Tìm hiểu sâu thêm vật lý sơ cấp: Nhiệt dung của các quá trình cân bằng nhiệt

tìm hiểu sâu thêm vật lý sơ cấp nhiệt dung của các quá trình cân bằng nhiệt Nhiệt dung của một hệ (ở trạng thái khí, lỏng hay rắn) theo định nghĩa là tỉ số giữa nhiệt l−ợng vô cùng nhỏ Q∆ mà hệ nhận đ−ợc và số gia nhiệt độ T∆ t−ơng ứng: T QC ∆ ∆ = Nếu khối l−ợng của hệ bằng một đơn vị khối l−ợng thì C đ−ợc gọi là nhiệt dung riêng, còn nếu khối l−ợng của hệ bằng khối l−ợng một mol thì C đ−ợc gọi là nhiệt dung mol. Trong bài này sẽ xét nhiệt dung của khi lý t−ởng. Cần nhấn mạnh rằng nhiệt dung không phải là hàm trạng thái của hệ. Nhiệt dung đặc tr−ng cho quá trình trong đó hệ biến đổi từ trạng thái ứng với nhiệt độ T sang trạng thái ứng với nhiệt độ TT ∆+ . Thí dụ đối với quá trình thể tích của hệ không đổi thì nhiệt dung đ−ợc gọi là nhiệt dung đẳng tích: V V T QC       ∆ ∆ = Trong tr−ờng hợp quá trình trong đó áp suất của hệ không đổi thì ta có nhiệt dung đẳng áp: P P T QC       ∆ ∆ = . Trong một số quá trình nhiệt dung không thay đổi và không phụ thuộc vào các thông số đặc tr−ng cho trạng thái của hệ (những quá trình nh− vậy đ−ợc gọi là quá trình đa biến), còn trong một số quá trình khác nhiệt dung có thể thay đổi một cách liên tục, hoặc thậm chí thay đổi nhảy bậc. D−ới đây, chúng ta sẽ xét một số ví dụ về tính nhiệt dung khí lý t−ởng và khảo sát sự biến thiên của nó trong các quá trình nhiệt động khác nhau. Bài toán 1. Hãy tìm nhiệt dung mol của khí lý t−ởng đơn nguyên tử đối với quá trình mà áp suất p tỉ lệ thuận với thể tích V. Chúng ta hãy viết ph−ơng trình của quá trình đó: Vp α= ở đây α là một hằng số d−ơng. Quá trình này đ−ợc biễu diễn bằng một đoạn thẳng trên đồ thị (H.1). Giả sử có một mol khí lý t−ởng đơn nguyên tử ở trạng thái cân bằng 1 nằm trên đoạn thẳng đó. ở trạng thái này khối khí có thể tích 1V và áp suất 1p . Truyền cho khối khí một nhiệt l−ợng nhỏ Q∆ , khối khí sẽ chuyển sang trạng thái 2 với các thông số 2V và 2p . Trong quá trình này tất cả các trạng thái trung gian và cả trạng thái 2 đều nằm trên đoạn thẳng đã cho. Theo nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học, một phần l−ợng nhiệt truyền cho khối khí làm tăng nội năng của nó và phần còn lại để khối khí thực hiện công chống lại các ngoại lực: ATTCAUQ V +−=+∆=∆ )( 12 (1) ở đây 1T và 2T là nhiệt độ ở các trạng thái 1 và 2. Công khối khí thực hiện bằng diện tích hình thang gạch sọc trên H.1: 2 )( 22 ))(( 1211221221 TTRVpVpVVppA −=−=−+= (2) Hình 1. V V2 V1 0 p2 p1 p Khi viết các ph−ơng trình này chúng ta đã sử dụng hệ thức 2112 VpVp = (suy ra từ tính chất của các tam giác đồng dạng) và ph−ơng trình trạng thái của khí lý t−ởng pV = RT, ở đây R là hằng số khí lý t−ởng. Thế biểu thức của A từ (2) vào (1) ta đ−ợc: TRCTTRCQ VV ∆+=−+=∆ )2())(2( 12 . Theo định nghĩa của nhiệt dung ta có: ). 2 ( RC T QC V +=∆ ∆ = Đối với khí đơn nguyên tử . 2 3 RCV = Vì vậy kết quả cuối cùng là C = 2R . Chúng ta nêu ra một số nhận xét sau: 1. Cần phải nhận thức một cách rõ ràng rằng: kết quả nhận đ−ợc có ý nghĩa chỉ đối với các thông số p và V mà ở đó khí đ−ợc xem là khí lý t−ởng. 2. Nếu xem xét một cách kỹ l−ỡng kết quả nhận đ−ợc ) 2 ( RCC V += và nhớ là RCC Vp += thì có thể nhận thấy rằng nhiệt dung C bằng giá trị trung bình giữa pC và VC : 2 Vp CCC + = . 