Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa

TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LUỸ THỪA ĐẶT VẤN ĐỀ Các dạng toán liên quan đến luỹ thừa trong chương trình số học 6 có thể khai thác ở nhiều khía cạnh. Ngoài những dạng toán như so sánh luỹ thừa, tính giá trị các biểu thức luỹ thừa, tìm x thoả mãn một đẳng thức luỹ thừa, chứng minh tính chia hết,… thì tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa cũng là một trong những dạng toán hay có thể khai thác để giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu hơn các công thức liên quan đến luỹ thừa, một mặt vừa luyện được kỹ năng biến đổi biểu thức hợp lý, vừa vận dụng được những kiến thức các em được học ở tiểu học biết xác định chữ số tận cùng của một tổng , một tích, vừa có thể liên hệ với việc xác định quan hệ chia hết hay chia có dư với các số đặc biệt như 5, 10, 25, 100,.. Khai thác được các kỹ năng đó góp phần bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh, rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Nội dung chuyên đề Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của An, n0 *Nhận xét: “Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của An cũng là chữ số tận cùng của an”. Từ nhận xét suy ra: 1)Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì An có chữ số tận cùng tương ứng là 0, 1, 5, 6 2)Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A2k có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1 3)Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A4k có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1, 1, 6 *Áp dụng: VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 192008; 12100; 12103 Lời giải: a) 192008 =192.1004 =(192)1004 =3611004 3611004có tận cùng là 1 192008 có tận cùng là 1 b) 12100=124.25=(124)25 124 có tận cùng là 6 (124)25 có tận cùng là 6 Vậy 12100 có tận cùng là 6 c) 12103=123. 12102 có tận cùng là 8. VD2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 172007, 1921; 131003 Lời giải: Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A2k, A4k để vận dụng các ý trong nhận xét ở trên đ ây. Thật vậy, 172007=17. 172006=17. 174.501 =17.(174)501 174 có tận cùng là 1 (174)501 có tận cùng là 1 17.(174)501 có tận cùng là 7 Vậy 172007có tận cùng là 7. Tương tự 1921=19. 192.10 suy ra 1921 có tận cùng là 9. 131003=133. 134.250 suy ra 131001 có tận cùng là 7. VD3: Chứng minh rằng 3366 +7755 – 2 chia hết cho 5 Lời giải: Ta chứng minh 3366 +7755 -2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5 Thật vậy, 3366 có cùng chữ số tận cùng với 366, mà 366=933=9.92.16 suy ra 366 có tận cùng là 9, 7755có cùng chữ số tận cùng với 755, vì 755=73.74.13 nên 755 có tận cùng là 3. Do đó 3366, 7755 có chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3 suy ra 3366 +7755 – 2 tận cùng là 0 (đpcm) Dạng 2:Tìm hai chữ số tận cùng của An, n0 *Nhận xét: 1) Giả sử A có hai chữ số tận cùng là , B có hai chữ số tận cùng là Khi đó A.B và .có cùng hai chữ số tận cùng. 2) “Nếu hai chữ số tận cùng của A là , thì hai chữ số tận cùng của An cũng là hai chữ số tận cùng của ” Đặc biệt các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 01, 25,76. *Áp dụng: VD1:Tìm hai chữ số tận cùng của Lời giải: Ta có ==có hai chữ số tận cùng là 01 VD2: Chứng minh rằng +- 65 chia hết cho 100 Lời giải: Ta sẽ chứng minh hai chữ số cuối cùng của +- 65 sẽ là 00. Thật vậy, ====có hai chữ số tận cùng là 01 Mặt khác ===43. = 64. , =,=, mà có hai chữ số tận cùng là 76, do đó = 64. và 64.76 có cùng hai chữ số tận cùng suy ra có hai chữ số tận cùng là 64. Vì vậy +- 65 có hai chữ số tận cùng là 00 Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng của An, n0 *Nhận xét: “Nếu 3 chữ số tận cùng của A là , thì ba chữ số tận cùng của An cũng là ba chữ số tận