Tìm hiểu về Euclid

Euclid (tiếng Hy Lạp: Εὐκλείδης, phiên âm tiếng Việt là Ơ-clit) là nhà toán học lỗi lạc thời cổ Hy Lạp, sống vào thế kỉ thứ 3 TCN. Có thể nói hầu hết kiến thức hình học ở cấp trung học cơ sở hiện nay đều đã được đề cập một cách có hệ thống, chính xác trong bộ sách Cơ sở gồm 13 cuốn do Euclid viết ra. Tục truyền rằng có lần hoàng đế Ptolemy I Soter hỏi Euclid: "Liệu có thể đến với hình học bằng con đường khác ngắn hơn không?". Ông trả lời ngay: "Tâu bệ hạ, trong hình học không có con đường dành riêng cho vua chúa"[cần dẫn nguồn]. Euclid sinh ở Athena, sống khoảng 330-275 trước Công nguyên, được hoàng đế Ptolemy I mời về làm việc ở Alexandria, một trung tâm khoa học lớn thời cổ trên bờ biển Địa Trung Hải. Bằng cách chọn lọc, phân biệt các loại kiến thức hình học đã có, bổ sung, khái quát và sắp xếp chúng lại thành một hệ thống chặt chẽ, dùng các tính chất trước để suy ra tính chất sau, bộ sách Cơ sở đồ sộ của Euclid đã đặt nền móng cho môn hình học cũng như toàn bộ toán học cổ đại. Bộ sách gồm 13 cuốn: sáu cuốn đầu gồm các kiến thức về hình học phẳng, ba cuốn tiếp theo có nội dung số học được trình bày dưới dạng hình học, cuốn thứ mười gồm các phép dựng hình có liên quan đến đại số, 3 cuốn cuối cùng nói về hình học không gian. Trong cuốn thứ nhất, Euclid đưa ra Định Đề, Tiên Đề 5 định đề: Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn. Mọi góc vuông đều bằng nhau. Nếu 2 đường thẳng tạo thành với 1 đường thẳng thứ 3 hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó. Và 5 tiên đề: Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. Trùng nhau thì bằng nhau. Toàn thể lớn hơn một phần. Với các định đề và tiên đề đó, Euclid đã chứng minh được tất cả các tính chất hình học. Con đường suy diễn hệ thống và chặt chẽ của bộ cơ bản làm cho tập sách được chép tay và truyền đi các nước. Tuy nhiên, các định đề và tiên đề của Euclid còn quá ít, đặc biệt là không có các tiên đề về liên tục, nên trong nhiều chứng minh, ông phải dựa vào trực giác hoặc thừa nhận những điều mà ông không nêu thành tiên đề. Khái Niệm Cơ Bản Điểm Đường Thẳng Mặt Phẳng Hình Đa Giác TTO - Aristote là người cuối cùng của dòng các nhà tư tưởng gộp cả triết học và khoa học vào một sơ đồ rộng lớn duy nhất. Sau ông, hai phương thức tìm hiểu thế giới này tách ra khỏi nhau. Các nhà khoa học rời xa triết học, và các triết gia chỉ chuyên tâm đến các vấn đề tinh thần, đạo đức và tôn giáo. Nhờ các cuộc chinh phục của Alexandre Đại đế (356-323 tr. CN), một học trò của Aristote, nền văn minh Hy Lạp đã được truyền bá tới tận Indus và Ai Cập. Mặc dù Aten vẫn là kinh đô của triết học với các gương mặt như Épicure (341-270 tr. CN) và học trò của ông là Lucrère (95-52 tr. CN), mà bài thơ triết học Về tự nhiên  của ông được coi là tác phẩm trình hay nhất về các ý tưởng nguyên tử luận của Démocrite, nhưng thành phố Alexandrie ở Ai Cập do Alexandre thiết lập đã trở thành trung tâm khoa học của thế giới Hy Lạp. Chính nơi đây đã ra đời viện hàn lâm khoa học nổi tiếng mang tên “Bảo Tàng”, nơi có một thư viện khổng lồ tập trung gần nửa triệu cuốn sách. Nhà toán học