BC. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC vẽ (O) đường kính AB và (O’) đường kính BC. Tiếp tuyến chung của hai đường trong (F thuộc (O), G thuộc (O’)), cắt các tiếp tuyến vẽ từ A và C của hai nửa đường tròn đó ở D và E. tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn ở B cắt DE ở I A, Cm tam giác OIO’, OID, O’IE là các tam giác vuông B, dặt O’C=a tính BI, Egvà AD theoa C, tính diện tích ADEC theo a Bài 9: Cho (O) đường kính AB= 2r và một điểm C thuộc đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ tiếp tuyến Ax. Gọi M là điểm chính giữa cung AC, P là giao điểm của AC và BM. Tia BC cắt AM, Ax tại N, Q a, c/m ABM cân b, Tứ giác APNQ là hình gì? c, K là điểm chính giữacủa AB không chứa C. có thể xảy ra Q, M, K thẳng hàng không? d, Xác định P để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với (o) Bài 10: Cho (O,r) A nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) ( B, C là các tiếp điểm). M là trung điểm cuae AB a, c/m A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó b, Gọi G là trọng tâm của tam giác ACM. C/m MG//BC c, C/m IGCM Bài11: Cho (O1;r1) và (O2;r2) tiếp xúc ngoài tại A. kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (B(O1), C(O2). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại I. a, c/m tam giác ABC và IO1O2 là tam giác vuông và BC=2 b,gọi R là bán kính (O) tiếp xúc với đoạn BC và tiếp xúc ngoài của đường tròn tâm O1. C/m c, giả sử (O;R) cố định và (O1;r1) , (O2;r2) thay đổi. Tìm GTNN của P= r1.r2 theo R cho trước Bài 12: Cho (O;r) điểm I khác đường tròn (O) cố định trong (O;r). hai dây AC, BD thay đổi nhưng vần vuông góc với nhau tại I a, C/m 4 điểm là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD ,AD cùng nằm trên 1 đường tròn b, tính bàn kính cua đường tròn(ở câu a) theo r và OI c, xác định vị trí của các dây cung AC, BD sao cho AC+BD lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo r và OI Bài 13: Cho (O;r) và 2 đường kính AB, CD bất kì. tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC, CD lần lượt tại E, F. gọi P,Q là trung điểm của AE và à a, CM góc BCD = góc BFE b, Cm CE.DF.EF=CD3 và BE3/BF3=CE/DF c, Cm trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của OA d, hai đường kính AB và CD có vị trí như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất ? tính diện tích nhỏ nhất đó theo r Bài 14: Cho (O;r) đường kính AB=2r, dây cung MN của (O) vuông góc tại I sao cho AI<AB. Trên MI lấy E (E khác M, E khác I). tia AE cắt (O) tại điểm thứ 2 là k a, Cm E, I, B, K cùng nằm trên một đường tròn b, Cm AE.AK.AB=4r2 c, xác định I sao cho chu vi tam giác MOI lớn nhất Bài 15 Cho nửa đuờng tròn (O) đường kính AB, M di động trên nửa đường tròn. Tia BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại D A, Cm =DM.DB B, I là trung điểm của AD Cm MI là tiếp tuyến (O) đường kính AB C,trên AM lấy C sao cho AC = BM .khi M di chuyển trên nửa đường tròn đuorngf kính AB thì C di động trên đường nào? Bài 16 Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. vẽ đườngtròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B. vẽ đường tròn tâm (O’) đi qua A tiếp xúc với BC tại C. gọi M là trung điểm của BC A, Cm (O) và (O’) tiếp xúc nhau B, AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) C, gọi I là giao điểm của AB, OM, K là giao điểm của Acvà MO” Cm IK//BC Bài 17 Cho AB tên nửa