Tích lũy chuyên môn - Phương trình lượng giác

Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. MỘT VÀI CHÚ Ý CHUNG 1. Công thức hay quên:  sin 2 sink    ,  os +k2 osc c   2. Học thuộc 60 công thức lượng giác: Bắt buộc phải thuộc ở mức độ cao ( Tức là không phải thuộc kiểu học vẹt mà còn phải hình dung được công thức loại này khi vận dụng thì ta được gì? Có phù hợp với bài toán không? Điều đó giúp chúng ta định hướng bài toán tốt hơn). 3. Khi giải phương trình lượng giác cần tạo thói quen suy nghĩ: - Sử dụng 2 quy tắc cơ bản: Biến đổi về cùng góc và cùng hàm số lượng giác (nếu có thể) - Luôn tự đặt câu hỏi: Bài toán thuộc dạng nào đã biết? Nên sử dụng công thức nào? Vì sao? 4. Ví dụ: Giải phương trình: 2 2 3sin sin 2 2 x x  Thoạt nhìn ta thấy: Biến đổi về cùng góc x tức là phải dùng CT nhân đôi của sin2a = 2 sina.cosa. Sau đó biến đổi về cùng hàm số sinx ta được phương trình bậc 4 trùng phương. Nhưng nếu ta nghĩ tới đưa về cùng góc 2x thì bài toán lại đơn giản hơn??? 5. Phải thấy được đường tròn lượng giác là công thức vạn năng??? 6. II. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1. sin 2 sin 6 x  1s inx= 2 2 s inx= 3 3 s in3x=- 2 2. s in2x=sinx  0 2sin 2 30 2 x   3. 2 os2x=1c s inx-cosx=0 2tan 1 0x   4.    sin 2 1 sin 3x x   sin 3 os2xx c   2 osx-1 2sin 2 2 0c x   5. 3 3sin . osx=cos s inxx c x ĐS: 6. tan .tan 5 1x x  2 2sin 2 os 2 x x c 7. 24sin 1x  2 2sin sin 2 1x x  8. sin 2 .sin 6 osx.cos3xx x c ĐS: 9. 4 3 s inxcosxcos2x=sin8x ĐS: , 4 24 2 x k x k       10. 4 4 3 sin os 4 x c x  11. 4 4 1 sin os 4 4 x c x       ĐS: , 4 x k x k      12. 4 4 1 sin os 2 x c x  ĐS: 13. s inx+cosx= 2 sin 7x ĐS: 3, 24 3 32 4 x k x k        14. s inx+cosx=cos2x ĐS: 3 , 2 , 2 4 2 x k x k x k          15.    2 2s inx-cosx 1 s inx+cosx  ĐS: 16. Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 2 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - Khi nào giải một bài toán mà thấy khả năng quy về cùng góc và cùng hàm số lượng giác có thể thực hiện được một cách dễ dàng đơn giản thì ta nghĩ tới dạng toán này - Sau khi đưa về dạng bậc cao đối với một HSLG thì việc đặt ẩn phụ là cần thiết nhưng không bắt buộc. - Giải bài toán này cần chú ý loại nghiệm không thỏa mãn - Với những bài toán khó hơn ta dùng pp đổi biến không hoàn toàn - 1. 2os 3 osx+2=0c x c ĐS: 2x k  2. 2os sin 1 0c x x   ĐS: 3. 22sin 2 5sin 2 3 0x x   ĐS: 5, 12 12 x k x k       4. 2 2 3 sin sin 2 2 x x  ĐS: 5. 2os2x-3cosx=4cos 2 x c ĐS: 6. 2os2x+2cosx+sin 1 0c x   ĐS: 2x k   7. 2 22sin 4sin 3 osx x c x  ĐS: 8. os2x+3sinx=2c ĐS: 52 , 2 , 2 2 6 6 x k x k x k           9. t anx+cotx=2 ĐS 10.  22sin 2 3 s inx+ 3 0x    ĐS: 11.  