Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán - Vũ Văn Bắc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT A NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thực hiện Vũ Văn Bắc Website: ---------- NGHĨA HƯNG NGÀY 8 THÁNG 5 NĂM 2013 ---------- www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc VẤN ĐỀ 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bài toán 1.1 Cho biểu thức 2 1 1 x x x xP x x x        với 0, 1.x x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x khi 0.P  (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2011)  Lời giải. a) Với 0, 1x x  ta có         3 11 1 1 1 1 1 1 x xx x x x x x x P x x x x x x                     1 1 1 1 x x x x x x x x x x           2 .x x x x x     Vậy với 0, 1x x  thì 2 .P x x  b) Với 0, 1x x  ta có  0 2 0 2 0P x x x x       00 0 422 0 xx x xxx             Đối chiếu với điều kiện 0, 1x x  ta thấy hai giá trị này đều thỏa mãn. Vậy với 0P  thì 0, 4.x x  NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN Kĩ năng cũng như cách giải chung cho dạng toán như câu a  Đặt điều kiện thích hợp, nếu đề bài đã nêu điều kiện xác định thì ta vẫn phải chỉ ra trong bài làm của mình như lời giải nêu trên.  Đa phần các bài toán dạng này, chúng ta thường quy đồng mẫu, xong rồi tính toán rút gọn tử thức và sau đó xem tử thức và mẫu thức có thừa số chung nào hay không để rút gọn tiếp.  Trong bài toán trên thì đã không quy đồng mẫu mà đơn giản biểu thức luôn.  Khi làm ra kết quả cuối cùng, ta kết luận giống như trên. Đối với dạng toán như câu b  Cách làm trên là điển hình, không bị trừ điểm.  Ngoài câu hỏi tìm x như trên thì người ta có thể hỏi: cho x là một hằng số nào đó bắt rút gọn P, giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tìm x để P có www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc giá trị nguyên, chứng minh một bất đẳng thức. Nhưng thường thì người ta sẽ hỏi như sau: tìm x để P có giá trị nào đó (như ví dụ nêu trên), cho x nhận một giá trị cụ thể để tính P. MỘT SỐ CÂU HỎI MỞ CHO BÀI TOÁN  Câu hỏi mở 1. Rút gọn P khi 3 2 2.x   Ta có 2 2 23 2 2 1 2.1. 2 ( 2) (1 2)x        Khi đó, với 0, 1x x  thì 2(1 2) 1 2x     Do đó 2 3 2 2 2(1 2) 3 2 2 2 2 2 1.P x x           Vậy với 3 2 2x   thì 1.P   Câu hỏi mở 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P Với 0, 1x x  ta có 2 22 ( ) 2 1 1 ( 1) 1P x x x x x         Vì 1x  nên 2( 1) 0x   2( 1) 1 1x     Vậy với 0, 1x x  thì P không có giá trị nhỏ nhất. Trong loại câu hỏi này, ta cần chú ý đến điều kiện xác định. Chẳng hạn với điều kiện 4x  ta rút gọn được P x x  thì ta sẽ không làm như trên mà sẽ làm như sau Với 4x  ta có 2 ( 2)P x x x x x x      Vì 4 2 0, 2 0 ( 2) 0 2 2x x x x x x x             Vậy min 2P  , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4x  (thỏa mãn điều kiện).  Câu hỏi mở 3. Chứng minh rằng 1P   thì ta làm như trên nhưng kết luận là 1.P    Câu hỏi mở 4. Tìm số nguyên x để P có giá trị nguyên. Ví dụ trên, ta có 2P x x  , thì thường đề bài sẽ không hỏi đến nghiệm nguyên. Chẳng hạn với điều kiện 1x  ta rút gọn được 3 1 xP x   , đề bài hỏi: tìm số nguyên x để P nhận giá trị nguyên thì ta làm như sau Với 1x  , ta có 3 3( 1) 3 33 1 1 1 x xP x x x          Từ đó với x là số nguyên, 3 33 3 ( 1) 1 1 P x x x          ¢ ¢ M Tương đương với 1x  là ước của 3, mà ước của 3 là    3; 1;1;3 ( 1) 3; 1;1;3x       Mà 1 1 2 1 3 2x x x x         (thỏa mãn điều điện) Kết luận: vậy 2x  là giá trị cần tìm. Ta xét thêm một bài toán nữa là một câu trong đề chung chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Bài toán 1.2 Cho biểu thức 3 1 1 1: 1 1 xP x x x x          với 0, 1.x x  a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để 2 3.P x  (Đề chung Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011)  Lời giải. a) Với 0, 1x x  ta có   3 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) x xB x x x x x x             3 1 1( 1). ( 1)( 1) x xx x x x        (2 2) 2 ( 1) 2 . 1 1 x x x x x x x        Vậy với 0, 1x x  thì 2 .P x b) Với 0, 1x x  và 2P x ta có 2 3 4 3 4 3 0 3 3 0 ( 1) 3( 1) 0 ( 1)( 3) 0 1 0 1 1 93 0 3 P x x x x x x x x x x x x x x x x xx x                                        Kết hợp với điều kiện nêu trên thì chỉ có 9x  thỏa mãn bài toán. B. CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN Bài 1: Cho biểu thức       6 5 3 2 aaa aP a2 1 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của a để 1.P  Bài 2: Cho biểu thức P =                          65 2 3 2 2 3: 1 1 xx x x x x x x x a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để 0.P  www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Bài 3: Cho biểu thức P =                        13 231: 19 8 13 1 13 1 x x x x xx x a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để 6 . 5 P  Bài 4: Cho biểu thức P =                    1 2 1 1: 1 1 aaaa a aa a a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của a để 1.P  c) Tìm giá trị của P nếu 3819 a Bài 5: Cho biểu thức P =                                 a a aa a a a aa 1 1. 1 1: 1 )1( 332 a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức ( 0,5).M a P  Bài 6: Cho biểu thứ P =                           12 2 12 11:1 12 2 12 1 x xx x x x xx x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi 3 2 2 . 2 x  Bài 7: Cho biểu thức P =                    1 1: 1 1 1 2 x x xxxxx x a) Rút gọn P b) Tìm x để P0 Bài 8: Cho biểu thức P =                       a a a aa a a a 1 1. 1 12 3 3 a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P a1 Bài 9: Cho biểu thức 1 1 2 1 2: 11 1 x x x x x xP xx x x x                  a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P với 7 4 3x   c) Tính giá trị lớn nhất của a để .P a www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Bài 10: Cho biểu thức P =                      a a aaa a aa 1 1. 1 1 a) Rút gọn P. b) Tìm a để 7 4 3.P   Bài 11: Cho biểu thức P =                         1 3 22: 9 33 33 2 x x x x x x x x a) Rút gọn P b) Tìm x để 1 2 P  c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 12: Cho biểu thức P =                           3 2 2 3 6 9:1 9 3 x x x x xx x x xx a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P < 1 Bài 13: Cho biểu thức P = 3 32 1 23 32 1115         x x x x xx x a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để 1 2 P  c) Chứng minh 2 . 3 P  Bài 14: Cho biểu thức P = 2 2 44 2 mx m mx x mx x      với m > 0 a) Rút gọn P b) Tính x theo m để P = 0. c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện 1.x  Bài 15: Cho biểu thức P = 12 1 2      a aa aa aa a) Rút gọn P b) Biết 1a  hãy so sánh P với P c) Tìm a để P = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 16: Cho biểu thức P =                            1 11 1:1 11 1 ab aab ab a ab aab ab a a) Rút gọn biểu thức P. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc b) Tính giá trị của P nếu a = 32  và b = 31 13   c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 4 ba Bài 17: Cho biểu thức P =                         1 1 1 1111 a a a a a a aa aa aa aa a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của a thì P = 7 c) Với giá trị nào của a thì 6.P  Bài 18: Cho biểu thức P =                      1 1 1 1 2 1 2 2 a a a a a a a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của a để P 0 c) Tìm các giá trị của a để P 2  Bài 19: Cho biểu thức P =   ab abba ba abba    .4 2 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi a = 32 và b = 3 Bài 20: Cho biểu thức P = 2 1: 1 1 11 2                x xxx x xx x a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng P > 0 với x 1 Bài 21: Cho biểu thức P =                      1 21: 1 1 1 2 xx x xxx xx a) Rút gọn P b) Tính P khi x = 325  Bài 22: Cho biểu thức P = xxx x x 24 1: 24 2 4 2 3 2 1:1                   a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = 20 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Bài 23: Cho biểu thức P =   yx xyyx xy yx yx yx                233 : a) Rút gọn P b) Chứng minh P 0 Bài 24: Cho P =                                baba ba bbaa ab babbaa ab ba :31.31 a) Rút gọn P b) Tính P khi a = 16 và b = 4 Bài 25: Cho biểu thức P = 12 . 1 2 1 121                 a aa aa aaaa a aa a) Rút gọn P b) Cho P = 61 6  tìm giá trị của a c) Chứng minh rằng 2 . 3 P  Bài 26: Cho biểu thức:P=                           3 5 5 3 152 25:1 25 5 x x x x xx x x xx a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì 1.P  Bài 27: Cho biểu thức P =    baba baa babbaa a baba a 222 .1:133                a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên Bài 28: Cho biểu thức P =                     1 2 2 1:1 1 1 a a a a aa a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để 1 . 6 P  Bài 29: Cho biểu thức P = 33 33 :112.11 xyyx yyxxyx yxyxyx                     a) Rút gọn P b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Bài 30: Cho biểu thức P = x x yxyxx x yxy x      1 1. 22 2 2 3 a) Rút gọn P b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và P 0, 2. VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  Xét phương trình 2 0ax bx c   với a khác 0, biệt thức 2 4 .b ac    Hệ thức Viet đối với phương trình bậc hai 1 2 1 2 ; b cx x x x a a      Nếu 0ac  thì PT có 2 nghiệm phân biệt.  PT có nghiệm 0.   PT có nghiệm kép 0.   PT có 2 nghiệm phân biệt 0.   PT có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 1 2 0 0x x       PT có 2 nghiệm dương phân biệT 1 2 1 2 0 0 0 x x x x          PT có 2 nghiệm âm phân biệt 1 2 1 2 0 0 0 x x x x          Từ những tính chất quan trọng nêu trên, ta sẽ giải được một dạng toán về PT trùng phương. Xét phương trình 4 2 0ax bx c   (i) với a khác 0. Đặt 2 0t x  , ta có 2 0.at bt c   (ii)  PT (i) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 2 nghiệm dương phân biệt.  PT (i) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0.  PT (i) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm dương.  PT (i) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm là 0. Sau đây chúng ta sẽ xét một số bài toán thường gặp mang tính chất điển hình. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Bài toán 2.1 Cho phương trình 2( 1) 4 4 1 0.m x mx m     (1) a) Hãy giải phương trình trên khi 2m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hãy tìm một biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm của phương trình. d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa mãn 1 2 1 2 17.x x x x   e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu. h) Tìm m khi 1 2 2 7x x  , với 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình. i) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia.  Lời giải. a) Khi 2m  thay vào (1) ta được 2 8 9 0x x   (2) PT này có ' 16 9 7 0     Khi đó (2) có hai nghiệm 1 24 7; 4 7x x    Vậy với 2m  thì PT đã cho có tập nghiệm là  4 7;4 7 .S    b) Để làm câu hỏi này, ta sẽ chia thành hai trường hợp TH1: Khi 51 5 4 0 1 4 m x x m        thỏa mãn. TH2: Khi m khác 1, PT (1) là PT bậc hai. Xét 2 2 2' 4 ( 1)(4 1) 4 (4 3 1) 3 1m m m m m m m           PT (1) có nghiệm khi 1' 0 3 1 0 3 m m        Tóm lại, vậy với 1 3 m   thì PT đã cho có nghiệm. c) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi 11 1 1' 0 3 1 0 3 mm m m m                 Khi đó, áp dụng hệ thức Viet ta có 1 2 4 4( 1) 4 44 1 1 1 m mx x m m m           1 2 4 1 4( 1) 5 54 1 1 1 m mx x m m m           Do đó    1 2 1 2 4 55 5 4 4 5 4 1 1 1 x x x x m m                  Vậy biểu thức cần tìm là    1 2 1 25 4 1 .x x x x   www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc d) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi 11 1 1' 0 3 1 0 3 mm m m m                 Áp dụng hệ thức Viet ta có 1 2 1 2 4 4 1; 1 1 m mx x x x m m       Khi đó với 11, 3 m m   ta có 1 2 1 2 4 4 1 4 4 117 17 17 1 1 1 m m m mx x x x m m m               8 1 17 8 1 17 17 9 18 2 1 m m m m m m             (thỏa mãn ĐK) Vậy 2m  là giá trị cần tìm. e) PT (1) có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 1 2 1 2 ' 0 0 0 x x x x         1' 0 3 m      1 2 1 4 10 0 (4 1)( 1) 0 11 4 m mx x m m m m                1 2 140 0 4 ( 1) 0 01 mmx x m m mm             Vậy PT đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt khi 1 11 or . 3 4 m m     f) PT (1) có 2 nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi 1 2 1 2 ' 0 0 0 x x x x        Đến đây ta làm tương tự như câu e. g) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi 1 2 ' 0 0x x     Đến đây ta làm tương tự như câu e. h) Bình phương hai vế và làm tương tự như câu d, chú ý    2 2 21 2 1 2 1 2 1 24 .x x x x x x x x      i) ĐK để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: 11, . 3 m m   Từ giả thiết bài toán, ta có:   1 2 2 1 1 2 2 12 or 2 2 2 0x x x x x x x x         22 21 2 1 2 1 2 1 25 2 0 9 2 0x x x x x x x x        www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Áp dụng hệ thức Viet ta có 1 2 1 2 4 4 1; 1 1 m mx x x x m m       , nên 2 2 2 9(4 1) 2.16 0 9( 1)(4 1) 32 0 1 ( 1) m m m m m m m           2 2 236 27 9 32 0 4 27 9 0m m m m m         Đến đây các em làm tiếp, chú ý điều kiện PT có 2 nghiệm phân biệt. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN  Đối với những bài toán có liên quan đến hệ thức Viet, thì ta đặc biệt quan tâm đến ĐK để phương trình có nghiệm, tìm ra được x, ta phải đối chiếu ĐK để PT có nghiệm.  Ngoài các câu hỏi như trên ta còn có thể hỏi: tìm m thông qua giải bất phương trình (tương tự như câu hỏi d), tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Ví dụ trên, hệ số của x2 là tham số nên khi áp dụng Viet ta thấy có biến ở mẫu, thường người ta sẽ không hỏi min max ở bài này.  Đối với bài toán mà hệ số của x2 không chứa tham số thì ta có thể hỏi min max thông qua hệ thức Viet. Chẳng hạn cho PT 2 22( 1) 1 0x m x m     . Tìm m để PT có 2 nghiệm 1 2,x x ; khi đó tìm min của biểu thức  1 2 1 22P x x x x   ta có thể làm như sau Đễ dàng tìm được ĐK để PT có 2 nghiệm 1 2,x x là 1m   (các em làm đúng kĩ năng như VD). Áp dụng Viet ta có 21 2 1 22 2; 1x x m x x m     Khi đó ta có   2 21 2 1 22 1 2(2 2) 4 3P x x x x m m m m          Đến đây có một sai lầm mà đa số HS mắc phải là phân tích 2 24 3 ( 2) 1 1m m m       và kết luận ngay min 1.P   Đối với bài toán này, cách làm trên hoàn toàn sai. Dựa vào điều kiện PT có nghiệm là 1m   , ta sẽ tìm min của P sao cho dấu bằng xảy ra khi 1.m   Ta có 2 24 3 3 3 ( 1) 3( 1) ( 1)( 3)P m m m m m m m m m m              Với 1 1 0, 3 0 ( 1)( 3) 0 0m m m m m P             Vậy min 0P  , dấu bằng xảy ra khi 1m   (thỏa mãn ĐK đã nêu). Bài toán 2.2 Tìm m để PT 2 4 3 1 0x mx m    (i) có hai nghiệm 1 2, x x thỏa mãn 1 22 .x x  Lời giải. PT (i) có 2' 4 3 1m m    , (i) có 2 nghiệm 2 2' 0 4 3 1 0 4 4 1 0 4 ( 1) ( 1) 0 ( 1)(4 1) 0 11 or . 4 m m m m m m m m m m m m                         www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Khi đó theo hệ thức Viet ta có 1 2 1 24 ; 3 1x x m x x m    (*) Ta lại có 1 21 2 1 2 2 2 2 x x x x x x       + Với 1 22x x kết hợp với (*) ta được 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 3 4 3 1 2 3 1 2 3 1 x x x x x x x x m x x m x m x x m x x m x m                          Từ 2 2 33 4 4 x m m x   , thế vào 222 3 1x m  ta được 2 2 22 2 2 2 2 2 92 1 8 9 4 8 9 4 0. 4 x x x x x x         Đến đây, các em làm tiếp để rèn luyện kĩ năng. + Với 1 22x x  ta làm tương tự như trên. Nhận xét. Bài toán trên, ta đã thế m bởi 2x bởi lẽ, khi làm như vậy ta không phải khai phương tức là nếu thế 2x bởi m thì ta sẽ phải khai phương, không thuận lợi. Ngoài cách làm trên ta còn có thể giải như sau:   1 2 1 2 1 22 2 2 0.x x x x x x     Từ đó khai triển ra và dùng hệ thức Viet để giải. B. CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN Bài 1: Cho phương trình   22 2122 mxxm  a) Giải phương trình khi 12 m b) Tìm m để phương trình có nghiệm 23x c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất. Bài 2: Cho phương trình   0224 2  mmxxm a) Tìm m để phương trình có nghiệm 2x . Tìm nghiệm còn lại. b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt. c) Tính 22 2 1 xx  theo m. Bài 3: Cho phương trình   04122  mxmx a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M =    1221 11 xxxx  không phụ thuộc vào m. Bài 4: Tìm m để phương trình a)   0122  mxx có hai nghiệm dương phân biệt b) 0124 2  mxx có hai nghiệm âm phân biệt c)     012121 22  mxmxm có hai nghiệm trái dấu. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Bài 5: Cho phương trình   021 22  aaxax a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm giá trị của a để 22 2 1 xx  đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức 2 111  cb Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm 2 2 0 0. x bx c x cx b         Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung 2 2 2 (3 2) 12 0 4 (9 2) 36 0 x m x x m x           Bài 8: Cho phương trình 0222 22  mmxx a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình. Bài 9: Cho phương trình 0142  mxx a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện 1022 2 1  xx Bài 10: Cho phương trình   052122  mxmx a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì. Bài 11: Cho phương trình   0102122  mxmx a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là 21; xx hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa 21; xx mà không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị của m để 22 2 12110 xxxx  đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 12: Cho phương trình   0121 2  mmxxm a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m khác 1. b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình. c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. d) Tìm m để phương trình có nghiệm 21; xx thoả mãn hệ thức 02 5 1 2 2 1  x x x x Bài 13: Cho phương trình 012  mmxx a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm 21; xx với mọi m ; tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc b) Đặt 21 2 2 2 1 6 xxxxA  i) Chứng minh 882  mmA ii) Tìm m để A = 8 iii) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia. Bài 14: Cho phương trình 01222  mmxx a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm 21; xx với mọi m. b) Đặt A = 21 2 2 2 1 5)(2 xxxx  i) Chứng minh A = 9188 2  mm ii) Tìm m sao cho A = 27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia. Bài 15: Giả sử phương trình 0. 2  cbxxa có 2 nghiệm phân biệt 21; xx . Đặt nn n xxS 21  với n là số nguyên dương. a) Chứng minh 0. 12   nnn cSbSSa b) Áp dụng tính giá trị của A = 55 2 51 2 51                   Bài 16: Cho 2( ) 2( 2) 6 1f x x m x m     a) Chứng minh phương trình ( ) 0f x  có nghiệm với mọi m. b) Đặt 2x t  , tính ( )f x theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình ( ) 0f x  có 2 nghiệm lớn hơn 2. Bài 17: Cho phương trình   05412 22  mmxmx a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm. b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương. c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau. d) Gọi 21; xx là hai nghiệm nếu có của phương trình. Tính 2 2 2 1 xx  theo m. Bài 18: Cho phương trình 08342  xx có hai nghiệm là 21; xx . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 2 3 1 3 21 2 221 2 1 55 6106 xxxx xxxxM    Bài 19: Cho phương trình 2 2( 2) 1 0.x m x m     a) Giải phương trình khi 1 . 2 m  b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi 21; xx là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để 2 1221 )21()21( mxxxx  www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc Bài 20: Cho phương trình 032  nmxx (i) a) Cho n = 0, chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Tìm m và n để hai nghiệm 21; xx của phương trình (i) thoả mãn      7 1 2 2 2 1 21 xx xx Bài 21: Cho phương trình   052222  kxkx a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b) Gọi 21; xx là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của k sao cho 18 2 2 2 1  xx Bài 22: Cho phương trình   04412 2  mxxm a) Giải phương trình khi m = 1. b) Giải phương trình khi m tùy ý. c) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng m. Bài 23: Cho phương trình   0332 22  mmxmx a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm 21, xx thoả mãn 61 21  xx VẤN ĐỀ 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bài toán 3.1 Giải hệ phương trình sau 10 5 1 12 3 4 1 7 8 1. 12 3 4 1 x y x y              Hướng dẫn. ĐK 1 1, 4 4 x y  