mặt phẳng AB vẽ Ax//By. Một đường tròn (M) tiếp xúc với AB ở C , Ax ở D, By ở E A, cm AD+BE không phụ thuộc vào Ax và By B, Cm M,D,E thẳng hàng C, xác định vị trí của DE với đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Bài 18 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . I nằm giữa A và B . C thuộc nửa (O) đường thẳng đi qua C vuông góc với IC cắt tiếp tuyến của nửa (O) tại A và B là M,N A, Cm tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBM B, Cm tam giác ABC đồng dạng với tam giác INC C, Cm góc MIN=900 Bài 19 Cho (O;r) và đường thẳng xy sao cho khoảng cách OH tới xy là h (h>r). trên đường thẳng lấy A bất kì. từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O) dây BC cắt OA tại K cắt OH tại I A, Cm tam giác AOH đồng dạng với tam giác IOK B, Cm A di động trên xy thì BC luôn đi qua một điểm cố định Bài20 Cho (O;r) đường kính AC . trên OC lấy B và vẽ (O’) đường kính BC. M là trung điểm của AB, qua M kẻ dây cung vuông góc với AB cắt (O) tại D và E.nối CD cắt (O’) tại I A, DAEB là hình gì? B, Cm MI là tiếp tuyến của (O’) C, H là hình chiếu của I trên BC. Cm CH.MB=BH.MC Bài21 Cho (O;r)dây CD có HC=HD .trên tia đối của tia DC lấy S . qua S kẻ tiếp tuyến SA và SB với (O) . đường thẩnAB cắt SO.OH tại E và F A, Cm OE.OS=r2; S,E,H,F cùng nằm trên một đường thẳng B,biết r=10 ; OH=6; SD=4 tính CD và SA c, Cm S di đọng trên tia đối của DC thì AB luôn đi qua 1 điểm cố định bài 22 cho (O) đường kính DD’. Gọi B là điểm nằm ngoài (O) sao cho D’ là trung điểm của OB. Từ B vẽ 2 tiếp tuyến AB , BC với (O) a, Cm ABCD là hình thoi ; tính diện tích ABCD theo DD’ b, M bất kì trên AB. Các đường thẳng DM và BC cắt nhau tại N. Cm AB2=MA.CN c, E là giao của CM và AN Cm góc CEA bằng góc ABC Bài 23 Cho nửa đuờng tròn (O) đường kính AB, M di động trên nửa đường tròn. Tia BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại D A, Cm =DM.DB B, I là trung điểm của AD Cm MI là tiếp tuyến (O) đường kính AB C,trên AM lấy C sao cho AC = BM .khi M di chuyển trên nửa đường tròn đuorngf kính AB thì C di động trên đường nào? Bài24 Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. vẽ đườngtròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B. vẽ đường tròn tâm (O’) đi qua A tiếp xúc với BC tại C. gọi M là trung điểm của BC A, Cm (O) và (O’) tiếp xúc nhau B, AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) C, gọi I là giao điểm của AB, OM, K là giao điểm của Acvà MO” Cm IK//BC Bài25 Cho AB tên nửa mặt phẳng AB vẽ Ax//By. Một đường tròn (M) tiếp xúc với AB ở C , Ax ở D, By ở E A, cm AD+BE không phụ thuộc vào Ax và By B, Cm M,D,E thẳng hàng C, xác định vị trí của DE với đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Bài 26 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . I nằm giữa A và B . C thuộc nửa (O) đường thẳng đi qua C vuông góc với IC cắt tiếp tuyến của nửa (O) tại A và B là M,N A, Cm tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBM B, Cm tam giác ABC đồng dạng với tam giác INC C, Cm góc MIN=900 Bài 27 Cho (O;r) và đường thẳng xy sao cho khoảng cách OH tới xy là h (h>r). trên đường thẳng lấy A bất kì. từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O) dây BC cắt OA tại K cắt OH tại I A, Cm tam giác AOH đồng dạng với tam giác IOK B, Cm A di động trên xy thì BC luôn đi qua một điểm cố định Bài 28 Cho (O;r) đường kính AC . trên OC lấy B và vẽ (O’) đường kính BC. M là trung điểm của AB, qua M kẻ dây cung vuông góc với AB cắt (O) tại D và E.nối CD cắt (O’) tại I A, DAEB là hình gì? B, Cm MI là tiếp tuyến của (O’) C, H là hình chiếu của I trên BC. Cm CH.MB=BH.MC Bài 29 Cho (O;r)dây CD có HC=HD .trên tia đối của tia DC lấy S . qua S kẻ tiếp tuyến SA và SB với (O) . đường thẩnAB cắt SO.OH tại E và F A, Cm OE.OS=r2; S,E,H,F cùng nằm trên một đường thẳng B,biết r=10 ; OH=6; SD=4 tính CD và SA c, Cm S di đọng trên tia đối của DC thì AB luôn đi qua 1 điểm cố định bài 30 cho (O) đường kính DD’. Gọi B là điểm nằm ngoài (O) sao cho D’ là trung điểm của OB. Từ B vẽ 2 tiếp tuyến AB , BC với (O) a, Cm ABCD là hình thoi ; tính diện tích ABCD theo DD’ b, M bất kì trên AB. Các đường thẳng DM và BC cắt nhau tại N. Cm AB2=MA.CN c, E là giao của CM và AN Cm góc CEA bằng góc ABC Vị Trí tương đối của đường thẳng _ đường tròn Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R ,cát tuyến AMN .Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC .C/m : AC2 = AM . AN = AO2 – R2 Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = AC cà các đường cao AD ,BE ,trực tâm H .Vẽ đường tròn (O) đường kính AH cắt AB tại F . a) C/mr: C,H,F thẳng hàng b) C/m : DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB ,điểm M chạy trên cung AB , vẽ tiếp rtuyến xMy . Hạ AC,BD vuông góc với xy . C/m: (M, MC) tiếp xúc với một đường cố định . Tìm vị trí của điểm M để CD lớn nhất Bài 4: Cho (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn (O) .Kẻ tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O) .Biết BAC = 600 . Gọi M là điểm thay đổi trên cung nhỏ BC .Tiếp tuyến tại M cắt AB,AC tại E,F . C/m: Chu vi tam giác AEF không đổi ; Tính chu vi của tam giác này theo R C/m: góc EOF không đổi Tìm Min của EF Bài 5: Cho (O;R) và một đường thẳng d không qua O cắt đường tròn O tại E,F , điểm A thay đổi trên đường thẳng d sao cho qua A luôn vẽ được hai tiếp tytến AC,AB với đường tròn (O) . C/m: Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên một đường cố định ; xác định đường có định này . C/mr tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trên một đường cố định Tìm vị trí của điểm A trên đường thẳng d để AM + AN nhỏ nhất ; lớn nhất Tìm vị trí của điểm A trên d để tam giác ABC đều Tìm vị trí của điểm A trên d để tứ giác ABOC là hình vuông . Gọi H là trực tâm của tam giác ÂBC .Tính AH theo R Bài 6: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (O;R) .Các tiếp điểm trên cạnh AB;BC;CA là M,K,Q. Gọi E,F là trung điểm của AB,BC ;AD là phân giác của tam giác ABC . C/m : 2AM = AB + AC – BC Cho EF cắt AD tại I .C/m: 2EI = C/m: Ba điểm K,I,Qthẳng hàng Bài 7: Cho đường tròn tâm(O;R) và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm E,F .Điểm A thay đổi trên đường thẳng d sao cho vẽ được hai tiếp tuyến AB,AC. Kẻ Bx vuông góc với AC cắt AO tại H . Chứng minh H thuộc một đường thẳng cố định . Bài 8: Cho đường tròn tâm O tiếp tuyến AB,AC ,gọi I;J là trung điểm của AB,AC. Lấy M thuộc đường thẳng IJ sao cho kẻ được tiếp tuyến MK với đường tròn (O) .C/m : MK = MA Bài 9:Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB ,các tiếp tuyến Ax ;By . M chạy trên nửa đường tròn . Vẽ tiếp tuyến x’My’ cắt Ax ,By tại C,D , AM cắt CO tại F ; BM cắt DO tại E . C/m: OEMF là hình chữ nhật C/m: góc COD không đổi Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với