24 os 2 3 2 osx- 6 0c x c   ĐS: 32 , 2 6 4 x k x k         12.  2tan 3 1 t anx+ 3 0x    ĐS: 3 x k     13. 3 23 tan tan t anx-1=0x x  ĐS: 14. 2 3 2 tan 3 osx x c   ĐS: 15.    23 cotx 5 3 cotx   ĐS: 16. 4 24sin 12 os 7x c x  ĐS: 4 2 x k    17. 6 6 2 13 cos sin cos 2 8 x x x  DS: , 4 2 6 x k x k         18. 5 5 24cos sin 4sin cos sin 4 2x x x x x   ĐS: 8 2 x k     19. 4 6os os2x+2sin 0c x c x  ĐS: x k 20. 6 6 2 2 sin os 1 tan 2 os sin 4 x c x x c x x   ĐS: vô nghiệm vì loại điều kiện 21. 4 4 4sin 2 os 2 os 4 tan tan 4 4 x c x c x x x                (ĐHXD-97) ĐS: 2 x k  Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 3 22. 2 3 2 2 os os 1 os2x-tan os c x c x c x c x   ĐS: 2 3 3 x k    23. 2 2 2 2 sin 1 2 os cot sin x c x x x   ĐS: 2 6 3 x k    (kết hợp nghiêm) 24.  4 4 2 21 sin cos sin cos sin cos 2 x x x x x x   ĐS: 25.    4 2sin 2 3 sin sin 2 3 sin 1 0x x x x     ĐS: 4 x k    HD: C1: Đổi biến không hoàn toàn C2:          2 2 2 23 2 1 sin 2 3 sin sin 1 1 0 sin 2 3 sin 2 1 0 4 sin 2 3sin 4 0 sin 2 1 sin 2 1 0 x x x x x x x x x                   26.  4 4 2 21 sin os sin . os s inx.cosx 2 x c x x c x   ĐS: , 2 2 x k x k        27.      4 2s inx - 5 os 4 3s inx-5 os 16 s inx - 1 0c x c x   ??? 28. IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN, COS Một vài chú ý khi giải phương trình: asinx + bcosx = c - Nắm đặc trưng của phương trình(có hàm số sin, cos cùng góc và phải bậc nhất ) bởi với phương trình loại này nếu nhận dạng sai thì có thể sẽ không giải được hoặc bài giải sẽ dài. - Phương trình này có nghiệm 2 2 2a b c   . Tính chất này thường áp dụng để giải các bài toán dạng: Tìm m để phương trình có nghiệm, tìm GTLN- GTNN của hàm số.. - Bài toán loại này có thể đưa về dạng phương trình đẳng cấp để giải. Chinh vì vậy khi giải toán cần chú ý yêu cầu bài toán để lựa chọn nên đưa về dạng nào cho phù hợp(thông thường nếu yêu cầu biện luận thì ta nên đưa về dạng bậc nhất đối với sinx, cosx) - Loại toán này người ta thường ra dưới dạng hỗn hợp - Làm toán lượng giác luôn tự đặt câu hỏi: Bài toán thuộc dạng nào quen thuộc? Nên vận dụng công thức nào? Vì sao? 1. s inx+cosx=1 ĐS: 2 , 2 2 x k x k     2. sin 3 cos 1x x  ĐS: 2 , 2 2 6 x k x k        3. 3sinx + 4cosx = 5 ĐS: 4.  1s inx= 3 3 osx 3 c ĐS: 2 , 2 2 6 x k x k       5. sin cos 2 sin 7x x x  ĐS: 3, 24 3 32 4 x k x k        6.  cos7 sin 5 3 cos5 sin 7x x x x   ĐS: , 12 24 6 x k x k       7. 2sin17 3 cos5 sin 5 0x x x   ĐS: , 18 6 66 11 x k x k          Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 4 8.  2sin 2 3 cos 2 5 cos 2 6 x x x        ĐS: 7 12 x k    9.  2 2 sin os x osx=3+cos2xx c c (ĐH -00) ĐS: VN HD: Đưa về phương trình theo sin2x, cos2x:  2 sin 2 2 1 os2x=3- 2x c  10. 