Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

PHẦN I. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VẤN ĐỀ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nắm được định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số. 2. Định lý. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. + Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến trên I + Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f nghịch biến trên I II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = -x4 + 4x2 – 3 c) d) e) f) g) y = x – ex Baøi 2.. Tìm m ñeå haøm soá luoân luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh VẤN ĐỀ II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Khái niệm cực trị của hàm số 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: 3. Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số: a. Quy tắc 1: + Tìm . + Tìm các xi (i = 1,2,) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. + Xét dấu . Nếu đổi dấu khi x đi qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi b. Quy tắc 2: +Tính . + Tìm các nghiệm xi (i = 1,2,) của phương trình . + Tìm và tính. * Nếu thì hàm số đạt đại tại điểm xi * Nếu thì hàm số đạt tiểu tại điểm xi II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Dùng quy tắc 1, tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = 3x2 – 2x3 b) c) d) Bài 2. Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = x4 – 2x2 + 3 b) y = 3x5 – 125x3 + 2160x c) y = sin2x – x Bài 3. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu (ĐS m < 3) Bài 4. Định a, b để hàm số đạt cực trị bằng -2 tại x = 1 Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá (m laø tham soá) có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trị trái dấu VẤN ĐỀ III: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa 2. Quy tắc tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn +Tìm các thuộc đoạn tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. + Tính . + So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn . II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: a) b) trên c) trên [-3;2] d) trên [-8;6] e) y = x2.ex trên [-3;2] f) Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1) trên đoạn . 2) trên đoạn . 3) trên . 4) 5) 6) Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) , với x 6) ,với x ; 7) f(x)=. VẤN ĐỀ IV: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số y = f(x) 1. Nếu đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số . 2. Nếu đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số . II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm các tiệm cận của các đường cong sau: a) b) c) d) VAÁN ÑEÀ V: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ VAØ CAÙC BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Xét sự biên thiên của hàm số. a. Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng. 3. Vẽ đồ thị của hàm số + Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có) + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ II. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ. Bài toán 1. Giao điểm của hai đồ thị Giaû söû hai haøm soá y = f(x), y = g(x) laàn löôït coù hai ñoà thò (C1) vaø (C2). Haõy tìm caùc giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2). Caùch giaûi: * Giaûi phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm f(x) = g(x) ta coù nghieäm x0 * Thay x0 vaøo moät trong hai haøm soá ta coù y0. * Toïa ñoä giao ñieåm laø M(x0,y0). Nhaän xeùt: Soá giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) bằng soá nghieäm phöông trình f(x) = g(x) . 2. Sự tiếp xúc của hai đường cong Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trìnhcó nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó. Giaû söû hai haøm soá laàn löôït coù hai ñoà thò (C1) vaø (C2). Baøi toaùn 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán. Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò (C). Haõy vieát phöông trình tieáp tuyeán d cuûa (C) bieát: 1) Ñöôøng thaúng d tieáp xuùc (C) taïi M(x0;y0). Caùch giaûi: Tìm f’(x) vaø aùp duïng coâng thöùc tieáp tuyeán: y – y0 = f’(x0)(x – x0). 2) Ñöôøng thaúng d coù heä soá goùc k. Caùch giaûi: Giaûi phöông trình f’(x) = k coù nghieäm x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm aùp duïng caâu 1) 3) Ñöôøng thaúng d ñi qua A(xA;yA). Caùch giaûi: * Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua A laø: y = k(x – xA) + yA * Ñieàu kieän ñeå d tieáp xuùc (C) laø heä: Phaûi coù nghieäm vaø nghieäm chính laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm vaø heä soá goùc k. BÀI TẬP ÁP DỤNG Baøi 1: Cho haøm soá: y = 1) Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá 2) Tìm m đñeå ñöôøng thaúng y = -x + m caét ñoà thò (C) taïi hai ñieåm phaân bieät.ø Baøi 2: Cho haøm soá: y = -x3 - 3x2 + 2. 1)Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 2)Bieän luaän baèng ñoà thò soá nghieäm cuûa phöông trình: x3 +3x2 + 1 + m = 0 (1). 3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi điểm là nghiệm phương trình y’’ = 0. Baøi 3: Cho haøm soá f(x) = 1) Khaûo saùt veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá 2)Tìm ñieåm thuoäc ñoà thò coù toaï ñoä nguyeân Baøi 4: Cho haøm soá y= x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 . (Cm), m laø tham soá 1)Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C1) cuûa haøm soá khi m=1 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C1), bieát raèng tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm A(0; 1). 3)Tìm m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá caét truïc O x taïi 4 ñieåm phaân bieät ; Bài 5: Cho hàm số có đồ thị là (Cm). Tìm m để (Cm) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : . Biện luận theo m số giao điểm của (Cm) và trục hoành. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -3. Viết phương trình tiếp tuyên với (C) tại điểm M(x0;y0) thuộc (C) , biết f”(x0)=0. Đường thẳng () có hệ số góc k đi qua điểm M ở câu 4), giả sử () cắt thêm đồ thị (C) tại hai điểm A và B. Chứng minh M là trung điểm của AB và các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành. Bài 6: Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : . Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x + y + 2009 = 0. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm của phương trình mx+x-m=0. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi: (C), trục hoành và đường thẳng x = -1. Bài 7: 1) Cho hàm số . (1) Định giá trị tham số m để hàm số có 3 điểm cực trị. Khi m = 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . 2) Khảo sát và vẽ đồ thi (C) của hàm số (1) khi m = 1. 3) Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận số nghiệm của phương trình : 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x0 ; y0)(C), biết f ”(x0) = 0. 5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành. Bài 8: Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : . Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận số nghiệm của phương trình : . Viết phương trình tiếp tuyên với (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 9x + y + 5 = 0. Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0;-2) và có hệ số góc k. Định giá trị tham số k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Khi k = -1, hãy tính diện tích hình phẳng giỡi hạn bỡi (C) và (d). Bài 9: Cho hàm số có đồ thị (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt . 3) Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bỡi các đường : đồ thị (C); tiệm cận ngang của (C) ; trục tung và đường thẳng x = 2 khi cho hình phẳng quay xung quanh trục Ox. 4) Viết phương trình tiếp tuyên với (C) trong mỗi trường hợp sau: a) Tại giao điểm của (C) với trục tung. b) Tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ hai. c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): 4x – y + 2009 = 0. d) Tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; 3). 5) Tính tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị (C) đến hai đường tiệm cân của (C) . Bài 10: Cho hàm số có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C). 