Tìm hiểu sâu thêm vật lý sơ cấp: Thiết lập phương trình dao động trong mạch dao động điện từ LC

1 TìM HIểU SÂU THÊM VậT Lý SƠ CấP thiết Lập ph−ơng trình dao động trong mạch dao động điện từ LC Tô Linh (HVKTQS) LTS. Nhiều thầy giáo và học sinh còn có nhiều băn khoăn và ch−a thật thoả mn khi giảng và học bài Thiết lập ph−ơng trình dao động trong mạch dao động điện từ LC theo SGK hiện hành. Thầy Nguyễn Văn Lự, giáo viên tr−ờng THPT Hải Hậu A, Nam Định đ gửi hai bài liên tiếp đề cập tới vấn đề này. Nhận thấy đây là một vấn đề rất bổ ích và thiết thực, chúng tôi xin giới thiệu bài viết khá hệ thống d−ới đây của tác giả Tô Linh. Chúng tôi rất mong nhận đ−ợc ý kiến trao đổi của các thầy cô giáo và các em học sinh xung quanh vấn đề này . Khi thiết lập biểu thức sự phụ thuộc của điện tích vào thời gian trong mạch dao động điện từ LC, với cách trình bày nh− trong SGK vật lí 12 (Nhà xuất bản giáo dục, tái bản lần thứ chín, 2001) sẽ làm cho rất nhiều học sinh, thậm chí cả giáo viên nữa lúng túng, khó hiểu. Một trong những nguyên nhân gây nên khó hiểu đó là sự thiếu nhất quán, thậm chí mâu thuẫn trong các biểu thức liên hệ giữa c−ờng độ dòng điện và điện tích chạy qua mạch. Để tìm mối liên hệ giữa c−ờng độ dòng điện và hiệu điện thế trên tụ, ở mục 2. tiết Đ13. và Đ14 thì dùng qi ′= (I) (đạo hàm của điện tích theo thời gian) , nh−ng đến mục 1, tiếtĐ23 thì lại là qi ′−= ’ (II). Hai cách viết này dẫn đến một mâu thuẫn: trong cách viết thứ nhất (I) thì i nhanh pha hơn q (và do đó hơn u trên tụ) là 2/pi , nh−ng ở cách viết thứ hai (II) thì i lại chậm pha hơn q (và do đó hơn u trên tụ) 2/pi . Biểu thức suất điện động tự cảm cũng đ−ợc viết không nhất quán kiểu nh− vậy. Việc thiếu nhất quán và mâu thuẫn nh− vậy trong cùng một cuốn sách giáo khoa nói riêng và trong các tài liệu khoa học nói chung là không thể chấp nhận. Sở dĩ có sự mâu thuẫn nh− thế vì đã không có sự thống nhất về quy định cách kí hiệu các đại l−ợng và công thức trong mạch điện xoay chiều nói riêng và trong các mạch điện nói chung. D−ới đây chúng tôi trình bày cách làm nhằm đảm bảo tính thống nhất không chỉ với mạch điện xoay chiều mà với cả với dòng điện một chiều nữa để bạn đọc tham khảo. 1. Tr−ớc hết cần làm rõ và thống nhất một số kí hiệu, công thức và cách dùng chúng trong mạch điện xoay chiều. Xét một đoạn mạch điện AB nào đó (H.1). Đối với dòng điện một chiều thì chiều dòng điện không thay đổi theo thời gian, nh−ng với dòng điện xoay chiều nó thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên khi ta viết một biểu thức về dòng điện xoay chiều ta chỉ có thể viết tại một thời điểm t nào đó: )...(),(),( tqtitu Tại mỗi thời điểm t thì dòng điện có chiều và độ lớn xác định nh− dòng điện một chiều. Vì vậy các biểu thức của liên hệ giữa qiu ,, của dòng điện xoay chiều có dạng nh− của dòng một chiều. Tuy nhiên trong thực tế có thể chúng ta ch−a biết đ−ợc chiều thực của dòng điện (kể cả tr−ờng hợp dòng điện không đổi). Khi đó chúng ta có quyền giả thiết dòng điện có chiều nào đó để viết các biểu thức cho qiu ,, ..... +) Về c−ờng độ dòng điện i: Theo định nghĩa, c−ờng độ dòng điện là đại l−ợng về trị số bằng điện l−ợng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong một đơn vị thời gian: A B i Hình 1. 2 0→= tkhi t qi ∆ ∆ ∆ , hay 'qi = (1) ở đây q∆ là điện l−ợng chuyển qua tiết diện thẳng của dây trong thời gian t∆ . Khi dùng công thức (1) nếu chiều thực của dòng điện trùng với chiều đã chọn thì q∆ > 0 và i >0. Còn nếu chiều thực ng−ợc chiều đã chọn thì q∆ < 0 và i < 0. Đối với dòng điện một chiều không đổi thì có thể dùng công thức t qi = (1’) ở đây q là điện l−ợng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong thời gian t. +) Về hiệu điện thế u: Khi nói đến hiệu điện thế u một cách đầy đủ thì phải nói là hiệu điện thế giữa điểm nào và điểm nào. Thí dụ trên các hình 2, 3 và 4, hiệu điện thế u giữa M và N thì bao giờ cũng ng−ợc pha với u giữa N và M: NMMNNMMN uVVVVu −=−−=−= )( . Vậy thì các phát biểu sau đây : - Hiệu điện thế u giữa hai đầu đoạn mạch chỉ có điện trở thuần biến thiên điều hoà cùng pha với dòng điện i. - Hiệu điện thế u giữa hai đầu đoạn mạch chỉ có tụ điện biến thiên điều hoà trễ pha so với dòng điện i góc pi/2. - Hiệu điện thế u giữa hai đầu đoạn mạch chỉ có cuộn tự cảm biến thiên điều hoà sớm pha so với dòng điện i góc pi/2. chỉ đúng nếu u đ−ợc hiểu là hiệu điện thế giữa điểm mà dòng điện đi đến đoạn mạch và điểm mà dòng điện đi ra khỏi đoạn mạch (trong các hình 2, 3, 4 ở trên là giữa A và B hay là giữa M và N). Từ đây, nếu không có gì đặc biệt cần chú thích thêm, chúng ta thống nhất quy −ớc hiểu hiệu điện thế u trên các phần tử R, C , L và c−ờng độ dòng điện i chạy qua chúng theo nghĩa đó để không phải viết rõ chỉ số d−ới của u. +) Về điện tích trên tụ q: Xét công thức C q u = (2). Đối với dòng điện một chiều không đổi thì u của tụ đ−ợc hiểu là hiệu điện thế giữa bản d−ơng và bản âm, q chính là điện tích trên bản d−ơng (hay độ lớn điện tích trên mỗi bản). Trong tr−ờng hợp H.5 thì có thể viết rõ hơn công thức đó nh− sau: C q u AAB = . Nh−ng rõ ràng nếu đổi dấu hai vế thì ta đ−ợc C q u AAB − =− hay C q u BBA = . Nh− vậy có thể sử dụng công thức (2) trong tr−ờng hợp tổng quát với cách hiểu q là điện tích trên bản nào thì u là hiệu điện thế giữa bản đó và bản còn lại. Nếu ch−a biết tr−ớc dấu điện tích trên các bản tụ thì ta có quyền giả thiết về dấu rồi áp dụng công thức (2) để tính. Nếu kết quả tính đ−ợc q (hay u) âm thì thì dấu đúng của điện tích trên các bản ng−ợc với dấu đã giả thiết. Cách làm này vẫn đ−ợc dùng trong việc giải các bài tập phần dòng điện một chiều ở lớp 11. Đối với dòng điện xoay chiều vì dấu điện tích trên mỗi bản thay đổi theo thời gian, ngay cả trong khoảng