Thử sức trước kì thi Đại học môn Toán - Đề 6

1  SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH  ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2011 – 2012  TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO  MÔN: TOÁN KHỐI A  Thời gian làm bài: 180 phút  CÂU I ( 2 điểm): Cho hàm số:  2 1  1  x  y  x - = +  (C)  1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.  2, Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tìm m để đường thẳng (d):  y x m = +  cắt (C) tại 2 điểm  phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 4.  CÂU II ( 2 điểm):  1, Giải phương trình: ( )( ) 2  cos 1 2 1 sin 1 tan  sin cos  x  x x  x x - + + = +  2, Giải hệ phương trình: {  4 2 2 5 6 5 6 x y x y x + = + =  , ( ) , x y R Π CÂU III ( 1 điểm): Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt thuộc [ ] 0; 2  :  4 4 2 1 0 x x m + - - =  CÂU IV ( 2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có góc  0 60 BAC Ð =  ; AB = a;  AC = 4a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy; SD tạo với đáy góc  0 45  .  1, Tính thể tích khối chóp.  2, Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và CF.  CÂU V ( 1 điểm): Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả mãn:  1 abc ³  . Chứng minh rằng:  1 1 1 27  1 1 1 8  a b c  a b c æ öæ öæ ö + + + ³ ç ÷ç ÷ç ÷ + + + è øè øè ø  CÂU VI ( 1 điểm):  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 đường thẳng  1 : 2 6 0 d x y + - =  ;  2  : 2 0 d x y + =  và  3  : 3 2 0 d x y - - =  .  Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d3, cắt d1 tại A và B, cắt d2 tại C và D sao cho tứ giác  ABCD là hình vuông.  CÂU VII ( 1 điểm):  Cho khai triển: ( ) 2  2 2 0 1 2 2 3 1 ... ...  n  k n  n k x a a x a x a x a x + = + + + + + +  , ( ) , ;0 2 k n N k n Î £ £  Biết rằng: ( ) 0 1 2 2 ... 1 ... 4096  k  n k a a a a a - + - + - + + =  . Tìm hệ số của  8 x  trong khai triển.  .Hết..  ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thê  Cảm ơn nguyenhongtam18@gmail.com đã gửi tới www.laisac.page.tl 2  ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1  U  NỘI DUNG  ĐIỂM  1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  1  TXĐ: { } D = R\ ­1  limy = 2  x ± ® ¥ ÞĐồ thị hàm số có tiệm cận ngang: y = 2  limy  = ­  + x ­1  limy  = +  ­ x ­1 ü ï ï ý ï ï þ ¥ ® Þ ¥ ®  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x = ­1 ( )  3 y =   > 0,  x  D  2 x+1 ¢ " Î ÞHàm số luôn đồng biến trên ( ) ( ) ­ ;­1 ;  ­1;+ ¥ ¥  và không có cực trị  Bảng biến thiên:  x -¥  1 - +¥  y’  y +¥  2  2 -¥  Đồ thị:  Giao Ox tại:  1 ;0  2 æ ö ç ÷ è ø  ; Giao Oy tại (0; ­1)  ­8  ­6  ­4  ­2  2  4  6  8  ­5  5  x  y  0,25  0,25  0,25  0,25  2, Tìm m  1  Phương trình hoành độ giao: ( ) 2x ­ 1  2 =  x + m  x +  m ­ 1 x + m + 1 = 0  x + 1 Û  (1)  (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt(1) có 2 nghiệm phân biệt 3  m > 3 + 2 3 2 Δ = m ­ 6m ­ 3 > 0  m < 3 ­ 2 3 é ê ê ë Û Û  (A)  Gọi ( ) ( ) ( ) A x ; x + m ; B x ; x + m ,   x x 1 1 2 2 1 2 ¹ ( ) ( ) 2 2 AB =  2 x  ­ x   =   2 x  + x ­ 4x x 2 1 1 2 1 2 é ù Þ ê ú ë û  Theo Viet:  x + x = 1 ­ m 1 2  x x =  m + 1 1 2 ì ï í ï î ( ) 2 AB =  2 m ­ 6m ­ 3 Þ I là giao điểm của 2 tiệm cận ( ) I ­1;2 Þ  m ­ 3  d = d =  I,AB  I,d  2 æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø  2 m ­ 3 m ­ 6m ­ 3 1 S =  AB.d  = IAB  I,AB 2 2 æ ö ç ÷ è ø Þ D ( ) ( ) 2  2 S = 4 m ­ 3 m ­ 6m ­ 3  = 64 ΔIAB Û ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  2 2 m ­ 3 m ­ 3 ­ 12  = 64  4 2 m ­ 3 ­ 12 m ­ 3 ­ 64 = 0  2 m ­ 3 =  ­4  m = 7 (t/m)  2  m = ­1 (t/m) m ­ 3 = 16 é ù ê ú ë û é é ê ê ê ê ë ê ë Û Û Û Û  Vậy: m = 7; m = ­1 là các giá trị phải tìm.  0,25  0,25  0,25  0,25  1, Giải phương trình lượng giác  1  Đk:  cosx  0  sinx + cosx  0 ì ï í ï î ¹ ¹  Khi đó, pt tương đương: ( )  1 cosx­1 2 1+sinx  = 2  sinx+cosx cos x  2 cosx ­ 1  =  1 ­ sinx sinx + cosx  sinx + cosx + sinxcosx + 1 = 0 Û Û ( )( ) sinx+1 cosx+1  = 0 Û  sinx = ­1  cosx = ­1 é Û ê ë  x = π + k2π Û  0,25  0,25  0,25  ( loại ) ( t/m ) 4  0,25  2, Giải hệ phương trình  1  Trừ từng vế của 2 phương trình ta được: ( ) ( ) 2  3  2  x = y  x ­ y x x + y  ­ 5  = 0  5­x  y =  x é ê é ù Û ë û ê ê ë  *) Với: x = y, thay vào pt(1) ta có: x 4 + 5x – 6 = 0 ( )( )( ) 2 x ­ 1 x + 2 x  ­ x + 3  = 0  x = 1   y = 1  x = ­2   y = ­2 Û Þ é Û ê Þ ë  *) Với:  3  2  5 ­ x  y=  x  , thay vào pt(1) ta có:  3  4 4  2 2 2  25 ­ 5x 25 25  x  +   = 6   x +   +   ­ 5x = 6 (*)  x 2x 2x Û  Từ (2)  2 2 6­5x y 6  x =      ­5x   ­6  5 5 Þ £ Þ ³  (a)  Lại có:  3  25 25 625 4x +   +  3  > 12 2 2  4 2x 2x ³  (b)  Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức (a) và (b) suy ra: VT(*) > 6 Þ (*) vô  nghiệm  Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x ; y) = (1 ; 1); (­2; ­2).  0,25  0,25  0,25  0,25  Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt [ ] 0 ; 2 Π 1  Đặt: [ ] x 2 =t, t 1 ; 4 Π Pt trở thành:  2 t +4=m t­1  t = 1 không là nghiệm của pt. Do đó pt tương đương:  2 t  + 4  = m  (1)  t ­ 1  Pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt [ ] 0 ; 2 Π khi và chỉ khi pt(1) có 2 nghiệm  phân biệt ( ] 1 ; 4 Π Xét: ( )  2 t  + 4  f t  =  t ­ 1  trên (1 ; 4]  2 3t  ­ 4t ­ 4  f (t) =  (t ­ 1) t ­ 1 ¢  t = 2  f (t) = 0  2  t = ­  3 é ê ¢ Û ê ë  Bảng biến thiên:  0,25  0,25 5  t  1                          2                              4  f’(t)  ­  0  +  f(t)  +¥  20  3  8  Từ bảng biến thiên suy ra:  20  8 < m  3 £  là các giá trị cần tìm  0,25  0,25  Hình học không gian  1, Tính thể tích khối chóp  1  Ta có:  (SAB) (ABCD)  SA (ABCD)  (SAC) (ABCD ^ ü Þ ^ ý ^ þ  SDA Þ Ð  là góc giữa SD và (ABCD)  0 SDA = 45 Þ Ð  Trong ΔABC  có: ( ) 2 2 2 BC  = AB  + AC  ­ 2AB.ACcos BAC Р 2 = 13a AD = BC = a 13 Þ  Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có:  SA = ADtan( SDA) = a 13 Р 2  ABCD  ΔABC S  = 2S  = AB.ACsin(BAC) = 2a 3  3  S.ABCD ABCD  1 2a 39  V  =  SA.S  =  3 3 Þ  2, Tính khoảng cách giữa DE, CF  0,25  0,25  0,25  0,25  1  Trong mp(ABCD), dựng CI // ED  ( I AD ) Π ED // (CFI) Þ  (DE,CF) (DE,(CFI)) (D,(CFI)) d  = d  = d Þ Gọi  H là trung điểm của AD ÞD là trung điểm HI Þ  (D,(CFI)) (H,(CFI))  1  d  =  d  2  Hạ HK vuông góc với CI tại K; HJ vuông góc với FK tại J  Ta có:  FH // SA  FH (ABCD) FH CI CI (FHK) (FCI) (FHK) Þ ^ Þ ^ Þ ^ Þ ^  (H,(FCI)) HJ (FCI)   HJ = d Þ ^ Þ  Ta thấy:  2 ΔHCI ABCD  1  S  =  S  = a 3  2  ΔHCI 2S HK =  CI Þ  Ta có:  2 2 2 AD +CD ­AC 1 1  cos( ADC) =   = ­ cos( BCD)=  2AD.CD  13 13 Ð Þ Ð  2 2  a 13 CI = DE =  DE +CD ­2DE.CD.cos(BCD)  =  2  0,25  0,25 S A B C D E F J I H K 6  4a 3  HK =  13 Þ  1 a 13  HF =  SA =  2 2  Trong tam giác FHK vuông tại H, có:  2 2 2 2 2 2  1 1 1 13 4 361  =   +   =   +   =  HJ HK HF 48a 13a 624a ( ) D,(CFI)  4a 39 2a 39  HJ =  d =  19 19 Þ Þ  Vậy:  (DE, CF)  2a 39  d  =  19  0,25  0,25  Bất đẳng thức  1  Ta có: ( ) ( ) ( ) a+1 1 3 3 1 3 + + a+1   1+ a+1   a+ a+1 0  4 a+1 4 4 a+1 4 ³ Þ ³ >  Tương tự: ( ) 1 3 b+ b+1 0  b+1 4 ³ > ( ) 1 3 c+ c+1 >0  c+1 4 ³ ( )( )( ) 27 27 27 VT a+1 b+1 c+1 abc  64 8 8 Þ ³ ³ ³  (đpcm)  0,5  0,25  0,25  Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng  1  Gọi I(a; 3a – 2)  Vì ABCD là hình vuông Þd(I, AB) = d(I, CD) = d  7a ­ 10 7a ­ 4  3  =  a = 1  I(1;1) d =  5 5 5 Û Û Þ Þ  Bán kính:  3 2  R = d 2 =  5 Þpt(C): ( ) ( ) 2 2  18 x ­ 1  +  y ­ 1  =  5  0,25  0,25  0,25  0,25  Nhị thức Niu­Tơn  1  Ta có: ( ) 2n  2 k 2n 0 1 2 k 2n 3x + 1  = a + a x + a x  +...+ a x  +...+ a x  Thay x = ­1, ta có: (­2) 2n = a0 – a1 + a2 ­  + (­1)  k ak ++ a2n  Từ giả thiết suy ra: (­2) 2n = 4096  n = 6 Þ  Với n = 6, ta có khai triển: ( ) 12  0 1 2 2 12 12 12 12 12 12 1+3x =C + C .(3x) + C (3x)  +...+ C (3x) ÞHệ số của x 8  trong khai triển là:  8 8 12 C .3  0,25  0,25  0,25  0,25 A B C D I d 7