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua gốc tọa độ. 3) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 4) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bỡi (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 quay xung quanh trục Ox. PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT A. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Các kiến thức cần nhớ: 1) Hàm số mũ y = ax: - TXĐ: R, ax > 0 với mọi x. - Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1. - Các tính chất của lũy thừa. 2) Dạng cơ bản: 3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ: - Đưa về cùng cơ số - Lôgarít hai vế (dạng: ) - Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình: a) b) c) d) Bài 2: Giải các phương trình: a) b) c) 3 Bài 3: Giải các bất phương trình: a) b) c) d) B. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Kiến thức cơ bản: - Định nghĩa: - Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0, . Tập giá trị: R - Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu - Các công thức biến đổi: loga(b1.b2)= loga|b1| + loga|b2| - Phương trình và bất phương trình cơ bản: - Phương pháp giải thường dùng: + Đưa về cùng cơ số + Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản. Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình: a) log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log23 b) log3(2 - x) - log3(2 + x) - log3x + 1 = 0 c) d) Bài 2: Giải các phương trình: a) b) Bài 4: Giải các bất phương trình: a) log3(x + 2) > log81(x+2) b) Bài I: 1) Giải các phương trình sau: a) ; b) c) ; d) . 2) Giải các phương trình sau: a) ; b) c) ; d) e) ; g) h) ; i) k) (D- 03) ; l) Bài II: Giải các bất phương trình sau: a) ; b) Giải các bất phương trình sau: a) ; b) Bài III: 1) Giải các phương trình sau: a) ; b) c) ; d) . 2) Giải các phương trình sau: a) ; b) c) ; d) 3) Giải các phương trình sau: a) ; b) c) ; d) e) Bài IV: 1) Giải các bất phương trình sau: a) ; b) c) ; d) 2) Giải các bất phương trình sau: a) ; b) c) ; d) PHẦN III. NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN I. NGUYEÂN HAØM A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Ñònh nghóa: Haøm soá f xaùc ñònh treân K. Haøm soá F ñöôïc goïi laø cuûa f treân K neáu . Chuù yù : Hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f treân K. 2. Nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp: 1); 2) 3) 4) Vôùi k laø haèng soá khaùc 0. a. ; b. ; c. ; d. ; 5) a. ; b. . 3. Caùc phöông phaùp tính nguyeân haøm a.Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè: a.Ph­¬ng ph¸p tích phaân töøng phaàn: BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; II. TÍCH PHAÂN 1.Ñònh nghóa 2. Tính chaát Vôùi f(x), g(x) lieân tuïc treân khoaûng K vaø a, b, c laø ba soá baát kyø thuoäc K. Khi ñoù ta coù: 1) = 0; 2) = - ; 3) +=; 4) =; 5) = k.; k 2. Caùc phöông phaùp tính tích phaân a.Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè: a.Ph­¬ng ph¸p tích phaân töøng phaàn: BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: ; ; ; ; ; ; . Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: ; ; ; ; ; . ; ; ; Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau ; ; ; ; ; ; Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau ; ; ; ; ; ; ; ; III. ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN 1. DIEÄN TÍCH CUÛA HÌNH PHAÚNG a. Haøm soá lieân tuïc treân ñoaïnthì dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá , truïc hoaønh vaø ñöôøng thaúng laø b. Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò caùc haøm soá ,lieân tuïc treân ñoaïnvaø hai ñöôøng thaúng laø: 2. THEÅ TÍCH CUÛA VAÄT THEÅ Haøm soá lieân tuïc, khoâng aâm treân ñoaïn. Hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá , truïc hoaønh vaø hai ñöôøng thaúng , quay quanh truïc hoaønh taïo neân moät khoái troøn xoay coù theå tích laø: BAØI TAÄP AÙP DUÏNG. Baøi 1. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cña hµm sè y = 2 - x2 víi ®­êng th¼ng (d): y = x. Baøi 2. Cho hµm sè y = (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña nã t¹i A(0,1). Baøi 3. Cho hµm sè y = (C) . TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trôc Ox; Oy vµ ®­êng th¼ng x = 2. Baøi 4 TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay t¹o nªn bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng y = 2x - x2 , y = 0 khi ta quay quanh:Trôc Ox. Baøi 5 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®­îc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi : y = , x = 1 vµ y = 0 ( ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox. PHẦN IV: SỐ PHỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tập hợp số phức: C 2. Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b, i là đơn vị ảo, i2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo của z z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là phần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0) 3. Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i 4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi trong mp(Oxy) (mp phức) y M(a+bi) 0 x 5. Cộng và trừ số phức : . (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i . (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’ Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b z biểu diễn , z’ biểu diễn thì z + z’ biểu diễn bởi và z – z’ biểu diễn bởi 6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’. 7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là a) b) z là số thực ; z là số ảo 8. Môđun của số phức : z = a + bi a) b) c) 9. Chia hai số phức : a) Số phức nghịch đảo của z (z: b) Thương của z’ chia cho z (z: c) Với z, 10. Phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ). B. BÀI TẬP Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau : a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (1 + i)2 – (1 – i)2 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 d) Bài 2: Tìm z a) b) Bài 3: Phân tích ra thứa số : a) a2 + 1 b) 2a2 + 3 c) 4a4 + 9b2 Bài 4: Thực hiện phép tính : a) b) c) d) e) f) Bài 5: Giải các phương trình sau trong C. a) b) c) x2 – 3x + 4 = 0 d) x2 – x + 3 = 0 Phần 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Các công thức tính thể tích Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy , cạnh bên SB bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 4. Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc C = 600 .Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300. a) Tính độ dài đoạn AC’ b) Tính thể tích của lăng trụ. 5. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE. 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và thể tích khối hộp. 7. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với đáy bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy. c) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó. 8. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA(ABC), góc giữa cạnh bên SB và đáy bằng 600. a) Chứng minh BC(SAB) b) Tính thể tích tứ diện SABC. 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA(ABC), góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp. b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó. 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi I là trung điểm của AB, SI(ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp. PHẦN 2. MẶT TRÒN XOAY A. MẶT CẦU, KHỐI CẦU 1. Định nghĩa : Maët caàu (S) coù taâm O baùn kính R kí hieäu: S(O; R). S(O; R) = {M| OM = R} 2. Vò trí töông ñoái cuûa maët caàu vaø maët phaúng : Cho maët caàu S(O; R) vaø maët phaúng (P). Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa O leân (P). Khoaûng caùch töø O ñeán (P) laø ñoä daøi ñoaïn OH . Ta coù: - H goïi laø tieáp ñieåm - (P) goïi laø tieáp dieän 3. Vò trí töông ñoái cuûa maët caàu vaø ñöôøng thaúng Cho maët caàu S(O; R) vaø ñöôøng thaúng d. Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa O leân d. Khoaûng caùch töø O ñeán d laø ñoä daøi ñoaïn OH. Tacoù: - H goïi laø tieáp ñieåm - d goïi laø caùt tuyeán - d goïi laø tieáp tuyeán - AB goïi laø daây cung 4. Tính chaát tieáp tuyeán cuûa maët caàu Töø ñieåm A ngoaøi S(O; R) coù voâ soá tieáp tuyeán vôùi maët caàu a) Ñoä daøi caùc ñoaïn noái A vôùi tieáp ñieåm baèng nhau. b) Taäp hôïp caùc tieáp ñieåm laø moät ñöôøng troøn naèm treân S(O; R). 