Tiểu luận Cơ học lượng tử nâng cao

Mở đầu Lý thuyết nhiễu loạn là cở sở để chúng ta ước rằng, giải chính xác nghiệm của các phương trình trong cơ học lượng tử. Nó cũng dùng để nghiên cứu cấu trúc của hệ phân tử và nguyên tử, chúng ta cần biết bức xạ điện từ tương tác của hệ. Bản chất của phổ phân tử và nguyên tử là sự hấp thụ và phát xạ bức xạ điện từ bởi phân tử và nguyên tử, ngoài ra nó còn chịu sự chuyển dời từ trạng thái này sang trạng thái khác. Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian là sử dụng để nghiên cứu quá trình hấp thụ và bức xạ bởi nguyên tử. Tổng quát hơn là xét chuyển dời của hệ lượng tử từ mức năng lượng này đến mức năng lượng khác. Trong quá trình chuyển dời các mức năng lượng, xuất hiện sự hấp thụ và phát xạ photon. Để làm sáng tỏa hơn chung ta nghiên cứu các nội dung sau. 1. Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. 2. Xác suất chuyển dời. 3. Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số. 4. Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa. A. PHẦN LÝ THUYẾT 1.Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Ở đây ta xét hiện tượng mà được mô tả bởi hàm Hamiltonians và hàm Hamiltonnians tách thành hai phần, một phần không phụ thuộc vào thời gian và một phần V(t) phụ thuộc thời gian mà V(t) rất bé so với . (1) Trong đó được mô tả bởi hệ không nhiễu và giả sử đã biết nghiệm. xét hệ này khi không có nhiễu loạn nó được diễn tả bởi hàm Hamilo-nian độc lập với thời gian và có trị riêng , hàm riêng là biết. (2) Vectors trạng thái tổng quát được cho bởi trạng thái dừng. (3) Trong khoảng thời gian thì hệ phụ thuộc thời gian, V(t) rất bé so với . (4) Trong khoảng thì Hamiltonian của hệ là và phương trinh Schrodinger tương ứng là. (5) Trong đó là tương tác đặc trưng của hệ với nhiễu loạn bên ngoài. Ảnh hưởng của tới hệ như thế nào? Khi hệ tương tác với thì nó cũng hấp thụ hoặc bức xạ năng lượng. quá trình này không thể đánh giá được vì hệ chuyển dời từ một trạng thái không nhiễu đến trạng thái khác. Ý chính của lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian là trả lời các câu hỏi: Nếu hệ là không nhiễu trong trạng thái riêng của mà xác suất mà hệ sẽ tìm thấy tại thời điểm sau đó trong trạng thái riêng không nhiễu khác là gì? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình Schodinger (5). Phương pháp chuẩn để giải (5) là tìm trong các số hạng của hệ số khai triển . (6) Sau đó thay vào (5) để tìm các khác nhau bằng phương pháp gần đúng. Thay vì tính tích này, chúng ta kết hợp với thế độc lập thời gian, nó sẽ thích hợp với nghiệm (5) trong bức tranh tương tác. (7) Trong đó và phương trình tiến triển theo thời gian là có thể viết lại như trong bức tranh tương tác là. (8) Hoặc (9) Trong đó toán tử tiến triển phụ thuộc thời gian được cho trong bức tranh tương tác là. (10) Thay (9) vào (7) ta thu được. (11) Nghiệm của phương trình này, với điều kiện ban đầu , là cho bởi phương trình tích phân. (12) Để giải tích phân này ta đưa ra lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian gần đúng. Giả sử rằng là nhỏ sau mỗi lần lặp. gần đúng bậc nhất là trong tích phân (12), dẫn đến . Thay vào (12) ta thu được gần đúng bậc hai là. (13) Thay vào (12) ta thu được gần đúng bậc ba, cứ lặp lại nhiều lần như vậy ta được. (14) Chuỗi này như là chuỗi Dyson Bây giờ chúng ta tính xác suất chuyển dời. Nó có thể được cho các yếu tố ma trận của (14) với trạng thái riêng của . 