Thử sức trước kì thi Đại học môn Toán - Đề 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÒA BÌNH  ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 NĂM HỌC 2011­2012  TRƯỜNG THPT CÔNG NGHIỆP  Môn: TOÁN; Khối: A  ­­­­­­­­­­­­***­­­­­­­­­­­­­  Thời gian làm bài: 180 phút.  ĐỀ CHÍNH THỨC  I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)  Câu I (2,0 điểm)  Cho hàm số  4 2 2 1 y x mx m = - + -  (1), với  m  là tham số thực.  1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi  1 m =  .  2.  Xác định  m  để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị  tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.  Câu II (2,0 điểm)  1.  Giải phương trình  2 2 sin .tan cos cos2 .(2 tan ) x x x x x + = - .  2.  Giải bất phương trình  1 1 3 2 2 3  2 2 - ³ + - - + -  x x x x x .  Câu III (1,0 điểm) Tính tÝch ph©n sau I =  2  0  sin 2 cos  1 cos  x x  dx  x p + ò .  Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1  2a 5 =  và o 120 BAC = Ù  .  Gọi M là trung  điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ^ MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt  phẳng (A1BM).  Câu V (1,0 điểm)  Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn  2 2 2  9 a b c + + =  .  Chứng minh  2( ) 10 a b c abc + + - £  .  II. PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2).  1.  Theo chương trình Chuẩn.  Câu VI.a (1,0 điểm).  1  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là  giao điểm của đường thẳng  : 3 0 d x y - - =  và  ' : 6 0 d x y + - =  . Trung điểm một cạnh là giao điểm của  đường thẳng d với trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.  2.  Trong không gian  tọa độ Oxyz,  cho mặt cầu  (S) có phương  trình:  2 2 2  2 4 4 16 0 x y z x y z + + - - + - =  ,  mặt phẳng (Q) có phương trình:  2 2 3 0 x y z + + - =  . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song mp(Q)  sao cho mp(P) giao với mặt cầu (S) tạo thành đường tròn có diện tích 16p  (đvdt).  Câu VII.a (1,0 điểm)  Tìm số phức z biết:  2 = z  và  14 ) 3 2 )( 1 ( ) 3 2 )( 1 ( = + + + - +  i z i z  .  2.  Theo chương trình Nâng cao.  Câu VI.b (2,0 điểm).  1.  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. Điểm M  1 (0; )  3  thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết điểm B có hoành độ  dương.  2.  Trong  không  gian  tọa  độ  Oxyz,  (0;2;0) A  (0;0; 1) B -  và  C thuộc  Ox .  Viết  phương  trình  mặt  phẳng  (ABC)  biết  khoảng  cách  từ  C  tới  mặt  phẳng  (P): 2 2 0 x y z + - =  bằng  khoảng  cách  từ  C  tới  đường  thẳng D :  1 2  1 2 2  x y z - + = =  .  Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình ï î ï í ì - = + = + -  y x y x  y x  x y  ) ( log . 3  27  5  3 ). (  5 .  Cảm ơn pat_hn@yahoo.com gửi tới www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN MÔN TOÁN  (Đáp án­ Thang điểm gồm 04 trang)  Câu  Nội dung  Điểm  I.1  1.(1 điểm). Khi  1 m =  hàm số trở thành:  4 2 2 y x x = - ·  TXĐ: D = R ·  Sự biến thiên: ( ) ' 3 2  0 4 4 0 4 1 0  1  x  y x x x x  x = é = - = Û - = Û ê = ± ë  0.25 ( ) ( ) 0 0, 1 1 CD CT y y y y = = = ± = -  0.25 ·  Bảng biến thiên  x  ­¥  ­1  0  1                    +¥  y ’ -  0  +  0 -  0  +  y       +¥  0  +¥  ­1  ­1  0.25 ·  Đồ thị  0.25  I.2  2. (1 điểm) ( ) ' 3 2  2  0  4 4 4 0  x  y x mx x x m  x m = é = - = - = Û ê = ë  Hàm số đã cho có ba điểm cực trị Û pt  '  0 y =  có ba nghiệm phân biệt và  'y  đổi dấu khi  x  đi qua các nghiệm đó  0 m Û >  0.25 ·  Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: ( ) ( ) ( ) 2 2 0; 1 , ; 1 , ; 1 A m B m m m C m m m - - - + - - + -  0.25 ·  2  1  .  2 ABC B A C B  S y y x x m m = - - = V  ;  4  , 2 AB AC m m BC m = = + =  0.25 · ( ) 4  3  2  1  2 . .  1 1 2 1 0  5 1 4  4  2  ABC  m  m m m AB AC BC  R m m  S  m m  m = é + ê = = Û = Û - + = Û - ê = ê ë V  0.25  II.1  * ĐK: cos 0 x ¹  . PT  3 3 sin cos cos 2 .(2cos sin ) x x x x x Û + = -  0.25  (sin cos ).cos .(2sin cos ) 0 x x x x x Û + - =  0.25  sin cos 0;2sin cos 0 x x x x Û + = - =  0.25  1  ; arctan ;( , )  4 2  x k x l k l Z p p p Û = - + = + Π 0.25  8  6  4  2  ­2 ­4 ­6 ­8  ­10  ­5  5  10 II.2  * Đk: xÎD=(­¥;1/2] È {1} È [2;+ ¥)  0.25  * x = 1 là nghiệm phương trình đã cho  0.25  * với x³ 2  Bpt đã cho tương đương:  1 2 1 2 - + - ³ -  x x x  ...vô nghiệm  0.25  *x  2  1 £  : Bpt đã cho tương đương:  x x x  2 1 1 2 - ³ - + -  c ó nghiệm x  2  1 £  *BPT có tập nghiệm S=(­¥;1/2] È {1}  0.25  2 2 2  0 0  s in 2 . co s s inx . o s  2  1 co s 1 co s  x x c x  I d x d x  x x p p = = + + ò ò  0.25  Đặt  1 cos t x = +  sin x dt dx Þ = -  ,  cos 1 x t = -  0 2 x t = Þ =  ,  1  2  x t p = Þ =  0.25  III  I =  2 2 2  1 1  ( 1 ) 1  2 2 ( 2 )  t  d t t d t  t t - = - + ò ò  0.25  =  2  2  2 ( 2 ln ) 2 ln 2 1  1 2  t  t t - + = -  0.25  Theo đlý cosin ta có: BC =  7 a  Theo Pitago ta được: MB = 2 3a ; MA1=3a  Vậy  2 2 2 2 1 1  21 MB MA BA a + = =  1 MA MB Þ ^  0.50  Ta lại có:  1 1 1 1  1 1  ( , ( )). .  3 3 ABA M ABA MBA  V d M ABA S d S = =  1 1 ( , ( )) ( , ( )) 3 d M ABA d C ABA a = =  1  2  1  1  . 5  2 ABA  S AB AA a = =  0.25  IV  1  2  1  1  . 3 3  2 MBA  S MB MA a = =  5 3  a  d Þ =  0.25  V  Do  2 2 2  9 a b c + + =  nên ít nhất một bình phương lớn hơn hoạc bằng 3.  Giả sử  2 2 2 3 6 c a b ³ Þ + £  VT 2 = [ ] 2  2 2 2 2( ) (2 ) (4 (2 ) )(( ) ) a b ab c ab a b c + + - £ + - + +  VT 2  2 2 (8 4 )(9 2 ) ab a b ab £ - + +  Ta sẽ CM  2 2 (8 4 )(9 2 ) 100 ab a b ab - + + £  3 2 2( ) ( ) 20 28 0 ab ab ab Û + - - £  3 2 2 2( ) ( ) 20 28 0 (2 7)( 2) 0 ab ab ab ab ab Û + - - £ Û - + £  1,0 A M C 1 B 1 B A C N  D  I A  C  B  N' M  2 2  6  3 2 7 0  2 2  a b  ab ab + £ £ = Þ - <  . Vậy BDT Đúng  VI.a1  Tọa dộ giao điểm I của d  và d’ là nghiệm của hệ phương trình  9  3 0  9 3 2  ;  6 0 3  2 2  2  x x y  I  x y  y ì = ï - - = ì ï æ ö Û Þ í í ç ÷ + - = è ø î ï = ï î  Do vai trò của A, B, C, D là như nhau nên giả sử M là trung điểm của AD ( ) Ox 3;0 M d M Þ = Ç Þ  0.25  Ta có:  2 3 2 AB IM = =  Theo giả thiết  . 