một đường thẳng cố định C/m: bốn điểm C,D,E,F cùng nằm trên một đường tròn .Tìm GTNN của bán kính đường tròn này . Bài 10: Cho góc xOy nhọn ,A thuộc miền trong góc xOy .Dựng đường tròn (O) đi qua A tiếp xúc với Ox;Oy . Bài 11: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B phân biệt cùng một phía đối với d .Dựng M thuộc đường thẳng d để góc AMB lớn nhất . Vị trí tương đối của hai đường tròn Bài 1: Cho (O;R) tiếp xúc ngoài (O’; R’) tại A . tiếp tuyến trung ngoài BC ( B (O) ;C(O’) ) . Vẽ đường kính BOD , CO’E . a)C/m: BAC=900 b) Tính BC , BA theo R;R’ c) C/m :Ba điểm D,A,C thẳng hàng d) Vẽ hai cát tuyến MAK ; QAP vuông góc với nhau . M;Q(O) , K;P (O’) . C/m MQ // KP e) C/m: MK2 + QP2 không phụ thuộc vào vị trí hai cát tuyến Bài 2: Cho đường tròn tâm (O:R) tiếp xúc ngoài đường tròn (O’;R’) tại A Biết cát tuyến MAK thay đổi .C/m tập hợp điểm M là trung điểm của MK nằm trên một đường cố định ( M (O) ; K(O’) ) . Vẽ tam giác đều MQP ,nội tiếp đường tròn tâmO ;QA ,PA cắt đường tròn (O’) tại E,F . C/m tam giác KEF đều . Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và đường tròn (O’;R’) tiếp xúc ngoài nhau tại A ,cát tuyến BAC , B(O) ; C(O’) thay đổi . Trình bày cách vẽ đường tròn tâm (I) đi qua B tiếp xúc với (O’) tại C . C/m tứ giác BOO’I và O’OB không đổi .(trong đó đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại B.D) . Bài 4: Cho đường (O;R) và đường tròn (O’,R’) tiếp xúc ngoài nhau tại A ( R>R’) .Vẽ xá đường kính AOC, AO’B, vẽ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại điểm H . Tứ giác ADCE là hình gì ? tại sao ? BD cắt đường tròn (O’) tại G .C/m A , E,G thẳng hàng C/m: HG là tiếp tuyến của đường tròn(O’) Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A .Vẽ đường tròn (O) đường kính AB ;(O’) đường kính AC cắt nhau tại H và A . Vẽ cát tuyến MAK thay đổi M (O) , K(O’) .Gọi I là trung điểm của MK . a) C/m : B,H,C thẳng hàng . b) C/m: I thuộc một cung tròn cố định ;xác định cung tròn này . c) Tìm Mã của MK d) C/m: BM + MK + KC (AB + AC) Bài 6: Cho đường tròn (O) ở ngoài đường tròn (O’) các tiếp tuyến chung AE, BC .A,B (O) , E,C(O’) . a) C/m: AE = BC b) Tứ giác ABCE là hình gì? tại sao c) Cho AC cắt đường tròn (O) và (O’) tại G và H .C/m: AG = CH . Bài 7: Cho đường tròn (O;R) và (O;R’) ngoài nhau ,các tiếp tuyến chung ngoài AA’, DD’ và chung trong BB’, CC’ cắt AA’ tại K,M . C/m: O, K, M, O’ nằm trên một đường tròn . Xác định tâm và đường kính C/m: KM = CC’ C/m: AB A’B’ d) C/m: AB’ , AB , OO’ đồng quy Bài 8:Cho đường tròn(O;6cm) và (O’;2cm) tiếp xúc trong tại C . AB là đường kính của đường tròn (O) và tiếp xúc với đường tròn (O’)tại H ( AC < BC) .AC, BC cắt đường tròn (O’) tại D,E . a) C/m: D,E ,O’ thẳng hàng b) c/m: DE // AB c) C/m: góc HCB không phụ thuộc vào vị trí AB d) C/m: AG là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC ( CH cắt đường tròn (O’) tại G ) e) Trình bày cách dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C .và đường kính AB cho trước . Bài 9: Cho đường tròn (O) đường kính BC ,A thay đổi trên đường tròn (O) .Hạ AH BC .Vẽ đường tròn tâm (I) đường kính AH cắt đường tròn (O) tại A,M . AB và AC cắt đường tròn (I) tại D,E . a) C/m:D, I , E thẳng hàng b) C/m: AO DE c) C/m: B,D, E, C nằm trên một đường tròn tâm (J) .Tìm Max của bán kính này . d) C/m: J luôn thuộc vào một đoạn thẳng cố định . e) Nếu AB < AC thì AM, DE , BCđồng quy tại một điểm Cung _ dây _ Góc nội tiếp Bài 1: Cho tam giác ABC các đường cao AD,BE ,CF .Trực tâm H .C/m H là trực tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF . Bài 2: Cho đường tròn (O;R) ngoại tiếp tam giác đều ABC .Điểm M thuộc cung nhỏ BC . C/m: góc BMC không đổi C/m: MA = MB + MC Gọi I là giao điểm của AM và BC .C/m: C/m: MA2 + MB2 + MC2 = 2AB2 Bài 3: Cho đường tròn (O;R) và dây BC = R.Đường kính EF vuông góc với BC tại H . ( E thuộc cung lớn BC; A thuộc cung nhỏ CE ) .AE và AF cắt BC tại K,I. Tính góc BOC và các cạnh của tam giác BEC C/m: Lấy M thuộc tia đối của tia AB sao cho AM = AC .Chứng minh góc BMC không đổi và E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC. C/m: và là những số không đổi Lập một hệ thức liên hệ giữa AB, AC và AI . Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB bán kính R . C thuộc cung AB ,lấy H, I thuộc thuộc cung AC , BC . Hạ HE ; HF vuông góc với OA, OB ; IK ,IG vuông góc với BO, OC .C/m: EF = KG Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB có tâm O , K là trung điểm của cung AB .M chạy trên cung KB dây BE // KM . BM cắt AE tại F ; BE cắt AM tại Q . a) C/m: FQ AB b) C/m: AFB không đổi c) C/m: EM không đổi d) Biết rằng đường tròn (O;R’) không cắt mọi vị trí của EM khi M thay đổi .Xác định R’ theo R . e) Hạ MH vuông góc với BK . Tìm vị trí của M để BH = 2MH , Tính MH theo R trong trường hợp này . f) Vẽ đường tròn đường kính EM cắt FA , FB tại B và J .C/mr : Tứ giác OPFJ là hình bình hành . Góc tiếp tuyến một dây _ Góc nội tiếp Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) ,đường kính AB = 2R , tiếp tuyến Ax , By .K là trung điểm của OB , M chạy trên cung AB .Đường thẳng d vuông góc với KM tại M cắt Ax , By tại E , F. a) C/m: EKF = 900 b) C/m: AE.AF không đổi c) Tìm Min SEKF Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , I thay đổi trên BC . Vẽ đường tròn (O1) qua I tiếp xúc với AB tại B và đường tròn (O2) đi qua I, tiếp xúc với AC tại C.Gọi E là giao điểm thứ hai của (O1) và(O2) . a) C/m: BEC không đổi b) C/m: EI luôn đi qua một điểm cố định Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB . Điểm C thay đổi trên cung AB sao cho tiếp tuyến tại C cắt AB tại M . Đường phân giác của góc CMA cắt OC tại I . Vẽ đường tròn tâm (I;IC) . a) C/m : (I) tiếp xúc với AB tại H b) C/m: Góc AHC không đổi c) C/m: CH đi qua một điểm cố định Bài 4: Cho đường tròn (O;R) dây AB ( số đo cung AB bằng 1200) .Đường kính MK vuông góc với dây AB ( M thuộc cung nhỏ AB) .I chạy trên cung AKB , MI cắt AB tại C . C/m: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O1;R1) ngoại tiếp tam giác AIC C/m: MB là tiếp tuyến của đường tròn (O2;R2) ngoại tiếp tam giác BIC C/m : O1 ; O2 nằm trên một đường thẳng cố định C/m: R1 + R2 không đổi Bài 5: Hình thang ABCD (AB // CD) ,AC cắt BD tại O .C/m: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO và COD cắt nhau Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R . C là trung điểm của cung AB . M chạy trên cung BC . Hạ CH vuông góc AM , CH cắt BD tại K với dây BD // CM . tứ giác CKBM là hình gì? vì sao ? C/m : OH là phân giác của góc COM Tìm vị trí của M để B,H, D thẳng hàng OH cắt DM tại Q .Tìm tập hợp điểm Q . Bốn góc nội tiếp Bài 1: Cho tứ giác ABCD . Hạ CH ;CI ; CK vuông góc với AB ; BD ; AD .C/m: Tứ giác ABCD nội tiếp được khi và chỉ khi H,I,K thẳng