Tài liệu ôn tập toán 12

SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Lưu ý 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), nếu f’(x) 0 ( hoặc f’(x)0 ) với mọi x (a;b) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng (a;b). 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và. Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không xác định hoặc bằng 0 . Bài tập : Định m để hàm số : 1) f(x) = x3 – (m + 1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến trong (2, +). 2) f(x) = x3 - mx2 – 2x + 1 đồng biến trong R 3) f(x) = nghịch biến trong (-, -1) 4) f(x) = x3 – 3 x2 + 6mx + 1 nghịch biến trong (0, ) 5) f(x) = - x3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x – 4 đồng biến trong (0, 3) 6) f(x) = đồng biến trong (2, +) 7) f(x) = a) tăng trong từng khoảng xác định của nó. b) tăng trong (2, +) CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU Lưu ý 1. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận nào đó của điểm x0 ( có thể trừ tại x0). Nếu f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực trị.Cụ thể : + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì x0 là điểm cực đại. + Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì x0 là điểm cực tiểu. 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo liên tục đến cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f’’(x0) 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số, hơn nữa: + Nếu f’’(x) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. + Nếu f’’(x) < 0 thì x0 là điểm cực đại. Bài 1 : Định m để các hàm số sau đây có cực trị : 1/ y = mx3 – (m – 1)x2 + 3(m – 2)x + 2/y = x3 + 2(m + 3)x2 – mx + 2 3/y = 4/y = (sin 5/y = 6/y = Bài 2: Định m để hàm số đạt cực trị tại điểm x 1/y = + mx2 + 2(5m – 8)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2 2/y = x - 3mx2 + 3(m2 - 1)x – (m2 – 1) đạt cực đại tại x = 1 3/y = đạt cực đại tại x = 2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) cĩ MXĐ D và X là tập hợp con của D. a) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu : , ký hiệu: . b) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu : , ký hiệu: . 2. Phương pháp giải tốn a. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình (tìm điểm tới hạn). Giả sử cĩ n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngồi đoạn [a; b]). Bước 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm. Chú ý: a) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1. b) Cĩ thể đổi biến số và viết . Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì , . b. Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên Cho hàm số y = f(x) liên tục trên hoặc ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình (tìm điểm tới hạn). Giả sử cĩ n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc D (ta loại các nghiệm khơng thuộc D). Bước 2. Tính , f(x1), f(x2), …, f(xn), . Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khồng (a;b) B.BÀI TẬP ƠN TẬP Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: 1/ trên đoạn . 2/ trên đoạn . 3/. 4/ trên đoạn [–3; 2]. 5/ y = x - 3x2 + 6x – 2 trên 6/ y = x + 2 trên 7/ y = trên 8/ y = trên 9/ y = 10/ y = 4cos2x + 3sin2x + 7 11/ y = 2 sin x + 4 cosx – 3 12/ y = 13/ y = 14/ . 15/ . 16/ . KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN A/ HÀM SỐ BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d I/ Khảo sát hàm số 1. Miền xác định: 2. Sự biến thiên * (1) + (1) có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có hai cực trị. + (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị. * (ax3 + bx2 + cx + d ) = * Lập BBT * y” = 6ax + 2b = 0 x= (hoành độ của điểm uốn). * Lập BXD y’’ . Gọi điểm uốn là I(xI;yI) 3. Đồ thị : * ĐĐB : x ? Cực Trị (nếu có ) xI Cực Trị (nếu có ) ? y yI * Vẽ đồ thị đi qua điểm uốn, 2 điểm cực trị ( nếu có ) , 2 điểm tìm thêm . * Chú ý : Đồ thị hàm số nhậb điểm uốn làm tâm đối xứng . II/ BBT và đồ thị tương ứng . a > 0 và hàm số có 2 cực trị a < 0 và hàm số có 2 cực trị a > 0 và hàm số không có cực trị a < 0 và hàm số không có cực trị III/ BÀI TẬP BÀI 1 : Cho hàm số : y = – x3 + 3x + 1 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x + m = 0. 3) Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = –mx + 1. 4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng (d): y = –9x + 1. 5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1. BÀI 2 : Cho hàm số y = x3 – (m + 2)x + m , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với giá trị m = 1. 2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C). 3) Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k. 4) Tìm m để phương trình : x3 – 3x + 6 – 2-m có 3 nghiệm phân biệt. 5) Dựa vào đồ thị (C) tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 1 – cos2xsinx – 2sinx. BÀI 3 : Cho hàm số : y = –x3 + 3x – 2 có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số. 2) Một đường thẳng d đi qua điểm uốn có hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối của d và (C). 3) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 – 3x + m + 1 = 0 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox BÀI 4 : Cho hàm số : y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 (Cm). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định. 3) Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu. 4) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (C) có tâm đối xứng. BÀI 5 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4, có đồ thị (Cm). 1) Xác định m để hàm số có cực trị. 2) Xác định m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 3) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 4) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(0 ; 7). BÀI 6 : Cho hàm số y = 3x2 – x3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi I là điểm uốn của đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 3. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại I và A. Tìm tọa độ giao điểm B của hai tiếp tuyến này. 3) Tính diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi cung AI của đồ thị (C) và bởi các đoạn thẳng BI và BA. 4) Gọi (d) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có hệ số góc –m. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ? Gọi 3 điểm phân biệt lần lượt là O, A, B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi. BÀI 7 : Cho hàm số : y = x3 – (m + 3)x2 + mx + m + 5 (Cm). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 0. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = x + 2. 3) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. 4) Giá trị nào của m thì trên đồ thị (Cm) có 2 điểm đối xứng với nhau qua O. BÀI 8 : Cho hàm số y = x3 – 3x – 1 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) có phương trình: y = mx – 1. 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng x = 0 ; x = 1. 4) Dùng đồ thị (C), biện luận theo số m số nghiệm của phương trình : x3 – 3x – 1 – m = 0 BÀI 9 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 – 2 a) Khảo sát hàm số trên, đồ thị gọi là (C). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0 ; –3). c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các tiếp tuyến của (C) tìm được ở câu b. BÀI 10 : Cho hàm số y = x3 – 3x có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số. 2) Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và là tiếp tuyến của (C). 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của nó tại M. BÀI 11 : Cho hàm số : y = có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3 ; 0). 3) Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox. BÀI 12 : Cho hàm số: y = –x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 (1) (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm k để phương trình : -x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt. 3) Viết ph. trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). BÀI 13 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m (1) (m là tham số) 1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2 BÀI 14 : Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (1) với m là tham số. 1) Khảo sát hàm số khi m = 2. 2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1 BÀI 15 : Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. 2) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0. BÀI 16 : Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng các tiếp tuyến này vuông góc với đt y = BÀI 17 : Cho hàm số : y = (x – m)(x2 – 2x – m – 1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Tìm tất cả giá trị m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực đại xCĐ, hoành độ điểm cực tiểu xCT thỏa : | xCĐ . xCT| = 1. BÀI 18 : Cho hàm số : y = – x3 + 3x + 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và trục hoành x’Ox. 3) Tìm m để phương trình : x3 – 2x + 2m – 6 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. B. HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx2 + c I/ Khảo sát hàm số 1. Miền xác định . Hàm số chẵn . 2. Đạo hàm (1) + (1) có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số có ba cực trị. + (1) chỉ có 1 nghiệm x = 0 thì hàm số có một cực trị x = 0. (2) + (2) có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị có hai điểm uốn. + (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0 thì đồ thị không có điểm uốn. 2.3. Giới hạn , . 2.4. Bảng biến thiên và đồ thị tương ứng a > 0 và hàm số có 3 cực trị a < 0 và hàm số có 3 cực trị a > 0 và hàm số có 1 cực trị a < 0 và hàm số có 1 cực trị BÀI 1 : Cho hàm số : y = – (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 3) Vẽ và viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x = 1. 4) Tìm a để Parabol (P) : y = –x2 + a tiếp xúc (C). Viết phương trình các (P) đó và xác định các tiếp điểm của chúng. BÀI 2 : Cho hàm số y = có đồ thị (C). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. 2) Dựa vào đồ thị (C), hãy tìm k để phương trình = 0 có 4 nghiệm phân biệt. 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; ). BÀI 3 : Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x4 – 2x2 + 1 –m = 0. 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 1). 4) Tìm m trên Oy sao cho từ đó có thể vẽ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C). BÀI 4 : Cho hàm số y = (2 – x2)2 có đồ thị (C). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x4 – 4x2 – 2m + 4 = 0 . 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 4). BÀI 5 : Cho hàm số : y = (m + 1)x4 – 4mx2 + 2, đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm các điểm cố định của (Cm). 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 2. 4) Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. BÀI 6 : Cho hàm số : y = x4 + (m – 1)x2 – 3 (Cm) 1) Định m để đồ thị (Cm) có điểm uốn. 2) Khảo sát hàm số khi m = –1, gọi đồ thị là (C). 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 4) Định m để đường thẳng y = –4 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt. BÀI 7 : Cho hàm số y = – x4 + 2x2 + 3 có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị m để pt x4 – 2x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Câu 8 : Cho hàm số: y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (m là tham số) (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. 3. HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 1/1: 3.1. Miền xác định:. 3.2. Đạo hàm + Nếu hàm số đồng biến trên và . + Nếu hàm số nghịch biến trên và . 3.3. Giới hạn và tiệm cận + là tiệm cận đứng. + là tiệm cận ngang. 3.4. Bảng biến thiên và đồ thị tương ứng và hàm số đồng biến trên MXĐ và hàm số nghịch biến trên MXĐ BÀI 9 : Cho hàm số y = có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = – x – 2 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0 ; 2) và tiếp xúc với (C). 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho khi –2 £ x £ 0. 5) Chứng minh rằng đồ thị (C) có tâm đối xứng. Tìm tọa độ tâm đối xứng. BÀI 10 : Cho hàm số : , có đồ thị là (C). 1) Khảo sát hàm số. 2) Chứng minh đồ thị (C) nhận đường thẳng y = x + 2 làm trục đối xứng. 3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho khi 0 £ x £ 3. 4) Tìm các điểm trên (C) của hàm số có tọa độ là những số nguyên. 5) Tính thể tích sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và trục Oy, quay quanh Ox. BÀI 10 : Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng d có phương trình : y = x + m. 3) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m. 4) Trong trường hợp (C) và d cắt nhau tại hai điểm M, N tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN. BÀI 11 : Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2) Chứng tỏ rằng đt d : y = 2x + k luôn luôn cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau. 3) Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C). 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và trục Oy BÀI 12 : Cho hàm số : y = 1) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Ox và các đường thẳng x = –2, x = 1. 3) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = k. 4) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng x = –2, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) một vòng xung quanh trục Ox. 5) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0 ; 2) có hệ số góc là k. Biện luận theo k số điểm chung của đồ thị (C) và đường thẳng d. BÀI 13 : Cho hàm số : 1) Khảo sát hàm số trên (đồ thị là (C) ) 2) Viết p. trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ là 3. 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiếp tuyến (d) và trục Oy. 4) Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (D) đi qua điểm A(–4, 0), có hệ số góc k. BÀI 14 : Cho hàm số : y = (Cm) 1) Định m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định của nó. 2) Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi đồ thị là (C). 3) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) đi qua A(–4 ; 1). 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), tiếp tuyến (d) của (C) và đường thẳng x = –4. BÀI 15 : Cho hàm số : y = có đồ thị (C). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C). 3) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(–1 ; 3). BÀI 16 : Cho hàm số : (1) (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x. BÀI 17 : Cho hàm số : y = (1), có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Xác định m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. 3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của(C) ngắn nhất BÀI 18 : Cho hàm số y = (1), có đồ thị (C) 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Chứng minh đường thẳng (d) : 2x + y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (C). Định m để khoảng cách AB ngắn nhất. 4. HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 2/1: ( không là nghiệm của tử số) 4.1. Miền xác định : . ( a, b, c là các kết quả trong biểu thức Hoocne) 4.2. Đạo hàm + (1) có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có hai cực trị. + (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đơn điệu trên MXĐ. 4.3. Giới hạn và tiệm cận + là tiệm cận đứng. + là tiệm cận xiên. 4.4. Bảng biến thiên và đồ thị tương ứng AD > 0 và hàm số có hai cực trị AD < 0 và hàm số có hai cực trị AD > 0 và hàm số không có cực trị AD < 0 và hàm số không có cực trị 4.5. BÀI TẬP BÀI 1 : Cho hàm số : y = có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số trên, từ đó suy ra đồ thị hàm số : y = 2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng d vuông góc với đường thẳng d’ : 3y – x + 6 = 0. 3) Dùng đồ thị (C) để biện luận theo a số nghiệm của phương trình : x2 + (3 – a)x + 3 – 2a = 0. BÀI 2 : Cho hàm số : , có đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2) Tìm trên đồ thị (C) tất cả các điểm mà hoành độ và tung độ của chúng đều là số nguyên. 3) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A 4) Tìm tất cả các giá trị của m để tồn tại duy nhất một số thực x Ỵ (–3 ; 1) là nghiệm của phương trình : x2 – (2m + 1)x + 2m + 4 = 0. BÀI 3 : Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục tọa độ. 3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại 2 giao điểm (C) cắt trục hoành. BÀI 4: Cho hàm số 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = –3x + 3 3) Biện luận theo tham số m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (D) : y = –2x + m. 4) Tìm trên đồ thị (C) các điểm M cách đều 2 trục tọa độ. BÀI 5 :của hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) 2) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng có phương trình : x = –2, x = –1. 3) Tìm k để đường thẳng (d1) : y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh phân biệt. 4) Tìm k để đường thẳng (d2) : y = kx + 1 cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh. BÀI 6 : Cho hàm số y = (Cm) 1) Chứng minh rằng (Cm) luôn luôn đi qua 1 điểm cố định A mà ta phải xác định tọa độ của nó. 2) Định m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm B(1 ; 2). 3) Khảo sát hàm số khi m = 2. Gọi đồ thị là (C). 4) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên của (C), trục tung và đường thẳng có phương trình x = 1. BÀI 7 : Cho hàm số y = – 1) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C). 2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo tham số k nghiệm của phương trình : x2 + (2k + 3)x – 2k = 0 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A BÀI 8 : Cho hàm số : (Cm) 1) Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và tung độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng dấu. 2) Khảo sát hàm số trên với m = 1. (đồ thị là (C)) 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng y = 3 và hai đường thẳng x = 2, x = 3. BÀI 9 : 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (G) của hàm số : 2) Dựa vào đồ thị (G), hãy biện luận số nghiệm của phương trình : tùy theo m. 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (G), trục hoành, các đường thẳng x = 2, x = 4. BÀI 10 : 1) Khảo sát hàm số: 2) Xác định m để đồ thị hàm số có các tiệm cận trùng với các tiệm cận tương ứng của đồ thị hàm số khảo sát trên. BÀI 11 : Cho hàm số: (1) (m là tham số) 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1. BÀI 12: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = mx + (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = . 2) Tìm m để h/s có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng . BÀI 13: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng . BÀI 14: Cho hàm số : y = (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đt x = 2, x = m (m > 2). Tìm m để diện tích này bằng 3. Bài 15: Cho hàm số: (1) (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm có hoành độ dương. Câu I : (2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2) Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt NGUYÊN HÀM I. ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT 1. Định nghĩa a/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu ta có . b/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nếu ta có và . Nhận xét: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì cũng là nguyên hàm của f(x). Do đó nếu f(x) có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm (họ nguyên hàm) khác nhau hằng số C. Ký hiệu: . 2. Tính chất a/ b/ c/ . 3. Định lý Định lý 1 Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) thì có nguyên hàm trên khoảng (hoặc đoạn) đó. Định lý 2 Nếu và thì . 4. Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng Đặc biệt: Nếu thì . Các công thức thường gặp: a/ b/ c/ d/ e/ . 5. BÀI TẬP : Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/ 26/ Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo: 1/ , 2/, 3/ , 4/, 5/ , TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó, với ta gọi hiệu là tích phân từ a đến b của f(x). Ký hiệu: (công thức Newton - Leibniz). + Hàm số f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân. + f(x