2 sin 2 2 os 1 3 x c x   ĐS: 6 2 x k     11.  2 22 os os 1 os sin2x 2 c c x c        ĐS: HD: Ta có:     2 2 2 cos sin 2 2 cos cos cos sin 2 cos sin 2 2 x x k x x k Z x x k                 a.)  1 2 4 1 4 1cos 2 2sin 2 4 1 cos 2 sin 2 cos 2 5 5 5 5 k k x x k x x x          Phương trình có nghiệm 0k       2 21os +2x os - 2 25 x n c c x k                       b.) Tương tự ta có:     2os 2x- os - 2 x n c c x n                    12. 33sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x ĐS: 13. 212sin 5cos 2 8 21x x y y    ĐS: 5arccos 2 ;2 13 k     14. Tìm GTLN- GTNN của hàm số: osx+2sinx+3 2 osx-sinx+4 c y c  ĐS: 2axy=2, miny= 11 m 15. Tìm GTLN- GTNN của hàm số: 2 2 os s inxcosx 1 sin c x y x   ĐS: 2+ 6 2 6 axy= , min 4 4 m y  16. Tìm m để phương trình có nghiệm:  1 osx+2msinx=2m c ĐS: 31, 5 m m   17. Tìm m để phương trình có nghiệm:  2 22 os 4 s inxcosx+1=0m c x m  ĐS: 1m  18. V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG - Là phương trình có dạng đặc trưng:  sin cos sin cosa x x b x x c   - Đây là loại toán dễ chỉ có điều quá trình giải dài. Nhưng những bài toán dạng phương trình tích sau này quá trình giải sẽ xuất hiện dạng này vì vậy học sinh cần rèn luyên kỹ năng khi giải bài toán dạng này cho tốt - Khi giải bài toán này cần chú ý: sin cos 2 cos ,sin cos 2 sin 4 4 x x x x x x                 - Chú ý loại toán này sau này còn mở rộng ra một số dạng toán tương tụ Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 5 1.  2 cos sin 3sin 2 2 0x x x    ĐS: 2 , 2 2 x k x k     2. osxsinx+ cosx+sinx 1c  (không hay) ĐS: 2 x k  3.  3 cos sin 2sin 2 5 0x x x    ĐS: VN 4. osx- sinx +3sin2x-1=0c ĐS: 2 , 2 2 x k x k     , 2 4 x k       5.  2 cos sin sin 2 5 0x x x    ĐS: VN 6. 3 3sin cos 2 sin cosx x x x  ĐS: 12 , arccos 1 2 4 4 2 x k x k            HD: Đây là bài toán sau khi đặt ẩn phụ thì đưa về phương trình bậc 3 phải nhẩm nghiệm 7. 3 3 3 1 sin 2 os 2 sin 4 2 x c x x   (ĐHGT-97) ĐS: , 2 4 x k x k        8. sin 2 2 sin 1 4 x x       ĐS: 9. 4s inxcosx-3 6 s inx+cosx 8 0  ĐS: 5, 12 12 x k x k       10. VI .PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP - Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) bậc n tổng quát:    asinx, acosx . s inx, cosxnf a f - Giải phương trình loại này không khó. Nhưng nhận dạng nó thì khó. Vì vậy chúng ta cần phải hiểu rõ: Phương trình như thế nào gọi là đẳng cấp (cùng góc và cùng bậc ở mọi hạng tử). - Khi nhận dạng loại này cần khai thác công thức: 2 2sin os 1x c x  . Tức là nếu thấy có một và hạng tử lệch số bậc với nhau 2 bậc thì chắc chắn nó là phương trình thuần nhất - Nếu gặp bài toán biện luận thì ta nên đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx - 1. 