Tìm chữ số tận cùng

Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm cơ sở lý luận Số học là khoa học về số. Trong số học người ta nghiêm cứu những tính chất cơ bản của các số và những quy tắc tính toán trên các số. Số học là bộ môn khó đối với học sinh nói chung và đối với học sinh lớp 6 nói riêng. Việc giải bài tập số học cần phải nắm vững những quy tắc tính chất về số. Người học cần phải biết vận dụng các tính chất, quy tắc đã học một cách sáng tạo mới giải được bài tập với phương pháp hợp lý nhất. Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6 trong đó có phần số học tôi luôn tìm tòi phương pháp tối ưu để giúp học sinh tiếp cận tri thức và giải các bài toấn một cách hợp lý nhất. Các bài toán tìm chữ số tận cùng và tìm một số chữ số tận cùng trong biểu diễn thập phân của một số tự nhiên đối với học sinh gặp không ít khó khăn trong quá trình dạy. Các em chưa biết vận dụng lượng kiến thức nào đã học để giải bài toán một cách hợp lý nhất. thực trạng Học sinh lớp 6 nói chung và học sinh lớp 6 tôi phụ trách nói riêng các em mới bước vào cấp II còn rất nhiều bỡ ngỡ đối với các môn học nói chung trong đó có môn toán. khi giải các bài toán các em chưa biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo, tư duy chưa sâu. khi học về cách ghi số tự nhiên, phép chia hết và phép chia có dư học sinh chưa biết vận dụng mảng kiến thức nào để giải các bài toán tìm chữ số tận cùng hay một số chữ số tận cùng. Ví dụ: Đối với các bài tập tìm chữ số tận cùng hay hai chưc số tận cùng của các số tự nhiên nhỏ như: 23, 35, 43,... thì các em có thể tính toán và tìm được ngay. Nhưng đối với việc giải bài toán tìm chữ số tận cùng hay một số chữ số tận cùng của các số lớn như: 99, 21000, 3999,... Cụ thể như trong lớp tôi phụ trách có 40 em học sinh khi giải bài toán dạng này chỉ được một đến 2 em định hướng được phương án giải còn lại các em chưa biết áp dụng những kiến thức nào để giải quyết bài toán. Xuất phát từ thực tiễn và suy nghĩ của tôi, tôi viết bài này kính mong đồng nghiệp đọc và góp ý kiến. Nội dung Nhắc lại về cách ghi số tự nhiên trong hệ thập phân Với số tự nhiên A ta viết được dưới dạng: A= abc = 100a + 10b + c A= abcd = 1000a + 100b + 10c + d Với a,b,c,d € N; 1≤ a ≤ 9; 0 ≤ b,c,d ≤ 9 Dạng tông quát: A= anan-1....a1a0 = 10nan +10n-1an-1....+10a1+ a0 với a0,.... an € N (1 ≤ an ≤ 9; 0 ≤ an-1 .... a1,a0 ≤ 9) Các số như: c, d hay a0 là các chữ số tận cùng của A Các số bc; bcd; ... ; an-1 .... a1a0 là các chữ số tận cùng của A. Nhắc lại về phép chia hết và phép chia có dư Cho a, b € với b ≠ 0 ta luôn tìm được q, r € N với 0 ≤ r < b sao cho: a = b. q + r trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư. + Nếu r ≠ 0 gọi là phép chia có dư + nếu r = 0 gọi là phép chia hết Một số kiến thức liên quan lũy thừa với số mũ tự nhiên an = a.a...a (n thừa số a, n ≠ 0) (am)n = amn; (a.b)m = ambm; aman =am + n + Các số tự nhiên tận cùng là 0, 1, 5, 6 dù nâng lên bất kỳ lũy thừa tự nhiên nào khác 0 cũng vẩn có tận cùng bằng những chữ số đó. + Tích của một số tự nhiên tận cùng là 0 với bất kỳ số tự nhiên nào cũng cho ta một số tận cùng bằng 0. + Tích của một số tự nhiên tận cùng là 5 với bất kỳ số tự nhiên lẻ nào cũng cho ta một số có tận cùng là 5. + ở đây tôi đề cập đến dùng phép chia có dư để giải bài toán tìm chữ số tận cùng hay một số chữc số tận cùng. Về kiến thức tổng quát Số tự nhiên A = (10. q + r)k = 10.t +rk (0 ≤ r ≤ 9) Việc tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm số dư của phép chia của một số cho 10. Chữ số cuối cùng của a cũng là chữ số cuối cùng của rk Ta đi xét một số bài toán sau: Bài toán 1: tìm số tận cùng của số A = 9k ( k € N) Xét T/h1: k chẵn => k= 2m => A = 92m = 81m = (80 + 1)m = (10.q + 1)m = 10.t +1 , với m,q,t € N Vậy nếy k chẵn thì A có tận cùng là 1 T/h2: Nếu k lẻ => k= 2m +1 => A = 92m + 1 = 81m.9 = (80 + 1)m.9 = (10.q + 1)m.9 = (10.t +1).9 = 10p +9 , với m,q,p,t € N Vậy nếy k lẻ thì A có tận cùng là 9 Khi học sinh đã nắm được quy trình giải bài toán tổng quát này thì dễ dàng giải được các bài toán như: Tìm chữ số tận cùng như : 99; 91000; 32006;... Ví dụ 1: tìm chữ số tận cùng của 32006 Ta có: 32006 = 32.1003 = 91003, vì 1003 lẻ nên 91003 có tận cùng là 9 32006 có tận cùng là 9 Ví dụ 2: tìm chữ số tận cùng của 32000 Ta có: 32000 = 32.1000 = 91000, vì 1000 chẵn nên 91000 có tận cùng là 1 32000 có tận cùng là 1 Tìm chữ số tận cùng của số có dạng 3k ( k € N) Ta đưa 3k về dạng 9k’ Nếu k chẵn thì k = 2k’ => 3k = 32k’ = 9k’ ta giải bài toán như ở trên Nếu k lẻ thì k = 2k’+ 1=> 3k = 32k’ + 1 = (9k’).3 ta tìm được số tận cùng của 9k’ sau đó ta tìm được chữ số tận cùng của 33 Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 3999 Ta có: 3999 = 3998 + 1 = 9499.3 Chữ số tận cùng của 9499 là 9 => chữ số tận cùng của 3999 là 7 Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của 2k (k € N) Ta thấy số có tận cùng là 6 thì lũy thừa bậc mấy (n ≠ 0) cũng sẽ có chữ số tận cùng là 6 Ta viết k dưới dạng: k= 4m k= 4m + 1 k= 4m +2 k= 4m (với m € N) Nếu k = 4m => 2k = 24m = (16m) sẽ có tận cùng là 6 Nếu k= 4m + 1 => 2k = 24m + 1 = 16m.2 sẽ có tận cùng là 2 Nếu k= 4m + 2 => 2k = 24m + 2 = 16m.4 sẽ có tận cùng là 4 Nếu k= 4m + 3 => 2k = 24m + 3 = 16m.8 sẽ có tận cùng là 8 Từ đó học sinh có thể giải được các bài toán dạng tìm chữ số tận cùng của 21000, 21005, 210001,... Bài toán 4: Tìm số tận cùng của 4k ta có 4k = 22k và giải như bài toán trên Bài toán 5: Tìm số tận cùng của 8k ta có 8k = 23k và giải như bài toán trên Bài toán 6: Tìm số tận cùng của 7k với ( k € N) Ta có : 74 = 2401 Số có tận cùng là 1 nâng lên lũy thừa bất kỳ ≠ 0 sẽ có chữ số tận cùng là 1 k= 4m k= 4m + 1 k= 4m +2 Nếu k = 4m => 7k = 74m = (2401)m = (2400 + 1)m = 10t +1 => có tận cung bằng 1 Nếu k= 4m + 1 => 7k =74m + 1 = (2401)m .7 = (2400 + 1)m.7= (10t +1).7 => có tận cung bằng 7 Nếu k= 4m + 2 => 7k =74m + 2 = (2401)m .49 = (2400 + 1)m.49= (10t +1).49 => có tận cùng bằng 9 Nếu k= 4m + 3 => 7k =74m + 3 = (2401)m .343= (2400 + 1)m.343= (10t +1).343 => có tận cung bằng 3 Từ đó học sinh có thể dễ dàng giải các bài toán có dạng như trên. Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của số 71000, 79999, ... 2. Mở rộng bài toán tím số tận cùng thành bài toán tìm 2 chữ số tận cùng Bài toán 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của 9k ( k € N) Ta tìm số dư của phép chia (95 + 1) cho 100 95 + 1 = (9 + 1) (94 – 93 + 92 - 9 +1) Số (94 + 92 +1) có tận cùng là 3 Số (93 + 9) có tận cùng là 8 (94 – 93 + 92 - 9 +1) có tận cùng là 5 (94 – 93 + 92 - 9 +1) = 10.q + 5 => 95 + 1 = 10(10q + 5) => 95 + 1 = 100q + 50 => 910 – 1 = (95 + 1)(95 – 1) = 100t Ta có: 9m – 1 = 32k – 1 (với m = 2k) => 32k – 1 chia hết cho 100 32k có chữ số tận cùng bằng 1 Mặt khác 32k chia hết cho 3 => chữ số hàng trăm của 32k là 2 32k có tận cùng là 201. Từ đó ta có thể giải được các bài toán tìm 2 chữ số tận cùng của 3999; (99)9; ... Bài toán 2: Tìm 4 chữ số cuối cùng của 5k ( với k € N) Ta tìm quy luật như sau: 54 = 625 55 = 3125 tận cùng là 3125 56= 15625 tận cùng là 5625 57 tận cùng là 8125 58 tận cùng là 0625 59 tận cùng là 3125 510 tận cùng là 5625 511 tận cùng là 8125 512 tận cùng là 0625 Qua đó ta thấy chu kỳ lặp lại là 4 Với k = 4m => 54m tận cùng là 0625 Với k= 4m + 1 => 54m + 1 tận cùng là 3125 Với k= 4m +2 => 54m + 2 tận cùng là 5625 Với k= 4m +3 => 54m + 3 tận cùng là 8125 Từ bài toán tổng quát đó giúp học sinh có thể giải được các bài toán như tìm 4 chữ số tận cùng của: A= 52006 2006 có dạng 4m + 2 => A có tận cùng là 5625 Tương tự giải được các bài toán tìm chữ số tận cùng là 5k Kết luận I. Hiệu quả thực hiện Sau khi sử dụng phương pháp trên đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 tôi thấy các em học sinh rất hứng thú với việc tìm tòi lời giải một số bài toán nâng cao. Phần lớn các em nêu được định hướng giải các bài toán tìm chữ số tận cùng hopặc một số chữ số tận cùng ý kiến đề xuất Trong dạy học nói chung và đối với môn toán nói riêng phát huy được tính tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ rất cần thiết đối với mỗi người giáo viên. Muốn đạt được mục tiêu như vậy thì người thầy phải không ngừng học hỏi tìm tòi phương án tối ưu nhất để trang bị cho học sinh phương pháp giải toán. Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tôi trong việc sử dụngphép chia hết và phép chia có dư để tìm số tận cùng hay tìm số chữ số tận cùng của một số tự nhiên trong biểu diễn thập phân kính mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến. Hương Sơn, ngày 20 tháng 4 năm 2006