3. Trong tr−ờng hợp này tang của góc nghiêng α của đoạn thẳng là thông số duy nhất làm biến đổi đặc điểm quá trình nhiệt động. Nh−ng nhiệt dung trong bài toán này lại không phụ thuộc α và chúng ta d−ờng nh− ở trên một “hoang đảo” , không có cách gì để đạt đến đ−ợc pC hoặc VC . Theo quan điểm toán học thì điều đó có nghĩa là: bằng cách thay đổi chỉ một thông số α chúng ta không thể nào chuyển tới đ−ợc quá trình V =const hoặc p = const. Quá trình trung gian cho phép chuyển đ−ợc từ quá trình chúng ta đang xét sang quá trình đẳng tích hoặc đẳng áp là quá trình βα += Vp (xem Bài tập 1). Bài toán 2. Hãy sử dụng nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học, ph−ơng trình trạng thái và biểu thức của nội năng khí lý t−ởng để rút ra ph−ơng trình (thí dụ trong hệ toạ độ p, V) của quá trình trong đó nhiệt dung mol của khối khí không đổi và bằng C. Chúng ta hãy xét một mol khí lý t−ởng mà nhiệt dung mol của nó không thay đổi và bằng C. Giả sử khối khí này nằm ở trạng thái cân bằng với các thông số p, V và T liên hệ với nhau bởi ph−ơng trình trạng thái: RTpV = Giả sử ta cung cấp cho khối khí một nhiệt l−ợng Q∆ . Nhiệt l−ợng này làm tăng nội năng của khối khí và biến thành công mà khối khí thực hiện khi giãn nở. VpTCQ V ∆+∆=∆ Mặt khác VCQ ∆=∆ , suy ra: .)( VpTCC V ∆=∆− hay .)( VV RTTCC V ∆=∆− Tách các biến T và V ra ta đ−ợc: V V CC R T T V ∆ − = ∆ . Lấy tích phân hai vế của ph−ơng trình trên, ta có: constV CC RT V + − = lnln . Thực hiện vài phép biến đổi đơn giản ta đ−ợc: .constTV CC R V = − Hằng số trong ph−ơng trình này và ph−ơng trình tr−ớc không bằng nhau, nh−ng điều đó không quan trọng. Chúng ta đã nhận đ−ợc ph−ơng trình của quá trình mà nhiệt dung mol C không đổi theo các biến T và V. Bây giờ chúng ta tìm biểu thức t−ơng đ−ơng của quá trình này theo các biến p và V. Muốn vậy chúng ta dùng biểu thức nhiệt độ từ ph−ơng trình trạng thái: R pVT = thế vào ph−ơng trình trên ta đ−ợc: .constpV V v CC RCC = − −− Những quá trình mà nhiệt dung không thay đổi gọi là các quá trình đa biến, còn các ph−ơng trình t−ơng ứng gọi là các ph−ơng trình đa biến. Chúng ta hãy xét các quá trình có nhiệt dung không thay đổi đã biết. 1) Nếu C = VC thì từ ph−ơng trình đa biến chúng ta đ−ợc V = const tức là quá trình đẳng tích. 2) Nếu C = RCCp V += thì từ ph−ơng trình đa biến chúng ta đ−ợc p = const tức là quá trình đẳng áp. 3) Nếu C = ∞ thì T = const (quá trình đẳng nhiệt) 4) Nếu C = 0 thì constpV V V C RC = + , đây là quá trình đoạn nhiệt. Bài toán 3. Hãy tìm nhiệt dung của hệ gồm một bình hình trụ kín trong đó có một píttông (H.2). Ngăn bên phải píttông chứa đầy khí lý t−ởng đơn nguyên tử với các thông số p0, V0, , T0, còn ngăn bên trái pittông là chân không. Pittông đ−ợc giữ bằng một lò xo. Nếu hút hết khí nửa bình bên phải thì pittông sẽ tiếp xúc với thành bên phải của bình và lò xo ở trạng thái không bi biến dạng. Nhiệt dung của bình, của pittông và của