2 22sin 5s inxcosx+4cos 2x x  ĐS: 2, arctan 2 5 x k x k        2. 3 2 2 22sin 4sin osx+sinxcos 2 os 0x xc x c x   ĐS: arctan2+kx   3. 22sin 2 2 3 sin 2 os2x=3x xc ĐS: 6 2 x k     4.  2 23 sin 1 3 s inxcosx-cos 3 1x x    ĐS: , 4 3 x k x k        5.  3 3 5 5sin os 2 sin osx c x x c x   ĐS: 4 2 x k    (kết hợp nghiệm) 6. 4 2 2 43sin 4 os sin sin 0x c x x x   ĐS: , 3 4 2 x k x k        HD:    23 3 32 os 3s inx-4sin tan 3t anx+2=0 t anx-1 t anx+2 0c x x x      7. 3 34 os 2sin 3s inx=0c x x  ĐS: 4 x k    8. 36s inx-2cos 5sin 2 osxx xc ĐS: 4 x k    Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 6 9. 32 os sin 3c x x ĐS:  , arctan -2 4 x k x k       10.  2 2t anx.sin 2sin 3 os2x+sinxcosxx x c  ĐS: , 4 3 x k x k         11.    22 2 4 43 1 sin 2 3 sin 4 3 os 2 os sinx x c x c x x     12. Tìm m để phương trình có nghiệm:     2 31 sin 3 2 5 os 1 2 x m x m c    ĐS: 2, 1m m  13. Tìm m để phương trình có nghiệm:      23 1 s inxcosx 2 osm m c x    ĐS: 1, 3m m   14. VII. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH - Là phương trình có dạng:             0 0 . ... 0 0 .... f x g x f x g x h x h x        - Đây là loại phương trình lượng giác phong phú và đa dạng nhất.Nó hay bởi nó không có pp giải cụ thể mà pp giải của nó chỉ gói gọn là: “dựa vào kinh nghiệm giải toán”. Chính vì thế trình độ giải phương trình lượng giác của mỗi học sinh được đánh giá cao khi giải tốt phương trình loại này. - Muốn giải tốt phương trình dạng này thì mỗi học sinh khi đặt bút biến đổi cần phải hình dung được 3 bước biến đổi tiếp theo sau bước đầu tiên sẽ là gì? Và kết quả cần đạt là xuất hiện nhân tử chung nào? 1.  3 3 5 5sin os 2 sin osx c x x c x   ĐS: 4 2 x k    (kết hợp nghiệm) 2. 1 sinxcos2x = sin2xcos3x- sin 5 2 x ĐS: 3 x k  (kết hợp nghiệm) 3.   2sin 1 cos 1 cos cosx x x x    ĐS: 2 2 x k    4. 1 1 2 osx sin 2 sin 4c x x   ĐS: 52 , 2 6 6 x k x k       (kết hợp nghiệm) 5.  2 22 os2x+sin osx+sin xcos 2 s inx+cosxc xc x  ĐS: , 2 , 2 4 2 x k x k x k           HD:    s inx+cosx 2s inx-2cosx+sinxcosx-2 0 6.  4sin 2 3 os2x=3 4sinx-1x c ĐS: x k HD:    28s inxcosx-3 1-2sin 12s inx-3 sinx 4cosx+3sinx-6 0x    NX: Bài toán này rèn học sinh cách suy luận khi biến đổi và ôn pp giải phương trình bậc nhất 7.  5 7 3 51os sin os sin sin 2 s inx+cosx 2 c x x c x x x    ĐS : 3, 2 4 x k x k      HD:Ta có:         5 7 4 6 4 6 2 2 2 4 os sin os s inx+sin osx=sinx+cosx t anx=-1 sinx+cosx os sin 1 0 cos os 1 sin sin 1 0 c x x c x xc c x x x c x x x               Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 7 8. 