thời gian dòng điện ch−a đổi chiều. Tuy nhiên chúng ta vẫn sử dụng công thức (2) nh−ng phải hiểu nh− sau: q là điện tích trên bản mà dòng điện đi đến, còn u là hiệu điện thế giữa bản đó Hình 3. N B i A M L N B i A M Hình 2. C Hình 4. N B i A M R - B A + Hình 5. C 3 và bản còn lại (trên H.2 là giữa bản M và bản N: C q u = với Mqq = và NM VVu −= ). Với cách hiểu này thì u và q trên tụ luôn đồng pha nhau, hơn nữa lại nhất quán với tr−ờng hợp dòng điện không đổi.. +) Về suất điện động tự cảm e: Công thức tính s.đ.đ tự cảm e = dt diL− hay viết gọn lại 'Lie −= (3). Công thức này đã hàm chứa cả định luật Lenxơ trong đó. Nếu dòng điện i đang tăng thì e đóng vai trò suất phản điện (e < 0), lúc đó năng l−ợng của nguồn điện sẽ chuyển hoá thành năng l−ợng của từ tr−ờng trong cuộn dây. Còn nếu dòng điện i đang giảm thì e đóng vài trò của nguồn điện (e > 0), lúc này năng l−ợng từ tr−ờng của cuộn dây sẽ cung cấp cho mạch điện và sẽ giảm. +) Về biểu thức định luật Ôm cho đoạn mạch nối tiếp chứa nguồn: Tr−ớc hết ta viết công thức định luật Ôm cho đoạn mạch điện một chiều không đổi có chứa nguồn: u = NMMN VVu −= = i(r+R)-e (4) Trong công thức (4) MNU là hiệu điện thế giữa điểm mà dòng điện đi vào và điểm dòng điện đi ra khỏi đoạn mạch; s.đ.đ e d−ơng nếu là nguồn phát (dòng điện đi vào cực âm đi ra cực d−ơng, nh− H.6), e âm nếu là nguồn thu (dòng điện đi vào cực d−ơng đi ra cực âm, nh− H. 7). Cũng cần nhấn mạnh một lần nữa là chiều thực của dòng điện có thể ch−a biết khi đó chiều chỉ ra trên hình chỉ là chiều giả thiết. Tất nhiên với dòng điện không đổi thì trong đa số tr−ờng hợp ta biết tr−ớc chiều thực của nó khi đó nên chọn chiều của i trùng với chiều thực. Đối với mạch điện xoay chiều, chúng ta vẫn sử dụng công thức (4), nh−ng phải l−u ý là theo chiều của dòng điện ở thời điểm t. Với đoạn mạch chứa cuộn cảm nh− H.3, khi đó trên đoạn mạch có nguồn điện là s.đ.đ tự cảm, nó có thể đóng vai trò nguồn phát hay nguồn thu. Nếu tại thời điểm t dòng điện có chiều từ A đến B khi đó hiệu điện thế trên cuộn cảm: eriVVu NML −=−= . . ở đây r là điện trở thuần, 'Lie −= là s.đ.đ tự cảm của cuộn dây. Nếu là cuộn thuần cảm r=0 thì hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch là: 'LieuuL =−== (5). Nếu là cuộn dây có điện thở thuần 0≠r thì hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch là: irLiireuuL +=+−== ' (5’). Trong các biểu th−c (5) và (5’) rõ ràng nếu i đang tăng thì 'Li > 0 tức s.đ.đ tự cảm đóng vai trò nguồn thu. Ng−ợc lại nếu i đang giảm thì 'Li < 0, s.đ.