Tài liệu về giải toán trên máy tính casiô

Tµi liÖu vÒ gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casi« Gåm c¸c d¹ng to¸n Chuyªn ®Ò I: CÁC BÀI TOÁN VỀ :“ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ” Chuyªn ®Ò II:TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN BAØI TOAÙN TÌM SOÁ DÖ (DAÏNG II) T×M Sè D¦ CñA LòY ThõA BËC CAO Sè CH÷ Sè LíN H¥N 10 T×M Sè D¦ KHI CHIA §A THøC P(x) cho (ax + b) Chuyªn ®Ò III: TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM... CỦA MỘT LUỸ THỪA: Chuyªn ®Ó IV:TÌM BCNN, UCLN Chuyªn ®Ò V:PHÂN SỐ TUẦN HOÀN. Chuyªn ®Ò VI:TÍNH SỐ LẺ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY. Chuyªn ®Ò VII:CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Chuyªn ®Ò VIII:MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyªn ®Ò IX:MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ. GV: lª thÞ tuyÕt Tr­êng ptdt néi tró ngäc lÆc Chuyªn ®Ò I:CÁC BÀI TOÁN VỀ : “ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ” Bài 1: Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!. Giải: Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên: S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!) S = 17! – 1!. Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính theo cách sau: Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác. Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120 Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 = 355687428095999. Bài 2: Tính kết quả đúng của các tích sau: a)M = 2222255555x2222266666. b)N = 20032003x20042004. Giải: Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC Tính trên máy:A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630Tính trên giấy: A2.1010 4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AB.105 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 AC.105 1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0 BC 3 7 0 3 6 2 9 6 3 0 M 4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0 Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XYTính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a) Kết quả: M = 4938444443209829630. N = 401481484254012. Bài tập tương tự: Tính chính xác các phép tính sau: a(A = 20!. b)B = 5555566666 x6666677777 c)C = 20072007x20082008 d)10384713 e)201220032 Chuyªn ®Ò II:TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số: Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) Suy ra r = a – b . q Ví dụ 1: Tìm số dư trong các phép chia sau: 1)9124565217 cho 123456 2)987896854 cho 698521 b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số) Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B. Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy. Ví dụ2: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567. Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203 Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567. KQ sè d­ là 26. Bài tập: Tìm số dư của các phép chia: 983637955 cho 9604325 b)903566896235 cho 37869. c)1234567890987654321 : 123456 c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư. * Phép đồng dư: + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu + Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+ Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19 Giải: Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1 Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 . 6 + 4 Ta có: Vậy Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246 Bài tập thực hành: Tìm số dư của phép chia: a)138 cho 27 b)2514 cho 65 c)197838 cho 3878. d)20059 cho 2007 e)715 cho 2001 II.BAØI TOAÙN TÌM SOÁ DÖ (DAÏNG II) Ví duï 1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia 9124565217:123456 Ghi vaøo maøn hình: 9124565217:123456 aán = Maùy hieän soá: 73909,45128 Ñöa con troû leân doøng bieåu thöùc söûa thaønh 9124565217-123456 x73909 vaø aán = Keát quaû : Soá dö 55713 Ví duï 2: Tìm soá dö cuûa pheùp chia 24614205:10719433 Ghi vaøo maøn hình: 24614205:10719433 aán = Maùy hieän soá 2,296222664 Ñöa con troû leân doøng bieåu thöùc söûa thaønh 24614205-10719433x2 vaø aán = Keát quaû : Soá dö 3175339 Ví duï 3: Tìm soá dö cuûa pheùp chia 2345678901234 cho 4567 Chuù yù : soá lôùn neân bò traøn maøn hình ta coù theå laøm nhö sau : Ghi vaøo maøn hình: 234567890 : 4567 aán = Maùy hieän soá 51361,48237 Ñöa con troû leân doøng bieåu thöùc söûa thaønh 234567890 - 4567 x51361vaø aán = Keát quaû : Soá dö 2203 Ta laøm tieáp 22031234 :4567 aán = Maùy hieän soá 4824,005693 Ñöa con troû leân doøng bieåu thöùc söûa thaønh 22031234-4567 x4824 vaø aán Keát quaû : 26 Baøi toaùn 1 : Ví duï : Tìm soá dö cuûa pheùp chia 148750:31416 148750:31416 Maùy hieän soá 4,734848485 Ñöa con troû leân doøng bieåu thöùc söûa thaønh 148750-31416X4 = vaø aán Keát quaû : Soá dö 23086 4. Tìm số dư: * Dạng 1: Thông thường. Mod (a, b) = a – b.[a, b] VD: Tìm số dư của 56789 và 54321 * Dạng 2: Số chữ số lớn hơn 10 chữ số: Ta dùng phương pháp chia để trị. - Cắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số (kể từ bên trái) tìm số dư của số này với số bị chia. - Viết liên tiếp sau số dư các số còn lại của số chia tối đa đủ 9 chữ số, rồi tìm số dư lần 2. - Tiếp tục như vậy đến hết. VD 1: Tìm số dư: 506507508506507508 : 2006 HD: Thùc hiÖn T×m sè d : 5065075086 : 2006 d : 1313 Thùc hiÖn T×m sè d : 1313065075 : 2006 d : 1667 Thùc hiÖn T×m sè d : 166708 : 2006 d : 210.§©y còng lµ sè d cña bµi VD 2: Tìm số dư 103200610320061032006 : 2010 ĐS: 396 * Dạng 3: Tìm số dư của một luỹ thừa bậc cao cho một sô. VD 1: Tìm số dư 91999 cho 12. Áp dụng Ta có: 919 (mod 12); 929 (mod 12); 939 (mod 12) 999 (mod 12) 9109 (mod 12) 9100=(910)10910 (mod 12)9 (mod 12)91000=(9100)109100 (mod 12)9 (mod 12)9900=(99)10099 (mod 12)9 (mod 12)990=(99)1099 (mod 12)9 (mod 12) Vậy: 91999=91000.9900.990.99 93 (mod 12)9 (mod 12) Hay 91999 chia cho 9 dư 9. VD 2: Tìm số dư 91999 cho 33. Ta có: 919 (mod 33) 9215 (mod 33) 933 (mod 33) 9427 (mod 33) 9512 (mod 33) 969 (mod 33) 9715 (mod 33) 983 (mod 33) 9927 (mod 33) 91012 (mod 33) Vậy: 91999=95.399+4 27 (mod 33). Hay 91999 chia cho 33 dư 27. VD 3: Tìm số dư 2004376 cho 1975 HD: Biết 376 = 6 . 62 +4 20042 841 (mode 1975) 20044 4812 231 200412 2313 416 200448 4162 536 200460 536 x 416 1776 200462 1776 x 8412 516 200462 x3 5163 1171 200462 x 6 11712591 200462 x 6 + 4 591 x 231 246 VD 4: Tìm số dư A = 2100+2201+ … + 22007 chia cho 2007. * Dang 4: Tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho (ax + b) Phương pháp: Tính P(-b/a). KQ là số dư. VD: Tìm số dư khi chia đa thức x2 + 10 +(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) cho (10x-3).ĐS: -45,78407 5. Tìm số các chữ số: * Dạng an: Phương pháp: Số các chữ số cảu ax là [x.lga]+1. CM: G/s A=ta chứng minh [lgA]+1 = n hay [lgA]=n-1 Do đó . Thật vây. A== a1.10n-1+a2.10n-2+….+an A== 9.10n-1+9.10n-2+….+9 Đó là điều phải chứng minh. VD 1: Tìm số chữ số của 222425. HD: [22425.lg2] + 1= [22425.0,30103] +1 = [6750,597] + 1 = 6751. VD 2: Tìm số chữ số của 46526.ĐS: 70. VD 3: Tìm số chữ số của 123! [Lg123!]+1= [lg(1.2.3….123)]+1 = [lg1+lg2+….+lg123] + 1=… BT: Dùng bao nhiêu chữ số để viết số: 453246, 209237 ĐS: 657, 550 Ví duï 4: Tìm taát caû caùc soá töï nhieân n (1010n2010) sao cho cuõng laø soá töï nhieân. -- Giaûi -- Vì 1010 n 2010 neân 203,5 » an » 249,82. Vì an nguyeân neân 204 n 249. Ta coù an2 = 20203 + 21n = 21.962 + 1 + 21n. Suy ra: an2 – 1 = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n). Do ñoù, chia heát cho 7. Chöùng toû (an - 1) hoaëc (an + 1) chia heát cho 7. Vaäy an = 7k + 1 hoaëc an = 7k – 1. * Neáu an = 7k – 1 thi do 204 n =7k-1 249 => 29,42 k 35,7. Do k nguyeân neân . Vì chia heát cho 21 neân k chæ laø: 30; 32; 33; 35. Ta coù: k 30 32 33 35 n 1118 1406 1557 1873 an 209 223 230 244 k 30 32 33 35 n 1118 1406 1557 1873 an 209 223 230 244 * Neáu an = 7k + 1 thi do 204 n =7k-1 249 => 29,14 k 35,57. Do k nguyeân neân . Vì chia heát cho 21 neân k chæ laø: 30; 31; 33; 34. Ta coù: Nhö vaäy ta coù taát caû 8 ñaùp soá. 6. Tìm số chữ số cuối. Để tìm n chữ số cuối của số A, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 10n. Để tìm số dư khi A chia cho 10n, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 2n và 5n. VD 1. Cho A = 22004. Tìm 2 số tận cùng của A. Tìm 3 số tận cùng của A. HD: a. Tìm 2 số tận cùng của A, thực chất là tìm số dư của A khi chia cho 100. Ta có 100 = 4.25 Trước hết ta tìm số dư của A khi chia cho 25. 210=1024 -1 (mod 25).Do đó A = 24.(210)100 16 (mod 25) Hay A có thể viết dưới dạng: A = 16k + 25 Mặt khác: A chia hết cho 4 nên k chia hết cho 4 hay k=4m Từ đó A = 100m + 16 16 (mod 100) Vậy 2 số tận cùng của A là 16. b. Tương tự ta tìm số dư của A khi chia cho 1000 = 8 . 125 250=(210)5=(1024)5 -1 (mod 125) A=16.(250)4 16 (mod 125) do đó A = 125 k + 16 Mặt khác A chia hết cho 8 nên k=8m Vậy A = 1000m + 16 hay 3 số cuối của A là 016. VD 2. Tìm 3 số cuối A = HD:Ta có 1000 = 8. 125 +) xét số dư của A cho 125 62001=(5+1)20011 (mod 5) 62001=5m+1A=265m+1=26.(265)m Mặt khác: 265 1 (mod 125) A26 (mod 125) A = 125k + 26 + Xét A chia cho 8: Do A chia hết cho 8 nên 125k+26 chia hết cho 8 k+2 chia hết cho 8 Hay k+2 = 8m k=8m-2 A = 125(8m-2)+26=1000m – 224 = 1000(m-1)+776 . Vậy 3 số cuối của A là 776. * Mẹo nhỏ: +) Để tìm 1 chữ số tận cùng của an. - Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì an lần lượt có số tận cùng là 0, 1, 5, và 6 - Nếu a có số tận cùng là 2, 3, 7 thì: 24k 6 (mod 10) 34k 1 (mod 10) 74k 1 (mod 10). Do đó để tìm 1 số tận cùng của an với a tận cùng là 2, 3, 7 ta lấy n chia cho 4, được n=4k+r. Nếu a 2 (mod 10) thì a22n (mod 10)2(4k+r) (mod 10)6.2r (mod 10) Nếu a 3 (mod 10) thì ana(4k+r) (mod 10)ar (mod 10) +) Để tìm 2 chữ số tậm cùng của an. Ta có: 220 76 (mod 100) 320 1 (mod 100) 65 76 (mod 100) 74 01(mod 100) Mà 76n 76 (mod 100) với n>=1. Và 5n25 (mod 100) với n>=2 Từ đó: - a20k00 (mod 100) nếu a đồng dư 0 (mod 10) - a20k01 (mod 100) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10) - a20k25 (mod 100) nếu a đồng dư 5 (mod 10) - a20k76 (mod 100) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10) +) Để tìm 3 chữ số tậm cùng của an. - a100k000 (mod 1000) nếu a đồng dư 0 (mod 10) - a100k001 (mod 1000) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10) - a100k625 (mod 1000) nếu a đồng dư 5 (mod 10) - a100k376 (mod 1000) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10) VD 1: Tìm 3 số cuối 1) 13100 001 (mod 1000) 2) 167200 001 (mod 1000) 3) (17 x 19)100 001 (mod 1000) 4) 18100 376 (mod 1000) 5) 15200 625 (mod 1000) 6) 20300 000 (mod 1000) * Với m nguyên không chứa thừa số 2 hay 5 và với các số a, b, …, k, n thì: Khi m chứa thừa số 2 thì: Khi m chứa thừa số 5 thì: VD: 72311711 743 (mod 1000) 2) 2113062106 121 (mod 1000) 3) 271209279 987 (mod 1000) 4) 22001376. 201 752 (mod 1000) 5) 23100376.200 376 (mod 1000) 6) 15402625.152 625 (mod 1000) * Khi thì đúng với mọi số nguyên m VD: 1) 2200323008 (mod 1000) 2) 3100434081 (mod 1000) 3) 5100353125 (mod 1000) 4) 6501111056 (mod 1000) VD: Tìm 5 chữ số tận cùng của HD: Ta có: Ta chia làm 2 bước: Bước 1: Tìm 5 số cuối của 24096. 2020=1048576 ta lấy 5 số cuối là 48576 24048576 x 48576 = 27776 mod (100000) (240)5(277762)2x 27776 = (06176)2 x 27776 = 42976 x 27776 = 01376(Mode 100000) (240)10240001376293376 Mode (100000) (2400)529376 2400049376 28006176 và 21665536 suy ra 29650336 Do đó: 24096=24000.296 49376 x 50336 = 90336 mode (100000) vậy 5 chữ số cuôi của (24096)4096 là 5 số cuối của (90336)4096. Bước 2: 90336292896 9033620041376 90336466816 9033640073376 90336590176 9033680037376 903361010976 90336200029376 903362072576 90336400049376 903364075776 903368002176 9033610023576 Mà 903369083776 và 90336639136 nên 903369657536 Do đó: 903364096= 903364000.9033696 49376 x 57536 = 97536 Vậy: 97536 Mode (100000) + 1 = 97537. VD: 1. Tìm chữ số cuối của 72005. HD: 71= 7 72= 49 73 = 343 74= 2401 75 = 16807 76 = 117649 78=5764801 79 = 40353607 …………….. Ta thấy các số cuối lần lượt là 7, 9, 3, 1 chu kỳ là 4. Mặt khác: 2005 = 4. 501 + 1 Nên 72005 có số cuối là 7. 2. Tìm chữ số hàng chục của số 232005 HD: Ta có 231 23 (mode 100) 232 29 (mode 100) 233 67 (mode 100) 234 41 (mode 100) 2320 = (234)5 415 1 (mode 100) 232000 1100 1 (mode 100) 232005 231.234.23200023.41.1 43 (mode 100)Vậy số hàng chục là 4. 3. Tìm 2 chữ số cuối của: A= 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 + 22007 HD: A = 22000(1+2+4+8+16+32+64+128)= (220)100 x 255mµ 220 = (210)2 =10242 = 1048576 Ta nhËn thÊy bÊt kú mét sè cã ®u«i lµ 76 th× lòy thõa lu«n lu«n cã ®u«i lµ 76 (dïng m¸y ®Ó kiÓm tra) Do ®ã: A = 255 x (…76) = ….. 80.VËy 2 sè cuèi cña A cã gi¸ trÞ lµ 80. 2. T×m sè d­ a = 3356 cho 737 §S: 220 Bµi 1: ViÕt quy tr×nh t×m sè d vµ t×m sè d cña phÐp chia a, 3523127 chia 2047 §S : 240 b, T×m sè tù nhiªn k nhá nhÊt sao cho (3456789 + k) chia hÕt cho 1234 §S : Sè d lµ : 355 .vËy sè k lµ : 1234 - 355 = 879 c, 103200610320061032006 chia 2010 (t¸ch sè ) §S : 396 d, 124567890987654321 chia 123456 (t¸ch sè ) §S : 8817 Bµi 2: T×m sè d cña phÐp chia a, 715 chia 2001 §S : 1486 b, 92007 chia 33 §S : Chuyªn ®Ò III. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM... CỦA MỘT LUỸ THỪA: Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002Giải: Vậy . Chữ số tận cùng của 172002 là 9 Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005. Giải: + Tìm chữ số hàng chục của số 232005 ;Do đó: Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43) + Tìm chữ số hàng trăm của số 232005 ; Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343) Chuyªn ®Ó IV:TÌM BCNN, UCLN Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản Ta áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau: + UCLN (A; B) = A : a + BCNN (A; B) = A . b Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531 H­íng dÉn:Ghi vào màn hình : và ấn =, màn hình hiện UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321 BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình) Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247 . 11 Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717 Ví dụ 2: Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 Giải: Ấn 9474372 ¿ 40096920 = ta được : 6987¿ 29570. UCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356. Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c) Do đó chỉ cần tìm UCLN(1356 ; 51135438). Thực hiện như trên ta tìm được: UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678 Bài tập:Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510. Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034. Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510. Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B2. Chuyªn ®Ò V:PHÂN SỐ TUẦN HOÀN. Ví dụ 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau: 0,(123) b)7,(37) c)5,34(12) Giải: Ghi nhớ: ... a) Cách 1: Ta có 0,(123) = 0,(001).123 = Cách 2: Đặt a = 0,(123). Ta có 1000a = 123,(123) . Suy ra 999a = 123. Vậy a = Các câu b,c (tự giải) Ví dụ 2: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321) Giải: Đặt 3,15(321) = a. Hay 100.000 a = 315321,(321) (1) 100 a = 315,(321) (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006 Vậy Bài 3: Tính Giải: Đặt 0,0019981998... = a. Ta có: Trong khi đó : 100a = 0,19981998... = 0,(0001) . 1998 = Vậy A = Chuyªn ®Ò VI:TÍNH SỐ LẺ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY. Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13 Giải: Bước 1:+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình) Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923 + Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999 17 - 16,9999999 = 0,0000001 Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001 (tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn. Không lấy số không vì 17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001 Bước 2: + Lấy 1 : 13 = 0,07692307692 11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692 Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là: 307692307692307692 Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số. Ta có 105 = 6.17 + 3 () Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7 Ví dụ 2:Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19 Giải: Ta có .Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 17: 19 Bước 1: Ấn 17 : 19 = 0,8947368421. Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842 + Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10-9 Bước 2:Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157 + Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10-8 = 17 . 10-9 Bước 3:Lấy 17 : 19 = 0,8947368421. Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là + Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10-9 Bước 4: Lấy 2: 19 = 0,1052631579. Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157 ... Vậy 17: 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ... = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số. Ta có Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân. Kết quả : số 8 Bài tập:Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia: 1 chia cho 49 b)10 chia cho 23 Chuyªn ®Ò VII:CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Một số kiến thức cần nhớ: 1)Định lý Bezout: Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a 2)Sơ đồ Hornơ Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a. Ví dụ:Thực hiện phépchia(x3 – 5x2 + 8x – 4)cho x – 2bằng cách dùng sơ đồ Hor nơ. Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên. a = 2 -5 8 -4 1 Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư. Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên a = 2 -5 8 -4 1 1 -3 2 0 Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 * Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có: a1 a3 a2 a0 r b2 b1 a b0 ab2 + a3 ab1 + a2 ab0 + a1 a0 Bài 1: Tìm số dư trong các phép chia sau: x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12. x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617. Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6 Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625+ Tính P(2)+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3 Bài 2: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f . Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16, P(5) = 25. Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) Giải: Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2. Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0. Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x). Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5). Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 Hay P(6) = 5! + 62 = 156. Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72. Hay P(7) = 6! + 72 = 769 Bài 3:Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , Q(4) = 11.Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Hướng dẫn Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3 Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) Bài 4 : Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11). Bài 5: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003) Bài 6:Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) Bài7:Cho P(x) = x4+ax3+bx2+ cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2007) Bài 8 : Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m . Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 . Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5 P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m . Bài 9: Cho P(x) = . Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5. Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân. Bài 10:Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652. Tìm hệ số của x2 trong đ thức thương của phép chia trên. Bài 11:Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) Bài 12:Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m . Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3 Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích P(x) thành tích của các thừa số bậc nhất Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2 . Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất. Bài 13: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n . Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 . b.Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất Bài 14 :Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết:f = ; f = ; f = Tính giá trị đúng và gần đúng của f . Bài 15: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức:P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là 3 (Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân) Bài 16:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 tại các giá trị của x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45 Chuyªn ®Ò VIII:MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Bài 1: Cho dãy số a1 = 3; an + 1 = . Lập quy trình bấm phím tính an + 1 b)Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10 Bài 2: Cho dãy số x1 = ; . Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1 b)Tính x30 ; x31 ; x32 Bài 3: Cho dãy số (n ³ 1) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100. Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100. Bài 4: Cho dãy số (n ³ 1) Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1 b)Tính x100 Bài 5: Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; ... Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 b)Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un . c)Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un. HD giải: Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được : U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình: Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0 c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES Đưa U1 vào A, tính U2 rồi đưa U2 vào B 1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + 2 với n = 2, 3, ... x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3) x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4) Bài 6: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; ... a)Tính 5 số hạng đầu tiên U1,U2, U3, U4 , U5 b)Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1. c)Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy Casio Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . a) Tính b) Lập công thức truy hồi tính theo và c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và Bài 8:Cho dãy số được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1. Lập một quy trình tính un. b)Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 c)Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh. Hướng dẫn giải:a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + 2 = Un + 1 . Un + 1, (n =1; 2; ...) Quy trình tính Un trên máy tính Casio 500MS trở lên: 1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B b) Ta có các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 trong bảng sau: U0 = 1 U1 = 1 U2 = 2 U3 = 3 U4 = 7 U5 = 22 U6 = 155 U7 = 3411 U8 = 528706 U9 = 1803416167 Bài 9:Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + 1 = 3Un + Un – 1. (n ³ 2) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio Tính các giá trị của Un với n = 18, 19, 20 Bài 11:Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + 1 = Un + Un – 1. (n ³ 2) a)Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio b)Tính các giá trị của Un với n = 12, 48