lò xo nhỏ không đáng kể. Từ trạng thái cân bằng chúng ta tìm đ−ợc độ cứng của lò xo. Muốn vậy chúng ta viết điều kiện đứng yên của pittông: .0 0 Sp S Vk = ở đây S là diện tích tiết diện ngang của bình. Từ đó, ta có: 0 2 0 V Spk = Nếu chúng ta lấy đi một nhiệt l−ợng nào đó của khối khí thì pittông sẽ chuyển dịch sang phải và nằm ở vị trí cân bằng mới với thể tích V và áp suất p. Điều kiện đứng yên mới của pittông là: pS S Vk = . p0 V0 T0 Hìmh 2. Sau khi thế vào ph−ơng trình này biểu thức của độ cứng k ta nhận đ−ợc: const V p pV ==− 0 01 Ph−ơng trình này chứng tỏ rằng quá trình đó là quá trình đa biến. Cho số mũ của thể tích trong ph−ơng trình đa biến bằng -1 chúng ta sẽ tìm đ−ợc nhiệt dung mol của quá trình đa biến đó: 1−= − −− V V CC RCC ⇒ 2 RCC V += . Đối với khí đơn nguyên tử thì RCV 2 3 = , vì vậy C = 2R. Nh−ng đây là nhiệt dung mol, còn số mol thì bằng 0 00 RT Vp =ν , nên nhiệt dung của hệ, tức của cả khối khí bằng: 0 002 T VpChe = . Bài toán 4. Các thành bên AC và BD và nắp trên CD của một bình hình trụ và pittông nhẹ MN đ−ợc làm bằng loại vật liệu không dẫn nhiệt (H.3). Đáy AB dẫn nhiệt đ−ợc. Pittông có thể dịch chuyển không ma sát. Phía trên và phía d−ới pittông đều chứa một mol khí lý t−ởng đơn nguyên tử. Có thể cung cấp nhiệt l−ợng hay lấy bớt nhiệt l−ợng của khí d−ới pittông qua đáy bình AB. Hãy tìm biểu thức nhiệt dung 1C của khí d−ới pittông qua các thể tích 1V và 2V . Nhiệt dung 2C của khí trên pittông bằng bao nhiêu? ở trạng thái lúc đầu khối khí phía d−ới chiếm thể tích 1V , có áp suất p và nhiệt độ 1T nào đó, còn khối khí phía trên có thể tích 2V , áp suất p và nhiệt độ 2T . Giả sử qua đáy AB của bình chúng ta cung cấp cho khí một nhiệt l−ợng nhỏ Q∆ . Dĩ nhiên chỉ có khí phía d−ới pittông nhận đ−ợc nhiệt l−ợng này vì pittông cách nhiệt. Do đó có thể viết: 11 TCQ ∆=∆ , ở đây 1C là nhiệt dung, còn 1T∆ là độ biến đổi nhiệt độ của khí phía d−ới. Theo nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học: 1111 VpTCTC V ∆+∆=∆ . Từ ph−ơng trình trạng thái chúng ta tìm đ−ợc mối liên hệ giữa các số gia vô cùng nhỏ của các thông số của khối khí phía d−ới 1T∆ , 1V∆ và p∆ : 11)( TRpV ∆=∆ hay 111 TRVppV ∆=∆+∆ . Bây giờ chúng ta trở lại xét khối khí phía trên. Đối với khối khí này xẩy ra quá trình đoạn nhiệt. Trong Bài toán 2 chúng ta đã tìm đ−ợc ph−ơng trình của quá trình đó (khi nhiệt dung bằng không): .2 constpV V V C RC = + Kí hiệu γ=+ V V C RC (gọi là hệ số Poisson) và lấy số gia vô cùng nhỏ của hai vế ph−ơng trình đoạn nhiệt 0)( 2 =∆ γpV ta sẽ nhận đ−ợc: 2 1 22 VpVpV ∆+∆ −γγ γ = 0. Sau khi giãn −ớc cho 12 −γV ta đ−ợc: 22 VppV ∆+∆ γ = 0. Vì 12 VV ∆−=∆ nên ta có: 2 1 V V pp ∆ =∆ γ . Chú ý rằng số gia áp suất của khí phía d−ới và phía trên pittông nh− nhau chúng ta sẽ nhận đ−ợc: N D B Hình 3. M C A V2 V1 111 2 1 TRVpV V V p ∆=∆+∆γ , từ đó suy ra:       + ∆ =∆ 2 1 1 1 1 V Vp TRV γ . Tiếp theo, từ nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học 11 VpCQ V ∆∆ += chúng ta tìm đ−ợc nhiệt dung của khí ở ngăn phía d−ới pittông:       + += 2 1 1 1 V V RCC V γ . Đối với khí đơn nguyên tử RCV 2 3 = và 3 