Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghiệm chung. Chứng minh rằng một trong 2 phương trình có nghiệm

TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PT BẬC 2 CÓ NGHIỆM CHUNG CHỨNG MINH RẰNG MỘT TRONG 2 PT CÓ NGHIỆM A) Tìm ĐK của tham số để PT bậc 2 có nghiệm chung: Phương pháp giải: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 PT. Thay x =x0 vào 2 PT ta được hệ với ẩn là các tham số. Giải hệ tìm tham số. Thử lại với tham số vừa tìm, 2 PT có nghiệm chung hay không. Bài tập: Bài 1: Cho 2 PT: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để 2 PT trên có nghiệm chung. Xác định a để 2 PT tương đương. Giải Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 PT đã cho, ta có hệ: Trừ từng vế 2 PT tacó: x0 (1 – a) + a – 1 = 0 (1 – a) (x0 – 1) =0 Với a = 1 ta có PT: x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm. Với x0 = 1, thay vào PT (1) ta được a = -2. Ngược lại với a = -2 thì PT x2+ x – 2 = 0 có nghiệm x1 = 1, x2 = -2 và PT x2 – 2x + 1 =0 có nghiệm kép x = 1. Vậy với a = -2 thì 2 PT đã cho có nghiệm chung x = 1. Hai PT tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm. Nếu chúng có nghiệm chung thì theo câu a) 2 PT có tập nghiệm khác nhau. Vậy để 2 PT tương đương thì chúng phải cùng vô nghiệm. Tức là: Bài 2:Tìm m để 2 PT sau có nghiệm chung: 2x2 – (3a + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9a – 2)x + 36 = 0 Bài 3: Xác định m để 2 PT sau có nghiệm chung: x2 + mx + 2 =0 và x2 + 2x + m = 0 Bài 4: CMR nếu 2 PT sau : x2 +ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0, có nghiệm chung thì : (b – d)2 + (a –c) (ad – bc) = 0 Gợi ý: Giá sử x0 là nghiệm chung, ta có: x02 + axx + b = 0 và x02 + cx0 + d = 0. Tìm x0 và x02 rồi so sánh Bài 5: Với giá trị nào của m thì 2 PT sau có nghiệm chung: 2x2 + (3m – 1)x – 3 = 0 và 6x2 – (2m – 3)x -1 = 0. B) CMR một trong 2 PT có nghiệm: I. Lí thuyết: Cho 2 số A + B 0 thì ít nhất một trong 2 số A, B 0. Khi cho một trong 2 PT bậc 2 có nghiệm thì: Tính rồi chứng minh: Hoặc tính rồi chứng minh: Hoặc tính rồi chứng minh: Hoặc tính rồi chứng minh: Tuỳ từng bài áp dụng một trong 4 hệ thức trên. II.Bài tập: Bài 1: Cho PT: x2 + bx + c = 0 và x2 + mx + n = 0. CMR: nếu ta có bm = 2 (c + n) thì ít nhất một trong 2 PT trên có nghiệm Giải: Δ1 = b2 – 4 c Δ2 = m2 – 4n Δ1 + Δ2 = b2 + m2 – 4 (c + n) = b2 + m2 – 2 bm ( Vì bm = 2 (c + n) ) = (b – m)2 0 Δ1 + Δ2 0, nên ít nh ất m ột trong hai biệt số Δ1 , Δ2 0. Chứng tỏ rằng một trong hai PT có nghiệm. B ài 2: Cho PT : x2 + 4mx + 4 = 0 v à x2 + (m – 2)x + m2 – 1 = 0. CMR một trong hai PT có nghiệm B ài 3: Cho 2 số b v à c sao cho ( b, c ≠ 0) CMR ít nhất một trong hai PT sau có nghiệm: x2 + bx + c = 0 v à x2 + cx + b = 0 B ài 4: Cho ac ≥ 2 (b + d). CMR có ít nhất một trong hai PT x2 + ax + b = 0 v à x2 + cx + d = 0 có nghiệm