Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy

LỜI MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Trang bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu được đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán. Trong chương trình Hình học 10 các bài toán liên quan đến tọa độ và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy là phần rất quan trọng. Phần tọa độ trong mặt phẳng đóng vai trò cực kì quan trong trong toán học và cũng là phần không thể thiếu trong các đề thi Đại học trong những năm học gần đây. Học sinh được làm quen với các bài tập về tọa độ và đường thẳng trong Đại số từ khi học THCS, lên THPT các em lại gặp lại trong môn Đại số 10 và hình học 10, nhưng các em vẫn hay gặp khó khăn khi cho rằng đây là toán hình học. Để học sinh thấy được cách nhất quán của dạng toán tìm đỉnh và cạnh của tam giác tôi muốn làm nổi bật yếu tố giải tích trong việc giải quyết bài tập hình học. Trong quá trình dạy học tôi luôn tìm tòi các ví dụ điển hình tổng hợp thành các phương pháp giải cụ thể cho học sinh, đồng thời hướng dẫn học sinh biết nhận dạng bài toán và phát triển thành các bài toán mới. Đây cũng là vấn đề có thể phát triển được tư duy toán học cho học sinh. Dưới đây tôi xin trao đổi với quý đồng nghiệp và các em học sinh một chuyên đề nhỏ trình bày vấn đề nhỏ về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: ”Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy.” Nội dung đề tài gồm 3 phần: Phần 1: Lí thuyết về điểm đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Phần 2: Điểm đường thẳng đặc biệt trong tam giác. Phần 3: Bài tập tổng hợp. Mục đích nghiên cứu Một vấn đề trong Hình học 10 mà học sinh thấy khó khăn khi gặp phải. Giúp học sinh định hướng được bài toán tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy khi giải bài tập. Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ năng giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng. Qua đó nhằm nâng cao khả năng tư duy logic, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Đối tượng nghiên cứu Các kiến thức về tọa độ điểm, đường thẳng đặc biệt của tam giác và phương trình đường thẳng. Nhằm tìm lời giải cho mỗi bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cụ thể. Giới hạn của đề tài Là giáo viên trực tiếp giảng dạy học sinh khối 10 của trường THPT Hồng Thái tôi thấy các em hay gặp khó khăn khi làm bài tập về tìm điểm và phương trình đường thẳng trong tam giác. Nên tôi tập trung vào việc: “giúp học sinh tìm điểm đường thẳng trong tam giác khi biết một số dữ kiện đặc biệt”, áp dụng giảng dạy trong các tiết học tự chọn bám sát cho học sinh lớp 10 tôi dạy. Nhiệm vụ của đề tài. Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn Hình học 10 phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: giải được bài toán “tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy ”. Phương pháp nghiên cứu Về lí luận: “Phỏt triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở cỏc em ý thức, năng lực vận dụng một cỏch thụng minh những điều đó học”. Đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay coi trọng việc: “lấy học trò làm trung tâm