Tài liệu ôn thi vào lớp 10 năm học 2009 - 2010

Buæi 1. Chñ §Ò 1: rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. Ngµy so¹n: 12.05.10. Ngµy d¹y: 15.05.10. I. Ph­¬ng ph¸p. 1. Ph­¬ng ph¸p rót gän b»ng c¸ch ph©n tÝch thµnh nh©n tö. - Sö dông H§T. - Sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö. 2. Ph­¬ng ph¸p nh©n víi biÓu thøc liªn hîp. C¸c biÓu thøc liªn hîp th­êng gÆp: vµ ; a + b vµ a2 - ab + b2; a - b vµ a2 + ab + b2. ii. bµi tËp. Bµi 1. Cho biÓu thøc: A=Víi x¹;±1 a. Rót gän biÓu thøc A. b. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi cho x = . c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3 Gi¶i. a. Rót gän A = b. Thay x= vµo A ta ®­îc A = . c. A = 3 x2 - 3x - 2 = 0 x = Bµi 2: Cho biÓu thøc: P = a. Rót gän P. b. T×m x nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn. Gi¶i. a. §K: x . Rót gän: P = = b. P = . §Ó P nguyªn th× nguyªn suy ra lµ ­íc cña 2 suy ra víi x = th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 3: Cho biÓu thøc: a. T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P. b. T×m x, y nguyªn tháa m·n ph­¬ng tr×nh P = 2. Gi¶i. a. §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ : . b. P = 2 = 2 Ta cã: 1 + Þ Þ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vµo ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n. Bµi 4: Cho biÓu thøcA = víi x > 0 vµ x ¹ 1 a. Rót gän A. b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3 Gi¶i. a. Ta cã: A = = = = = = = b. A = 3 = 3 3x + - 2 = 0 x = 4/9. Bµi 5: Cho P = + - . a. Rót gän P. b. Chøng minh: P < víi x 0 vµ x 1. Gi¶i. §iÒu kiÖn: x 0 vµ x 1. P = + - = + - = = = b. Víi x 0 vµ x 1 . Ta cã: P < < 3 0 ) x - 2 + 1 > 0 ( - 1)2 > 0. (x 0 vµ x 1) Bµi 6: a. X¸c ®Þnh x R ®Ó biÓu thøc: A = lµ mét sè tù nhiªn b. Cho biÓu thøc: BiÕt x.y.z = 4 , tÝnh . Gi¶i. a. P lµ sè tù nhiªn -2x lµ sè tù nhiªn x = (trong ®ã k Z vµ k 0 ) b. §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x,y,z 0, kÕt hîp víi x.y.z = 4 ta ®­îc x, y, z > 0 vµ Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña h¹ng tö thø 2 víi ; thay 2 ë mÉu cña h¹ng tö thø 3 bëi ta ®­îc: P = Bµi 7: Cho biÓu thøc: D = : a. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D vµ rót gän D. b. TÝnh gi¸ trÞ cña D víi a = . c. T×m GTLN cña D. Gi¶i: a. §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D lµ . D = := b. a = . VËy D = c. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi ta cã . VËy gi¸ trÞ cña D lµ 1. Bµi 8: Cho biÓu thøc A = . a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh. b. Rót gän A. Gi¶i: §iÒu kiÖn x tháa m·n: Û Û x > 1 vµ x ¹ 2 b. Rót gän A = = + Víi 1 2 ta cã A = KÕt luËn: Víi 1 2 th× A = Bµi 9: Cho biÓu thøc M = a. T×m §K cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M. b. T×m x ®Ó M = 5. c. T×m x Z ®Ó M Z. Gi¶i: M = a. §K . M = BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = = c. M = . Do M Z nªn lµ ­íc cña 4 nhËn c¸c gi¸ trÞ: - 4; - 2; - 1; 1; 2; 4 do Bµi 10: Cho biÓu thøc: A = + a. Rót gän biÓu thøc A. b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn. Gi¶i: a. §iÒu kiÖn: x 0 + Víi x 2 : b. T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn: A nguyªn x2 + 3 3 x = Bµi 11: Cho biÓu thøc: P = a. Rót gän P. b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. Gi¶i: §iÒu kiÖn: x ³ 0; x ¹ 1 a. Thùc hiÖn ®­îc biÓu thøc trong ngoÆc b»ng: . KQ: P = b. ViÕt P = lËp luËn t×m ®­îc GTNN cña P = -1/4 khi x = 0. Bµi 12: Cho biÓu thøc: = a. T×m §KX§ cña vµ rót gän. b. Chøng minh . c. So s¸nh víi Gi¶i. a. §KX§: x 0, y 0, x y = b. x + y 2 (C«si), mµ x y x + y > 2 x - + y > 0 x - + y > 0. VËy Q = vµ x y c. Theo c©u b, ta cã x - + y > (1). Chia 2 vÕ cña (1) cho x - + y > 0 . VËy 0 Q < 1 + NÕu Q = 0 Q = . + NÕu 0 < Q < 1 ( - 1) < 0 Q - < 0 Q < x, y 0 vµ x y Buæi 2. Chñ §Ò 2: rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. Ngµy so¹n: 12.05.10. Ngµy d¹y: 16.05.10. I. Ph­¬ng ph¸p. 1. §Þnh lÝ Talet: a. §Þnh lÝ. C¸c ®­êng th¼ng // ®Þnh ra trªn hai ®­êng th¼ng kh«ng // víi chóng nh÷ng ®o¹n th¼ng tØ lÖ. b. HÖ qu¶: NÕu mét ®­êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ // víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t­¬ng øng tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. 2. TÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c. Trong tam gi¸c, ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc chia c¹nh ®èi diÖn thµnh hai ®o¹n th¼ng tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ hai ®o¹n Êy. 3. C¸c tr­êng hîp ®ång d¹ng cña tam gi¸c. a. Tr­êng hîp c.c.c: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã §D. b. Tr­êng hîp c.g.c: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi c¸c cÆp c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng. c.Tr­êng hîp g.g:NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn l­ît b»ng hai gãc cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã §D d. NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã ®ång d¹ng. e. Hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè hai diÖn tÝch b»ng b×nh ph­¬ng tØ sè ®ång d¹ng. ii. bµi tËp. Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC cã trùc t©m H. Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, AC. Gäi O lµ giao ®iÓm c¸c ®­êng trung trùc cña tam gi¸c. 1. Chøng minh r»ng OMN ®ång d¹ng víi HAB. T×m tØ sè ®ång d¹ng. 2. So s¸nh ®é dµi AH vµ OM. 3. Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng HAG ®ång d¹ng víi OMG. 4. Chøng minh ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng vµ GH = 2GO. HD gi¶i. a. Ta cã MN // AB (MN lµ ®­êng trung b×nh). MÆt kh¸c ta cã AH // OM (cïng vu«ng gãc víi BC) do dã gãc BAH = gãc OMN (cÆp gãc cã c¹nh t­¬ng øng //). T­¬ng tù ta cã gãc ABH = gãc ONM. Suy ra AHB ®ång d¹ng MON, tØ sè k = 2. b. Theo c©u a, ta cã hay AH = 2OM. c. Gäi G’ lµ giao ®iÓm cña AM vµ HO, ta cã AG’H ®ång d¹ng MG’O hay . Tõ ®ã ta cã G trïng G’ hay HAG ®ång d¹ng OMG. d. Tõ c©u c, suy ra H, G, O th¼ng hµng. Ta cã nªn GH = 2.GO. Bµi 2: Cho h×nh thang vu«ng ABCD (gãc A = gãc D = 900), E lµ trung ®iÓm cña AD vµ gãc BEC = 900. Cho biÕt AD = 2a. Chøng minh r»ng: a. AB.CD = a2. b. EAB vµ CEB ®ång d¹ng. c. BE lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ABC. HD gi¶i. a. EAB ®ång d¹ng CDE (g.g) suy ra §PCM. b. Theo c©u a ta cã suy ra ABE ®ång d¹ng EBC (c.g.c). c. Tõ c©u b, suy ra BE lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ABC. Bµi 3: Tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã BC = 2a, M lµ trung ®iÓm cña BC. LÊy D thuéc AB, E thuéc AC sao cho gãc DME gãc B. a. Chøng minh r»ng BD.CE kh«ng ®æi. b. Chøng minh r»ng DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE. HD gi¶i: a. DBM ®ång d¹ng MCE (g.g) suy ra §PCM. b. Theo c©u a, suy ra do ®ã DME ®ång d¹ng DBM (c.g.c) suy ra §PCM. Bµi 4: Cho ABC cã hai gãc nhän B vµ C, BC = a, ®­êng cao AH = h. Mét h×nh vu«ng MNPQ néi tiÕp tam gi¸c sao cho: M thuéc AB, N thuéc AC, P vµ Q thuéc BC. H·y tÝnh MP theo a vµ h. HD gi¶i: Ta cã (tØ sè 2 ®­êng cao cña hai ®ång d¹ng b»ng tØ sè ®ång d¹ng). Gäi MN = x, ta cã: . Ta cã MP = MN. (theo Pitago), suy ra MP = . Bµi 5: Cho tam gi¸c nhän ABC, trùc t©m H. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. §­êng th¼ng qua H vµ vu«ng gãc víi MH c¾t AB vµ AC theo thø tù ë I vµ K. a. Qua C kÎ ®­êng th¼ng // víi IK, c¾t AH vµ AB theo thø tù ë N vµ D. CMR: NC = ND. b. CMR: HI = HK. HD gi¶i. a. Ta cã NM vu«ng gãc víi CH (®­êng cao thø 3 cña tam gi¸c CNH) suy ra NM // AD (cïng CH). Tam gi¸c CBD cã CM = MB (GT), MN // BD suy ra ND = NC. b. Sö dông Ta let vµo hai cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng: AIH vµ AND, AKH vµ CAN, suy ra IH = KH. Bµi 6: Cho c©n ABC (AB = BC). Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M sao cho . Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm N sao cho . §­êng th¼ng MN c¾t ®­êng cao BH t¹i O. Tõ N h¹ NK vu«ng gãc BH. Tõ M h¹ MP vu«ng gãc víi BH. Cho BH = 35cm. a. CM BKN ®ång d¹ng BHC, tÝnh BK. b. TÝnh BP, OB, HO. c. Gi¶ sö ; . TÝnh theo m vµ n. HD gi¶i. a. Hai tam gi¸c ®ång d¹ng víi nhau theo TH (g.g) suy ra BK = 5 (cm). b. Theo c©u a, ta cã, OB = . c. Tõ BKN ®ång d¹ng BHC ta cã: BK = , MBP ®ång d¹ng ABH ta cã: BP = suy ra = . Bµi 7. Cho hai tam gi¸c ®Òu ABC vµ DEF mµ A thuéc DF, E thuéc BC. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ EF, K lµ giao ®iÓm cña AB vµ DE. a. CMR IFC ®ång d¹ng AIE, KDB ®ång d¹ng KAE. b. CM BD // CF. HD gi¶i. a. Ta cã AIF ®ång d¹ng EIC (g.g), suy ra IFC ®ång d¹ng AIE(c.g.c). T­¬ng tù KDB ®ång d¹ng KAE (c.g.c). Bµi 8: H×nh thang vu«ng ABCD (gãc A = gãc D = 900) cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i O, AB = 4cm, CD = 9cm. a. CMR c¸c tam gi¸c AOB vµ DAB ®ång d¹ng. b. TÝnh ®é dµi AD. c. CMR c¸c tam gi¸c OAB vµ OCD ®ång d¹ng. d. TÝnh tØ sè diÖn tÝch cña tam gi¸c OAB vµ OCD. HD gi¶i. a. AOB vµ DAB ®ång d¹ng (g.g). b. AD = 6cm. c. OAB vµ OCD ®ång d¹ng (g.g). d. . Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng cao AH, BC = 100cm, AH = 40cm. Gäi D lµ h×nh chiÕu cña H trªn AC, E lµ h×nh chiÕu cña H trªn AB. a. CMR ADE ®ång d¹ng ABC. b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ADE. HD gi¶i: a. Ta cã gãc C = gãc BAH = gãc AED, suy ra ADE ®ång d¹ng ABC (g.g). b. . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC tõ ®ã suy ra SADE = 320 (cm2) Bµi 10: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, AB = 1, AC = 3. Trªn c¹nh AC lÊy c¸c ®iÓm D, E sao cho AD = DE = EC. a. TÝnh ®é dµi BD. b. CMR c¸c tam gi¸c BDE vµ CDB ®ång d¹ng. c. TÝnh tæng gãc DEB vµ DCB. §¸p sè: a. BD = b. ; , nªn , tam gi¸c BDE vµ CDB ®ång d¹ng (c.g.c). c. Gãc DEB + gãc DCB = gãc DBC + gãc DCB = gãc ADB = 450. Bµi 11: Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, AC = b, AB = c, ®­êng ph©n gi¸c AD. a. TÝnh ®é dµi BD, DC. b. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AD ë I. TÝnh tØ sè AI : ID. c. Cho BC b»ng trung b×nh céng cña AB vµ AC, gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. CMR: IG // BC. HD gi¶i: a. . b. AI : ID = . c. CM: , tõ ®ã suy ra IG // DM (TalÐt ®¶o), tøc lµ IG // BC. Bµi 12: Tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã BC = 2a, M lµ trung ®iÓm cña BC. LÊy c¸c ®iÓm D, E theo thø tù thuéc c¸c c¹nh AB, AC sao cho gãc DME = gãc B. a. CMR: BD.CE kh«ng ®æi. b. CMR: DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE. c. TÝnh chu vi tam gi¸c ADE nÕu tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu. HD gi¶i: a. CM tam gi¸c BDM ®ång d¹ng tam gi¸c CME (g.g) suy ra §PCM. b. Theo c©u a, ta cã , tam gi¸c DME ®ång d¹ng tam gi¸c DBM (c.g.c) suy ra gãc MDE = gãc BDM. c. DM lµ ph©n gi¸c BDE, EM lµ ph©n gi¸c CDE. KÎ MH vu«ng gãc DE, MI vu«ng gãc AB, MK vu«ng gãc AC. Ta cã DH = DI, EH = EK, do ®ã chu vi tam gi¸c ADE = AI + AK = 2AK. L¹i cã CK = , AC = 2a nªn AK = 1,5a. VËy chu vi tam gi¸c ADE = 3a. Buæi 3. Chñ §Ò 3: bÊt ®¼ng thøc. Ngµy so¹n: 15.05.10. Ngµy d¹y: 20.05.10. I. Ph­¬ng ph¸p. HS n¾m v÷ng: 1. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña B§T. 1.1: a > b a + c > b + c. 1.2: a > b 1.3: a > b, b> c a > c. 1.4: a > b, c > d a + c > b + d. 1.5: a > b > 0, c > d > 0 ac > bd. 1.6: a > b > 0 an > bn. 1.7: a > b > 0 > . 2. BÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè kh«ng ©m, bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki vµ mét sè bÊt ®¼ng thøc kh¸c. 2.1: BÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè kh«ng ©m: Víi a 0, b 0 khi ®ã: . DÊu “=” x¶y ra a = b 2.2: BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki: (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2). DÊu “=” x¶y ra tån t¹i sè k sao cho x = ka, y = kb (*), nÕu a, b 0 th× (*) ®­îc viÕt lµ: . ii. bµi tËp. Bµi 1: Cho hai sè d­¬ng a, b. CMR: a + b . HD gi¶i: Ta cã: (B§T Cosi)(a + b)(1 + ab) 4ab suy ra §PCM. DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi hay a = b = 1. Bµi 2: Cho 4 sè a, b, c, d. CMR: (a2 + b2)(c2 + d2) (ac + bd)2 (BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki) HD gi¶i: Khai triÓn hai vÕ vµ ®­a vÒ: (bc - ad)2 0 (lu«n ®óng) suy ra B§T cÇn chøng minh lu«n ®óng. DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi bc = ad . Bµi 3: T×m hai sè a, b biÕt r»ng: HD gi¶i: Ta cã: 25 = (2a + 3b)2 = ()2 [()2 + ()2].[()2 + ()2] = 5.(2a2 + 3a2) Suy ra 2a2 + 3a2 5. DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi hay a = b. VËy a = b = 1. Bµi 4: Cho a, b, k lµ c¸c sè d­¬ng, a < b. CMR: (1). HD gi¶i: XÐt hiÖu VT - VP ta ®­îc: k(a - b) < 0 a < b. B§T nµy ®óng, vËy (1) ®óng. Bµi 5: CMR: a2 + b2 + 4 ab + 2(a + b) (1). HD gi¶i: XÐt hiÖu VT - VP ta ®­îc: (a - b)2 + (a - 2)2 + (b - 2)2 0 ®óng. DÊu “=” x¶y ra khi a = b = 2. Bµi 6: CMR a > b > 0, m > n, ta cã: (1). HD gi¶i: (1) . Chia VT cho bn, chia VP cho bm Ta ®­îc . Bµi 7: (TH 04 - 05). Cho 0 < x < 1. 1. CMR: x(1 - x) (1). 2. T×m GTNN cña A = . HD gi¶i. 1. (1) lu«n ®óng. 2. Tõ x(1 - x) x2(1 - x) x suy ra A . A 16x + 2. = 2.8 = 16 (B§T Cosi). DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 16x = x = , mµ Cho 0 < x < 1 suy ra x = . Bµi 8. (TH 09 - 10). Cho x, y, z tho¶ m·n y2 + yz + z2 = 1 - . T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc: A = x + y + z. HD gi¶i. y2 + yz + z2 = 1 - 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 - 3x2 (x + y + z)2 + (x - y)2 + (x - z)2 = 2 (x + y + z)2 = -[(x - y)2 + (x - z)2] + 2 2. DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z - x + y + z . VËy GTLN lµ , GTNN lµ - khi x = y = z. Bµi 9: (TH 05 - 06). Cho x - y 0. CMR x2 + y2 + . HD gi¶i. x2 + y2 + = x2 - 2xy + y2 + 2(xy - 1) + = (x - y + )2 + 2 2. Bµi 10: (TH 06 - 07). Cho b > 0. CMR: HD gi¶i. Ta cã: = . Ta cã (B§T Cosi). L¹i cã b2 + 1 2b . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi b = 1. VËy 1 + = . Bµi 11: CMR: a = 4b víi a, b d­¬ng. (Sö dông c¸c tÝnh chÊt cña B§T). Bµi 12: CMR: (a2 + 1)(b2 + 4) (2a + b)2. (ChuyÓn vÕ vµ chøng minh vÕ tr¸i kh«ng ©m). Bµi 13: CMR nÕu 0 < x < b th× . (T­¬ng tù bµi 4) Bµi 14: CMR nÕu a, b > 0 th×: . (T­¬ng tù bµi 6) Buæi 4. Chñ §Ò 4: Tø gi¸c - §a gi¸c. Ngµy so¹n: 18.05.10. Ngµy d¹y: 22.05.10. I. kiÕn thøc cÇn ghi nhí. 1. Tæng c¸c gãc cña mét tø gi¸c b»ng 3600. 2. H×nh thang. HThang lµ tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song. - Hai gãc kÒ c¹nh bªn cña mét h×nh thang bï nhau (tæng b»ng 1800). - H×nh thang vu«ng lµ h×nh thang cã mét gãc vu«ng. - H×nh thang c©n lµ h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau. + Trong h×nh thang c©n, hai c¹nh bªn b»ng nhau. + Trong h×nh thang c©n, hai ®­êng chÐo b»ng nhau. - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ thang c©n: + H×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau. + H×nh thang cã hai ®­êng chÐo b»ng nhau. - §­êng trung b×nh cña h×nh thang: §o¹n nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn. §­êng trung b×nh cã ®é dµi b»ng nöa tæng hai ®¸y. - DTHT b»ng nöa tæng hai ®¸y vµ ®­êng cao. 3. H×nh b×nh hµnh: HBH lµ tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi //. - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ lµ HBH. 3.1. C¸c c¹nh ®èi //. 3.2. C¸c c¹nh ®èi b»ng nhau. 3.3. Mét cÆp c¹nh ®èi // vµ b»ng nhau. 3.4. C¸c gãc ®èi b»ng nhau hoÆc c¸c gãc kÒ bï nhau. 3.5. Hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®­êng. - DT HBH b»ng ®¸y nh©n chiÒu cao. 4. H×nh ch÷ nhËt: HCN lµ tø gi¸c cã 4 gãc vu«ng. Trong HCN hai ®­êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®­êng - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ lµ HCN. 4.1. Cã 3 gãc vu«ng. 4.2. HBH cã mét gãc vu«ng. 4.3. HBH cã hai ®­êng chÐo b»ng nhau. 4.3. Hthang c©n cã mét gãc vu«ng. - DT HCN b»ng tÝch hai kÝch th­íc (dµi nh©n réng). 5. H×nh thoi: Hthoi lµ tø gi¸c cã 4 c¹nh b»ng nhau. Trong h×nh thoi hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau vµ hai ®­êng chÐo lµ c¸c ®­êng ph©n gi¸c cña c¸c gãc cña h×nh thoi. - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ lµ Hthoi. 5.1. 4 c¹nh b»ng nhau. 5.2. HBH cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau. 5.3. HBH cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc. 5.4. HBH cã mét ®­êng chÐo lµ ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc. - DT h×nh thoi b»ng: TÝch hai ®­êng chÐo hoÆc ®¸y nh©n chiÒu cao. 6. H×nh vu«ng: HV lµ tø gi¸c cã 4 gãc vu«ng vµ cã 4 c¹nh b»ng nhau. - C¸ch CM mét tø gi¸c lµ lµ HV. 6.1. HCN cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau. 6.2. HCN cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc. 6.3. HCN cã mét ®­êng chÐo lµ ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc. 6.4. Hthoi cã mét gãc vu«ng. 6.3. Hthoi cã hai ®­êng chÐo b»ng nhau. - DT h×nh vu«ng b»ng c¹nh nh©n c¹nh. 7. §a gi¸c. 7.1. Tæng c¸c gãc cña ®a gi¸c n c¹nh b»ng (n – 2).1800. 7.2. Trong mét ®a gi¸c n c¹nh, sè ®­êng chÐo b»ng . 7.3. §a gi¸c ®Òu lµ ®a gi¸c cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng nhau vµ tÊt c¶ c¸c gãc b»ng nhau. Sè ®o mçi gãc cña ®a gi¸c ®Òu n c¹nh b»ng . Ii. bµi tËp. Bµi 1: Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q, E, F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BD, AC, AB, DC, AD vµ BC. CMR: PM = NQ. CMR: MN, PQ,EF ®ång quy (cïng ®i qua mét ®iÓm). HDÉn gi¶i. a. PM, NQ lµ c¸c ®­êng trung b×nh øng víi c¹nh AD cña c¸c tam gi¸c ABD vµ ACD. b. MN vµ PQ lµ c¸c ®­êng chÐo cña HBH MPNQ, PQ vµ EF lµ c¸c ®­êng chÐo cña HBH EQFP, tõ ®ã suy ra §PCM. Bµi 2: H×nh thang ABCD (AB // CD) cã AB = a, CD = b, BC = c, AD = d. C¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc A vµ D c¾t nhau ë E, c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t nhau ë F. Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD vµ AD vµ BC. CM AED vµ BFC lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. CM 4 ®iÓm M, E, F, N th¼ng hµng. TÝnh MN, MF, FN theo a, b, c, d. CMR nÕu a + b = c + d th× E trïng F. HDÉn gi¶i. CM ADK lµ tam gi¸c c©n ®Ønh D, tõ ®ã suy ra ph©n gi¸c DE ®ång thêi lµ ®­êng cao, do ®ã DE vu«ng gãc AK hay AED vu«ng. T­¬ng tù víi tr­êng hîp BFC. CM cho ME, NF, MN cïng // AB hoÆc CD. MN = (a + b); FN = c; MF = (a + b - c). Ta còng cã ME = d. Gi¶ sö E trïng F ta cã ME + FN = MN hay (c + d) = (a + b). Bµi 3: Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a cã gãc A = 600. Gäi E, F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD vµ CD. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c BEF. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng CE vµ Cos cña gãc ACE. HDÉn gi¶i. a. Ta cã ABD ®Òu, BE lµ ®­êng cao cña ®ã, BE = BDsinD = , BK = BEcosEBK = ., tõ ®ã tÝnh ®­îc SBEF = . b. Ta cã MC = , EM = (dùa vµo tam gi¸c ®ång d¹ng), tõ ®ã ta cã EC = (theo Pitago), suy ra cosECM = . Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC. Gäi I lµ giao ®iÓm c¸c tia ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc B vµ C. Tõ I h¹ IM vu«ng gãc AB, IN vu«ng gãc BC. Tõ A kÎ ®­êng th¼ng // víi MN, nã c¾t BC t¹i P. CMR: a. IMB = INB. b. Tø gi¸c MNPA lµ thang c©n. HDÉn gi¶i. a. IMB = INB (c¹nh huyÒn - gãc nhän). b. ChØ ra tø gi¸c MNPA cã gãc AMN vµ PNM b»ng nhau. Bµi 5: Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD), gãc A = gãc D = 900 vµ AD = CD = AB. KÎ CH vu«ng gãc víi AB. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ DH, O’ lµ giao ®iÓm BD vµ CH. CMR: a. ACB lµ vu«ng c©n t¹i C. b. OO’ = CD = AB. c. OO’ thuéc ®­êng trung b×nh cña h×nh thang. HDÉn gi¶i. Tø gi¸c ADCH lµ h×nh vu«ng, suy ra AC vu«ng gãc DH vµ AC = DH. Tø gi¸c BCDH lµ HBH do ®ã BC = DH, vËy BC = AC. V× AC vu«ng gãc DH, DH // BC suy ra AC vu«ng gãc BC. Theo tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c. Gäi M, N lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña OO’ víi AD vµ BC. Chøng minh OM lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ADC. Bµi 6: Cho HCN ABCD, t©m O. LÊy ®iÓm P tuú ý trªn ®o¹n th¼ng OB. Gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua P. CMR AM // BD. Gäi E, F lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ M xuèng AB, DA. CMR EF // AC. CM 3 ®iÓm F, E, P th¼ng hµng. HDÉn gi¶i. OP lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ACM. Chøng minh gãc EFA = gãc CAD. Chøng minh IP vµ IE cïng // víi AC (I lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo cña HCN AEMF) Bµi 7: Cho HBH MNPQ víi MQ vu«ng gãc MP. Gäi E, F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña MN vµ PQ. CM MEPF lµ h×nh thoi. Gäi Mx lµ tia ®èi cña tia MN. CMR MQ lµ ph©n gi¸c cña gãc FMx. HDÉn gi¶i. MEPF lµ h×nh b×nh hµnh (1 cÆp c¹nh ®èi // vµ b»ng nhau) cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc. Tam gi¸c MQF lµ tam gi¸c c©n t¹i F, do ®ã gãc FMQ = gãc FQM, mµ gãc FQM = gãc QMx (so le trong), tõ ®ã suy ra §PCM. Buæi 5. Chñ §Ò 5: ph­¬ng tr×nh - bÊt ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt. Ngµy so¹n: 20.05.10. Ngµy d¹y: 25.05.10. I. kiÕn thøc cÇn ghi nhí. 1. Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. PT bËc nhÊt mét Èn cã d¹ng: ax + b = 0 (x lµ Èn, a vµ b lµ c¸c sè ®· cho) + NÕu a 0, PT cã nghiÖm duy nhÊt x = -. + NÕu a = 0, b 0, PT v« nghiÖm. + NÕu a = 0, b = 0, PT cã v« sè nghiÖm. 2. BÊt ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. BPT bËc nhÊt mét Èn lµ BPT cã d¹ng ax + b > 0 (hoÆc ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0), trong ®ã x lµ Èn, a vµ b lµ c¸c sè ®· cho, a 0. Ta xÐt BPT d¹ng ax + b > 0. + NÕu a > 0, BPT cã nghiÖm x > -. + NÕu a < 0, BPT cã nghiÖm x < -. 3. C¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn. C1. Ph­¬ng ph¸p t¸ch ra c¸c gi¸ trÞ nguyªn. C2. Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm nguyªn riªng. §Þnh lÝ: Ph­¬ng tr×nh ax + by = c víi a, b, c nguyªn, (a; b) = 1. NÕu (x0; y0) lµ mét nghiÖm nguyªn th× ph­¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm nguyªn d¹ng: . C3. Ph­¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc. C4: Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ c¸c ­íc sè. ii. bµi tËp. Bµi 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau. a. (1) b. (2). HDÉn gi¶i. a. §iÒu kiÖn: x - 1 0, x + 2 0. Quy ®ång mÉu, khö mÉu vµ gi¶i ta ®­îc x = 4. b. §iÒu kiÖn: x3 + x + 1 0. Quy ®ång mÉu, khö mÉu vµ gi¶i ta ®­îc x = -. KiÓm tra l¹i víi §K. Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh sau theo m: (m - 2)x + m2 - 4 = 0 (1). HDÉn gi¶i. XÐt c¸c kh¶ n¨ng x¶y ra víi hÖ sè a = m - 2. + NÕu a 0. Ta cã x = -(m + 2) + NÕu a = 0, PTVSN. Bµi 3: T×m m nguyªn ®Ó ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm nguyªn: (2m - 3)x + 2m2 + m - 2 = 0. HDÉn gi¶i. Ta cã 2m - 3 0 m . Víi m nguyªn th× 2m - 3 0, PT ®· cho cã nghiÖm x = -(m + 2) - . §Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn th× 2m - 3 ph¶i lµ ­íc cña 4, hay 2m - 3 {-1; -2; -4; 1; 2; 4). Gi¶i tõng tr­êng hîp ta ®­îc m = 2 vµ m = 1 tho¶ m·n. Bµi 4: Gi¶i c¸c bÊt ph­¬ng tr×nh sau: a. . b. HDÉn gi¶i. a. §K x 1. Quy ®ång mÉu vµ khö mÉu ta ®­îc: , gi¶i ra ta ®­îc x < -1 hoÆc . b. XÐt 3 tr­êng hîp. 1. Víi x -. VËy - < x < -1. 2. Víi -1 x 0. VËy -1 x < 1. 3. Víi x 1. Gi¶i BPT ®­îc x > -. KLC: x > -. Bµi 5: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh 7x + 4y = 23. HDÉn gi¶i. BiÓu thÞ y qua x ta ®­îc: y = (hoÆc y = 5 – x + ). Suy ra (t Z) (hoÆc ). V× x, y d­¬ng nªn t = 0, do ®ã . Bµi 6: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh: (1) HDÉn gi¶i. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ c¸c ­íc sè nguyªn. (1) (x - 2)(y - 2) = 4 = 2.2 = (-2).(-2) = 1.4 = (-1).(-4). XÐt c¸c kh¶ n¨ng x¶y ra víi (x - 2) vµ (y - 2), ta ®­îc c¸c cÆp gi¸ trÞ (x; y) tho¶ m·n lµ: (4; 4), (6; 3), (3; 6). Bµi 7: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau. a. . b. . §¸p sè. a. x = -4. b. x = 1. Bµi 8: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph­¬ng tr×nh: (1) HDÉn gi¶i. (1) 2m(x - 1) - 3(x + 2m) < x – 16 2(m - 2)x < 8(m - 2). NÕu m > 2 th× x < 4. NÕu m 4. NÕu m = 2 th× 0x < 0, bÊt ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. Bµi 9: T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña bÊt ph­¬ng tr×nh: (1) HDÉn gi¶i. §KX§: x -1 vµ x 3. (1) > 0 (x + 1)(x - 3) < 0 (x + 1) vµ (x - 3) tr¸i dÊu -1 < x < 3 (TM) V× x nguyªn d­¬ng nªn x {1; 2}