cùng của ” Đặc biệt các số có tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 001, 376, 625 *Áp dụng: VD: Tìm 3 chữ số tận cùng của 52008 Lời giải: 52008 =54.502=(54)502 54 có tận cùng là 625 suy ra (54)502 có tận cùng là 625 Vậy 52008 có 3 chữ số tận cùng là 625 2. Giáo án thực hiện tiết 1 Hoạt động của thày Hoạt động của trò Nội dung Treo bảng phụ Y/c HS điền thông tin còn thiếu trong bảng phụ Gv nx chốt lại, bước đầu gợi mở pp tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa Y/c HS làm VD1 Gọi một HS nêu cách làm, GV HD trình bày mẫu một ý Gọi tiếp 3 HS lên bảng trình bày các ý còn lại Cho HS nx, chữa bài GV chốt lại *Khai thác: 24k+3 có tận cùng là gì? *Gv định hướng cách tìm cstc của luỹ thừa Ra VD2 Y/c HS nêu phương pháp giải Gv chốt lại PP Yêu cầu HS trình bày từng phần lời gải a) HS1: tìm cstc của 12100 HS2: tìm cstc của 1921 và KL Gọi một HS trình bày b) Ra VD3 Y/c HS nêu phương pháp giải ( hoặc GV gợi mở) Gv dẫn dắt HS phân chia TH và trình bày lời giải Học sinh quan sát bảng phụ, suy nghĩ, phát biểu Hs trình bày theo mẫu: 42k = (42)k = 16k 16k có tận cùng là 6 42k có tận cùng là 6 Các ý khác học sinh trình bày tương tự Trả lời: 24k+3 = 24k.23 = 24k.8 24k có tận cùng là 6 24k+3có tận cùng là 6 PP:Tìm chữ số tận cùng của biểu thức cần c/m chia hết 2HS lần lượt lên hoàn thiện a) * 12100 =124.25 = (124)25 124 có tận cùng là 6 (124)25 có tận cùng là 6 12100 có tận cùng là 6 * 1921 = 19.(192)10 192 có tận cùng là 1 (192)10 có tận cùng là 1 19.(192)10 có tận cùng là 9 1921 có tận cùng là 9 * Vậy 12100 + 1921 có tận cùng là 5 12100 + 1921 chia hết cho 5 b) HS trình bày tương tự PP: Chứng tỏ chỉ có duy nhất n =0 thoả mãn, n0 không thoả mãn bằng cách so sánh chữ số tận cùng của hai vế. Nhận xét: n =0 thoả mãn Nếu n>0 5n+6n luôn tận cùng là 1 Th1: n chẵn 9n tận cùng là 1, 4n tận cùng là 6 9n+4n tận cùng là 7mâu thuẫn Th2: n lẻ 9n=9.9n-1 tận cùng là 9 4n=4.4n-1 tận cùng là 4 9n+4n tận cùng là 3mâu thuẫn Vậy chỉ có n=0 thoả mãn. 1. Tìm một chữ số tận cùng của luỹ thừa VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: a) 42k ; 92k ( k0) b) 24k; 34k; 74k;84k ( k0) VD2: Chứng minh rằng: a) 12100 + 1921chia hết cho 5 b) 3366 +7755 - 2 chia hết cho 10 VD3: Tìm n sao cho 9n+4n=5n+6n *Củng cố: Phương pháp tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa Vận dụng trong bài toán chứng minh chia hết cho 5, cho 10; tìm số dư trong phép chia cho 5, cho 10 *Hướng dẫn HS nghiên cứu tiếp: Tìm hai, ba chữ số tận cùng của một luỹ thừa Đọc thêm NC&PT 6 tr 62-63 Bài tập: 1. Chứng minh: 175+244-1321 10 2. Chứng minh: a) 74n-1 5 b) 92n+1+1 10 3. Chứng minh: 71999-43 100 Nội dung bảng phụ: Luỹ thừa 42 92 24 34 74 84 Chữ số tận cùng Ghi chú n0 Đáp án bảng phụ: Luỹ thừa 42 92 24 34 74 84 Chữ số tận cùng 6 1 6 1 1 6 0 1 5 6 Ghi chú n0 C. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trên đây là các bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa giải bằng phương pháp số học lớp 6. Vấn đề này sẽ được nghiên cứu đầy đủ hơn bằng cách dùng các hằng đẳng thức ở lớp 8 sau này. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Như vậy việc đi tìm một, hai, ba hay nhiều hơn nữa các chữ tận cùng của một luỹ thừa đều dựa trên một ý tưởng là tìm cách liên hệ luỹ thừa đã cho với các luỹ thừa đã biết quy luật về chữ số tận cùng (như đã nêu trong các nhận xét trên), cần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng phân tích luỹ thừa để thực hiện ý tưởng đó. Việc tìm được các chữ số tận cùng sẽ có ứng dụng cho nhiều bài toán hay, trong phạm vi của chuyên đề tôi đã nêu ứng dụng trong một số bài toán chia hêt, đề nghị các đồng nghiệp cùng trao đổi góp ý cho tôi về chuyên đề này. Tôi xin trân thành cảm ơn! Bình Giang, ngày….., tháng …., năm……. Người viết chuyên đề: