Tài liệu ôn thi Đại Học môn Toán

Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 1 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A. Tóm tắt lý thuyết. I. Tọa độ trong mặt phẳng.  Cho r r1 1 2 2u(x , y ); v(x ;y ) và Îk R . Khi đó: + = + + - = - - =ìï= = + Û í =ïî = + Þ ^ Û = Û + = r r r r r r r r r r r r r r 1 2 1 2 1 2 1 21 22 21 1 1 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1) u v (x x ;y y ) 2) u v (x x ;y y )x x3) ku (kx ;ky ) 4) u x y 5) u=v y y6) u.v x x y y u v u.v 0 x x y y 0 · Hai véc tơ r r1 1 2 2u(x , y ); v(x ;y ) cùng phương với nhau =ìïÛ í =ïî 1 21 2x kxy ky · Góc giữa hai véc tơ r r1 1 2 2u(x , y ); v(x ;y ) : += = + + r r r r r r 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 u.v x x y ycos(u, v) u v x y x y . · Cho A A B BA(x ;y ) ; B(x ;y ) . Khi đó : = - - = - + -uuur uuur 2 2B A B A B A B A1) AB (x x ;y y ) 2) AB= AB (x x ) (y y ) +ì =ïï í +ï =ïî A BI A BI x xx 23) y yy 2 trong đó I là trung điểm của AB . · ^ Û =uuur uurAB CD AB.CD 0 · Cho tam giác ABC với A A B B C CA(x ;y ), B(x ;y ), C(x ;y ) . Khi đó trọng tâm ( )G GG x ;y của tam giác ABC là : + +ì =ïïí + +ï =ïî A B CG A B CG x x xx 3y y yy 3 . II. Phương trình đường thẳng 1. Phương trình đường thẳng 1.1. Véc tơ chỉ phương (VTCP), véc tơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng : Cho đường thẳng d. · = ¹r rn (a;b) 0 gọi là véc tơ pháp tuyến của d nếu giá của nó vuông với d. · = ¹r r1 2u (u ;u ) 0 gọi là véc tơ chỉ phương của d nếu giá của nó trùng hoặc song song với đường thẳng d. Một đường thẳng có vô số VTPT và vô số VTCP ( Các véc tơ này luôn cùng phương với nhau) Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 2 · Mối quan hệ giữa VTPT và VTCP: =r rn.u 0. · Nếu =rn (a;b) là một VTPT của đường thẳng d thì = -ru (b; a) là một VTCP của đường thẳng d . · Đường thẳng AB có ABuuur là VTCP. 1.2. Phương trình đường thẳng 1.2.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Cho đường thẳng d đi qua điểm 0 0A(x ;y ) và có n (a;b)=r là VTPT, khi đó phương trình tổng quát của d có dạng: 0 0a(x x ) b(y y ) 0- + - = . 1.2.2. Phương trình tham số của đường thẳng : Cho đường thẳng d đi qua điểm 0 0A(x ;y ) và có u (a;b)=r là VTCP, khi đó phương trình tham số của đường thẳng d là: 00x x aty y bt= +ìïí = +ïî , t RÎ . 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng 1 1 1 1d : a x b y c 0;+ + = 2 2 2 2d : a x b y c 0+ + = . Khi đó vị trí tương đối giữa chúng phụ thuộc vào số nghiệm của hệ : 1 1 12 2 2a x b y c 0a x b y c 0+ + =ìïí + + =ïî (I) · Nếu (I) vô nghiệm thì 1 2d / /d . · Nếu (I) vô số nghiệm thì 1 2d dº · Nếu (I) có nghiệm duy nhất thì 1d và 2d cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. 3. Góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng 1 1 1 1d : a x b y c 0;+ + = 2 2 2 2d : a x b y c 0+ + = . Gọi a là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng 1d và 2d . Ta có : 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2a a b bcos a b a b+a = + + . 4. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Cho đường thẳng :ax by c 0D + + = và điểm 0 0M(x ;y ) . Khi đó khoảng cách từ M đến D được tính bởi công thức: 0 02 2ax by cd(M,( )) a b+ +D = + . 5. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 1 1 1d : a x b y c 0+ + = và 2 2 2 2d : a x b y c 0+ + = Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là: 1 1 1 2 2 22 2 2 21 1 2 2a x b y c a x b y ca b a b+ + + += ±+ + . Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 3 III. Phương trình đường tròn. 1. Phương trình đường tròn : Cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R , khi đó phương trình của (C) là : 2 2 2(x a) (y b) R- + - = . Ngoài ra phương trình : 2 2x y 2ax 2by c 0+ - - + = với 2 2a b c 0+ - > cũng là phương trình của đường tròn có tâm I(a;b), bán kính 2 2R a b c= + - . 2. Phương trình tiếp tuyến : Cho đường tròn (C) : 2 2 2(x a) (y b) R- + - = . · Tiếp tuyến D của (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM . · Đường thẳng : Ax By C 0D + + = là tiếp tuyến của (C) d(I, ) RÛ D = · Đường tròn (C) : 2 2 2(x a) (y b) R- + - = có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x a R= ± . Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng : y kx m= + . IV. E líp 1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định 1 2F ,F có 1 2F F 2c= . Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho 1 2MF MF 2a+ = (2a không đổi và a c 0> > ) là một đường elíp. · 1 2F ,F : là hai tiêu điểm và 2c là tiêu cự của elíp. · 1 2MF ,MF : là các bán kính qua tiêu. 2. Phương trình chính tắc của elíp: 2 22 2x y 1a b+ = với 2 2 2b = a c- . Vậy điểm 2 20 00 0 2 2x yM(x ;y ) (E) 1a bÎ Û + = và 0 0x a ; y b£ £ . 3. Tính chất và hình dạng của elíp: Cho 2 22 2x y(E): 1a b+ = , a b> . · Trục đối xứng Ox,Oy . Tâm đối xứng O . · Đỉnh: ( )1 2 1A ( a;0), A a;0 , B (0; b)- - và ( )2B 0; b . 1 2A A 2a= gọi là độ dài trục lớn, 1 2B B 2b= gọi là độ dài trục bé. · Tiêu điểm: 1 2F ( c;0), F (c;0)- . · Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với 2 2 2b = a c- . · Tâm sai: 2 2c a be 1a a-= = < Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 4 · Hai đường chuẩn: 2a ax e c= ± = ± · ( ) ( )0 0 1 0M x ;y E : MF a exÎ = + và 2 0MF a ex= - . x yP Q RS B2 A2 A1 O V. Hypebol 1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm 1 2F ,F có 1 2F F 2c= . Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho 1 2MF MF 2a - = (2a không đổi và c a 0> > ) là một Hypebol. · 1 2F , F : là 2 tiêu điểm và 1 2F F 2c= là tiêu cự. · 1 2MF ,MF : là các bán kính qua tiêu. 2. Phương trình chính tắc của hypebol: 2 22 2x y 1a b- = với 2 2 2b = c a- . 3. Tính chất và hình dạng của hypebol (H): · Trục đối xứng Ox (trục thực), Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O . · Đỉnh: ( )1 2A ( a;0),A a;0- . Độ dài trục thực: 2a và độ dài trục ảo: 2b . · Tiêu điểm ( )1 2F ( c; 0), F c; 0- . · Hai tiệm cận: by xa= ± · Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a,2b với 2 2 2b c a= - . · Tâm sai: 2 2c a be a a+= = · Hai đường chuẩn: 2a ax e c= ± = ± · Độ dài các bán kính qua tiêu của ( ) ( )0 0M x ;y HÎ : +) 1 0MF ex a= + và 2 0MF ex a= - khi 0x 0> . +) 1 0MF ex a= - - và 2 0MF ex a= - + khi 0x 0< . Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 5 · 2 20 0 2 2x yM(x ;y ) (E): 1a bÎ - = Û 2 20 02 2x y 1a b- = và ta luôn có 0x a³ . VI. Parabol 1. Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều một đường thẳng D cố định và một điểm F cố định không thuộc D . D : đường chuẩn; F : tiêu điểm và d(F, ) p 0D = > là tham số tiêu. 2. Phương trình chính tắc của Parabol: 2y 2px= 3. Hình dạng của Parabol (P) : · Trục Ox là trục đối xứng, đỉnh O. Tiêu điểm pF( ;0)2 . · Đường chuẩn p: x 2D = - · ( ) ( ) pM x;y P : MF x 2Î = + với x 0³ . B. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 1. Lập phương trình đường thẳng. Để lập phương trình đường thẳng D ta thường dùng các cách sau · Tìm điểm 0 0M(x ;y ) mà D đi qua và một VTPT n (a;b)=r . Khi đó phương trình đường thẳng cần lập là: 0 0a(x x ) b(y y ) 0- + - = . · Giả sử đường thẳng cần lập :ax by c 0D + + = . Dựa vào điều kiện bài toán ta tìm được a mb,c nb= = . Khi đó phương trình : mx y n 0D + + = . Phương pháp này ta thường áp dụng đối với bài toán liên quan đến khoảng cách và góc · Phương pháp quỹ tích: 0 0 0 0M(x ;y ) : ax by c 0 ax by c 0ÎD + + = Û + + = . Ví dụ . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2(C):(x 1) (y 2) 25- + - = . 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4;6) , 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ điểm N( 6;1)- 3) Từ E( 6;3)- vẽ hai tiếp tuyến EA,EB ( A,B là tiếp điểm) đến (C). Viết phương trình đường thẳng AB . Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(1;2) , bán kính R 5= . 1) Tiếp tuyến đi qua M và vuông góc với IM nên nhận IM (3;4)=uur làm VTPT Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 6 Nên phương trình tiếp tuyến là: 3(x 4) 4(y 6) 0 3x 4y 36 0- + - = Û + - = . 2) Gọi D là tiếp tuyến cần tìm. Do D đi qua N nên phương trình có dạng :a(x 6) b(y 1) 0 ax by 6a b 0D + + - = Û + + - = , 2 2a b 0+ ¹ (*) Ta có: 2 2 2 2 22 27a bd(I, ) R 5 7a b 5 a b (7a b) 25(a b )a b+D = Û = Û + = + Û + = ++ 22 2 3a ba a 424a 14ab 24b 0 24 12 24 0b b 4a b3 é =êæ öÛ + - = Û + - = Û êç ÷ è ø ê = -êë . · 3a b4= thay vào (*) ta có: 3 7bx by b 0 3x 4y 14 04 2+ + = Û + + = . · 4a b3= - thay vào (*) ta có: 4 bx by 9b 0 4x 3y 27 03- + - = Û - + = . Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là: 3x 4y 14 0+ + = và 4x 3y 27 0- + = . 3) Gọi A(a;b). Ta có: 2 22 2 2 2A (C) a b 2a 4b 20 0(a 1) (b 2) 25IA.NA 0 (a 1)(a 6) (b 2)(b 3) 0 a b 5a 5b 0ìÎ ìì + - - - =- + - =ï ï ïÛ Ûí í í= - + + - - =ï ï + + - =ïî î îuur uuur 7a b 20 0Þ - + = Từ đó ta suy ra được A :7x y 20 0ÎD - + = . Tương tự ta cũng có được B AB AB:7x y 20 0ÎD Þ º D Þ - + = . 2. Các lập phương trình đường tròn. Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường sử dụng các cách sau Cách 1: Tìm tâm I(a;b) và bán kính của đường tròn. Khi đó phương trình đường tròn có dạng: 2 2 2(x a) (y b) R- + - = . Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn có dạng: 2 2x y 2ax 2by c 0+ - - + = . Dựa vào giả thiết của bài toán ta tìm được a,b,c . Cách này ta thương áp dụng khi yêu cầu viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm. Ví dụ . Lập phương trình đường tròn (C), biết 1) (C) đi qua A(3;4) và các hình chiếu của A lên các trục tọa độ. 2) (C) có tâm nằm trên đường tròn 2 21 4(C ):(x 2) y 5- + = và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 : x y 0D - = và 2 : x 7y 0D - = . Lời giải. Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 7 1) Gọi 1 2A ,A lần lượt là hình chiếu của A lên hai trục Ox, Oy, suy ra 1 2A (3;0), A (0;4). Giả sử 2 2(C): x y 2ax 2by c 0+ - - + = . Do 1 2A, A ,A (C)Î nên ta có hệ: 3a6a 8b c 25 26a c 9 b 28b c 16 c 0 ì =ï- - + = -ì ïï- + = - Û =í í ï ï- + = - =î ï î . Vậy phương trình (C): 2 2x y 3x 4y 0+ - - = . 2) Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn (C), vì 1I (C )Î nên: 2 2 4(a 2) b 5- + = (1) Do (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2,D D nên 1 2d(I, ) d(I, )D = D a b a 7b b 2a,a 2b2 5 2- -Û = Û = - = · b 2a= - thay vào (1) ta có được: 2 2 24 16(a 2) 4a 5a 4a 05 5- + = Û - + = phương trình này vô nghiệm · a 2b= thay vào (1) ta có: 2 2 4 4 8(2b 2) b b ,a5 5 5- + = Û = = . Suy ra 1 4R D(I, ) 5 2= D = . Vậy phương trình 2 28 4 8(C): x y5 5 25æ ö æ ö- + - =ç ÷ ç ÷è ø è ø . 3. Các điểm đặc biệt trong tam giác. Cho tam giác ABC . Khi đó: · Trọng tâm A B C A B Cx x x y y yG ;3 3+ + + +æ öç ÷è ø · Trực tâm AH.BC 0H : BH.AC 0ì =ïí =ïî uuur uur uuur uuur · Tâm đường tròn ngoại tiếp 2 22 2IA IBI : IA ICì =ïí =ïî · Tâm đường tròn nội tiếp AB.AK AC.AKAB ACK : BC.BK BA.BKBC AB ì =ïï í ï =ïî uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur Chú ý: Có thể tìm K theo cách sau: * Gọi D là chân đường phân giác trong góc A, ta có: ABBD DCAC=uuur uur , từ đây suy ra D Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 8 * Ta có ABAK KDBD=uuur uuur từ đây ta có K. · Tâm đường tròn bàng tiếp (góc A) AB.AJ AC.AJAB ACJ : BJ.BC AB.BJBC AB ì =ïï í ï =ïî uuur uur uuur uur uur uur uuur uur . Ví dụ . Cho tam giác ABC có 5 3A(1;3),B( 2;0),C ;8 8æ ö- ç ÷è ø . 1) Tìm tọa độ trực tâm H , tâm đường tròn ngoại tiếp I và trọng tâm G của tam giác ABC . Từ đó suy ra I,G,H thẳng hàng; 2) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC . Lời giải. 1) Ta có A B CG A B CG x x x 1x 1 93 8 G ;8 8y y y 9y 3 8 + +ì = = -ï æ öï Þ -í ç ÷+ + è øï = =ïî . Gọi H(x;y) , suy ra ( ) ( ) 21 3 3 21AH x 1;y 3 ,BH x 2;y ,BC ; ,AC ;8 8 8 8æ ö æ ö= - - = + = = - -ç ÷ ç ÷è ø è øuuur uuur uur uuur Mà AH.BC 0BH.AC 0ì =ïí =ïî uuur uur uuur uuur nên ta có 3x7(x 1) (y 3) 0 7x y 10 0 2(x 2) 7y 0 x 7y 2 0 1y 2 ì =ï- + - = + - =ì ì ïÛ Ûí í í + + = + + =î î ï = - ïî Suy ra 3 1H ;2 2æ ö-ç ÷è ø . Gọi I(x;y), ta có: 2 2 2 22 2 2 22 22 2 (x 1) (y 3) (x 2) yIA IB 5 3(x 2) y x yIB IC 8 8 ì - + - = + +ì ï=ï Ûí í æ ö æ ö+ + = - + -=ï ïî ç ÷ ç ÷ è ø è øî 15x y 1 x 15 3116 I ;21 3 111 16 1631x y y4 4 32 16 ì+ = = -ì ï æ öï ïÛ Û Þ -í í ç ÷+ = - è øï ï =î ïî . Ta có 13 13 13 13GH ; , GI ; GH 2GI8 8 16 16æ ö æ ö= - = - Þ = -ç ÷ ç ÷è ø è øuuur uur uuur uur . Suy ra I,G,H thẳng hàng. 2) Gọi K(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 9 · · · · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AK, AB AK,AC cos AK, AB cos AK,ACKAB KACKBC KBA BK,BA BK,BC cos BK,BA cos BK,BCì ì= =ì =ï ï ïÛ Ûí í í= = =ï ï ïî î î uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur AK.AB AK.AC AK.AB AK.ACAK.AB AK.AC AB ACBK.BA BK.BC BK.BA BK.BCBK.AB BK.BC AB BC ì ì = =ï ïï ïÛ Ûí í ï ï= =ï ïî î uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur (*) Mà ( ) ( )AK x 1;y 3 ,BK x 2;y ,AB ( 3; 3)= - - = + = - -uuur uuur uuur nên (*) tương đương với 3 21(x 1) (y 3)3(x 1) 3(y 3) 8 83 2 15 2 2x y 1 x 0821 3 x 2y 2 y 1(x 2) y3(x 2) 3y 8 83 2 15 28 ì - - - -ï- - - - =ï ï - = - =ï ì ì Û Ûí í í - = - =î îï + ++ +ï =ï ï î . Vậy K(0;1). Gọi ( )J a;b là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) AJ.AB AJ.AC 5aAJ,AB AJ,AC 2a b 1AB AC 42a b 4 3BJ.BC BJ.ABBJ,BC BJ,AB b 2BC AB ì ìì = = -ï= ï- = -ìï ï ïÛ Û Ûí í í í + = -î=ï ï ï = -=î ïï îî uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur uur uuuruur uur uur uuur . Vậy 5 3J ;4 2æ ö- -ç ÷è ø . 4. Các đường đăch biệt trong tam giác 4.1. Đường trung tuyến của tam giác: Khi gặp đường trung tuyến của tam giác, ta chủ yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện. 4.2. Đường cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. 4.3. Đường trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh đó. 4.4. Đường phân giác trong: Ta khai thác tính chất: Nếu M thuộc AB, M’ đối xứng với M qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC. Ví dụ . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H( 1; 1)- - , đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 2 0- + = và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y 1 0+ - = . Lời giải. Kí hiệu 1 2d : x y 2 0, d : 4x 3y 1 0- + = + - = . Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 10 Gọi H' là điểm đối xứng với H qua 1d . Khi đó H' ACÎ . Gọi D là đường thẳng đi qua H và vuông góc với 1d . Phương trình của : x y 2 0D + + = Suy ra 1 x y 2 0d I : I( 2;0)x y 2 0+ + =ìD Ç = Þ -í - + =î Ta có I là trung điểm của HH' nên H'( 3;1)- . Đường thẳng AC đi qua H' và vuông góc với 2d nên có phương trình : 3x 4y 13 0- + = . Nên 1 x y 2 0AC d A : A(5;7)3x 4y 13 0- + =ìÇ = Þí - + =î . Vì CH đi qua H và vuông với AH , suy ra phương trình của CH :3x 4y 7 0+ + = Do đó 3x 4y 7 0 10 3C : C( ; )3 43x 4y 13 0+ + =ì Þ -í - + =î . Ví dụ . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết ( )A 5;2 . Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x y 6 0+ - = và 2x y 3 0- + = . Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam giác ABC. Lời giải. Gọi d : x y 6 0, CC' :2x y 3 0+ - = - + = . Ta có: C(c;2c 3)+ Phương trình BC : x y c 3 0- + + = Gọi M là trung điểm của BC, suy ra 3 cxx y 6 0 2M : x y c 3 0 c 9y 2 -ì =ï+ - =ì ïÛí í - + + = +î ï = ïî Suy ra ( ) cB 3 2c;6 c C'(4 c;4 )2- - Þ - - Mà C' CC'Î nên ta có: c 3 142(4 c) (4 ) 3 0 c 7 0 c2 2 3- - - + = Û - + = Þ = . Vậy 19 4 14 37B ; , C ;3 3 3 3æ ö æ ö-ç ÷ ç ÷è ø è ø . Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 11 M C' B A C 5. Một số bài toán dựng hình cơ bản. 5.1. Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng D · Lập đường thẳng d đi qua A và vuông góc với D · H d= Ç D 5.2. Dựng A ' đối xứng với A qua đường thẳng D · Dựng hình chiếu vuông góc H của A lên D · Lấy A' đối xứng với A qua H: A ' H AA ' H Ax 2x xy 2y y= -ìïí = -ïî . 5.3. Dựng đường tròn (C’) đối xứng với (C) (có tâm I, bán kính R) qua đường thẳng D · Dựng I’ đối xứng với I qua đường thẳng D · Đường tròn (C’) có tâm I' , bán kính R. Chú ý: Giao điểm của (C) và (C’) chính là giao điểm của và D . 5.4. Dựng đường thẳng d’ đối xứng với d qua đường thẳng D . · Lấy hai điểm M,N thuộc d. Dựng M',N' lần lượt đối xứng với M, N qua D · d' M'N'º . Ví dụ . Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x 2y 3 0- - = và hai điểm A(3;2), B( 1;4)- . 1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA MB+ nhỏ nhất, 2) Viết phương trình đường thẳng d' sao cho đường thẳng :3x 4y 1 0D + + = là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d và d' . Lời giải. 1) Ta thấy A và B nằm về một phía so với đường thẳng d . Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua d. Khi đó với mọi điểm M thuộc d, ta luôn có: MA MA '= Do đó: MA MB A 'M MB A 'B+ = + ³ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M A 'B d= Ç . Vì A 'A d^ nên AA ' có phương trình: 2x y 8 0+ - = Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 12 Gọi 19x2x y 8 0 19 25H d AA ' H : H ;5 5x 2y 3 0 2y 5 ì =ï+ - =ì æ öï= Ç Þ Û Þí í ç ÷- - = è øî ï = ïî . Vì H là trung điểm của AA ' nên A ' H AA ' H A 23x 2x x 23 65 A ' ;5 56y 2y y 5 ì = - =ï æ öï Þ -í ç ÷ è øï = - = - ïî . Suy ra 28 26A 'B ;5 5æ ö= -ç ÷è øuuuur , do đó phương trình A 'B:13x 14y 43 0+ - = Nên 16xx 2y 3 0 16 15M : M ;5 1013x 14y 43 0 1y 10 ì =ï- - =ì æ öïÛ Þí í ç ÷+ - = è øî ï = ïî . Δ M A' A B M 2) Xét hệ phương trình x 2y 3 0 x 13x 4y 1 0 y 1- - = =ì ìÛí í+ + = = -î î , suy ra d I(1; 1)Ç D = - Vì D là phân giác của góc hợp bởi giữa hai đường thẳng d và d' nên d và d' đối xứng nhau qua D , do đó I d'Î . Lấy E(3;0) dÎ , ta tìm được 3 16F ;5 5æ ö-ç ÷è ø là điểm đối xứng với E qua D , ta có F d'Î Suy ra 2 11FI ;5 5æ ö= ç ÷è øuur , do đó phương trình d' :11x 2y 13 0- - = . C. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP 1. Xác đinh tọa độ của một điểm. Bài toán cơ bản của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là bài toán xác định tọa độ của một điểm. Chẳng hạn, để lập phương trình đường thẳng cần tìm một điểm đi qua và VTPT, với phương trình đường tròn thì ta cần xác định tâm và bán kính.Chúng ta có thể gặp bài toán tìm tọa độ của điểm được hỏi trực tiếp hoặc gián tiếp. Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 13 · Về phương diện hình học tổng hợp thì để xác định tọa độ một điểm, ta thường chứng minh điểm đó thuộc hai hình (H) và (H’). Khi đó điểm cần tìm chính là giao điểm của (H) và (H’). · Về phương diện đại số, để xác định tọa độ của một điểm (gồm hai tọa độ) là bài toán đi tìm hai ẩn. Do đó, chúng ta cần xác định được hai phương trình chứa hai ẩn và giải hệ phương trình này ta tìm được tọa độ điểm cần tìm. Khi thiết lập phương trình chúng ta cần lưu ý: +) Tích vô hướng của hai véc tơ cho ta một phương trình, +) Hai đoạn thẳng bằng nhau cho ta một phương trình, +) Hai véc tơ bằng nhau cho ta hai phương trình, +) Nếu điểm M :ax by c 0,a 0ÎD + + = ¹ thì bm cM ;ma- -æ öç ÷è ø , lức