đ tự cảm đóng vai trò nguồn phát. Vì bất kì đoạn mạch điện nào chủ yếu cũng đ−ợc cấu tạo từ các phần tử cơ bản R, L và C nên có thể sử dụng các công thức và qui −ớc ở trên để tìm mối liên hệ t−ờng minh giũa u và i. Ngoài ra vì u và i là những đại l−ợng biến thiên điều hoà do dó cần phải biết sử dụng phép tổng hợp các dao động điều hoà cùng ph−ơng cùng tần số: Nếu là mạch nối tiếp thì đó là tổng hợp dao động của các u, còn nếu là mạch song song thì đó là tổng hợp các dao động của i. Nh− vậy có thể tìm đ−ợc mối liên hệ giữa i và u cho đoạn mạch bất kì chứ kkông chỉ giới hạn mạch L, C và R mắc nối tiếp nh− sách giáo khoa. + - M N R |e|,r Hình 7. i - + M N R |e|,r Hình 6. i 4 Về vấn đề này nếu có điều kiện chúng tôi sẽ trình bày cụ thể vào dịp khác. Sau đây chúng ta áp dụng cho mạch dao động điền từ LC. 2. Lập ph−ơng trình dao động của điện tích trong mạch dao động LC. Xét mạch dao động LC nh− H.8. Chúng ta sẽ không phân tích quá trình nạp điện lúc đầu cho tụ, hay nói cách khác là quá trình cung cấp năng l−ợng ban đầu cho mạch mà xem nh− đã biết. Kí hiệu 0Q là điện tích ban đầu tích cho tụ C. Giả sử tại thời điểm t dòng điện có chiều đ−ợc biểu diễn bởi mũi tên trên H.6. Thực chất đây là mạch gồm tụ C mắc với cuộn tự cảm L thành mạch kín. Xét đoạn mạch chứa L, theo chiều của dòng điện đã chọn, ta có: BAL VVu −= = - e = Li’ Xét đoạn mạch chứa C ta có : C qVVu ABC =−= . (chú ý q trong biểu thức này là Bq ) Dễ thấy 0=+ CL uu . Suy ra 0=+ C qLi' . Thay i’ = q’’ vào, rồi chia cả hai vế cho L và đặt LC 12 =ω ta nhận đ−ợc ph−ơng trình vi phân của q: 02 =ω+ qq '' (6). Nghiệm của ph−ơng trình này có dạng: )sin( ϕ+ω= tQq 0 (7). Nếu chọn gốc thời gian sao cho pha ban đầu ϕ = 0 ta sẽ có: )sin( tQq ω= 0 (8) Vậy hiệu điện thế trên tụ biến thiên điều hoà với tần số góc LC 1 =ω . Hiệu điện thế trên tụ C là: )sin(0 tUC q uC ω== (9) với C QU 00 = Hiệu điện thế trên cuộn cảm L là: )sin(0 piω +=−= tUuu CL (10) C−ờng độ dòng điện qua tụ điện và cuộn cảm là: ) 2 sin()cos( 00 pi ωω +==′= tItIqi (11), với ω=ω= CUQI 000 = ωL U 0 Từ đây có thể tìm đ−ợc biểu thức phụ thuộc thời gian của năng l−ợng điện tr−ờng trong tụ điện và năng l−ợng từ tr−ờng trong cuộn dây (bạn đọc tự thực hiện). Dễ thấy rằng nếu ta giả thiết dòng điện có chiều ng−ợc lại thì vẫn nhận đ−ợc cùng kết quả. Chúng ta mở rộng thêm xét tr−ờng hợp mạch dao động LCR (xem H.9). R có thể là điện trở thuần của cuộn dây. Kí hiệu 0Q là điện tích ban đầu tích cho tụ C. Giả sử tại thời điểm t nào đó dòng điện có chiều nh− hình vẽ. Đối với nhánh trên chứa tụ C ta có: ABC VVu −= = C q (12) (chú ý q trong biểu thức này là Bq ). A B L C Hình 8. i q -q A B L C Hình 9. R q -q 5 Đối với nhánh d−ới ta có BAd VVu −= = RiLiRieuu RL +=+−=+ ' (13). Từ các biểu thức (12) và (13) suy ra: 0=+ dC uu hay 0' =++ C qRiLi . Thay 'qi = và ''' qi = , rồi chia cả hai vế cho L và đặt LC/12 =ω ta đ−ợc ph−ơng trình vi phân cần tìm: 0''' 2 =++ qq L Rq ω (14). Nghiệm của ph−ơng trình (14) có dạng dao động tắt dần: )cos( ϕ+ω= − teQq tL R 2 0 (15), ở đây ϕ là pha ban đầu. Nh− vậy xuất phát từ các qui −ớc thống nhất về các kí hiệu và công thức chúng ta dễ dàng thiết lập đ−ợc biểu thức dao động của mạch LC (và RLC).