12 2 2 ABCD S AB AD AD = = Þ =  Vì I, M thuộc d  : 3 0 d AD AD x y Þ ^ Þ + - =  0.25  Lại có  2 MA MD = = Þ tọa độ điểm A, D là nghiệm cuẩ hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2  2  3 0  2 4  2;1 ; 4; 1  1 1 3 2  x y  x x  A D  y y x y + - = ì = = ì ì ï Û Ù Þ - í í í = = - - + = î î ï î  0.25  Do I là trung điểm của AC nên C(7; 2)                           TT: I là trung điểm của BD nên B(5;  4)  0.25  .  Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;­2)    R=  2 2 2 1 2 ( 2) 16 + + - +  =5.  0.25  mp(P) có dạng:  2 2 0 x y z c + + + =  (  3 c ¹ -  )  .  Do chu vi đường tròn  bằng 8p  nên bán kính  4 r =  0.25  2 2 ( ; ( )) 3 d I P R r = - = Û  4 9 c + = Û  5  13  c  c = = -  0.25  VI.a2 KL: (  1 P )  2 2 5 0 x y z + + + = (  2 P )  2 2 13 0 x y z + + - =  0.25  VII.a  Ta có:  Đặt  0.5  Dẫn đến:  Kết hợp với giả thiết ban đầu:  0.25  Nên kế hợp lại ta được số phức :  ;  0.25  VI.b1  Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB,  ta có :  '  '  2 4  2 5  N I N  N I N  x x x  y y y = - = ì í = - = - î  0.25 Phương trình đường thẳng AB:4x + 3y – 1 = 0  Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:  2 2  4.2 3.1 1  2  4 3  d + - = = +  0.25  AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:  2 2 2  1 1 1 4 d x x = +  suy ra x =  5  suy ra BI =  5  0.25  Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính  5  Tọa độ B là nghiệm của hệ:  2 2  4x   3y  –  1   0  ( 2) ( 1) 5 x y + = ì í - + - = î  B có hoành độ dương nên B( 1; ­1)  0.25  VIb2.  .Gọi  ( ;0;0) C a Ox Π .  2  ( ;( ))  3  a  d C P =  0.25  ;  ( ;( ))  MC u  d C  u D é ù ë û D = uuuur uur r  với  (1;0; 2)  ( 1;0;2)  (1;2;2)  M  MC a  u D - = - = uuuur uur  .  ; ( 4;4 2 ;2( 1)) MC u a a D é ù = - - - ë û uuuur uur  0.25  2 8 24 36  ( ;( ))  3  a a  d C - + D =  =  2  ( ;( ))  3  a  d C P = Û  3 a =  Vậy  (3;0;0) C  0.25  Phương trình mp (P):  1 2 3 6 6 0  3 2 1  x y z  x y z + + = Û + - - = -  0.25  VIIb  ĐK: x+y > 0  Hệ đã cho Û  3  5  ( ) 3  27  ( ) 5  x y  x y  x y  x y - - ì + = ï í ï + = î Û  3  3  5  5 3  27  ( ) 5  x y  x y  x y x y - - - ì = ï í ï + = î  0.25 Û  3  3 3  3  5 3  ( ) 5  x y  x y  x y x y - - - - - ì ï = í ï + = î Û  3  3 0  ( ) 5 x y  x y  x y - - - = ì í + = î Û  3  3  (2 3) 125  y x  x = - ì í - = î  0.5  3  2 3 5  y x  x = - ì Û í - = î Û  4  1  x  y = ì í = î  thỏa mãn điều kiện.  0.25  Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án  quy định.  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­