5. Caùc coâng thöùc: Dieän tích maët caàu: Theå tích khoái caàu: Chuù yù: V’ = S BAØI TAÄP Daïng 1: Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu baèng ñònh nghóa - Taäp hôïp nhöõng ñieåm M caùch ñeàu moät ñieåm O coá ñònh laø moät maët caàu taâm O, baùn kính OM - Caùc ñieåm cuøng nhìn ñoaïn AB coá ñònh döôùi moät goùc vuoâng laø maët caàu taâm laø trung ñieåm O cuûa AB, baùn kính . - Taäp hôïp nhöõng ñieåm M sao cho toång bình phöông caùc khoaûng caùch töø M tôùi hai ñieåm A, B coá ñònh baèng haèng soá k2 laø maët caàu, taâm laø trung ñieåm O cuûa AB, baùn kính Baøi taäp aùp duïng Chöùng minh taùm ñænh cuûa moät hình hoäp chöõ nhaät cuøng naèm treân moät maët caàu. HD: - Giaû söû hình hoäp chöõ nhaät laø ABCD.A’B’C’D’ - Chöùng minh A, B, C, D, A’, B,’ C’, D’ caùch ñeàu moät ñieåm coá ñònh. Goïi O laø giao ñieåm caùc ñöôøng cheùo cuûa hình hoäp chöõ nhaät. Ta coù O caùch ñeàu A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi B, DA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC). a) Xaùc ñònh maët caàu qua boán ñænh A, B, C, D. b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính baùn kính maët caàu trong a). HD: a) Ta coù vaø Vaäy A vaø B cuøng nhìn CD döôùi moät goùc vuoâng Neân thuoäc maët caàu ñöôøng kính CD b) Baùn kính maët caàu Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø töù giaùc ñeàu coù SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy ABCD. SA = AB = a. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu qua naêm ñieåm S, A, B, C. Tính dieän tích maët caàu. HD: a) - Ta coù A, B, D cuøng nhìn ñoaïn SC döôùi moät goùc vuoâng neân naêm ñieåm S, A, B, C, D cuøng naèm treân maët caàu ñöôøng kính SC. - Baùn maët caàu b) Dieän tích cuûa maët caàu Daïng 2: Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï a) Caùch xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp (hình choùp noäi tieáp maët caàu) *) Ñieàu kieän hình choùp ñaùy coù ñöôøng troøn ngoaïi tieáp - Döïng truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy - Döïng maët phaúng trung tröïc cuûa moät caïnh beân - Xaùc ñònh giao ñieåm cuûa truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy vôùi maët phaúng trung tröïc vöøa döïng. b) Caùch xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï (hình laêng truï noäi tieáp maët caàu) *) Ñieàu kieän laêng truï phaûi laø laêng truï ñöùng, ñaùy coù ñöôøng troøn ngoaïi tieáp - Döïng truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy (ñöôøng thaúng noái taâm hai ñaùy) - Trung ñieåm cuûa ñoaïn noái taâm hai ñaùy laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp laêngt truï. Baøi taäp aùp duïng Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc, OA = a, OB = b vaø OC = c. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù ñieän OABC. HD: Xaùc ñònh taâm maët caàu: - Goïi E laø trung ñieåm cuûa BCE laø taâm ñöôøng ngoaïi tieáp tam giaùc OBC - Döïng ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi (OBC) taïi E - Döïng maët phaúng trung tröïc (P) cuûa caïnh OA - (P) caét d taïi I. Ta coù IB = IC = IO = IA I laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän OABC Tính baùn kính: - Ta coù baùn kính Tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï tam giaùc ñeàu coù taát caû caùc caïnh baèng a. ÑS: Daïng 3: Söï töông giao giöõa maët caàu vaø maët phaúng, ñöôøng thaúng a) Cho maët caàu S(O; R) vaø maët phaúng (P). Goïi H laø hình chieáu cuûa O leân (P) . H goïi laø tieáp ñieåm; (P) goïi laø tieáp dieän . b) Cho maët caàu S(O; R) vaø ñöôøng thaúng d. Goïi H laø hình chieáu cuûa O leân d . . H goïi laø tieáp ñieåm; d goïi laø tieáp tuyeán. . d goïi laø caùt tuyeán; AB goïi laø daây cung. Baøi taäp aùp duïng Cho maët caàu (S) taâm O baùn kính R, ñieåm A naèm treân maët caàu, (P) laø maët phaúng qua A sao cho goùc giöõa OA vaø (P) baèng 300. Xaùc ñònh vò trí töông ñoái cuûa (P) vaø maët caàu. Tính dieän tích thieát dieän. Ñöôøng thaúng qua A vuoâng goùc vôùi (P) caét maët caàu taïi B. Tính ñoä daøi ñoaïn AB. HD: a) - Gọi H là hình chiếu của O leân (P) Ta coù Vaäy (P) caét (S) Dieän tích thieát dieän: b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB Ta coù OI vuoâng goùc AB B. MAËT TRUÏ, MAËT NOÙN I. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT A. MAËT TRUÏ 1. Maët truï laø hình troøn xoay sinh bôûi ñöôøng thaúng l khi quay quanh ñöôøng thaúng song song vôùi l. - Ñöôøng thaúng laø truïc - Khoaûng caùch giöõa vaø l laø baùn kính 2. Hình truï laø hình troøn xoay sinh bôûi khi quay moät hình chöõ nhaät quanh trục cuûa noù. 3. Khoái truï laø hình truï cuøng vôùi phaàn beân trong cuûa noù. 4. Caùc coâng thöùc Coâng thöùc tính dieän tích ; Coâng thöùc tính theå tích Chuù yù: V’ = Sxq B. MAËT NOÙN 1. Maët noùn laø hình troøn xoay sinh bôûi ñöôøng thaúng l khi quay quanh ñöôøng thaúng caét l nhöng khoâng vuoâng goùc vôùi l. - Ñöôøng thaúng laø truïc - Giao ñieåm O cuûa l vaø goïi laø ñænh. - Hai laàn goùc hôïp bôûi l vaø goïi laø goùc ôû ñænh. 2. Hình noùn laø hình troøn xoay sinh bôûi khi quay moät tam giaùc caân quanh truïc cuûa noù. 3. Khoái noùn laø hình noøn cuøng vôùi phaàn beân trong cuûa noù. 4. Caùc coâng thöùc Coâng thöùc tính dieän tích ; Coâng thöùc tính theå tích II. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng 1: Chöùng minh moät ñöôøng thaúng thuoäc maët truï, maët noùn. - Moät ñöôøng thaúng thuoäc maët truï neáu noù ñi qua moät ñieåm cuûa maët truï vaø song song vôùi truïc. - Moät ñöôøng thaúng thuoäc maët noùn neáu noù ñi qua ñænh cuûa maët noùn vaø taïo vôùi truïc moät goùc khoâng ñoåi vaø baèng nöûa goùc ôû ñænh. Cho maët phaúng (P), ñieåm A naèm treân maët phaúng (P), moät ñieåm B naèm ngoaøi maët phaúng (P) sao cho hình chieáu H cuûa B treân (P) khoâng truøng vôùi A, ñieåm M chaïy treân (P) sao cho . Chöùng minh M naèm treân maët truï troøn xoay coù truïc laø AB. HD: Döïng MK vuoâng goùc vôùi AB Chöùng minh MK = BH Daïng 2: Thieát dieän cuûa moät maët phaúng vôùi maët truï - Thieát dieän vuoâng goùc vôùi truïc laø moät ñöôøng troøn. - Thieát dieän qua truïc hoaëc song song vôùi truïc laø moät hình chöõ nhaät Moät hình truï coù baùn kính ñaùy baèng R, truïc OO’ vaø ñöôøng cao R. Hai ñieåm A, B naèm treân hai ñöôøng troøn ñaùy sao cho goùc hôïp bôûi AB vaø truïc cuûa hình truï baèng 300. Tính dieän tích thieát dieän qua AB vaø song song vôùi truïc hình truï. Tính goùc giöõa hai baùn kính ñaùy qua A vaø B. Döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa AB vaøtruïc hình truï. HD: a. Thieát dieän qua AB song song vôùi truïc laø hình chöõ nhaät ACBD SACBD = AD.BD = AD2tan300 b. Goùc giöõa hai baùn kính qua A vaø B baèng vôùi c. Goïi K, K’ laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BD coù KK’ // OO’ H laø giao ñieåm cuûa KK’ vôùi AB, I laø trung ñieåm cuûa OO’ Coù HI laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa AB vaø OO’; IH = OK Daïng 3: Thieát dieän cuûa moät maët phaúng vôùi maët noùn - Thieát dieän vuoâng goùc vôùi truïc laø moät ñöôøng troøn. - Thieát dieän qua ñænh caét hình noùn theo hai ñöôøng sinh laø moät tam giaùc caân coù ñænh laø ñænh cuûa hình noùn. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a. Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình truï coù ñöôøng troøn cuûa hai ñaùy ngoaïi tieáp caùc hình vuoâng ABCD vaø A’B’C’D’. Chöùng minh taát caû caùc ñænh cuûa hình laäp phöông naèm treân moät maët caàu. Haõy tính dieän tích maët caàu ñoù. HD: a. Hình truï coù baùn kính ñaùy ; chieàu cao h = a b. Goïi O, O’ laàn löôït laø taâm hai ñaùy, I laø trung ñieåm cuûa OO’ Chöùng minh: I caùch ñeàu caùc ñænh cuûa hình laäp phöông. Baùn kính maët caàu RC = IA PHẦN 3. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN TOAÏ ÑOÄ CUÛA VECTÔ – TOAÏ ÑOÄ CUÛA ÑIEÅM TÍCH COÙ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT 1. TOAÏ ÑOÄ VECTÔ 1) Định nghĩa : vecto 2) Tính : Cho các vecto , . Ta có: a) b) c) R e) f) g) h) 2. TOAÏ ÑOÄ ÑIEÅM 1) Định nghĩa: 2) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; y