Tiểu luận Về nhóm các phép biến hình

TIỂU LUẬN VỀ NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH *LỜI GIỚI THIỆU - Ở trung học phổ thông chúng ta được tìm hiểu về một số phép biến hình như: phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự, phép đồng dạng.Trong bài tiểu luận này sẽ giúp chúng ta củng cố lại các kiến thức kĩ năng cơ bản đã được học trong sách giáo khoa lớp 11 và giới thiệu một số kiến thức về môn hình cao cấp. Đây cũng chính là cơ sở để xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình Nội dung của bài tiểu luận gồm: Chương I: Cơ sở lý thuyết -Phần này tóm tắt lại các kiến thức kĩ năng cơ bản cần nhớ về các phép biến hình . -Mối liên hệ giữa các phép biến hình thông qua nhóm các bài toán. Từ đó xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình Chương II: Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán. -Hệ thống lại các dạng toán thường gặp trong giải toán và nêu các phương pháp chủ yếu để giải -Đối với mỗi dạng có các bài tập điển hình riêng với từng phép biến hình. Mặc dù đã có sự cố gắng và nỗ lực tìm tòi, nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các bạn để bài tiểu luận được hoàn thiện hơn. *MỤC LỤC Tên mục Trang Lời giới thiệu 1 Chương I:Cơ sở lý thuyết 3 I.Phép biến hình 3 Định nghĩa 3 Một số phép biến hình trong mặt phẳng 3-9 II.Mối liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình 10 Nhóm bài toán 1 10-13 Nhóm bài toán 2 14-16 Nhóm bài toán 3 16-24 Nhóm bài toán 4 24-28 Sơ đồ mối liên hệ giữa các phép biến hình 29 Chương II. Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán 29 I.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán chứng minh 29 Phương pháp giải toán chứng minh 29 Một số bài tập 29-38 II.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán quỹ tích 38 Phương pháp giải toán quỹ tích 38-40 Một số bài tập 40-46 III.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán dựng hình 46 Phương pháp giải toán dựng hình 46-47 Một số bài tập 47-62 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I: Phép biến hình 1:Định nghĩa - Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. - Kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) trong đó M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F - Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất 2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng 2.1: Phép dời hình *Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép dời hình. Nhận xét: -các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là phép dời hình. -phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình. * Các tính chất của phép dời hình: - Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm. - Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. - Phép dời hình biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó. - Phép biến hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. * Một số tính chất riêng khác: - Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng thì f là một phép đồng nhất. - Tập hợp tất cả các phép dời hình trong mặt phẳng P làm thành một nhóm (Đó là 1 nhóm con của nhóm afin). - Tích của phép dời hình và các phép phản chiếu là một phép phản chiếu. a. Phép đồng nhất. *Định nghĩa: Phép đồng nhất là một phép biến hình đặc biệt, nó biến mọi điểm M thành chính điểm M. f: P → P M M Thì f = (Nghĩa là: mọi điểm M thuộc mặt phẳng P, (M) = M). b: Phép tịnh tiến: *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ , phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM'=v, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . Kí hiệu: phép tịnh tiến theo vecto v v vecto tịnh tiến Vậy: (M) = M’MM'=v *Tính chất: -.Phép tịnh tiến được hoàn toàn xác định nếu cho biết điểm ảnh M’ của một điểm M nào đó. -.Phép tịnh tiến biến vecto AB thành A'B' bằng nó AB=A'B' -.Phép tịnh tiến ( v≠0 ) + Biến một đường thẳng d thành một đường thẳng d’ song song với d nếu d không song song với v + Biến một đường thẳng thành chính nó nếu d song song với v Như vậy, qua phép tịnh tiến theo vecto v≠0 một đường thẳng là bất động khi và chỉ khi d song song với v -. Mọi phép tịnh tiến (khác phép đồng nhất) đều không có điểm bất động. *Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu (M) = M’ thì c: Phép đối xứng trục: *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng trục d. Kí hiệu: Đd. Vậy: Đd(M) = M’ (M là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’). *Tính chất -Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. -Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng,biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR) - Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp. Tức là phép đảo ngược của phép đối xứng trục Đd là chính nó Đd-1 = Đd hay Đd o Đd= Đd2 =e. Trong đó e là phép đồng nhất của mặt phẳng Euclide E -Trục của phép đối xứng trục Đd là tập hợp các điểm bất động *Biểu thức toạ độ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu +) ĐOx(M) = M’ thì +) ĐOy(M) = M’ thì d: Phép đối xứng tâm: *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng tâm I. I được gọi là tâm đối xứng. Kí hiệu: ĐI. Vậy: ĐI(M) = M’IM'=-IM *Tính chất -Phép đối xứng tâm có tính chất đối hợp, nếu M’ = ĐI(M) thì M = ĐI(M’). với mọi điểm M của mặt phẳng. -Phép đối xứng tâm: ĐI biến vecto AB thành vecto đối của nó AB'=-AB -Phép đối xứng tâm ĐI biến một đường thẳng d không đi qua tâm I thành một đường thẳng song song với d. phép đối xứng tâm ĐI biến một đường thẳng đi qua tâm thành chính nó. Vậy: qua phép đối xứng tâm ĐI một đường thẳng là bất biến khi và chỉ khi d đi qua tâm I. *Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu ĐI(M) = M’ thì e.Phép quay *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác , phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = gọi là phép quay tâm O, góc quay Kí hiệu: Q(O,) là phép quay tâm O, góc quay α. Nếu α = π thì Q(O,) là phép đối xứng tâm O Vậy: Q(O,)(M)=M *Tính chất: - Phép quay bảo toàn khoảng cách giũa 2 điểm bất kì - Phép quay có điểm bất động di động duy nhất là tâm quay -Phép quay Q(O;α) biến một đường thẳng d bất kì thành đường d’ và góc định hướng giữa d và d’ bằng góc quay ; (d;d’) = ∝ +k2π -Phèp đảo ngược Q-1(O;α)của phép quay Q(O;α)là một phèp quay có cùng tâm quay,có góc quay bằng –α 2.2 .Các phép đồng dạng a: Phép vị tự *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho , gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu: V(O,k) Vậy: V(O,k)(M)=M’ -Khi k= -1 phép vị tự V(O,k) là một phép đối xứng tâm O -Từ định nghĩa ta có: phép vị tự bảo toàn sự thẳng hàn và bảo toàn tỉ số đơn của ba điểm. Vậy phép vị tự tâm O, tỉ số k (k≠0,k≠1) là một phép afin *Tính chất -Phép vị tự được hoàn toàn xác định nếu biết ảnh của hai điểm M và N phân biệt nào đó. -Phép vị tự V(O,k) biến AB thành k AB -Phép vị tự V(O,k) biến đường thẳng d (O≠d) thành đường thẳng d’ song song với d -Phép vị tự V(O,k) biến mọi đường thẳng đi qua tâm O thanh chính nó. Hay mọi đường thẳng qua O đều bất động. Nói cách khác qua phép vị tự V(O,k) dường thẳng d là đường thẳng bất động khi và chỉ khi d đi qua O -Cho hai đoạn thẳng song song với các độ dài khác nhau AB song song A’B’và AB≠A’B’duy nhất phép vị tự V(O,k) biến A,B thành A’,B’ -Phép vị tự V(O,k) có tâm O là điểm bất động duy nhất. b: Phép đồng dạng: *Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN. - Phép đẳng cự làphép đồng dạng tỉ số k=1 - Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k *Tính chất: -Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. -Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. -Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc thành góc bằng nó. -Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR). *Biểu thức tọa độ. Trong mặt phẳng tọa độ Eculi cho mục tiêu trực chuẩn (o,i,j) phép đồng dạng f:E=E với tỉ số k>1 và k#1 ta đã biết f=ĐoV.Trong đó V là phép vị tự tâm O tỉ số k, còn Đ là phép đẳng cự. Qua phép vị tự V tâm O ảnh M(x,y) thành M”(x”,y”). x"=kxy"=ky Biểu thức tọa độ của phép đồng dạng f đối với mục tiêu đã cho là: x'=kax+kcy+py'=kbx+kdy+q Ma trận của phép đồng dạng f có dạng k. A trong đó k là số thực A là ma trận trực giao A=acbd Tức là At . A = I2 , det A =± 1 II.Mối liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình *Nhóm các phép biến hình. Nhóm các phép biền hình. Mỗi phép biến hình f của E là song ánh nên tồn tại phép đảo ngược f-1, đó cũng là một song ánh của E, và gọi f-1 là song ánh đảo ngược của f, từ đó ta có: fof-1=f-1of=e Tích 2 song ánh là song ánh tích 2 phép biến hình lá một phép biến hình Vì vậy tập hợp các phép biến hình trong mặt phẳng cùng với phép lấy tích lập thành một nhóm gọi là phép biến hình Dựa vào mối liên hệ giữa các phép biến hình hay các nhóm bài toán xây dựng ta có thể xây dựng nhóm các phép biến hình sau: 1.Nhóm bài toán 1: Bài toán 1.1: Tích hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến. Chứng