Euclide (khoảng 300 tr. CN) là một trong những nhà khoa học đầu tiên làm việc tại Bảo Tàng. Ngoài các bài viết và những chứng minh các định lý hình học - một tượng đài trí tuệ hùng vĩ  tới mức được chấp nhận hoàn toàn trong suốt hai mươi hai thế kỷ sau -, Euclide còn quan tâm đến vấn đề thị giác. Và sự quan tâm ấy hoàn toàn có cơ sở: ông thấy ở đó một lĩnh vực lý tưởng để áp dụng các ý tưởng hình học thân thiết của ông. Ông đã chấp nhận một cách tự nhiên quan niệm về “tia thị giác” của Empédocle: trong số ba lý thuyết mà các bậc tiền bối đưa ra, thì lý thuyết “tia thị giác” phù hợp nhất với cách xử lý toán học chặt chẽ. Ông đã đưa ra nhiều lập luận xác đáng để ủng hộ giả thuyết này. Chẳng hạn, ông lập luận rằng chúng ta không phải lúc nào cũng tri giác được các vật, ngay cả khi cái nhìn của chúng ta bặt gặp chúng: chưa chắc bạn nhận thấy một cái kim rơi xuống đất ngay cả khi nó nằm trong tầm nhìn của bạn; trong khi đó, nếu thị giác chỉ phụ thuộc vào ánh sáng được cái kim phản xạ đến mắt bạn, thì chắc chắn bạn phải nhìn thấy nó ngay lập tức. Ngược lại, lý thuyết “tia thị giác” phát ra từ “ngọn lửa” bên trong mắt bạn có thể giải thích rất rõ điều đó: cái kim chỉ có thể nhìn thấy được ngay vào lúc các tia phát ra từ mắt chúng ta bắt gặp nó. Trong cuốn Quang học, Euclide đưa ra tiên đề rằng các “tia thị giác” phát ra từ mắt chiếu thẳng vào tất cả những gì mà cái nhìn chạm vào. Mỗi một tia đi đến đầu bên kia chỉ tới một điểm của vật được nhìn thấy. Nhưng thực nghiệm chỉ ra rằng chúng ta có thể đồng thời nhìn được hơn một điểm của vật. Chẳng hạn, không cần cử động mắt, bạn vẫn có thể đồng thời nhìn được nhiều từ trên trang sách này; các từ khác ở xa trở nên mờ nhòe hơn. Vì vậy Euclide đưa ra tiên đề về tập hợp các “tia thị giác” chứa trong một hình nón mà đỉnh của nó là tâm của mắt và đáy là phạm vi nhìn thây của mắt. Nhờ có tiên đề mặt nón thị giác này và nhờ các tính toán hình học, ông đã giải thích được tại sao cây ở xa trông lại nhỏ hơn cây ở gần . Ông cũng đã đưa ra được lý do giải thích tại sao một vòng tròn nằm trong cùng một mặt phẳng với mắt lại nhìn giống  như một đường thẳng. Tất nhiên, vẫn còn nhiều câu hỏi căn bản mà quang hình học của Euclide chưa thể đưa ra câu trả lời: tỉ như có bao nhiêu “tia thị giác” trong “mặt nón thị giác”, và nhân tố nào quyết định số lượng của chúng? Còn về vấn đề được coi là gót chân Achille của lý thuyết các “tia thị giác” cũng chưa được giải quyết: tại sao chúng ta nhìn mờ hơn ngay khi ánh sáng ban ngày giảm, và hoàn toàn không nhìn được trong đêm tối? Hơn nữa, chúng ta không thấy Euclide tính đến bất kỳ yếu tố sinh lý (như vai trò của mắt), tâm lý (như vai trò của não) hay vật lý nào liên quan đến bản chất của ánh sáng và của các màu. Euclide mới chỉ giới hạn ở vai trò của nhà toán học. Quang học của Euclide không vì thế mà không có một ảnh hưởng lịch sử to lớn. Lần đầu tiên toán học (ở đây là hình học) được áp dụng cho một hiện tượng tự nhiên và lần đầu tiên các thực thể trừu tượng xuất phát từ trí tưởng tượng của con người, như đường thẳng, tam giác hay vòng tròn, được sử dụng để làm sáng tỏ một tình huống thực tế: mắt, ánh sáng và thị giác. Đó là sự khởi đầu của nhận thức rằng ngôn ngữ của tự nhiên là toán học. Mặt khác, quan niệm “mặt nón thị giác” đã đóng một vai trò quyết định trong sự phát triển của các ý tưởng trong quang học và đã có một sức sống đặc biệt lâu dài. Nó còn kéo dài rất lâu ngay cả sau khi con người đã nhận ra rằng chính ánh sáng của thế giới bên ngoài đi vào mắt người, chứ không phải ngược lại, và rất nhiều khía cạnh của cơ chế thị giác đã được làm sáng tỏ. Vào thời kỳ khá gần với chúng ta, tức vào năm 1800, rất nhiều nhà vật lý vẫn còn tin rằng một chùm ánh sáng được cấu thành từ nhiều “tia thị giác”, và rằng một chùm sáng sẽ càng sáng nếu nó chứa càng nhiều “tia thị giác”. Còn những người cho rằng ánh sáng được cấu thành từ nhiều hạt thì hình dung những hạt đó chúng di chuyển trên các “tia thị giác” tựa như xe ô tô chạy nối đuôi nhau trên đường nhựa.  Và Archimedes, người sống sau Hoàng đế Ptolémée Đệ I cũng đã nói về Euclide trong tác phẩm của mình. Tại đây ông thành lập một trường học và đã giảng dạy các nguyên tắc cơ bản của môn hình học. Những nguyên tắc này đã được truyền đạt từ thời đại ông đến ngày nay. Một trong những học trò của ông là Conon, thầy giáo của Archimedes. Những nhà văn cổ đại khi viết về Euclide đều miêu tả ông là một ông già tốt bụng và nhỏ nhẹ. Học trò kính trọng ông vì lòng kiên nhẫn và tốt bụng của ông. Tuy nhiên ông cũng hết sức quả quyết ngay cả đối với đức Vua Hoàng đế Ptolémée Đệ I của Ai Cập. Một rân, Nhà Vua gặp khó khăn về việc học môn hình học trong một quyển sách của Euclide mang tên: Cơ sở của các yếu tố,  Nhà Vua đã hỏi Euc/1de có cách nào dễ hơn để cho một đức Vua học môn này; Euelide dã trả lời: "Thưa bệ hạ, không có một con đường đi đến hình học nón Chỉ dành riêng cho Vua chúa". Các mệnh đề, hoặc định lý, trong quyển thứ nhất của Euclide bàn về tính chất của đường thẳng và diện tích của hình bình hành, tam giác và hình vuông. Trong khi Euclide chủ yêu sử dụng 4 tiên đề đầu tiên trong các chứng minh, tiên đề 5 không hề được sử dụng trong bất kỳ chứng minh nào. Điều đó cho thấy ngay rằng các định lý của ông vẫn có giá trị nếu tiên đề 5 bị loại bỏ hoặc thay thế bằng một tiên đề khác phù hợp với 4 tiên đề kia. Mặc dù cuốn Cơ sở đã trở thành cuốn sách phổ biến rộng rãi, một cuốn sách đã ảnh hưởng đến tư tưởng Tây phương trong suốt hai thiên niên kỷ, tính chất tinh tế và bí mật của tiên đề 5 vẫn làm dấy lên nhưng câu hỏi dai dẳng trong ý nghĩ của các nhà Toán học. Ngay cả cách phát biểu của tiên đề 5 cũng thật là lủng củng trong khi 4 tiên đề kia đều ngắn gọn súc tích và rõ ràng thì tiên đề 5 quá dài dòng. Đối với nhiều người, tiên đề 5 có vẻ như là một định lý phải được chứng minh thay vì một sự thật hiển nhiên. Tiên đề 5 có một số cách phát biểu tương đương. Một là tiên đề Playfair[1], nói rằng qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Cách phát biểu khác tương đương với tiên đề 5 là tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180o. Cách phát biểu này là một hệ quả của tiên đề 5 và là cách phát biểu dễ nhớ nhất. Ngay từ khi cuốn Cơ sở mới