người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo”. Về thực tiễn Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên. Toán học là môn khoa học suy diễn trừu tượng nên là giáo viên Toán với tôi đây cũng là dịp để tôi học tập, nghiên cứu, trau dồi để rút ra những kinh nghiệm cho riêng mình. Để mỗi tiết học toán trôi qua học sinh hình thành những kiến thức mới và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán. Các em thấy yêu thích môn toán hơn, hứng thú học tập hơn. NỘI DUNG Phần 1: LÍ THUYẾT VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VẫC TƠ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Vộctơ là vộctơ chỉ phương (VTCP) của giỏ của Vộctơ là vộctơ phỏp tuyến (VTCP) của giỏ của Nhận xột: Đường thẳng cú vụ số vộctơ chỉ phương và vụ số vộctơ phỏp tuyến đồng thời PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trỡnh tham số: Đường thẳng đi qua điểm và cú VTCP phương trỡnh tham số dạng: Nhận xột: VTCP VTPT Phương trỡnh chớnh tắc: Đường thẳng đi qua điểm và cú VTCP phương trỡnh chớnh tắc dạng: . Phương trỡnh tổng quỏt: Đường thẳng đi qua điểm và cú VTPT phương trỡnh tổng quỏt dạng: . Nhận xột:VTPT VTCP . Phương trỡnh hệ số gúc: Phương trỡnh đường thẳng với hệ số gúc a: phương trỡnh dạng . Phương trỡnh đường thẳng qua 2 điểm , : Phương trỡnh dạng . Phương trỡnh dạng đoạn chắn qua dạng: . Phương trỡnh chựm đường thẳng: Cho 2 đường thẳng cắt nhau: , với thỡ đường thẳng qua I là với VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Dạng tham số: đi qua đi qua Nếu thỡ tại I. Nếu và thỡ Nếu và thỡ Dạng tổng quỏt: và Xột hệ: Nếu hệ cú 1 nghiệm thỡ. Nếu hệ vụ nghiệm thỡ . Nếu hệ cú nghiệm với mọi x hoặc mọi y thỡ . GểC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Dạng hệ số gúc: Cho Gúc giữa với với Dạng tổng quỏt: Cho 2 đường thẳng: . KHOẢNG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Khoảng cỏch từ đến : là Cho cắt nhau thỡ phương trỡnh 2 đường phõn giỏc: Dấu hiệu Phõn giỏc gúc nhọn Phõn giỏc gúc tự Phần 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC Loại 1: Xỏc định cỏc yếu tố của tam giỏc khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương trỡnh của 2 đường cú cựng tớnh chất. Dạng 1: Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc khi biết 1 đỉnh và 2 đường cao xuất phỏt từ 2 đỉnh cũn lại. Cỏch giải: * Viết phương trỡnh AB, AC. * Tỡm toạ độ của B,C. * Viết phương trỡnh BC. Bài tập 1.1: Cho biết A(-1;-3) và phương trỡnh 2 đường cao BH: , CK: . Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Giải: Vỡ nờn AB cú phương trỡnh : Phương trỡnh AB cú dạng: . Vỡ nờn AC cú phương trỡnh : Phương trỡnh AC cú dạng: . Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: Phương trỡnh cạnh BC: . Bài tập tương tự Bài tập 1.2: Cho tam giaực ABC vụựi phửụng trỡnh caùnh BC: x-y +2=0, hai ủửụứng cao BH:2x-7y-6=0, CH: 7x-2y-1=0.Vieỏt phửụng trỡnh hai caùnh coứn laùi vaứ ủửứụng cao thửự ba . Bài tập 1.3. Cho tam giaực ABC coự phửụng trỡnh caùnh AB : 5x-3y+2=0 vaứ phửụng trỡnh caực ủửụứng cao qua ủổnh A vaứ B laàn lửụùt laứ : 4x-3y +1=0 , 7x+2y -22 =0 Laọp phửụng trỡnh hai caùnh AC, BC vaứ ủửụứng cao thửự ba. Bài tập 1.4: Laọp phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa tam giaực ABC bieỏt B(-4;-5) vaứ hai ủửụứng cao coự phửụng trỡnh : 5x+3y – 4=0 , 3x +8y +13=0 Bài tập 1.5: Cho tam giaực ABC vụựi ủổnh A(1;1) .Caực ủửụứng cao haù tửứ B vaứ C laàn lửụùt naốm treõn caực ủửụứng thaỳng : -2x +y -8 = 0; 2x +3y-6=0 Haừy vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng chửựa ủửụứng cao haù tửứ A vaứ xaực ủũnh toaù ủoọ caực ủổnh B,C. (ĐHSP HN 2000) Bài tập 1.6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC cú và 2 đường thẳng lần lượt chứa cỏc đường cao vẽ từ B và C cú phương trỡnh : và . Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. Dạng 2: Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc khi biết 1 đỉnh và 2 trung tuyến xuất phỏt từ 2 đỉnh cũn lại. Cỏch giải: Cỏch 1. * Kiểm tra A khụng thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể) * Tỡm toạ độ trọng tõm. * Tỡm toạ độ B, C. * Viết phương trỡnh cỏc cạnh. Cỏch 2. * Kiểm tra A khụng thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể) * Tỡm toạ độ trọng tõm G. * Tỡm toạ độ A0 là điểm đối xứng với A qua G. * Viết phương trỡnh đường thẳng (d3) qua A0 và song song với (d1), Viết phương trỡnh đường thẳng (d4) qua A0 và song song với (d2). * Tỡm B, C. * Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Bài tập 2.1: Cho biết A(1;3) và phương trỡnh 2 đường trung tuyến BM:, CN: . Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Giải: Gọi G là trọng tõm Tọa độ G là nghiệm của hệ: A B C M N . Gọi I là trung điểm của BC thỡ BM: CN: Vỡ I là trung điểm của BC nờn: Phương trỡnh AB: Phương trỡnh AC: Phương trỡnh BC: . Bài tập tương tự: Bài tập 2.2: Vieỏt phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa moọt tam giaực bieỏt ủổnh A(4,3) ,hai trung tuyeỏn coự phửụng trỡnh x+y -5= 0 ,2x-y -1 =0. Bài tập 2.3: Cho biết A(1;1) cỏc trung tuyến hạ từ B và C lần lượt cú phương trỡnh :, CN: . a. Viết phương trỡnh trung tuyến xuất phỏt từ A. b. Xỏc định tọa độ B, C.. Bài tập 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cú và phương trỡnh hai đường trung tuyến . Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Dạng 3: Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc khi biết 1 đỉnh và 2 phõn giỏc trong xuất phỏt từ 2 đỉnh cũn lại. Cỏch giải: Cỏch giải. * Tỡm toạ độ cỏc điểm A1,A2 lần lượt đối xứng với A qua (d1), (d2). * Viết phương trỡnh A1A2 và tỡm toạ độ của B, C. * Viết phương trỡnh AB, AC. Bài tập 3.1: Cho biết A(2;-1) và phương trỡnh 2 đường phõn giỏc trong của gúc B: , gúc C: . Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. A B C N M A1 A2 K I Gọi lần lượt đối xứng với A qua CN và BM : phương trỡnh dạng qua A(2;-1) nờn : AA1: A1 đối xứng với A qua CN nờn I là trung điểm của AA1 : phương trỡnh dạng qua A(2;-1) nờn : AA2: A2 đối xứng với A qua BM nờn K là trung điểm của AA2. Đường thẳng BC qua A1A2 nờn phương trỡnh dạng: . Đường thẳng AB cú VTCP Phương trỡnh dạng: Đường thẳng AC cú VTCP Phương trỡnh dạng: . Bài tập tương tự: Bài tập 3.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cú và phương trỡnh hai đường phõn giỏc . Tớnh tọa độ cỏc điểm B, C. Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Loại 2:Xỏc định cỏc yếu tố của tam giỏc khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương trỡnh của 2 đường cú tớnh chất khỏc nhau. Dạng 4: Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc khi biết 1 đỉnh B và 1 đường cao AH và 1 phõn giỏc trong gúc C. Cỏch giải: * Lập phương trỡnh BC.. C H B B’ A I D * Tỡm C giao của BC và phõn giỏc. * Tỡm B’ đối xứng với B qua phõn giỏc gúc C. * Lập phương trỡnh AC qua B’ và C. * Tỡm A giao của AC và AH. * Lập phương trỡnh AB. D Bài tập 4.1: Cho biết B(2;-1) và đường cao AH và phõn giỏc trong CD: .Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Giải: Vỡ nờn phương trỡnh BC cú dạng: BC qua B(2;-1) nờn . Phương trỡnh BC: . nờn tọa độ C là nghiệm của hệ: Gọi B’ đối xứng với B qua CD nờn . Phương trỡnh BB’ cú dạng: BB’ qua B(2;-1) nờn . Phương trỡnh BB’ dạng: . nờn tọa độ I là nghiệm của hệ: I là trung điểm của BB’ nờn Đường thẳng AC qua C và B’ cú VPCP . Phương trỡnh AC dạng: . nờn tọa độ A là nghiệm của hệ: Phương trỡnh AB dạng: Bài tập tương tự: Bài tập 4.2 (ĐH KTHN 98) Cho tam giỏc ABC cú đỉnh , đường cao BH nằm trờn đường thẳng , phõn giỏc trong gúc C nằm trờn đường thẳng . Viết phương trỡnh cạnh BC. Bài tập 4.3: Cho tam giỏc ABC cú B(1;5) và phương trỡnh đường cao AH: , đường phõn giỏc CD: . Tỡm tọa độ cỏc điểm A, C. Dạng 5:Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và trung tuyến xuất phỏt từ 2 đỉnh khỏc nhau. Cỏch giải: * Kiểm tra điểm A khụng thuộc 2 đường đó cho. * Lập phương trỡnh cạnh AC ( vuụng gúc với đường cao) * Tỡm tọa độ C. * B thuộc BH ( tham số húa B) tỡm trung điểm M của AB theo tham số. * Vỡ M thuộc CM nờn tỡm được tham số đú. Tỡm được B. * Lập phương trỡnh AB,BC. Bài tập 5.1: Cho biết A(2;-7) và đường cao BH và trung tuyến CM : .Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Giải: A C B H M Vỡ và AC qua A nờn phương trỡnh AC dạng: nờn tọa độ C là nghiệm của hệ: . Trung điểm M của AB: Phương trỡnh đường thẳng AB: . Phương trỡnh đường thẳng BC: . Bài tập tương tự Bài tập 5.2: Cho tam giaực ABC coự B(-4;0) , ủửụứng cao kẻ từ A: vaứ ủửụứng trung tuyeỏn keỷ tửứ ủổnh C coự phửụng trỡnh : . Laọp phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa tam giaực ABC. Tớnh diện tớch tam giỏc. Bài tập 5.3: Cho tam giỏc ABC cú đỉnh A(2;1) đường cao qua B: và trung tuyến qua C: . Xỏc định tọa độ B và C của tam giỏc. Bài tập 5.4: Cho tam giỏc ABC cú đỉnh A(13) đường cao qua B: và trung tuyến qua C: . Lập phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Bài tập 5.4: Cho tam giaực ABC coự C(4;-1) , ủửụứng cao vaứ ủửụứng trung tuyeỏn keỷ tửứ ủổnh A coự phửụng trỡnh tửụng ửựng laứ : (d1) : 2x-3y +12=0 , (d2) : 2x+3y =0 Laọp phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa tam giaực ABC. Dạng 6:Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc khi biết 1 đỉnh, 1 trung tuyến và 1 phõn giỏc trong xuất phỏt từ 2 đỉnh khỏc nhau. Cỏch giải: * Kiểm tra điểm A khụng thuộc 2 đường đó cho. * Tỡm K đối xứng với A qua phõn giỏc. * C thuộc CK (tham số húa C), tỡm trung điểm M của AC theo tham số * Vỡ M thuộc BM nờn tỡm được tham số đú. Tỡm được C. * Lập phương trỡnhAC, BC. * Tỡm B lập phương trỡnh AB. Bài tập 6.1:Cho biết A(1;2), đường trung tuyến BM : và phõn giỏc trong CD: .Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. A B K C M D I Giải: Điểm Trung điểm M của AC: Lấy K đối xứng với A qua CD nờn mà AK qua A phương trỡnh AK: nờn: I là trung điểm của AK nờn K(-1;0). Đường thẳng BC qua K, C dạng: Đường thẳng AC: nờn: Đường thẳng AB: Bài tập tương tự: Bài tập 6.2: Cho tam giỏc ABC cú A(4;-1) và phương trỡnh trung tuyến BB1: , phõn giỏc trong CC1: . Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Bài tập 6.3: Cho biết C(4;3), Phõn giỏc trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giỏc cú phương trỡnh: , .Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc. Loại 3 Xỏc định cỏc yếu tố của tam giỏc khi biết trước tọa độ một số điểm đặc biệt nào đú của tam giỏc. Dạng 7: Tỡm phương trỡnh đường thẳng cạnh cũn lại của tam giỏc khi biết 2 cạnh và tọa độ trọng tõm. Cỏch giải: * Tỡm được 1 đỉnh của tam giỏc A A B M C G * Tham số húa đỉnh B và C. * G là trọng tõm nờn tỡm được B và C * Viết phương trỡnh BC. Bài tập 7.1: Lập phương trỡnh cạnh BC của tam giỏc ABC biết trọng tõm và , . Giải: nờn tọa độ A là nghiệm của hệ: Vỡ G là trọng tõm tam giỏc ABC nờn: Đường thẳng BC qua M(8;4) và cú VTPT : Phương trỡnh dạng: Bài tập tương tự Bài tập 7.2: Cho tam giỏc ABC biết trọng tõm và , . Tỡm tọa độ A và trung điểm M của BC Tỡm B và viết phương trỡnh BC Bài tập 7.3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC cú trọng tõm . Biết phương trỡnh cỏc cạnh AB, AC theo thứ tự : , . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc. Dạng 8: Tỡm phương trỡnh đường thẳng cạnh cũn lại của tam giỏc khi biết 2 cạnh và tọa độ trực tõm. A B H C A Cỏch giải: * Viết phương trỡnh đường thẳng BH, tỡm B * Viết phương trỡnh đường thẳng CH, tỡm C. * Viết phương trỡnh BC. Bài tập 8.1: Lập phương trỡnh cạnh BC của tam giỏc ABC biết trực tõm và , . Giải: Đường thẳng nờn phương trỡnh BH: BH qua H(1;1). Phương trỡnh BH dạng: nờn tọa độ B là nghiệm của hệ : Đường thẳng nờn phương trỡnh CH: CH qua H(1;1). Phương trỡnh CH dạng: nờn tọa độ C là nghiệm của hệ : Đường thẳng BC qua và cú VTPT nờn phương trỡnh dạng: . Bài tập tương tự: Bài tập 8.2: Cho phương trỡnh hai cạnh của tam giỏc ABC là : , và tọa độ trực tõm H(3;-1). Viết phương trỡnh đường thẳng cạnh cũn lại. Dạng 9: Tỡm phương trỡnh đường thẳng cạnh cũn lại của tam giỏc khi biết 2 cạnh và tọa độ trung điểm cạnh cũn lại Cỏch giải: * B thuộc AB ( tham số húa B) * C thuộc AC ( tham số húa C) * M là trung điểm của BC * Viết phương trỡnh BC. Bài tập 9.1: Lập phương trỡnh cạnh BC của tam giỏc ABC biết trung điểm của BC là và , . Giải: nờn nờn Vỡ M là trung điểm của BC nờn Theo bài ra nờn: Đường thẳng BC qua M(-2;2) và cú cú phương trỡnh : Dạng 10: Cho biết tọa độ 2 điểm của tam giỏc. Tỡm tọa độ đỉnh cũn lại thuộc 1 đường thẳng sao cho thỏa món điều kiện cho trước. Cỏch giải: * Tham số húa tọa độ đỉnh đó cho. * Cho thỏa món điều kiện đầu bài. Bài tập 10.1: Cho tam giỏc ABC biết A(-1;3), B(1;1) và Tỡm C thuộc sao cho tam giỏc ABC cõn ở C. Tỡm C thuộc sao cho tam giỏc ABC vuụng ở A. Giải: a/ , Để cõn ở C . b/ . Ta cú : Để vuụng ở A Bài tập tương tự Bài tập 10.2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm và cỏc đường thẳng và . Tỡm tọa độ B, C lần lượt thuộc sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Dạng 11: Cho 1 đỉnh của tam giỏc, 2 đỉnh cũn lại thuộc 2 đường thẳng khỏc. Tỡm 2 đỉnh (đường thẳng) thỏa món điều kiện cho trước. Cỏch giải: * Tham số húa tọa độ 2 đỉnh thuộc 2 đường thẳng. * Cho 2 điểm thỏa món điều kiện đầu bài. ( hoặc sử dụng phương phỏp khỏc tựy vào bài toỏn) Bài tập 11.1:Cho ; và điểm A là giao của d1, d2. Tỡm và sao cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G(3;5) Giải: Vỡ G là trọng tõm tam giỏc ABC nờn: Bài tập 11.2: Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm . Viết phương trỡnh đường thẳng d qua cắt trục Ox, Oy tại B và C sao cho cõn tại A. Giải: Gọi . Phương trỡnh đường thẳng d dạng đoạn chắn: . cõn tại A Với thay vào Với thay vào (loại) Vỡ trựng với . Bài tập tương tự Bài tập 11.2: Cho ; và điểm A(2;3). Tỡm và sao cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G(2;0). Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP. Bài tập 1:Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm và . Tỡm tọa độ trực tõm và tõm đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc OAB. (ĐH-A2004) Giải: Cỏch 1: (Viết phương trỡnh 2 trong 3 đường cao và tỡm giao điểm) + Đường thẳng qua O(0;0) và vuụng gúc với AB cú VTPT cú phương trỡnh: Đường thẳng qua và vuụng gúc với OA cú VTPT cú phương trỡnh: . Trực tõm H là nghiệm của hệ: . + (Viết phương trỡnh 2 trong 3 đường trung trực và tỡm giao điểm) Đường trung trực cạnh OA cú phương trỡnh , Đường trung trực cạnh OB cú phương trỡnh . Tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OAB nghiệm của hệ: . Cỏch 2: + Gọi trực tõm của tam giỏc ABO thỡ: + Gọi là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OAB thỡ hay Bài tập 2:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC cú AB=AC và gúc BAC=900 biết là trung điểm cạnh BC và trọng tõm của tam giỏc. Tỡm tọa độ đỉnh A, B, C.(ĐH-B2003) Giải: Vỡ G là trọng tõm và M là trung điểm BC nờn: A C B G M Phương trỡnh BC qua M(1;-1) và vuụng gúc với là Mà vuụng cõn tại A nờn tọa độ B, C thỏa món phương trỡnh đường trũn : . Tọa độ B, C là nghiệm của hệ sau: Vậy tọa độ B, C là . Bài tập 3: Lập phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc biết đỉnh A(2;1) trực tõm H(-6;-3) và trung điểm cạnh BC là D(2;2). Giải: Đường thẳng BC qua D(2;2) và cú VTPT . Phương trỡnh BC dạng: . Giả sử B(x;y) thỡ C(4-x;4-y) (Do D(2;2) là trung điểm của BC.) . Vỡ nờn B(1;4) hoặc B(3;0) nờn phương trỡnh AC và AB dạng: A C B G Bài tập 4:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC cú diện tớch hai đỉnh . Trọng tõm tam giỏc nằm trờn đường thẳng . Tỡm tọa độ đỉnh C. Giải: Vỡ đường thẳng : nờn Phương trỡnh đường thẳng AB: và chiều cao Khoảng cỏch từ G tới AB bằng . Theo cụng thức khoảng cỏch ta cú . Với thỡ Với thỡ Vậy cú 2 điểm C thỏa món: . Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm và cỏc đường thẳng và . Tỡm tọa độ B, C lần lượt thuộc sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. (ĐH- B2007). Giải: Vỡ nờn Để vuụng cõn ở A thỡ Đặt ta được: Vậy B(-1;3), C(3;5) hoặc B(3;-1), C(5;3). Bài tập 6: Trong mặt phẳng Oxy xỏc định tọa dộ đỉnh C của tam giỏc ABC biết hỡnh chiếu vuụng gúc của C trờn đường thẳng AB là điểm H(-1,-1), đường phõn giỏc trong của gúc A cú phương trỡnh : và đường cao kẻ từ B cú phương trỡnh . (ĐH – B2008) Giải: Gọi d1 : d2 : Vỡ d1 là phõn giỏc trong của gúc A nờn đường thẳng l qua H và vuụng gúc với d1 cắt AC tại điểm H’ đối xứng với H qua d1. Gọi I là giao điểm của l và d1, I là trung điểm của HH’. Phương trỡnh đường thẳng l : Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ : Gọi tọa độ của H’(a;b) thỡ Đường thẳng AC qua H’(-3;1) và d2: nờn AC cú hệ số gúc bằng nờn cú phương trỡnh là: suy ra tọa độ của điểm A: CH qua H(-1;-1) cú VPPT là . Phương trỡnh CH dạng: nờn tọa độ C là nghiệm của hệ: Bài tập 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tại A và cú đỉnh và cỏc đỉnh B, C thuộc đường thẳng . Xỏc định tọa độc cỏc điểm B và C, biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 18 (ĐH-B2009) Giải : A B C H D Gọi đường cao là AH Ta được: AH = BC = AB= AC= Hai điểm B(x; y), C(x; y) cựng thỏa món hệ sau: hoặc (x; y)= Vậy hoặc . Bài tập 8: Xỏc định tọa độ đỉnh B của tam giỏc ABC, biết , ỏc đường phõn giỏc trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt cú phương trỡnh , . Giải: Gọi C’ đối xứng với C qua phõn giỏc AD: A C B M H C’ D Khi đú thỡ VTCP của AD là Vỡ . H là trung điểm của CC’ nờn (AM là trung tuyến từ A, M trung điểm BC) nờn tọa độ A là nghiệm của hệ: . Phương trỡnh AB qua A(9;-2) và C’(2;-1) nờn: M là trung điểm của BC nờn: Vậy: . A C A1 B1 H B C1 Bài tập 9: Cho tam giỏc ABC cú cả 3 gúc nhọn. Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh AC của tam giỏc, biết tọa độ chõn đường cao hạ từ A, B, C tương ứng là:, , Giải: Gọi H là trực tõm tam giỏc ABC thỡ: Từ tớnh chất của tứ giỏc nội tiếp, ta chứng minh được H là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc A1B1C1. Đường thẳng A1B1 cú phương trỡnh : Đường thẳng B1C1 cú phương trỡnh : Khi đú phương trỡnh cặp đường phõn giỏc gúc A1B1C1: Thay tọa độ của A1, C1 vào phương trỡnh của ta được: nằm về 2 phớa khỏc nhau của là phõn giỏc trong của gúc A1B1C1. Nờn BB1 là đường thẳng là phõn giỏc ngoài của gúc A1B1C1. Vậy AC cú phương trỡnh là : . ( Tương tự cỏc đường phõn giỏc ngoài của gúc B1A1C1, A1C1B1 tương ứng là cỏc đường thẳng BC, AB của tam giỏc ABC). Kết luận - Với mục đớch tự học và nõng cao trỡnh độ, nõng cao chất lượng giảng dạy cho học sinh trong trường phổ thụng, đồng thời cung cấp tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 10. Đề tài tôi đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập tương tự để vận dụng. - Đề tài đã được tôi áp dụng giảng dạy trong giờ học tự chọn bám sát tại lớp 10A10, 10A12 trường THPT Hồng Thái và thu được kết quả tôi xin trình bày trang sau. - Tuy vậy, trong quá trình viết, do thời gian và kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý của Hội đồng khoa học nhà trường THPT Hồng Thái – Đan Phượng – Hà Nội, Hội đồng khoa học Sở GD & ĐT Hà Nội. Tôi xin chân thành cảm ơn. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 1. Kết quả thu được Đề tài đó được tụi ỏp dụng trong quỏ trỡnh giảng dạy tự chọn bỏm sỏt lớp 10, được học sinh đồng tỡnh và đạt được kết quả, nõng cao khả năng tỡm điểm và phương trỡnh đường thẳng trong tam giỏc khi biết một số yếu tố liờn quan. Cỏc em hứng thỳ học tập hơn, khi đó quy bài toỏn hỡnh học về cỏc yếu tố giải tớch. Ở những lớp đó được giảng dạy và phõn loại bài toỏn cỏc em biết định hướng khi giải bài tập dạng này. Học sinh với mức học trung bỡnh khỏ trở lờn đó cú kỹ năng giải bài tập. Học sinh biết ỏp dụng tăng rừ rệt. Kết quả thu được cụ thể như sau : Lớp 10A10 Sĩ số 50 Khụng hiểu bài-khụng làm được bài tập Hiểu bài-làm được bài tập Học lực G K TB Y Trước khi thực hiện đề tài 71 % 29 % 5% 29% 53% 13% Sau khi thực hiện đề tài 24 % 76 % 10% 55% 28% 7% Lớp 10A12 Sĩ số 46 Khụng hiểu bài-khụng làm được bài tập Hiểu bài-làm được bài tập Học lực G K TB Y Trước khi thực hiện đề tài 74 % 26 % 4% 20% 58% 18% Sau khi thực hiện đề tài 28 % 72 % 8% 53% 30% 9% Như vậy sau khi chuyờn đề được ỏp dụng tụi thấy cỏc phương phỏp cú hiệu quả tương đối. Theo tụi khi dạy phần tỡm một số yếu tố của tam giỏc trong mặt phẳng Oxy giỏo viờn cần đưa thờm cỏc bài toỏn dạng tương tự để học sinh vận dụng và nắm được bài tốt hơn. 2. Bài học kinh nghiệm Qua việc nghiờn cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyờn đề, đồng thời tụi cú lấy ý kiến của học sinh cho thấy: Đối với giỏo viờn Sau nghiờn cứu và viết sỏng kiến xong tụi đó nắm rừ về phương phỏp tỡm cỏc yếu tố của tam giỏc khi biết cỏc yếu tố đặc biệt. Nắm chắc cơ sở lý luận về phương phỏp dạy học sinh “tỡm một số yếu tố của tam giỏc trong mặt phẳng Oxy” Đối với học sinh Học sinh hiểu rừ, cú phương phỏp và kĩ năng giải bài tập Rốn luyện khả năng phõn tớch, tỡm tũi lời giải, nghiờn cứu khai thỏc lời giải một bài toỏn. Như vậy, giỏo viờn khụng chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức của sỏch giỏo khoa mà cần chỳ ý phõn loại cỏc dạng toỏn, khỏi quỏt được cỏch giải cho mỗi dạng tạo hứng thỳ học tập cho học sinh. Mục lục Lời mở đầu 2 1. Lí do chọn đề tài: 2 2. Mục đích nghiên cứu: 2 3. Đối tượng nghiên cứu: 3 4. Giới hạn nghiên cứu: 3 5. Nhiệm vụ của đề tài: 3 6. Phương pháp nghên cứu: 3 Nội dung 4 Phần 1: Lí thuyết về điểm đường thẳng trong mặt phẳng 4 1. Vec tơ đặc trưng 4 2. Phương trình đường thẳng 4 3. Vị trí tương đối của đường thẳng 5 4. Góc giữa hai đường thẳng 5 5 Khoảng cách và phương trình đường phân giác 5 Phần 2: Điểm và đường thẳng đặc biệt trong tam giác. 6 Loại 1:Biết tọa độ 1 điểm và phương trình 2 đường cùng tính chất 6 Loại 2: Biết tọa độ 1 điểm và phương trình 2 đường khác tính chất 9 Loại 3: Biết tọa độ 1 số điểm và đường đặc biệt 12 Phần 3: Bài tập tổng hợp 17 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo Phương pháp giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng – Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí. Tuyển tập 750 bài tập toán hình học – Nguyễn Sinh Nguyên. Bài toán Thiết lập phương trình đường thẳng – Nguyễn Thanh Cảnh. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào ĐH, CĐ toàn quốc (2002 – 2010) – Trần Tuấn Diệp – Ngô Long Hậu – Nguyễn Phú Trường. Các tài liệu trên internet: Violet, VNmath.com, ebook.here.vn. Nhận xét của hội đồng giám khảo cấp trường: Nhận xét của hội đồng giám khảo cấp sở: