Thử sức trước kì thi Đại học môn Toán - Đề 10

`TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2011- 2012 TỈNH THANH HÓA Môn thi: Toán; Khối: D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ĐIỂM) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 23 2y x x   (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 23x x m  . Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 22sin cos 2cos 3sin cos 0x x x x x    . 2. Giải phương hệ trình:    2 2 22 2 x xy y 3 x y x xy y 7 x y          . Câu III(1,0 điểm) Tìm giới hạn: 30 1 t anx 1 s inxlim x x    . Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, điểm A' cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 060 . Tính thể tích khối lăng trụ và chứng minh mặt bên BCC'B' là hình chữ nhật. Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 21 3 2y x x x     . PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a(2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thẳng 1 : 3 9 0d x y   và 2 : 2 2 0d x y   . Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với 1d và cắt 2d tại A và B sao cho 20AB  . Biết tâm đường tròn nằm trên trục Ox và có hoành độ dương. Câu VII.a(1,0 điểm) Tìm hệ số của 4x trong khai triển: 5 2 10(1 2 ) (1 3 )P x x x x    . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b(2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): 9x2 + 16y2 = 144. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M(2 ; 1) và cắt elip (E) tại A và B sao cho M là trung điểm của AB 2. Trong mặt phẳng Oxy, xét tam giác ABC có A(1;5), đường thẳng BC có phương trình: x – 2y – 6 = 0, điểm I(1;0) là tâm đường tròn nội tiếp. Hãy tìm tọa độ các đỉnh B, C. Câu VII.b(1,0 điểm) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 0 1 2 3 22 2 2 2 22 3 4 ... (2 1) 0nn n n n nC C C C n C       -------Hết------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:..; Số báo danh.. [email protected] sent to www.laisac.page.tl 2 TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2011- 2012 Môn thi: Toán; Khối: A (Đáp án gồm 4 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Đáp án Điểm 1.(1.0 điểm)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 23 2y x x    Tập xác định: R.  Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2' 3 6y x x  ; 0' 0 2 x y x     0.25 Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2); đồng biến trên các khoảng ( ;0) và (2; ) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCT = 2, đạt cực tiểu tại x = 2; yCĐ = -2. - Giới hạn: lim x y   ; limx y   0.25 - Bảng biến thiên: x  0 2  y' - 0 + 0 - y 2   1 -2 0.25  Đồ thị: 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 1 f x  = x3-3x2 +2 0.25 2.(1.0 điểm)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 23x x m  . I (2.0)  Từ. 3 2 3 23 3 2 2(*)x x m x x m       - Số nghiệm của phương trình (*) = Số gaio điểm của đồ thị hàm số 3 23 2y x x   và đường thẳng y= m+2 - Nêu cách vẽ đồ thị hàm số 3 23 2y x x   từ đồ thị hàm số (1) 0.25 3 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 10 f x  = x3 -3x2 +2 0.25  -Nếu 2 2 4m m      thì phương trình vô nghiệm -Nếu 2 2 4 2 2 0 m m m m           thì phương trình có hai nghiệm phân biệt -Nếu 2 2 2 4 0m m        thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt -Nếu 2 2 0m m    thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt 0.5 1.(1.0 điểm)Giải phương trình 22sin cos 2cos 3sin cos 0x x x x x    .  Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 2sin cos cos 2sin 3sin 2 0 cos (2sin 1) (2sin 1)(s inx+2) 0 x x x x x x x x           0.5  (2sin 1)(cos s inx 2) 0 1s inx 2 2 6 ( ) 5 2 6 x x x k k Z x k                  0.5 2.(1.0 điểm)Giải phương hệ trình:    2 2 22 2 x xy y 3 x y x xy y 7 x y          .  Từ  22 2 2 2 x 2yx xy y 7 x y 2x 5xy 2y 0 2x y            0.5 II (2.0điểm)  x 2y (x; y) (0;0), (2;1)    2x y (x; y) (0;0), ( 1; 2)      Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm (x; y)=(2; 2) 0.5 4 (1.0điểm)Tìm giới hạn: 30 1 t anx 1 s inxlim x x    .  3 30 0 1 t anx 1 s inx t anx s inxlim lim ( 1 t anx 1 s inx )x xx x         0.25  = 30 s inx(1-cos )lim cos ( 1 t anx 1 s inx )x x x x    Đặt 0.25  = 2 20 2s inx.sin 12lim cos ( 1 t anx 1 s inx ) 4 . 2 x x xxx         0.25 III (1.0điểm)  = 1 4 0.25  Gọi G, M là trọng tânm của tam giác ABC và trung điểm của BC suy ra A'G là đường cao của hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C (Vì hình chóp A'.ABC là hình chóp đều)và góc 0AA ' 60G  . 0.25  Ta có 33 3 3A ' ' . 2 3 3 4ABC a a a aAM AG G V A G S        . 0.25 IV (1.0điểm)  (AMA ') AA ' ' BC AM BC BC BC A G       0.25  Do AA' song song với BB' nên BB'BC  Suy ra hình bành hành BCC'B' là hình chưc nhật 0.25 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 21 3 2y x x x     . 0. 5 V (1.0điểm)  Tập xác định  3;1D    2 1' 1 4 ( 1) xy x     ; ' 0 1 2y x      Giá trị lớn nhất của hàm số = ( 2 1) 2 1y     Giá trị nhỏ nhất của hàm số = ( 3) 2y    0. 5 0.5 1 (1.0điểm)Cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC  C thuộc trung tuyến CC' nên ( ;2 3)C m m  , suy ra B là điểm đối xứng với C qua trung trực x + y – 6 = 0 2 11 5( 2 6; 3) ' ; 2 2 m mB m m C              0.5 VI.a (2.0điểm)  C' thuộc CC' nên 23 23 55 28 14; , ; 3 3 3 3 3 m C B             0.5 A' B' A C' C B M H G 5 2(1.0điểm)Cho 2 đường thẳng 1 : 3 9 0d x y   và 2 : 2 2 0d x y   . Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với 1d và cắt 2d tại A và B sao cho 20AB  . Biết tâm đường tròn có hoành độ dương.  Gọi I(a; 0) là tâm đường tròn (C)  (C) tiếp xúc với 1 : 3 9 0d x y   nên 910 a R    Gọi H là trung điểm của AB, ta có: 22 2 2 22 2 5 4 5 AB aIH R R        0.5  Giải tìm được 17 15 2 80 15 2, 7 7 10 a R     Phương trình đường tròn 2 2 217 15 2 80 15 2 7 7 10 x y                  0.5 Tìm hệ số của 4x trong khai triển: 5 2 10(1 2 ) (1 3 )P x x x x    .  5 10 2 5 10 0 0 (2 ) (3 )k k k k k k P x C x x C x      0.25 Số hạng chứa 4x của P là: 3 3 2 2 2 4 3 25 10 5 10(2 ) (3 ) (8 9 )xC x x C x x C C   0.55 VII.a (1.0điểm)  Hệ số của 4x là 485 0.25 1(1.0điểm)Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): 9x2 + 16y2 = 144. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M(2 ; 1) và cắt elip (E) tại A và B sao cho M là trung điểm của AB  Đường thẳng  qua M(2; 1) nên  có phương trình: 2 1 x mt y nt      Thay vào (E) ta được 2 2 2(9 16 ) 2(18 16 ) 92 0m n t m n t     0.5  M là trung điểm của AB nên 18 16 0 9 8 0m n m n     0.25  Chọn n=-9 suy ra m=8,  2 8 1 9 x t y t     0.25 2(1.0điểm)Trong mặt phẳng Oxy, xét tam giác ABC có A(1;5), đường thẳng BC có phương trình: x – 2y – 6 = 0, điểm I(1;0) là tâm đường tròn nội tiếp. Hãy tìm tọa độ các đỉnh B, C.  Bán kính đường tròn nội tiếp ( , ) 5r d I BC   AB, AC qua A nên có phương trình dạng 2 2( 1) ( 5) 0( 0)m x n y m n      0.25  AB, AC tiếp xúc với đường tròn nên 2 2 2 2 5 5 4 n m n m n     Chọn 1 2n m    dẫn đến AB, AC có phương trình 2 7 0;2 3 0x y x y      0.25 VI.b (2.0điểm)  Cho AB, AC giao với BC ta được B, C có tọa độ    4; 1 ; 4; 5   0.5 Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 0 1 2 3 22 2 2 2 22 3 4 ... (2 1) 0nn n n n nC C C C n C        Xét hàm số 2 2 2 1( ) (1 ) '( ) (1 ) 2 (1 ) (1)n n nf x x x f x x nx x        0.25  Theo công thức khai triển nhị thức, ta có:   0 1 2 2 2 22 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ... '( ) 2 3 ... (2 1) (2) n n n n n n n n n n n n f x x C C x C x C x f x C C x C x n C x             0.5 VII.b (1.0điểm)  Thay x= -1 vào (1) và (2) ta được đẳng thức cần chứng minh 0.25