ra đời, các nhà hình học đã ngờ vực sự cần thiết của tiên đề 5 hoặc thậm chí nghi ngờ tính hiển nhiên đúng của nó trong toàn bộ lý thuyết này. Người đầu tiên có những nhận định quan trọng về Euclide là một nhà hình học, mà nhờ ông chúng ta mới được biết khá nhiều về lịch sử của cuốn sách này. Người đó là Proclus (410 - 485), một triết gia, nhà Toán học và sử học Hy Lạp thế kỷ thứ 5. Theo Proclus, Euclide sống dưới triều đại của vương quốc La Mã thứ nhất tại Ai Cập, tức triều Ptolemy I, và chính nhà vua này đã viết một cuốn sách bàn về tiên đề 5 rắc rối của Euclide, trong đó tìm cách chứng minh tiên đề 5 dựa trên 4 tiên đề kia. Đây là một cố gắng đầu tiên, thông qua các nguồn lịch sử, mà chúng ta được biết về ý đồ chứng minh tiên đề 5 như một hệ quả của bốn tiên đề đầu tiên của Euclide. Khi trình bày lịch sử công trình của Euclide, Proclus đã nhận định rất chính xác rằng những chứng minh của Ptolemy thực ra đã sử dụng một giả định khác tương đương với tiên đề 5: qua một điểm không nằm trên một đường thẳng chỉ có thể kẻ được một đường thẳng song song với đường đã cho (chính là tiên đề Playfair đã nói ở trên). Do đó Ptolemy đã cho rằng chứng minh của mình đã chứng tỏ tiên đề 5 là thừa. Nhưng thực ra chứng minh của ông sai (vì sử dụng một tiên đề khác tương đương với tiên đề 5). Khoa học Ả Rập nở rộ vào thời Trung cổ, sau khi nền văn minh vĩ đại của Hy Lạp cổ đại không còn nữa, và trước khi Âu châu tỉnh lại từ bóng tối trong nhiều thế kỷ. Omar Khayyam (1050 - 1122), người được phương Tây biết đến vì thơ ca, cũng đồng thời là một trong các nhà Toán học nổi bật vào thừoi của ông, đã viết cuốn sách nhan đề Algebra (Đại số). Trong các thế kỷ trước đó còn hai học giả khác người Ả Rập và Ba Tư cũng theo đuổi nghiên cứu Toán học: Al-Khowarizmi (thể kỷ 9) và Al-Biruni (973 - 1048) cũng có nhiều nghiên cứu về lý thuyết đại số. Khi Omar Khayyam chết năm 1122, khoa học Ả Rập đang trong tình trạng xuống dốc. Tuy nhiên, tại Maragha (Iran ngày nay) đã có một nhà Toán học tài năng phi thường: Nasir Eddin Al-Tusi (1201 - 1274), còn gọi là Nasiraddin. Nasiraddin là một nhà Thiên văn của Hulagu Khan, cháu của nhà chinh phục huyền thoại Genghis Khan (Thành Cát Tư Hãn) và là anh em của Kublai Khan. Nasiraddin biên soạn một dị bản các công trình của Euclide bằng tiếng Ả Rập và một luận đề về các tiên đề của Euclide. Giống như các nhà Toán học cổ điển tiền bối cũng như hai nhà Toán học Ả Rập trước ông, ông cũng nghi ngờ tiên đề 5 của Euclide. Nasiraddin là học giả đầu tiên nhận thấy tầm quan trọng của một tiên đề khác tương đương với tiên đề 5 của Euclide: tổng các góc trong một tam giác bằng 180 độ. Như những người đi trước, Nasiraddin cố gắng chứng minh tiên đề 5 rắc rối của Euclide chỉ là hệ quả của bốn tiên đề trước nó. Và cũng như những người đi trước, Nasiraddin thất bại. Cuốn sách kinh điển của Euclide được nghiên cứu rộng rãi trong thế giới Ả Rập, dẫn tới những cuộc thảo luận rất trí tuệ về cuốn sách, bao gồm việc thảo luận về tiên đề được song song (tức tiên đề 5), nhưng châu Âu không biết điều đó. Trong những năm 1100 đầu tiên, một nhà du lịch người