5 =γ , thay vào sẽ nhận đ−ợc kết quả sau: .)35( )( 2 15 21 21 1 RVV VVC + + = Rõ ràng rằng trong quá trình đó thì nhiệt dung của khối khí phía trên 02 =C (quá trình đoạn nhiệt). Bài toán 5. Hãy xác định thể tích và nhiệt độ mà khi đó nhiệt dung của một mol khí lý t−ởng trong quá trình V V p pp 0 0 0 −= bằng vô hạn. Ph−ơng trình của quá trình này trong hệ toạ độ (p, V) là ph−ơng trình một đ−ờng thẳng đ−ợc biễu diễn trên H.4. Nếu giải bài toán này theo cách thông th−ờng thì cần tìm sự phụ thuộc của nhiệt dung của quá trình này vào thể tích, rồi sau đó xét xem với giá trị thể tích bằng bao nhiêu thì nó tiến tới vô hạn. Đề nghị bạn đọc tự giải theo cách này khi xem đây nh− một bài tập. ở đây chúng ta sẽ đi theo một con đ−ờng khác. Chúng ta đã biết một quá trình mà có nhiệt dung bằng vô hạn, thì đó là quá trình đẳng nhiệt. Vì vậy nếu trên đ−ờng thẳng của chúng ta có một điểm mà tại đó nó tiếp xúc với một trong các đ−ờng đẳng nhiệt thì ở lân cận điểm này có thể coi đoạn đ−ờng đẳng nhiệt là thẳng và nhiệt dung tại điểm này bằng vô hạn. Chúng ta viết hệ hai ph−ơng trình:     −= = V V p pp RTpV 0 0 0 Chúng ta hãy tìm nghiệm của hệ này đối với thể tích V. Sau khi khử p đi chúng ta nhận đ−ợc ph−ơng trình: 0 0 0 0 2 =+− p RTVVVV Trong tr−ờng hợp tổng quát ph−ơng trình này có hai nghiệm: 0 0 2 00 2,1 42 p RTVVVV −±= Điều mà chúng ta cần là đ−ờng đẳng nhiệt tiếp xúc với đ−ờng thẳng, trong tr−ờng hợp này hệ ph−ơng trình phải chỉ có một nghiệm, tức là biểu thức d−ới dấu căn phải bằng không: 0 4 0 0 2 0 =− p RTVV Hình 4. V0/2 V V0 p0 p O Từ đó chúng ta tìm đ−ợc nhiệt độ mà tại đó nhiệt dung trở nên bằng vô hạn: R VpT 4 00 = ∞ và giá trị của thể tích ở trạng thái này là: 2 0VV = ∞ . Kết quả này đ−ợc thể hiện trên H.4. Bài tập. 1. Hãy tìm sụ phụ thuộc của nhiệt dung mol của khí lý t−ởng đơn nguyên tử vào thể tích của nó đối với quá trình mà áp suất phụ thuộc tuyến tính vào thể tích: βα += Vp , ở đây α và β là các hằng số, α > 0. ĐS: V2 RV αβ α + −= pCC , ở đây pC là nhiệt dung mol đẳng áp. 2. Một khối khí lý t−ởng giãn nở theo quy luật constpV =2 thì sẽ nóng lên hay lạnh đi? Nhiệt dung mol của khối khí trong quá trình này bằng bao nhiêu? ĐS: Khí bị làm lạnh; RCC V −= , ở đây VC là nhiệt dung mol đẳng tích. 3. Trong một quá trình đa biến nào đó khối khí hêli bị nén từ thể tích l4 đến thể tích l1 , khi đó áp suất tăng từ 1at đến 8at. Hãy tìm nhiệt dung của khối khí hêli đó nếu nhiệt độ ban đầu của nó bằng 300K. ĐS: KJCCC pV /677,0)23( −=−=ν , ở đây molRT Vp 163,0 1 11 ==ν là số mol khí hêli, RCV 2 3 = và RC p 2 5 = 4. Một mol khí hêli giãn nở từ trạng thái 1 đến trạng thái cuối cùng 3 theo 2 quá trình đ−ợc biễu diễn trên H.5. Ban đầu sự giãn nở xẩy ra theo quá trình 1 – 2 với nhiệt dung không đổi C = (3/4)R. Sau đó khí giãn nở theo quá trình 2 – 3 khi đó áp suất của nó p tỉ lệ thuận với thể tích V. Hãy tính công khối khí thực hiện trong quá trình 1 – 2 nếu nh− trong quá trình 2 – 3 nó thực hiện đ−ợc công A. Biết nhiệt độ của trạng thái đầu và trạng thái cuối bằng nhau. ĐS: . 2 3 12 AA = Bá Tô (s−u tầm và giới thiệu) 3 2 1 0 V p Hình 5.