minh: Giả sử:Tv: (M) =M’ => MM’= v (1) Tu: (M’)=M” =>M’M” =u (2) Lấy (1)+(2): MM’ + MM’ = v + u ó MM” = v + u Hay tịnh tiến theo vecto v + u : (M)=M” Bài toán 1.2: Tích hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến. Chứng minh ĐI: M = M => IM =IM’ I là trung điểm của MM’ ĐJ: M’ = M” => JM’ =JM” J là trung điểm của M’M” IJ là đường trung bình của tam giác MM’M”. IJ //= 12 MM” => tịnh tiến theo vectơ 2IJ biến M thành M”. ĐJoĐI là phép tịnh tiến theo vectơ 2IJ Bài toán 1.3: Tích của phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến là phép đối xứng tâm. Chứng minh Giả sử ; ĐI : (M) = M’ =>IM= IM’ I là trung điểm của MM’ Tv : (M’) = M” => M'M"= v Gọi J là trung điểm MM” => IM = IM” IJ//= 12M’M” Hay ĐJ: (M) = M” Vậy: TvoĐI = ĐJ (với J được xác định bởi IJ =12v) Bài toán 1.4: Tích của phép tịnh tiên và một phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm. Chứng minh: Xét:Tv: (M) =M’ => MM’= v (1) Xét ĐI : (M’) = M” =>IM'= IM" Gọi J là trung điểm MM” => IM = IM” IJ//= 12M’M” Hay ĐJ : (M) = M” Vậy : ĐIo Tv = ĐJ (với J được xác định bởi IJ =-12v) Từ nhóm bài toán 1 ta xây dựng được các cấu trúc nhóm sau: *.Tập hợp phép tịnh tiến cùng với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành một nhóm aben. Chứng minh; +Theo chứng minh trên: tích 2 phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến => phép toán đóng kín + Phép tịnh tiến là phép biến hình nên có tình chất kết hợp. + Tu+Tv = Tu+v = Tv+u = Tv + Tu Phéo toán có tính chất giao hoán + Phần tử đơn vị e là phép tịnh tiến theo vecto 0 + Phần tử nghịch đảo là phép tịnh tiến theo vecto -v Vậy (Tu,o) là nhóm aben *Tập hợp phép tịnh tiến với đối xứng tâm phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành một nhóm. Chứng minh: + Theo chứng minh trên:tích 2 phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến ĐJoĐI là phép tịnh tiến theo vectơ 2IJ ĐIo Tv = ĐJ phép toán đóng kín + Phép (.) có tính chất kết hợp. + Phần tử đơn vị: To + Phần tử nghịch đảo: Phép tịnh tiến có phần tử nghịch đảo là: T-v Phép đối xứng tâm có phần tử nghịch đảo là chính nó. (ĐIo Tv )( ĐIo T-v)= To (vì ĐIo ĐI =e) Vậy (phép tịnh tiến, đối xứng tâm,o) là một nhóm (nhóm này không giao hoán) Nhận xét: Nhóm tịnh tiến là nhóm con của nhóm phép tịnh tiến đối xứng tâm 2.Nhóm bài toán 2 Bài toán 2.1:Tìm tích hai phép vị tự? TH1:Vị tự cùng tâm Xét V(I;k) : (M) = M’ => IM’ = kIM (1) V(I;k’) : (M’) = M” => IM"= k’IM’ (2) Thay (1) vào (2) ta được : IM”=k'k. IM=(k'.k )IM V(I;k.k’) : (M) = M” Vậy V(I;k’)oV(I;k) = V(I;k.k’) KL:Tích hai phép vị tự cùng tâm là một phép vị tự. TH2: Vị tự khác tâm. Xét phép V(I;k) và V(J;k’) (k,k’≠0,1) + Nếu k.k’≠1 Xét V(I;k): (M)=M’ => IM’=kIM (1) V(J;k’): (M’)=M” =>IM”=kIM' (2) Tích f là một phèp vị tự tỉ sồ k” = k.k’,tâm vị tự là điểm O chia đoạn nối tâm IJ theo tị số µ =1-k'1-k.k' . V(J,k’)o V(I,k)=V(O;k.k’) (O∈ IJ) + Nếu k.k’ =1 f là phép : v = k-1k.IJ V(J,k’)o V(I,k)= (v = k-1k.IJ) KL: tích 2 phép