9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8x x x x    ĐS: 2 2 x k    HD: Ta có:      2 29sin 6cos 6sin cos 1 2sin 8 6cos 1 sin 2sin 9sin 7 sin 1 6cos 2sin 7 0 sin 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x k                        9. 4 4 2 2 sin os 1+sinx2 2 tan .s inx= tan 1 s inx 2 x x c x x    ĐS: 10. 2 3tan 3 cot 2 2 tan sin 4 x x x x    ĐS: 11. cos cos5 8sin sin 3 cos3 cos x x x x x x   12. 32 os os2x+sinx=0c x c ĐS: 3 , 2 4 2 x k x k       13. 4 4 5 sin os 1 3 x c x  ĐS: 14. 2 2os7x+sin 2 os 2 osxc x c x c  ĐS: 15. 3 2 3 1 os tan 1 sin c x x x   ĐS: 16.    1 t anx 1 sin 2 1 t anxx    ĐS: 17.  33 2 2sin sin sin 3 s inx+sin2x+sin3xx x x   ĐS: HD: Ta có:      3 3 3 3 3a b c a b c a b b c a c         18. 5 5 1 1 sin os osx s inx x c x c    ĐS: 4 x k    HD:Ta có:       5 5 4 3 2 2 3 4 2 sin os s in x- cos x sin sin osx+sin os s inxcos os 1 1 s inx - cosx 1 sin 2 sin 2 2 4 x c x x xc xc x x c x x x                2 3 2 t anx = 12 s inx - cosx1 1 s inx - cosx 1 sin 2 sin 2 2 4 sin 2 sin 2 2sin 2 4sin 2 8 0( ) x x x x x x vn              19. x 1 s inx+cosx=2cos 2 4      ĐS:  2 1 , 4 2 2 x k x k         HD: Ta có 2 2 2 2x x xsin os 2sin os os sin 2 os sin 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 1 2 x x 2 2sin os 2 os 2 0 2 2 2 x 2 4os 22 2 x x x x x c c c c x x k x c c x kc                                              Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 8 20. 2 3s inx+sin os 0x c x  ĐS: 21. 4 2 2tan tan 4sinx x x  ĐS: , 4 2 x k x k     HD: C1: đưa về sin, cos C2:  2 2 2 2 2 221tan tan 1 4 tan os tan 4 os 0osx x xc x x c xc x         22. 2 2 17 sin 2 os 8 sin 10 2 x c x x       ĐS: , 20 10 6 3 x k x k        23.  3 2 2 3 1 sin 3tan tan 8cos 0 cos 4 2 x x x x x          ĐS: 24. VIII. PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 1.    2sin t anx+1 3s inx. osx-sinx 3x c  ĐS: 2.   4 4sin os 1 tan cot sin 2 2 x c x x x x    ĐS: VN (loại ) 3. sin 5 1 5sin x x  ĐS: VN 4. sin 3 os 2x=1+2sin xcos2xx c ĐS: 5, 2 , 2 6 6 x k x k x k         5. 2sin cot 2sin 2 1x x x   ĐS: HD: Ta có:        2 2 2 22sin cos 4sin cos sin 2sin sin cos 4sin 1 2sin 1 0 2sin 1 sin cos 2sin 1 0 sin cos 2sin cos 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                    6. 3tan cot 2cot 2x x x  ĐS: , 4 4 x k x k        7.  2 2tan sin 2sin 3 os2x + sinxcosxx x x c  ĐS: , 4 3 x k x k         8.  2 2 s in x+ cosx os x =3 +cos2xc ĐS: VN 9.   2sin 2 cot tan 2 4 osx x x c x  ĐS: , 2 6 x k x k        HD: Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 theo cos 2x 10.    4 2sin 2 3 sin sin 2 3 sin 1 0x x x x     11. 2 2cos7 sin 2 cos 2 cosx x x x   12. 24cos sin cos sinx x x x  13. 2 2 7 sin os4x-sin 2 4sin 4 2 2 x xc x       ĐS: 72 , 2 6 6 x k x k        14. 