1.1 xác suất chuyển dời. Xác suất chuyển dời tương ứng với sự chuyển dời từ trạng thái không nhiễu ban đầu đến trạng thái không nhiễu khác được cho từ (14) và do ta được. (15) Trong đó ta sử dụng. (16) Trong đó tần số chuyển dời giữa mức đầu i và mức cuối f , được xác định là. (17) Xác suất chuyển dời ở (15) có thể viết theo khai triển hằng số như giới thiệu ở (6) là. (18) Trong đó: ; (19) Xác suất bậc nhất cho bởi với ( ở đây ) là thu được ở (15) tại bậc thứ nhất . (20) Theo nguyên tắc chúng ta có thể sử dụng (15) để tính xác suất chuyển dời cho vài bậc trong . Tuy nhiên, các số hạng cao hơn bậc thứ nhất trở nên giảm nhanh. Vấn đề lớn nhất của vật lý nguyên tử và hạt nhân, bậc thứ nhất (16) là đủ dùng. Chúng ta sẽ áp dụng (16) để tính xác suất chuyển dời cho hai trường hợp: Nhiễu loạn hằng số và nhiễu loạn điều hòa. 1.2 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số. Trong trường hợp độc lập với thời gian, từ (20) dẫn đến. (21) Sử dụng (với ) thay vào (21) ta được. (22) Vì hàm phụ thuộc thời gian nên xác suất chuyển dời dao động hình sin với tần số như hàm , tuy nhiên xác suất chuyển dời như (hình.1): Nó đáng kể khi và giảm rất nhanh khi xa 0 ( ở đây, t xác định, chúng ta giả sử rằng thay đổi liên tục) Hình.1 ( ) Nghĩa là xác suất chuyển dời của hệ tìm thấy trong trạng thái và năng lượng là lớn khi hoặc khi . Chiều cao và rộng của đỉnh, xung quanh tâm là tỉ lệ với và . Riêng, diện tích giới hạn tỉ lệ với t; vì diện tích ở dưới đỉnh tâm, xác suất chuyển dời tỉ lệ với t. vì thế xác suất chuyển dời cùng đường với thời gian. Đỉnh tâm hẹp và rộng khi thời gian tăng, nó thuộc hàm Delta. Do đó, khi thì xác suất chuyển dời như hình dáng của hàm Delta. Như ta sử dụng mối quan hệ sau. (23) Ta viết biểu thức sau. (24) Bởi vì . Vì , ở đây ,ta thay vào (22) thu được. (25) Tốc độ chuyển dời, được định nghĩa như là xác suất chuyển dời trên thời gian, cho bởi. (26) Số hạng Delta bảo đảo định luật bảo toàn năng lượng. khi thì tốc độ chuyển dời là khác không giữa các trạng thái có năng lượng bằng nhau. ở đây hằng số nhiễu loạn (độc lập với thời gian) cũng không làm mất năng lượng và cũng không bổ xung năng lượng cho nó. Chuyển dời cuối trở nên liên tục. Bây giờ tính tốc độ chuyển dời toàn phần ứng với chuyển dời từ trạng thái ban đầu liên tục cho đến trạng thái cuối . Nếu là mật độ cho trạng thái cuối, số mỗi trạng thái cho khoảng năng lượng, số trạng thái cuối với khoảng năng lượng và là bằng . Tốc độ chuyển dời toàn phần có thể thu được từ (26) là. (27) Hoặc (28) Mối quan hệ này gọi là quy tắc Fermi golden rule. Nó hàm ý rằng, trong trường hợp nhiễu loạn hằng số, nếu ta đợi đủ lâu thì tốc độ chuyển dời toàn phần trở thành hằng số. 1.3 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa. Bây giờ xét nhiễu loạn điều hòa phụ thuộc thời gian. (29) Với toán tử độc lập với thời gian. Như nhiễu loạn là va chạm, khi hạt tích điện tương tác với trường điện từ. nhiều loạn này gây ra chuyển dời của hệ từ trạng thái dừng đến trạng thái khác. Xác suất chuyển dời tương ứng với nhiễu loạn này có thể thu được từ (20) là. (30) Số hạng chéo bỏ qua, vì nó không đáng kể so với hai số hạng khác, ta có thể viết biểu thức như sau. (31) Sử dụng thay vào (31) ta được. (32) Trong (hình.2), tại đỉnh giá trị xác suất chuyển dời lớn nhất , hoặc tại giá trị xác suất chuyển dời lớn nhất . Đây là điều kiện cộng hưởng, nghĩa là xác suất của chuyển dời là lớn nhất khi tấn số của trường nhiễu loạn là . Còn ra xa thì giảm. , Hình.2 Chú ý rằng (32) tương tự (22). Nghĩa là (33) Tốc độ chuyển dời là. (34) Tốc độ chuyển dời khác không khi thỏa mãn hai điều kiện. . Hai điều kiện này không thể đồng thời thỏa mãn; nó có thể hiểu ngầm là. Điều kiện thứ nhất hệ kích thích, vì thế năng lượng cuối nhỏ hơn năng lượng ban đầu. khi nhiễu loạn hệ hồi phục cho photon ở trên có năng lượng cho thế thấy ở hình.3. Quá này gọi là phát xạ cưỡng bức, hệ dễ dàng phát xạ photon với năng lượng . Điều kiện thứ hai, năng lượng cuối lớn hơn năng lượng ban đầu, hệ hấp thụ photon với năng lượng từ thế . Như vậy ta có thể thấy số hạng và trong thế tương ứng với phát xạ và hấp thụ photon có năng lượng . Cuối cùng, hiệu ứng nhiễu loạn điều hòa là truyền cho hệ hoặc nhận từ hệ một photon có năng lượng . Ngược lại, nhiễu loạn hằng số không truyền cho hệ cũng không lấy năng lượng của hệ. Phát xạ cưỡng bức photon Hấp thụ photon Hình. 3 Chú ý: Trạng thái cuối trở nên liên tục, tượng tự từ biểu thức (28) và (34) dẫn đến tốc độ chuyển dời hấp thụ và phát xạ là. (35) (34) Từ (29) là Hermitian, , ta có ở đây. (36) Biểu thức này biết như điều kiện của cân bằng chi tiết. B. PHẦN BÀI TẬP Bài 1: a. Tính vị trí và toán tử xung lượng và trong bức tranh Heisenberg cho dao động tử điều hòa một chiều. b. Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho và . Bài giải. Trong bức tranh schodinger trong đó toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Hàm Hamilto-nian của dao động tử điều hòa có dạng. (1.1) a) Sử dụng giao hoán tử. (1.2) (1.3) Cùng với. (1.4) Ta có thể viết: (1.5) Hoặc. (1.6) Tương tự ta tính được. (1.7) Hoặc. (1.8) b) Để tìm phương trình chuyển động của và chúng ta cần sử dụng phương trình Heisenberg: cùng với (1.2) và (1.3) ta được. (1.9) (1.10) Hoặc. ; (1.11) Bài 2: Sử dụng biểu thức ở bài 1 cho và , hãy tính các giao hoán tử cho dao đọng tử điều hòa sau. , , Bài giải. Sử dụng: và theo hệ thức giao hoán và , ta có. (2.1) Hoặc. (2.2) Tính toán tương tự. (2.3) Hoặc (2.4) Tượng tự, ta có. (2.5) Hoặc (2.6) Bài 3. Tính lượng cho trạng thái thứ n của dao động tử điều hòa một chiều, trong đó và là các toán tử vị trí trong bức tranh Heisenberg và bức tranh Schrodinger. Bài giải. Sử dụng biểu thức của chúng ta có. (3.1) Từ dao động điều hòa và cho bởi. , Và và chúng ta có. (3.2) (3.3) Ta có: , , nên (3.2) và (3.3) là. (3.4) (3.5) Vậy (3.6) Bài 4. Hàm Hamiltonian tương tác của một hạt có khối lượng m, điện tích q và spin trong trường điện từ dọc theo trục z là . Viết phương trình chuyển động Heisenberg cho các toán tử , và , và giải chúng thu được các toán tử như hàm của thời gian. Bài giải. Ta được phép viết trong đó . Giao hoán với các toán tử spin tương ứng có thể được suy ra từ và : , , (4.1) Phương trình chuyển động Heisenberg cho , và có thể thu được từ , và sử dụng (4.1) dẫn đến. (4.2) Tương tự chúng ta có. (4.3) (4.4) Để giải (4.2) và (4.3), chúng ta có thể ghép chúng vào hai phương trình có lợi hơn là. (4.5) Trong đó: . Nghiệm của (4.5) là , với và dẫn đến. (4.6) (4.7) Giải (4.4) ta thu được. => (4.8) Bài 5: khảo sát hạt không spin có khối lượng m, chuyển động trong hố thế một chiều sâu vô hạn với tường tại và . a) Tìm và trong bức tranh Heisenberg. b) Nếu tại t = 0 hạt ở trạng thái , với và là trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất tương ứng với , tìm vector trạng thái cho t > 0 trong bức tranh Schrodinger. c) Tính và như một hàm phụ thuộc thời gian trong bức tranh Schrodinger. d) Tính và như một hàm phụ thuộc thời gian trong bức tranh Schrodinger. Bài giải: a) Vì hàm Hamiltonian của hạt là động năng thuần túy chúng ta có và: (5.1) Sử dụng biểu thức này. , ta thu được. (5.2) Vì chúng ta có. (5.3) Còn (5.4) Mặt khác, vì ta có (5.6) b) Từ năng lượng thứ n cho bởi , ta có. (5.7) c) sử dụng (5.7) ta có thể viết. (5.8) Vì Và Chúng ta có thể viết (5.8) là. (5.9) (Vì ) Tương tự: tính ta có và , Dẫn đến. (5.10) Hoặc. (5.11) d ) Từ (5.3) ta có. (5.12) Thay (5.10) và (5.13) vào (5.14) ta được. (5.13) Và , từ (5.6) và (5.11) ta có. (5.14) Bài 6: Một hạt ban đầu ở trạng thái dừng trong hố thế sâu vô hạn của tường nằm tại và , nó đưa ra tại t = o cho nhiễu loạn phụ thuộc thời gian với là số thực rất bé. Tính xác suất mà hạt sẽ tìm thấy ở trạng thái kích thích thứ nhất tại . Bài giải. Xác suất chuyển dời từ trạng thái dừng đến trạng thái kích thích thứ nhất cho bởi. (6.1) Trong đó. , (6.2) = (6.3) ( Với và ) Thay (6.2) và (6.3) vào (6.1) ta được. (6.6) Đặt , bình phương hai vế ta được và , (6.7) ( với ) Kết luận Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian đã giải quyết sự hấp thụ hoặc phát xạ năng lượng khi có thế tương tác , bằng việc giải nghiệm gần đúng của phương trình Schrodinger và tính được xác suất chuyển rời. cụ thể hơn là xác suất chuyển rời hằng số và xác suất chuyển dời điều hòa. Tính được các xác suất chuyển dời đó, thì chúng ta sẽ tính được tốc độ chuyển dời. Từ tốc độ chuyển rời đó sẽ hiểu hơn về việc hấp thụ hoặc phát xạ photon của hệ. Trong quá trình làm tiểu luận này, do trình độ dịch tiếng anh của tôi còn kém nên không thể không thiếu sót. Kính mong thầy và các anh (chị) trong lớp đóng góp cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn! Mục lục Trang Mở đầu A. PHẦN LÝ THUYẾT………………………………………….. 2 1.Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian………………….... 2 1.1 xác suất chuyển dời………………………………………… 4 1.2 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số…………….. 5 1.3 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa……………. 7 B. PHẦN BÀI TẬP………………………………………………. 11 Kết luận…………………………………………………………... 20 Mục lục…………………………………………………………… 21