Anh tên là Adelhard of Bath (1075 - 1160) đã thực hiện một cuộc hành trình từ Tiểu Á đến Ai Cập và Bắc Phi. Ông học tiếng Ả rập trên đường đi, sau đó cải trang như một người theo học Hội giáo rồi vượt qua eo biển Gibralta để đến Tây Ban Nha thuộc Ma Rốc[2]. Adelhard đi tới Cordova khoảng năm 1120 và nhận được một bản sao cuốn Cơ sở bằng tiếng Ả Rập. Ông bí mật dịch cuốn sách của Euclide sang tiếng Latinh, mà măng lén nó qua dãy Pyrenees để vào châu Âu Thiên Chúa giáo. Bằng con đường đó cuối cùng cuốn sách của Euclide đã đến với phương Tây. Nó được sao chép và đến tay các học giả, trí thức, và chỉ đến lúc này người phương Tây mới được biết những nguyên lý nền tảng của hình học mà người Hy Lạp đã biết từ một thiên niên kỷ rưỡi trước đó. Khi kỹ thuật ấn loát ra đời, một trong những cuốn sách đầu tiên được in dưới dạng chữ rập khuôn là cuốn Cơ sở. Khi cuốn sách của Euclide được công bố ở Venice năm 1482, đó là một bản dịch ra tiếng Latinh từ văn bản Ả Rập do Adelhard mang lén. Mãi đến năm 1505, cũng tại Venice. Zamberti mới công bố một dị bản của cuốn Cơ sở được dịch từ văn bản Hy Lạp, do Theon thành Alexandria ghi chép từ thế kỷ thứ 4. Năm trăm năm đã trôi qua kể từ công trình của Nasiraddin về tiên đề 5, nhưng trong suốt những thế kỷ này Toán học phương Tây đạt được rất ít tiến bộ. Thời Trung cổ không phải là một thời kỳ tốt đẹp đối với Toán học hoặc khao học và văn hóa nói chung. Một thế giới rối ren trong những cuộc xung đột triền miên và bị bệnh dịch hoành hành không phải là chỗ để theo đuổi tri thức và nghệ thuật. Nhưng năm 1733, một quyển sách nhỏ được viết bằng tiếng Latinh được xuất bản ở Milan. Đầu đề của nó là Euclides ab omni naevo vindicatus (Vứt bỏ mọi thiếu xót trong hình học Euclide). Tác giả cuốn sách là một thầy tu dòng Jesuit tên là Girolamo Saccheri (1667 - 1733). Cuốn sách được công bố vào đúng năm tác giả chết, nhưng đó không phải là một mất mát duy nhất đối với xã hội: cuốn sách mang tính đột phá này lẽ ra đã sớm làm thay đổi nhận thức hình học của nhân loại, nhưng tiếc thay nó vẫn bị chìm khuất trong sự lãng quên của người đời đến hơn một trăm năm sau. Mãi đến năm 1889 nó mới ngẫu nhiên được phát hiện sau khi ba nhà Toán học đã công bố những khám phá độc lập của họ - những khám phá làm thay đổi hình học và cách giải thích hình học. Ba người đó là Gauss, Bolyai, Lobachevsky. Trong khi giảng dạy và nghiên cứu Triết học tại các học viện Jesuit tại Ý. Girolamo Saccheri đọc cuốn Cơ sở. Saccheri bị chinh phục mạnh mẽ bởi phương pháp chứng minh logic được gọi là reductio ad absurdum (phương pháp phản chứng) mà Euclide đã sử dụng. Phương pháp này được áp dụng rộng rãi trong Toán học ngày nay, bắt đầu bằng việc giả định điều ngược lại với cái cần phải chứng minh, sau đó qua một số bước suy luận logic liên tiếp, người ta hy vọng thu được kết quả mâu thuẫn. Tính mâu thuẫn sẽ chứng tỏ rằng giả định ban đầu là sai, và do đó chứng tỏ điều ngược lại là đúng, và đó là điều phải chứng minh[3]. Saccheri đã biết rõ công trình của Nasiraddin nửa thiên niên kỷ trước đây và những cố gắng của ông trong việc chứng minh tiên đề 5 của