vị tự khác tâm là một phếp vị tự hoặc một phép tịnh tiến. Bài toán 2.2: Tích của phép vị tự và phép tịnh tiến là phép vị tự Chứng minh: Xét V(O,k): (M)=M’ => OM’=kOM (M’)=M” => M’M” =v Qua O kẻ d song song với M”M’, d ∩ MM”=O’ OO’ song song với M’M”. theo talet ta có OM'OM=O'M"O'M=k => O'M"= k OM Hay V(O’,k) (M)= M” Vậy o V(O,k) = V(O’,k) Ngược lại:Tích phép tịnh tiến và phép vị tự là phép vị tự Từ nhóm bài toán 2 ta xây dưng được cấu trúc nhóm sau: * Tập hợp phép vị tự cùng tâm với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành một nhóm. Chứng minh: + Theo chứng minh trên ta có: V(I;k)oV(I;k’) = V(I;k.k’) => phép toán đóng kín + Tính chất kết hợp: (V(I;k)oV(I;k’))oV(I;k’’) = V(I;k.k’)oV(I;k’’) = V(I;(k.k’).k”) = V(I;k)o(V(I;k’)oV(I;k’’)) + V(I;k)oV(I;k’) = V(I;k.k’) =V(I,k’.k)=V(I,k’)oV(I,k) => phép toán có tính chất giao hoán + Phần tử đơn vị e = V(I;1) => V(I;k)oV(I;1) = V(I;k) + Phần tử nghịch đảo:∀ V(I;k đéu ∃ V(I;1k) => V(I;k)oV(I;1k) = V(I;1) Vậy ( V(I,k),o) là nhóm aben *Tập hợp phép tịnh tiến và phép vị tự cùng tâm cùng với phép toán lấy tích hai phép biến hình là một nhóm Chứng minh: + Theo chứng minh trên ta có: o V(O,k) = V(O’,k) V(I;k’)oV(I;k) = V(I;k.k’) Tu+Tv = Tu+v Phép toán đóng kín + Phép toán có tính chất kết hợp +Phần tử đơn vị: V(I,k)oT0 = V(I,k) => e = To + Phần tử ngịch đảo: Phần tử ngịch đảo cua V(I.k) là V(I,1k) Phần tử ngịch đảo của Tv là T-v Vậy (o V(O,k),o) là nhóm Nhận xét:nhóm vị tự cùng tâm là nhóm con của nhóm vị tự - tịnh tiến 3/Nhóm bài toán3 Bài toán3.1:Tím tích hai phép đối xứng trục Xét đối xứng trục a và đối xứng trục b: Giả sử: Đa : M =M’ Đb : M’=M” TH1:a song song b Gọi I = a ∩ MM’ và J =∩ M’M” Ta có MM"= MM’ + M’M” =MI + IM’ + M’J +JM” =2IJ Vậy ĐboĐ a là phép tịnh tiến theo vectơ 2IJ Tích hai phép đối xứng truc có trục song song là phép tịnh tiến. TH2: a cắt b Giả sử a ∩ b = O Đa : M = M’ a là đường trung trực của MM’ => OM = OM’(1) Đb :M’ =M”(2) b là đường trung trực của M’M” =>OM”=OM’ Từ (1) và (2) suy ra OM = OM” và góc giữa (OM,OM”) = (OM,OM’)+(OM’,OM”)= 2(a,b) KL:Tích hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là phép quay tâm là giao của hai trục và góc quay bằng 2 lần góc giữa hai hai trục TH3: a vuông góc b Ta có (a,b) = 90o ,sử dụng câu trên (OM,OM”) =2(a,b) =180o=> O,M’,M” thẳng hàng Và OM =OM” => ĐI (M) = M” Vâỵ ĐboĐa = ĐI KL:Tích hai phép đối xứng trục có trục vuông góc là phép đối xứng tâm, tâm là giao hai trục. Xét các bài toán ngược lại: Bài toán3. 2: Mỗi phép tịnh tiến đều có thể bằng vô số cách phân tích thành tích của 2 phép đối xứng trục có các trục song song (2 trục đối xứng của 2 phép tịnh tiến và cách nhau một đoạn bằng nửa độ dài tịnh tiến ) Chứng minh Giả sử: tịnh tiến theo vectơ v ≠ 0,và hai phép đối xứng qua hai trục song song d ,d’(Đd ,Đd’ ) Lấy đường thẳng d nhận v là vectơ pháp tuyến Gọi d’ là ảnh của d qua phếp tịnh tiến theo vectơ 12v Lẩy M’ tùy ý.Gọi M1 = Đd (M) , M’ = Đd’ (Md’) Khi đó : MM'=MM1 + M1M' = 2IM1 + 2M1I' =2II' = v Vậy tịnh tiến theo vectơ v biến điểm M thành điểm M’ Bài toán3. 