2 2 x sin sin os sin 1 2 os 0 2 2 4 2 x x x c x c         ĐS: , 4x k x k     Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 9 15.  2 2 22 os 2 os 2 2 os 3 3 4 os4x 2sin2x+1c x c x c x c    ĐS: 8 4 x k    16.     22sin 1 3 os4x+2sinx - 4 4 os 3x c c x   ĐS: 7, 2 , 2 2 6 6 x k x k x k          \ HD:        22sin 1 3 os4x + 2sinx - 4 4sin 1 2s inx+1 3 os4x-3 0x c x c     17. 34 os 3 2 sin 2 8 osxc x x c  ĐS: 32 , 2 , 4 4 2 x k x k x k           18.    2sin tan 1 3sin os x-sin x 3x x x c   ĐS: , 4 3 x k x k         HD: Đưa về phương trình đẳng cấp :    2t anx+1 tan 3 0x   19. 632 os os6x=4c x c ĐS: 20.  2 3 3tan 1 sin os 0x x c x   ĐS: 21. 68sin 3 os2x+2cos4x+1=0x c ĐS: 4 2 x k    HD: Đưa về phương trình bậc cao theo góc 2x 22. 2 3 2 3tan tan tan cot cot cot 6x x x x x x      ĐS: 4 x k    23. 2 3 4 2 3 4sin sin sin sin osx + cos os osx x x x c x c x c x      24. IX. BÀI TOÁN PHẢI KẾT HỢP NGHIỆM, LOẠI NGHIỆM - Để kết hợp nghiệm chúng ta cần nắm tốt các vấn đề sau: 1.) Nắm các tính chất của đường tròn lượng giác: chiều, điểm gốc, s in , cos  là gì? 2.) Biểu diễn cung lượng giác lên đường tròn lượng giác: 3.) Xác định số điểm ngọn của 1 cung lượng giác bất kỳ: 0 2k n    ( n là số điểm ngọn mà cung lượng giác đó chia đường tròn lượng giác thành các phần bằng nhau) 4.) - 1.    sin 4 osx - 2sin4x os4x 1+sinx - 2cos4x 0x c c  HD: Ta có: 2 sin5x = 1 10 5sin 5 os4x = 2 2 , 4 1 cos4x = 1 2 2 x k x c x m t l m x l                     2. 2 3 2 2 os os 1 os2x-tan os c x c x c x c x   ĐS: 2 3 3 x k    3. 1 sinxcos2x = sin2xcos3x- sin 5 2 x ĐS: 3 x k  4.   2 s inx sinx+cosx 1 0 os s inx+1c x   ĐS: 2 ,2 4x k x k       (loại 2 2 x k     ) 5.   4 4sin os 1 tan cot sin 2 2 x c x x x x    ĐS: VN (loại ) Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 10 6. 6 6sin os 1 4tan tan 4 4 x c x x x                 ĐS: VN 7.    sin 3 cos 2sin 3 cos3 1 sin 2cos3 0x x x x x x     HD:Ta có:    2 2sin 3 cos cos3 sin 2 sin 3 cos 3 cos3 0 sin 4 1 sin 4 cos3 2 0 cos3 1 x x x x x x x x x x VN x              8. 3x os2x+cos 2 0 4 c   ĐS: 8x n HD: os2x=1 38 883x 83cos 1 34 x kc l nl k x nl k nx                  9.  21 os x+cos2x+cos3x 2 3 3 sin2 os os x-1 3 c x c x c     ĐS: 2x k  10.    os cosx+2sinx 3sin sin 2 1 sin 2 1 c x x x    ĐS: 24x k     (loại 5 2 4 x k    ) 11. CÁC BÀI TOÁN TÌM NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 1. Tìm nghiệm phương trình : cos7 3 sin 7 2x x   thỏa mãn : 2 6 5 7 x    2. Tìm các nghiệm của phương trình: xsin os 1 s inx 2 2 x c   thỏa mãn điều kiện; 3 2 2 4 x    3. X. PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG ĐÁNH GIÁ 2 VẾ: - Khi giải phương trình lượng giác nếu thấy khả năng biến đổi về phương trình đơn giản gặp nhiều khó khăn thì ta nghỉ tới pp đánh giá 2 vế. - PP giải: Giải phương trình: f(x)= g(x) (1) Dạng 1: Nếu ta đánh giá được:    ,f x A g x A  thì     1 f x A g x A    (2) Việc đánh giá trên chúng ta có thể dùng tính chất của hàm số đã cho hoặc các BĐT quen thuộc (Thông thường việc giải phương trình (1) gặp khó khăn nhưng giải hệ (2) thì dơn giản.) Dạng 2: Nếu phương trình (1) có dạng một tam thức bậc 2 theo ẩn nào đó thì dùng pp đổi biến không hoàn toàn. Sau đó dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 để giải (thông thường khi dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 thì nó xãy ra trường hợp đặc biệt ) Dạng 3: Nếu (1) biến đổi được về dạng:           1 2 2 2 1 2 2 0 .... 0 0 .... n f x f x f x f x f x         Nói chung đây là dạng toán khó đòi hỏi học sinh phải giải tốt các bài toán thông thường lúc đó mới có khả năng nhận dạng loại toán này. Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 11 1.  s inx+cosx= 2 2 sin 3x ĐS: VN 2. 2 2 sin 1 0x x xy   ĐS: 1; 2 ; 1; 2 2 2 k k               3.  2os2x-cos4x 6 2sin 3c x  ĐS: 2 2 x k    4. 2 24 os 3tan 4 3 osx+2 3 t anx+4=0c x x c  ĐS: 2 , 6 x k     5.  6 3sin 2sin os xy 1 0x xc   ĐS: (***) 6. 3 3 4sin os sin 2x c x x   ĐS: 2 2 x k    HD: Ta có: + 3 3 2 2 3 3sin os sin os 1 sin os 1x c x x c x x c x       (1) + 42 sin 1x  (2) 3 3 4 3 s inx=1 cosx=0sin os 1 2 2s inx=-1sin 1 cos 2 x c x x k x x                7. 2008 2008sin os 1x c x  ĐS: 2 x k  8. 13 14os sin 1c x x  ĐS: 2 , 2 x k x k     HD: Ta có:        2 11 2 11 2 12 2 12 os 1 os 0 os 1 os sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 c x c x c x c x x x x x            9.  3os2x-cos6x+4 3sinx - 4sin 1 0c x   ĐS: 2 2 x k    HD:C1:       2 2 22 1 os2x 1 os6x 4sin 3 2 0 2 os 2sin 3 4sin 3 2 0 osx=0 2os sin 3 1 0 2sin3x=-1 6 3 c c x c x x x x kc c x x x k                                10. 2 2 2 1 sin sin 3 s inxsin 3 4 x x x  ĐS: HD: Ta có: Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 12         2 22 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2s inx-sin 3 sin 3 sin 3 2s inx-sin 3 sin 3 sin 3 1 s inx=0 2s inx-sin 3 0 sin 3 02s inx - sin 3x=0 sin 3 0 1 sin 3 sin 3 1 0 s inx = 2s inx - sin 3 0 2 sin 3 1 sin 3 1 x x x x x x x x x x x x x x                          2 6 5 2 6 x k x k x k                   11. 2sin sin sin cos 1x x x x    ĐS: HD: Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 s inx s inx=cos osx s inx s inx= osx+cos 4 4 osx=11 1 s inx osx- sinx=0s inx osx-11 1 2 2s inx osx - 1 12 2 osx 0sinx osxs inx osx 2 2 sin s inx-1=0 x c c x c c c c ccc x                                      12. 