Euclide từ bốn tiên đề kia. Lúc này Saccheri nảy ra một ý tưởng xuất sắc, đó là dùng phương pháp reductio ad absurdum để tấn công vào mục tiêu chứng minh tiên đề 5, một mục tiêu đã có từ xa xưa. Ông quyết định sử dụng phương pháp ông ưa thích để chưng minh. Để làm điều đó, ông phải giả sử tiên đề 5 của Euclide không phải là kết quả của bốn tiên đề kia, mà là một tiên đề sai. Đến lúc đo, Saccheri đã thuộc làu tiên đề 5 của Euclide và biết rõ những nỗ lực chứng minh tiên đề đó trong lịch sử, bằng chứng là bản thân ông đã chỉ ra sai lầm trong chứng minh của Nasiraddin, cũng như sai lầm trong chứng minh năm 1663 của John Wallis (1616 - 1703) tại Đại học Oxford. Thật vậy, Saccheri đã giả sử tiên đề 5 sai, và hy vọng tìm thấy mâu thuẫn. Nhưng tồi ông chẳng tìm thấy mâu thuẫn nào cả, mà ngược lại chỉ thu được kết quả khác thường: có thể có hơn một đường thẳng đi qua một điểm cho trước song song với một đường thẳng cho trước. Từ đó Saccheri đi đến ba kết luận khả dĩ, được phát biểu dưới dạng tương đương với tiên đệ, về tổng các góc trong một tam giác. Cả ba cách phát biểu đó đều phù hợp với bốn tiên đề đầu tiên của Euclide, cách phát biểu thứ nhất dẫn đến một hệ thống trong đó tổng ba góc trong một tam giác bằng 180o (đặc điểm Euclide, theo cách nói ngày nay), cách thứ hai tương ứng với tổng ba góc trong tam giác nhỏ hơn 180o, cách thứ ba tương ứng với tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180o. Ngày nay chúng ta đã biết rằng hai trường hợp sau là hai hệ thống khác nhau của hình học phi-Euclide, mỗi hệ thống đều hợp lý về mặt logic nội bộ và có giá trị về mặt Toán học. Chúng thể hiện quan điểm về những thế giới khác. Saccheri thu được một số kết quả quan trong bên trong những hệ thống này. Nhưng ông không hề biết rằng đó chính là những khám phá mới, và việc chứng minh tiên đề 5 bằng phản chứng thất bại đơn giản chỉ vì hệ thống giả định của ông thực ra không hề sai – thực ra chúng hoàn toàn chính xác về mặt Toán học! Trớ trêu thay, đến lúc những sự thật này được các nhà Toán học công nhận thì Saccheri đã vĩnh biệt thế giới từ lâu rồi. Tiên đề 5 của Euclide, một tiên đề thách đố và làm thất vọng nhiều thế hệ các nhà Toán học kể từ ngày Euclide đưa nó vào trong sách của ông, thực ra ông đã gói ghém bên trong nó quan điểm cho rằng thế giới là một hình phẳng hoàn hảo. Trong một thế giới như thế, những đường thẳng tồn tại và chúng có thể kéo dài vô hạn, và dù kéo dài đến đâu chăng nữa chúng vẫn luôn thẳng, chẳng hề cong tí nào[4]. Hãy tưởng tượng một mặt rất phẳng, trên mặt phẳng này, qua một điểm cho trước không nằm trên một đường thẳng cho trước có thể vẽ được một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Những đường song song có thể kéo dài mãi mãi đến vô tận nhưng không bao giờ chúng gặp nhau. Trên mặt phẳng này, tổng các góc trong một tam giác bằng 180 độ. Bây giờ tưởng tượng mặt phẳng của bạn như một miếng cao su phẳng, và dưới nó có một quả cầu lớn đội lên, đẩy mặt cao su từ dưới lên trên. Mặt cao su sẽ bị cong theo bề mặt của quả cầu và dần dần biến thành mặt cầu. Điều gì sẽ xảy ra đối với các đường thẳng song