3: Mỗi phép quay đều có thể bằng vô số cách phân tích thành tích của 2 phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại tâm quay, tạo với nhau một góc bằng nửa góc quay và có cùng hướng với góc quay Chứng minh: Giả sử :phép quay tâm I góc α : Q(I’α) Lấy đương thẳng d bất kì qua I . Gọi d’ là ảnh của d qua phép quay tâm I góc quay α2 Lây M bất kì và gọi M’ = Q(I,α) (M) .Gọi M” là ảnh của M qua phép đối xứng trục d ,M1 là ảnh của M” qua phép đối xứng trục d’. Gọi J = MM” ∩ d ,H = M”M1 ∩ d’ . Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau: (IM,IM1) = (IM ,IM”) + (IM”, IM1) = 2(IJ,IM”) + (IM”, IH) = 2(IJ,IH) = 2α2 = α = (IM,IM’). Từ đó suy ra: M’ ≡ M1 .Như vậy M’ có thể xem là ảnh cua M qua sau khi thực hiện liên tiêp hai phép đối xứng trục qua hai trục d va d’. Bài toán 3.4:Tích một phép đối xứng tâm và phép đối xứng trục là một phép đối xứng tâm Chứng minh Giả sử : ĐI : (M) = M’ =>I là trung điểm của MM’ Đd : (M) = M” Gọi J là trung điểm của MM” => JM = JM” Vì I ,J cố định nên ĐJ : (M) = M” Vậy ĐdoĐI = Đj Ngược lại:tích phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm Bài toán3.5:Tích phép tịnh tiến và đối xứng trục là phép đối xứng trượt Chứng minh Giả sử: Tv :(M) = M’ ĐI :((M’)=M” Thật vậy ;giả sử u =v + w,với v // d và W vuông góc với d.Gọi Tv và Tw là phép tịnh tiến theo vecto v + w : Tu = Tw + Tv Ta có ;f = Đdo (Tw + Tv) =( Đdo Tw) + Tv= Đd’o Tv) là một phép đối xứng trượt Ngược lại ;tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến là phép đối xứng trượt Bài toán 3.6: Tích của một phép đối xứng trục và phép quay là phép đối xứng trượt Chứng minh: Ta đã biét có thể phân tích phép Q thành tích cua hai phép đối xứng trục Đ1,Đ2 ‘ lần lượt có các trục d1,d2 cắt nhau tại I và chọn Đ1 có trục d1 song song với trục d của phép đối xứng trục Đ . Do đó ,f là tích của ba phép đối xứng trục ,trong đó có hai trục song song ,tức f là tích của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng trục : f = Đo(Đ1oĐ2) = (ĐoĐ1)oĐ2 = To Đ2 Vậy f là một phép đối xứng trượt . Ngược lại: Tích phép quay và phép đối xứng trục là phépđối xứng trượt. 4.Nhóm bài toán 4 Bài toán4.1: Tìm tích hai phép quay Chứng minh: Xét các trường hợp sau: TH1/Quay cùng tâm Giả sử :Q(O;β) : M = M’ OM =OM’ và (OM:OM’) = β (1) Q(O;γ) : M’ = M” OM’ = OM” và (OM’;OM”) = γ (2) Từ (1) và (2) suy ra OM = OM” và (OM;OM”) = β + γ Vậy Q(O;β+γ) :(M) = M” => Q(O,β)oQ(O,γ)= Q(O;β+γ) KL: Tích hai phép quay cùng tâm là một phép quay TH2/Quay khác tâm Giả sử :Q(O1;β) và Q(O2;γ) * β+γ ≠k2π Phân tích phép quay Q(O1:β) thành tích hai phép đối xứng trục có trục d1 và d2 => (d1;d2) = β2 Còn phép quay Q(O2;γ) thành tích hai phép đối xứng trục có trục d2,d3 => (d2;d3) = γ2 f=Q(O2;β)oQ(O2;γ)=(Đd3oĐd2)(Đd2oĐd1)=Đd3oĐd2 (vì Đd2oĐd2=e) d1∩d3 => β2+ γ2 ≠kπ .