này tọa độ của M chỉ còn một ẩn và ta chỉ cần tìm một phương trình. Ví dụ 1.1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn 2 2(C):(x 1) (y 1) 4- + - = và đường thẳng : x 3y 6 0D - - = . Tìm tọa độ điểm M nằm trên D , sao cho từ M vẽ được hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là tiếp điểm) thỏa ABMD là tam giác vuông. Lời giải. B M AI Đường tròn (C) có tâm I(1;1) , bán kính R 2= . Vì AMBD vuông và IM là đường phân giác của góc ·AMB nên · 0AMI 45= Trong tam giác vuông IAM , ta có: IM 2 2= , suy ra M thuộc đường tròn tâm I bán kính R ' 2 2= . Mặt khác MÎD nên M là giao điểm của D và (I,R '). Suy ra tọa độ của M là nghiệm của hệ 2 2 2 2 2 y 1,x 3x 3y 6 0 x 3y 6 x 3y 6 9 3y ,x(x 1) (y 1) 8 (3y 5) (y 1) 8 5y 14y 9 0 5 5 = - =é- - = = + = +ì ì ìï ï ï êÛ Û Ûí í í ê = - =- + - = + + - = + + =ï ï ïî î î êë . Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 14 Vậy có hai điểm ( )1M 3; 1- và 2 3 9M ;5 5æ ö-ç ÷è ø thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng 1d : x y 3 0,+ + = 2 3d : x y 4 0, d : x 2y 0- - = - = . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng 3d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2d . Lời giải. Ta có 3M dÎ , suy ra M(2y;y) . Suy ra 1 23y 3 y 4d(M,d ) ;d(M,d )2 2+ -= = Theo giả thiết ta có: 1 2 3y 3 y 4d(M,d ) 2d(M,d ) 2.2 2+ -= Û = 3y 3 2y 8 y 11;y 13y 3 2y 8+ = -éÛ Û = - =ê + = - +ë . · Với y 11 M( 22; 11)= - Þ - - . · Với y 1 M(2;1)= Þ . Ví dụ 3.1. Trong hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x 2y 2 0- + = . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB 2BC= . Lời giải. Ta có AB d^ nên AB có phương trình : 2x y 2 0+ - = . Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : x 2y 2 0 2 6B ;5 52x y 2 0- + =ì æ öÞí ç ÷+ - = è øî . Suy ra 2 5 AB 5AB BC5 2 5= Þ = = . Phương trình đường tròn tâm B, bán kính 5BC 5= là: 2 22 6 1x y5 5 5æ ö æ ö- + - =ç ÷ ç ÷è ø è ø . Vậy tọa độ điểm C là nghiệm của hệ : 2 2x 2y 2 0 x 0,y 14 72 6 1 x ,yx y 5 55 5 5 - + =ì = =é ï êÛíæ ö æ ö ê = =- + - =ïç ÷ ç ÷ êëè ø è øî Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 15 Vậy có hai bộ điểm thỏa yêu cầu bài toán là: 2 6B ;5 5æ öç ÷è ø , ( )C 0;1 và 2 6B ;5 5æ öç ÷è ø , 4 7C ;5 5æ öç ÷è ø . Ví dụ 4.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(2;2) và hai đường thẳng: 1 2d : x y 2 0,d : x y 8 0+ - = + - = . Tìm tọa độ điểm B,C lần lượt thuộc 1 2d ,d sao cho tam giác ABC vuông tại A. Lời giải. Vì 1 2B d B(b;2 b);C d C(c;c 8)Î Þ - Î Þ - . Theo đề bài ta có hệ: ( )( ) ( ) ( )2 2 b 1 c 4 2AB.AC 0AB AC b 1 c 4 3ì - - =ì =ï ïÛí í=ï - - - =î ïî uuur uuur Đặt x b 1;y c 4= - = - ta có : 2 2xy 2 x 2 x 2 v y 1 y 1x y 3=ì = = -ì ìï Ûí í í= = -- =ï î îî Vậy B(3; 1);C(5;3)- hoặc B( 1;3),C(3;5)- . Ví dụ 5.1. Cho parabol 2(P): y x= và hai điểm A(9;3),B(1; 1)- thuộc (P). Gọi M là điểm thuộc cung AB của (P) ( phần của (P) bị chắn bởi dây AB ). Xác định tọa độ điểm M nằm trên cung AB sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Lời giải. Phương trình AB: x 2y 3 0- - = Vì 2M (P) M(t ;t)Î Þ từ giả thiết suy ra 1 t 3- < < tam giác MAB có diện tích lớn nhất d(M,AB)Û lớn nhất Mà 2t 2t 3d(M;AB) ,5 t ( 1;3)Î -- -= . Suy ra 4maxd(M,AB) 5= đạt được khi t 1 M(1;1)= Þ . Bài 6.1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( )2 2(C): x 1 y 2- + = và hai điểm A(1; 1)- , B(2;2) . Tìm tọa điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác MAB bằng 12 . Lời giải. Ta có AB 10= và MAB 1 1 1S d(M,AB).AB d(M,AB)2 2 10D = = Þ = Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 16 Lại có AB (1;3)=uuur nên n (3; 1)= -r là VTPT của đường thẳng AB Suy ra phương trình ( ) ( )AB: 3 x 1 y 1 0- - + = hay 3x y 4 0- - = . Gọi ( ) ( ) ( )2 2M a; b C a 1 b 2Î Þ - + = Khi đó 3a b 41 1d(M;AB) 3a b 4 110 10 10- -= Û = Û - - = Ta có hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2(a 1) b 2 (a 1) b 2 (a 1) b 2 3a b 4 1 3a b 4 1 3a b 4 1ì ì ì- + = - + = - + =ï ï ïÛí í í- - = - - = - - = -ï ïï î îî hoaëc 2 2 2 2(a 1) b 2 (a 1) b 2 b 3a 5 b 3a 3ì ì- + = - + =ï ïÛ í í= - = -ï ïî îhoaëc 2 2 2 2(a 1) (3a 5) 2 (a 1) (3a 3) 2 b 3a 5 b 3a 3ì ì- + - = - + - =ï ïÛ í í= - = -ï ïî îhoaëc 2 25a 16a 12 0 5a 10a 4 0 b 3a 5 b 3a 3ì ì- + = - + =ï ïÛ í í= - = -ï ïî î hoaëc 12 4 5 5a ,a a 5 5 5b 3a 5 b 3a 3 ìì ±= =ï ï =Û í í ï ï= - = -î î hoaëc Vậy có bốn điểm thỏa điều kiện bài toán là: 1 2 3 412 11 4 13 5 5 3 5 5 5 3 5M ( ; ), M ( ; ), M ( ; ) và M ( ; )5 5 5 5 5 5 5 5- - +- . 2. Nhóm các bài toán về hình bình hành. Khi giải các bài toán về hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông, chúng ta cần chú ý đến tính chất đối xứng. Chẳng hạn, giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng cảu hình bình hành; hai đường chéo của hình thoi là trục đối xứng. Ví dụ 1.2. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 2d : x 2y 1 0,d :2x 3y 0- + = + = . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết A thuộc đường thẳng 1d , C thuộc đường thẳng 2d và hai điểm B,D thuộc trục Ox. Lời giải. Vì 1 2A d ,C dÎ Î nên A(2a 1;a),C(3c; 2c)- - , suy ra 2a 3c 1 a 2cI ;2 2+ - -æ öç ÷è ø là trung điểm AC Do ABCD là hình vuông nên I là trung điểm của BD, hay I OxÎ . Do đó a 2c= . Mặt khác AC BD Ox^ º nên suy ra 2a 1 3c c 1- = Û = . Từ đó, ta tìm được A(3;2), C(3; 2), I(3;0)- . Tài liệu ôn thi Đại Học GV: Nguyễn Tất Thu (01699257507) 17 Vì B Ox B(b;0)Î Þ , mà IB IA 2 b 3 2 b 5,b 1= = Þ - = Û = = . Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD là: A(3;2), B(1;0), C(3; 2), D(5;0)- hoặc A(3;2), B(5;0), C(3; 2), D(1;0)- . Ví dụ 2.2. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm I(1;1), J( 2;2),- K(2; 2)- . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, J thuộc cạnh AB và K thuộc cạnh CD. Lời giải. Gọi J' đối xứng với J qua I, ta có ( )J' 4;0 và J' CDÎ . Ta có: ( )KJ' 2;2=uur , suy ra phương trình CD: x y 4 0- - = . Vì AB / /CD nên phương trình AB: x y 4 0- + = . Do d(I, AB) 2 2= nên suy ra AB 4 2 IA 4= Þ = A AB A(a;4 a)Î Þ + , do đó 2 2 2IA 4 (a 1) (a 3) 16 a 2a 3 0 a 1,a 3= Û - + + = Û + - = Û = = - · a 1= , ta có A(1;3), B( 3;1), C(1; 1), D(5;1)- - · a 3= - , ta có A( 3;1), B(1;3), C(5;1), D(1; 1)- - . J' I B C A DJ K Ví dụ 3.2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): 2 2(x 2) (y 1) 10- + -