song kéo dài? Chúng cũng sẽ bị cong trên mặt cầu và co xu hướng sẽ gặp nhau ở phía kéo dài. Trên mặt cầu không có những đường tròn lớn không cắt nhau. Và ở đây, tông ba góc trong một tam giác sẽ lớn hơn 180 độ. Hãy tưởng tượng một tam giác trên một mặt địa cầu với một đỉnh nằm ở Bắc cực và hai đỉnh kia nằm trên đường xích đạo. Hai cạnh bên là hai kinh tuyến lần lượt đi qua hai đỉnh nằm trên xích đạo. Góc giữa mỗi kinh tuyến với đường xích đạo bằng một vuông, tức 90 độ. Do đó trong tam giác đang xét, hai góc kề đáy (xích đạo) có tổng bằng 180 độ. Vì thế nếu cộng thêm góc giữa hai cạnh bên (kinh tuyến) thì tổng ba góc sẽ lớn hơn 180 độ. Con đường phát triển của hình học phi-Euclide sau này thực ra đã lặp lại những việc Saccheri đã làm. Nếu như Euclide có dịp đứng trên mũi Perpetua và nhìn thấy Trái Đất hình cầu thì sự phát triển của hình học có thể đã hoàn toàn khác (cũng có thể ông đã biết rằng Trái Đất hình cầu nhưng ông không nhận thức được tầm quan trọng của sự thật này). Trong khảo sát ở trên, mặt phẳng nguyên thủy của chúng ta bị biến dạng thành hình cầu bởi một quả cầu đẩy nó từ dưới lên. Nhưng cũng có thể làm cho mặt phẳng biến dạng theo kiểu hyperbolic, bằng cách ấn nó ở giữa trũng xuống và căng cách phía xung quanh sao cho áp sát vào một mặt yên ngựa. Trên mặt yên ngựa này, có một số vô hạn các đường “thẳng” song song với một đường thẳng cho trước đi qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng đã cho. Ở đây, tam giác sẽ có dạng: tổng ba góc của nó nhỏ hơn 180 độ. Saccheri đã đi vào thế giới kỳ lạ này một cách vô thức ngay trước khi ông chết. Nhưng yếu tố quan trọng trong cả hai trường hợp trên, mặt cầu và mặt hyperbolic, là ở chỗ mặt phẳng đã bị biến dạng. Hãy tưởng tượng trên một mặt bàn đá rộng rãi có ba chiếc cần câu bằng thép gắn chụm đầu từng đôi một đểtạo thành một tam giác. Một người nào đó đốt lửa dưới mặt bàn. Sức nóng của lửa sẽ làm biến dạng các cần câu trên mặt bàn, và tam giác sẽ biến đổi: các cần câu sẽ con vì nóng – các góc cọng lại sẽ không bằng 180 độ nữa. Chính Albert Einstein hai thế kỷ sau đã sử dụng thí dụ này để mô tả bản chất phi-Euclide của không gian vật chất. Đầu thuế kỷ 19, Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855), một thiên tài người Đức đã có những đóng góp phi thường cho khoa học, là gương mặt tiêu biểu của thế giới Toán học. Gauss đã dành hàng chục năm để ngẫm nghĩ suy tưởng vấn đề tiên đề 5 của Euclide. Gauss viết rất nhiều công trình quan trọng, nhưng lại công bố rất ít về bài toàn thách đố của Euclide, mặc dù ông đã tốn rất nhiều thì giờ và sức lực cho nó – chúng ta chỉ biết tư tưởng của ông về hình học thông qua các thư từ trao đổi mà thôi. Qua những thư từ này ta biết rằng Gauss hiểu rõ việc đảo ngược 5 sẽ dẫn đến những hình học phi-Euclide. Trong thời gian học tại Đại học Gottingen danh tiếng, Gauss đã kết bạn với một sinh viên khoa Toán ngươig Hungary là Farkas Bolyai (1775 - 1856). Gauss và Bolyai cả hai đều dành nhiều thì giờ để thử chứng minh tiên đề 5 của Euclide. Năm 1804, Bolyai nghĩ rằng ông đã tìm ra một chứng minh và viết nó thành một bản thảo ngắn rồi