=> β+γ ≠2kπ Gọi O=d1∩d3 Thì f= Đd3oĐd1là phép quay tâm Ogóc quay ∝ =2(d1,d3)=2((d1;d2)+(d2,d3))=2(β2+γ2)=β +γ *β+γ = 2kπ Vì β + γ=2kπ nên d1 song song d3 Thì Đd1oĐd3 là một phép tịnh tiến KL: Vậy tích của hai phép quay khác tâm là một phép quay hoặc phép tịnh tiến. Bài toán 4.2,Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay là một phép quay Chứng minh Ta cần chứng minh QoT = T Thật vậy : ta phân tích phép tịnh tiến thành 2 phép đối xứng trục Đ1 và Đ2 có trục d1 //d2 (theo chứng minh trên) Tương tự ta phân tích phép quay thành 2 phép đối xứng trục Đ2 và Đ3 có trục d2 cắt d3 (theo chứng minh trên) Ta có : QoT = (Đ2oĐ1)o(Đ3oĐ2) = Đ1oĐ3 = Q ( do tính chất đối hơp của phép đối xứng trục Đ2oĐ2 = e ) *Xác định tâm quay J của tích :Q(J;α) = Q(I,α)oTv Giao điểm d3 và d2 là tâm quay J của Q(J;α) = Q(I,α)oTv Ngược lại ; Tích của một phép quay và môt phép tịnh tiến là một phép quay. Từ nhóm bài toán 4 ta xây dựng được cấu trúc nhóm sau: *Tập hợp phép quay cùng tâm với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành một nhóm. Chứng minh: + Theo chứng minh trên ta có: Q(O;α) o Q(O;β) = Q(O;α +β) => phép toán đóng kín + Tính chất kết hợp: (Q(O;α) o Q(O;β)) o Q(O;γ)= Q(O;α +β)o Q(O;γ) = Q(O;(α +β)+γ) = Q(O;α) o( Q(O;β) o Q(O;γ)) + Q(O;α) o Q(O;β) = Q(O;α +β)= Q(O;β+α)= Q(O;β)o Q(O;α) => phép toán có tính chât giao hoán + Phần tử đơn vị e = Q(O;0 ) => Q(O;α)o Q(O;0 ) = Q(O;α) + Phần tử nghịch đảo: ∀ Q(O,α) đều ∃ ngịch dảo Q(O;-α) => Q(O;α)o Q(O;-α) = Q(O;0)= e Vậy (Q(O,α) , o) là nhóm aben *Tập hợp phép quay cùng tâm và phép tịnh tiếncùng với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành một nhóm. Chưng minh + Theo chứng minh trên ta có: T voQ(I, ;β) = Q(J;β) Q(O,β)oQ(O,γ)= Q(O;β+γ) Tu+Tv = Tu+v => phép toán đóng kín + Phép toán luôn có tính chất kết hợp +Phần tử đơn vị: e =To +Phấn tử ngịch đảo: Phần tử ngịch đảo của Q(O,α) là Q(O;-α Phần tử ngịch đảo của Tv là T-v Vậy(T voQ(I, ;β) o ) là một nhóm KL:Tập hợp các cấu trúc nhóm được xây dựng trên là nhóm con của nhóm các phép biến hình. SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC PHÉP BIẾN HÌNH: PHÉP BIẾN HÌNH Phép đồng dạng Phép dời hình k=1 Phép đối xứng tâm Phép đối xứng trục Phép quay Phép tịnh tiến Phép vị tự Q(o;(2k+1)π) k= -1 Q(0;k2π) Phép đồng nhất To k= 1 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH I.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán chứng minh 1. Phương pháp giải toán chứng minh Sử dụng định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ,mối liên hệ … của phép biến hình 2.Một số bài tập. a. Phép tịnh tiến Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho v (-2;1) đường thẳng d: 2x-3y+3=0 dường thẳng d1:2x-3y-5=0 a/ Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh cuâ d qua phép tịnh tiến b/ Tìm tọa độ của w có giá vuông góc với d, để d1 là ảnh của d qua phép tịnh tiến w Giải a/ Lấy M (0,1) ∈ d ó (M) =(M’) (0;1) =(-2;2) ∈ d ó M’ ∈ d’ Vì d’ song song với d nên d’ : 2x-3y+c=0 mà M’ ∈ d’ ó c=10 Vậy phương trình d’:2x-3y+10=0 b/ Lấy