2 2 3 3 2 3 3 1 1 81 sin os os 4 2 2 4sin os 2 2 x x c c x x x c                       13. 2 2 2 tan 2 4 5 1 tan 2 x y y x     ĐS: 14. XI. BÀI TOÁN KHÓ 1. 10 10 4 29 sin cos cos 2 16 x x x  DS: 8 4 x k    HD: Đưa về phương trình bậc cao đối với cos 2x. 2. 2 2 2 1 sin sin 3 s inxsin 3 4 x x x  ĐS: HD: Ta có:         2 22 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2s inx-sin 3 sin 3 sin 3 2s inx-sin 3 sin 3 sin 3 1 s inx=0 2s inx-sin 3 0 sin 3 02s inx - sin 3x=0 sin 3 0 1 sin 3 sin 3 1 0 s inx = 2s inx - sin 3 0 2 sin 3 1 sin 3 1 x x x x x x x x x x x x x x                          2 6 5 2 6 x k x k x k                   3. 2 2sin cos8 8 10 cos 2x x y   ĐS: Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 13 4. 5. 2 2 2 2 2 2 1 1 1 os sin 12 sin os sin 2 c x x y c x               ĐS: Nghiên cứu thêm 6. 2008 2008sin os 1x c x  ĐS: 2 x k  7. 2 19947 os 1995sin 1995c x x  ĐS: 2 x k    8. 13 14os sin 1c x x  ĐS: 2 , 2 x k x k     HD:        2 11 2 11 2 12 2 12 os 1 os 0 os 1 os sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 c x c x c x c x x x x x            9. 10 10 6 6 2 2 sin os sin os 4 4 os 2 sin 2 x c x x c x c x x    ĐS: 2x k  HD: Ta có:         2 10 10 10 10 2 8 2 8 2 2 8 2 8 3 1 sin 2sin os 4 sin os 1 sin sin 1 os os 1 0 4 4 3sin 2 s inx=0 sin sin 1 0 sinx= 1 2osx=0os os 1 0 cosx= 1 xx c x x c x x x c x c x x x x x k cc x c x                           Tổng quát: giải phương trình: nsin os 1 , ; , 2m x c x m n Z n m     10.    3 cot osx 5 tan sin 2x c x x    ĐS: HD: Ta có: ĐK:   osx-sinx.cosx +sinx s inx - sinxcosx +cosx 3 5 0 s inx 3 5 osx - sinx.cosx+sinx 0 s inx osx 3 arctan3 tan 5 5 1 arccos 1 2osx -sinx cosx +sinx = 0 4 2 c c c x k x x kc                                      11. 3sin 2 sinx 4 x      ĐS: 12.    sin 3 cos 2sin 3 cos3 1 sin 2cos3 0x x x x x x     HD: Ta có:    2 2sin 3 cos cos3 sin 2 sin 3 cos 3 cos3 0 sin 4 1 sin 4 cos3 2 0 cos3 1 x x x x x x x x x x VN x              Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 14 13. 14.  2 22 os os 1 os sin2x 2 c c x c        ĐS: HD: Ta có:     2 2 2 cos sin 2 2 cos cos cos sin 2 cos sin 2 2 x x k x x k Z x x k                 a.)  1 2 4 1 4 1cos 2 2sin 2 4 1 cos 2 sin 2 cos 2 5 5 5 5 k k x x k x x x          Phương trình có nghiệm 0k       2 21os +2x os - 2 25 x n c c x k                       b.) Tương tự ta có:     2os 2x- os - 2 x n c c x n                    15. Tìm a,b để phương trình:  2 5 2 2 os ax+bx x c     có nghiệm HD: Ta có:          2 1 0 1 1 4 os ax+b 0 os ax+b 0 os a+b 0 2 x x x c a b k c c                     16. Tìm nghiệm của phương trình:      2 2 2sin 1 sin sin 1x y xy x y          (1) biết:    1 , ,