ông gửi bản thảo này cho người bạn học cũ của mình. Tuy nhiên, Gauss nhanh chóng tìm thấy một sai lầm trong chứng minh này. Không chịu khuất phục, Bolyai tiếp tục những nỗ lực của mình và vài năm sau lại gửi cho Gauss một chứng minh khác. Chứng minh này cũng sai nốt. Trong khi làm một giáo sư, một nhà viết kịch, một nhà thơ, một nhạc sĩ, và một nhà phát minh, Farkas Bolyai vẫn tiếp tục nghiên cứu Toán học trong suốt cuộc đời của ông bất chấp những cố gắng thất bại trong việc chứng minh tiên đề không thể chứng minh được này. Ngày 15 tháng 12 năm 1802, con trai của Farkas ra đời, đó là Janos Bolyai (1802 - 1860). Farkas viết một bức thư gửi Gauss với tâm trạng rất phấn khởi để khoe việc sinh con trai: “một thằng bé khỏe mạnh và rất xinh xắn với những ưu điểm trời cho: tóc và mày đen, đôi mắt xanh thẳm rực sáng lấp lánh như hai viên châu báu”. Janos lớn lên và được bố dạy Toán. Anh đã nắm bắt được mối bận tâm của ông bố về tiên đề 5 của Euclide và cũng khát khao chứng minh tiên đề đó từ những tiên đề và định đề khác của Euclide. Năm 1817, chàng Bolyai trẻ đỗ vào Học việc kỹ sư hoàng gia tại Vienna, nơi anh đã cống hiến rất nhiều thời gian để theo đuổi mục tiêu say đắm của ông bố là chứng minh tiên đề 5. Đến lúc đó, mặc dù cố gắng một cách thất vọng, bố anh vẫn phải viết thư khuyên can anh đừng nên lãng phí thời gian vào một bài toán bất khả đã từng làm tiêu hao quá nhiều công sức của ông. Nhưng cậu con trai không dao động trước lời khuyên đó. Anh tiếp tục theo đuổi mục tiêu của mình một cách nồng nhiệt, hy vọng chuộc lại những cố gắng thất bại của ông bố trong nhiều thập kỷ. Năm 1820, Janos Bolyai đi đến một kết luậnđáng kinh ngạc. Thay vì có thể chứng minh như một hệ quả của phần còn lại của hình học Euclide, tiên đề 5 là cánh cổng dẫn tới một khu vườn kỳ diệu: một Khoa học Tuyệt đối về Không gian, như Bolyai gọi nó, trong đó hình học Euclide chỉ là một trường hợp đặc biệt. Bolyai xuất phát từ cách phát biểu Playfair của tiên đề 5, rằng qua một điểm cho trước ở ngoài một đường thẳng cho trước chỉ có thể kẻ được 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Sau đó Bolyai giả sử tiên đề này không đúng. Giả định này có nghĩa là, anh kết luận, hoặc không có đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho, hoặc có nhiều hơn một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Giả định thứ nhất không xảy ra vì có thể chứng minh qua một điểm cho trước, bao giờ cũng có thể kẻ ít nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho, và chỉ có giả định thứ hai có thể coi là một biến đổi khả dĩ đối với tiên đề 5 của Euclide. Và nếu qua một điểm cho trước không nằm trên một đường thẳng cho trước có hai đường thẳng song song với đường thẳng dã cho thì sẽ có vô số đường thẳng như thế. Những kết quả rút ra từ giả sử này làm cho chàng Bolyai trẻ tuổi ngơ ngác. Hình học mới của anh cứ thế mà phát triển không hề có mâu thuẫn, không gặp phải trở ngại nào, cú như thể chính Chúa đã có ý định để cho hình học không gian phải tuân theo con đường phi-Euclide mới lạ đáng kinh ngạc này. Với một cảm hứng đặc biệt, anh nhận thấy rằng có n