hàng . Bài 2: Cho Tam giác ABC ngoại tiếp (I;R) . Tiếp điểm trên AB ,AC tại D,E .BI và CI cắt DE tại M,K . C/m: B.M,K,C thuộc một đường tròn . Bài 3: Cho đường tròn (O) và AB,AC là hai tiếp tuyến . AO cắt BC tại H .Vẽ dây EHF . a) C/m: Tứ giác AEOF nội tiếp b) C/m: BAE = CAF Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn không cân ,đường cao AD ,BE ,CF cắt nhau tại H .Vẽ ( O; ) và tiếp tuyến AI , IH cắt đường tròn (O) tại K ( khác I) C/m: AI2 = AF .AB = AH . AD C/m: Năm điểm A,I,D,O,K thuộc một đường tròn C/m: AK là tiếp tuyến của đường tròn (O) Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn , M thuộc cung nhỏ BC . E ,F là các điểm đối xứng với M qua AB và AC . H là trực tâm của tam giác ABC . C/m: Tứ giác AHBE ; AHCF nội tiếp được trong đường tròn C/m : Ba điểm E,H,F thẳng hàng Tìm vị trí của M để EF Max , Min . Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây EF vuông góc với AB tại O ( H thuộc đoạn OB ; I thuộc đoạn EF) . Đường thẳng m qua I cắt AE ;AF tại K,G .C/m : BI vuông góc KG khi và chỉ khi EK = GF khi và chỉ khi IK = IG. Bài 7: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O;R) .Các tiếp điểm của AB,AC với đường tròn (O) là I;K .Lấy M thuộc cung nhỏ IK . Hạ MH ; MQ ;MP vuông góc với AI ; AK ; KI . a) C/m: MP2 = MH.MQ b) MK cắt PQ tại E ; MI cắt HP tại F .C/m: EF // IK c) Cho tam giác ABC đều và MP cắt BC tại G .C/m: Bài 8:Cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi K là trung điểm của BC . M chạy trên đoạn AC . Hạ MI ; MP ; IH vuông góc với AB,AC ,KP . a) C/m: AHB = 900 b) C/m: HI đi qua một điểm cố định Bài 9*: Cho hai đường tròn tâm O và O’ ở ngoài nhau .Kẻ các tiếp tuýen chung ngoài AB và A’B’ , các tiếp tuyến chung trong CD và EF ( A,A’,C,E thuộc đường tròn O; B,B’,D,F thuộc đường O’) .Gọi M là giao điểm của AB và EF , N là giao điểm của A’B’ và CD , H là giao điểm của MN và OO’ .C/mr: a) MN vuông góc với OO’ b) Năm điểm O’, B,M,H,F cùng thuộc một đường tròn c) Năm điểm O,A,M,E,H thuộc cùng một đường tròn d) Ba điểm H,D,B và A,H ,C thẳng hàng . Đường tròn nội tiếp _ Đường tròn bàng tiếp Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I;r) . Gọi M,P,N là các tiếp điểm của đường tròn (I) với AB; AC ; BC . C/m: 2AM = AB + AC – BC r = AM . = Nếu thì r = AM = trong đó BC = a ; AC = b ; AB = c . C/m: BIC = 900 + BI và CI cắt MP tại E,F khi và chỉ khi BF và CE vuông góc với MP . Bài 2: Cho tứ giác ABCD .C/m: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (I) khi và chỉ khi phân giác góc A,B,C,D đồng quy tại một điểm Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) khi và chỉ khi AB + CD = AD + BC Bài 3:Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O;r) , tiếp tuyến EF //BC; GH // AB ; KI // AC .Thì M, O,Q thẳng hàng Gọi P1 ; P2 ;P3 ;P lần lượt là chu vi của các tam giác AEF , BIK , CHG ,ABC và R1 ;R2 ; R3 ; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác .S1 ;S2 ; S3 ; S là diện tích của 4 tam giác noi trên .Thì : P1 + P2 + P3= P R1 + R2 + R3 + R S1 + S2 + S3 Hạ AH1 ;KH2 ; GH3 ; AH4 EF; BI ; HC ; BC .Thì: AH1 + KH2 + GH3 = AH4 C/m: Bài 4: Cho tam giác ABC ,trung tuyến BD, CE ,trọng tâm G .Biết tứ giác AEGD ngoại tiếp được .C/m : Tam giác ABC cân Bài 5: Cho atm giác ABC ,trung tuyến AM ,(O1) là đường tròn nội tiếp tam giác AMB ;(O2) là đường tròn nội tiếp tam giác AMC . Tam giác ABC cần điều kiện gì để (O1) và (O2) tiếp xúc nhau .Xét bài toán khi AM là phân giác Bài6 : Cho nửa đường tròn đường kính BC bán kính R , điểm A chạy trên một nửa đường tròn .Hạ AH vuông góc với BC . Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH ; ACH . C/m: BO1 AO2 ;CO2AO1 ; AO O1O2 (O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . C/m: r1 + r2 + r = AH Tìm vị trí của điểm A để tổng r1 + r2 + r Max . C/m: r12 + r22 = r2 Gọi M,N lần lượt là giao điểm của O1O2 với AB ,AC .C/m: Tam giác AMN cân Tìm vị trí của điểm A để (O1) và (O2) tiếp xúc nhau Bài 7 Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1cm .Lấy điểm thuộc cạnh BC .Đặt BM = x .Gọi (O1;r1) và(O2;r2) là các đường tròn nội tiếp các tam giác ABM , ACM . a) Tính r1; r2 theo x b) Tìm Max của r1 + r2 c) Tìm x để (O1) và (O2) tiếp xúc nhau Bài 8: Cho tam giác ABC ngfoại tiếp đường tròn (O;R) . Biết (O) chia tiếp tuyến AM thành ba phần bằng nhau .C/m:AB : AC : BC = 5: 10:13 Bài 9: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh huyền chia cạnh huyền thành 2 đoạn 5 ; 12 . Cạnh góc vuông bằng 20 ,bán kính đường tròn nội tiếp bằng 6 . Cho biết bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác bằng 2. Tiếp điểm trên một cạnh chia cạnh đó thành hai đoạn có độ dài lần lượt là 4;6.Tính các cạnh của tam giác . Bài 10: Cho tam giác ABC có A = 900 .I là tâm đường tròn nội tiếp ,biết : AB = 5 ; IC = 6 .Tính BC IB = ;IC = .Tính các cạnh của tam giác ABC . Bài 11:Cho tam giác ABC trung tuyến AM . Gọi R;R1 ; R2 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ABM, ACM . Nếu Thì Tam giác ABC là tam giác gì? Bài 12: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O;R) , AB khác CD . I , K là trung điểm của đoạn BD , AC . C/m: SAOB + SCOD = SABCD C/m: I .D ,K thẳng hàng Nếu tứ giác ABCD có đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và ADC tiếp xúc nhau .C/m: Đường tròn nội tiếp tam giác giác ABD ,BDC tiếp xúc nhau . Bài 13: Cho tam giác ABC có AC > AB .I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,BI cắt AC tại D , CI cắt AB tại E .C/m: Tứ giác AEID ngoại tiếp được khi và chỉ khi IC – ID = AC – AB . Bài 14: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) bán kính 4cm .Đường thẳng qua O cắt AC , CB tại M,K .Tìm Min SCMK . Phương tích của một điểm đối với một đường tròn Bài 1: Cho (O;R) ,xét hai cát tuyến bất kỳ MAB; MCD . Từ M vẽ tiếp tuyến MT với đường tròn (O) .C/m: a) MA .MB = MC.MD b) MA.MB = MT2 = d2 – R2 ( MO = d) c) Khi M nằm trong đường tròn (O) thì kết luận ở câu a thay đổi như thế nào ? Bài 2: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A,B . Trên tia AB lấy điểm M ( MA > MB) . Từ m lần lượt kẻ các cát tuyến đến (O) và (O’) là MEF ; MCD . Qua M kẻ tiếp tuyến MK đến đường tròn (O) , MH đến đường tròn (O’) . a) C/m: ME .MF = MC .MD b) C/m: MK = MH c) Em có nhận xét gì về các tiếp tuyến kẻ từ một điểm thuộc AB đến hai đường tròn . d) Vẽ tiếp tuyến chung ngoài RS của hai đường (O) và (O’) .(R thuộc (O) và S thuộc (O’) ) .C/m: AB đi qua trung điểm của RS. Bài 3: Cho (O;15) và M là điểm nằm ngoài đường tròn (O) .Vẽ cát tuyến MAB ;MCD . kéo dài MO cắt (O) tại E,F ( F nằm giữa M và O) . Qua M vẽ tiếp tuyến MT đến đường tròn (O) . Cho MA = 27 , MB = 48 , MC = 32 .Tính MD Tính MI ,MO, ME ,MF . Bài 4: Cho đường tròn (O;R) , tiếp tuyến xAy tại A của đường tròn (O) . Lấy M tuỳ ý bên ngoài đường tròn .V