M(0;1), dường thẳng d2 qua M vuông góc với d có vecto chỉ phương là (2;-3) ó d2 có phương trình là x-02 = y-1-3 ó 3x+2y-2=0 M’=d1 ∩ d2 ó M’ thỏa mãn hệ 2x-3y-5=03x+2y-2=0 ó x=1613y=-1113 ów = MM'=(1613;-1113). Bài 2: Cho tam giác ABC và A’B’C’ sao cho 2 trung tuyến AM và A’M’ tương ứng tạo tạo thành hành bình hành AMM’A’ và 2 trung tuyến BN và B’N’ tương ứng tạo thành hình bình hành BNN’B’ .Chứng minh rằng 2 tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. Giải Gọi G và G’ là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ tương ứng Do AMM’A’ là hình bình hành nên AA' = MM' Do đó tịnh tiến theo véctơ AA': M = M’ A = A’ Ta có : (A,M,G) = ( A’ ,M’ ,G’ ) =-2 Mà phép tịnh tiến bao toàn tỉ số đơn Do đó : tịnh tiến theo véc tơ AA' : G = G’ suy ra AA' =GG' . Tương tự BNN’B’ là hình bình hành hay BB' = NN' . Nên tịnh tiến theo véctơ BB' :B =B’ N =N’ Và ta cũng có (B,N,G) = ( B’N’G’) =-2 Vậy tịnh tiến theo véctơ BB' :G = G’ suy ra GG' = BB'.Từ đó BB' = AA' Nên tịnh tiến theo vecto AA' :B=B’ và N=N’ Cũng vậy do N và N’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’ Hay (A, N, C)= (A’,N’,C’) =2 nên tịnh tiến theo vecto AA': C=C’ Vậy tịnh tiến theo vecto AA' tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ ó A’B’, B’C’,C’A’ tương ứng song song và bằng AB,BC,CA Bài3 Cho tam giác ABC,điểm H thuộc AB ,điểm Q thuộc ACvà hai đương thẳng a,b không đi qua các đỉnh của tam giác .Giả sử R thuộc a, điểm G thuộc và đường thẳng a cắt AB ,BC,CA lần lượt tai M,N,P ;đươn thẳng b cắt AB,BC,CA lần lượt tại D,E,F sao cho BN =EC ,PQ =FC, PR= MN',DG =E Fvà DH =BM Chứng minh rằng GHQR là hinh bình hành. Giải Xét các phép tịnh tiến theo các vectơ QC,CN,NH. Bộ ba điểm (P,Q,R) có ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ QC ,CN,NH: lần lượt là: ( P’,Q’,R’); (P”,Q”,R”)và(P”’,Q”’,R”’) Theo tính chất của phép tịnh tiến : RQ=R'Q'= R"Q" = R"'Q'" Do đó để chứng minh GHQR là hình bình hành ta cần chứng minh Q”’≡ H ,R”’≡ G Ta có:tịnh tiến theo vectơ QC (Q) =Q’ => Q’≡C Tịnh tiến theo vectơ CN (Q’)=Q” => Q” ≡N Từ P"Q"= P'Q'= PQ, P"Q"= P"N PQ=FCgt=> P'Q'=FC =>P'≡F.Do đó P"N=P"Q"=P'Q'=FC BN=ECgt=>BP"=BN-P"N=EC-FC=E F Từ DG =E FgtDH=BM (gt) suy ra: P"Q= BM-BP"=DH-DG= GH (1) Xét tịnh tiến theo vectơ NH: R"'Q"'= R"Q"=R"N=P"N-P"R"=P"N-PR PR=MNgt=>P'Q'=P"N+NM= P"M(2) Q”’≡H(3) Từ (1),(2) và (3),ta có R"'= GH=GQ"' tức R”’ ≡ G ,suy ra GH=RQ. Vậy GHQH là hình bình hành b/phép đối xứng tâm Bài 1. Cho tam giác ABC và điểm O không trùng với đỉnh của tam giác Gọi D,E,F,L,M,N lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB,OA,OB,OC.Chứng minh lục giác DNELFM có tâm đối xứng. Giải. Do D,N lần lượt là trung điểm của BC,OC nên theo định lí về đường trung bình của tam giác:DN=12 BO. Tương tự F,L :FL=12 BO. Suy ra ,DN= FL,tức là DNLF là hình bình hành ,nhận giao điểm Icủa hai đương chéo DL,FN là tam đối xứng ,hay phép đối xứng tâm S1: E =F Vậy các dường thẳng DL,EM,FL đồng quy tại Ivà lục giác DNELFM có tâm đó