Tìm tập giá trị của hàm số không cần sử dụng đạo hàm

Tìm tập giá trị của hàm số không cần sử dụng đạo hàm Doãn Xuân Huy, giáo viên tr-ờng THPT Ân Thi,Hưng Yờn Ta có thể tìm tập giá trị (TGT) của hai loại hàm số sau mà không cần sử dụng tới phép toán đạo hàm: Hàm số thứ nhất: 2 2' ' ' ax bx c y a x b x c      (1) với 2 2 2' 0; 0a a b c    và 2' 4 ' ' 0b a c    . Hàm số thứ hai: 's ' ' asinx bcosx c y a inx b cosx c      (I) với 2 2 2 2 2 20 &0 ' ' 'a b c a b c      . 1/ Với hàm số thứ nhất, do 2' 4 ' ' 0b a c    và ' 0a  nên 2' ' ' 0a x b x c   Với x R  . Suy ra hàm số có tập xác định là R . Với mỗi x R ta sẽ có một giá trị của y t-ơng ứng; nh- vậy ph-ơng trình (1) luôn có nghiêm x với những giá trị của y thích hợp mà ta sẽ tìm sau này. Ta có 2(1) ( ' ) ( ' ) ' 0ya a x yb b x yc c       (2). Vì 2 2 2 0a b c   nên ta có 3 tr-ờng hợp sau: Trừơng hợp 1: Với 0; 0a b c   (1) trở thành: 2 0 ' ' ' c y y x R a x b x c        . (2) trở thành: 2' ' ' 0ya x yb x yc c    (3). (3) có nghiệm 2 2 2 1 ' 4 '( ' ) ( ' 4 ' ') 4 ' ( 4 ' ) 0y b ya yc c y y b a c a c y y a c              a/ Nếu a’c>0 thì 4 ' 4 ' 0 0; a c a c y G            là TGT của hàm số. b/ Nếu a’c<0 thì 4 ' 4 ' 0 ;0 a c a c y G            Tr-ờng hợp 2: Với 0; 0a b  (1) trở thành: 2' ' ' bx c y a x b x c     (2) trở thành: 2' ( ' ) ' 0ya x yb b x yc c     (4). a/ y=0 khi c x b   b/ Nếu 0y  thì (4) có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ' ) 4 '( ' ) ( ' 4 ' ') 2(2 ' ') 2 ( ) 0( ' 2 ' ) yb b ya yc c b a c y a c bb y b y D y b f y D bb a c                   The o giả thiết 2' 4 ' ' 0b a c    nên 2 23 1' 0D b     do đó ph-ơng trình ( ) 0f y  Có hai nghiệm 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2, ; ( ) 0 D D b D D b y y f y y y y                 Do  2 1 2 1 2(0) 0 0 ;f b y y G y y         Tr-ờng hợp 3: Với 2 ( ' ') ' ' 0.(1) (5) ' '( ' ' ') a a b ab x a c ac a y a a a x b x c          a/ Nếu ' ' ' ' ' a b c a a y G a b c a a             b/ Nếu 2 ' ' ' ' ' ' '( ' ' ') a b c a a c ac y a b c a a a x b x c         theo tr-ờng hợp 1 ta có: +/ Nếu a’c > ac’ thì 4( ' ') ; ' ' a a a c ac G a a       +/ Nếu a’c<ac’ thì 4( ' ') ; ' ' a a c ac a G a a        c/ Nếu ' ' a b a b  , theo tr-ờng hợp 2; trong (5) ta đặt ' ' ' ' ; ' ' a b ab a c ac B C a a     thì 1 2; ' ' a a G y y a a         với b và c trong th-ờng hợp 2 đ-ợc thay t-ơng ứng bằng B và C. 2/ Với hàm số thứ hai, từ điều kiện ta suy ra mẫu số khác 0 với mọi x nên tập xác định của hàm số là R. Với mỗi giá trị của x ta sẽ nhận đ-ợc một giá trị t-ơng ứng của y nên ph-ơng trình (I) luôn có nghiệm với những giá trị thích hợp của y mà ta sẽ tìm sau này. Ta có: ( ) ( ' )sin ( ' ) ' ( )I a y a x b y b cosx c c y II      . Vì (II) có nghiệm nên: 2 2 2 2 2 2( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 0a y a b y b c c y f y c c y b b y a a y             2 2 2 2 2 2 2( ) ( ' ' ' ) 2( ' ' ') 0( )f y c a b y cc aa bb y c a b III           Từ giả thiết: 2 2 2 2 2 20 ' ' ' ' ' ' 0& ' 0.a b c c a b c        Do 2 2 2 2 2 2 2 2( ' ' ' ) ( ) ( ' ' ' ) ( '. ) ( '. ) 0 ' ' ' c c c c a b f c a b a a b b c c c                Nên tam thức f(y) có hai nghệm: (III) có nghiệm là:  1 2 1 2;y y y G y y    . Rõ ràng nếu sử dụng đạo hàm thì ta không thể tìm đ-ợc TGT của hai hàm số tổng quát trên. Qua đó ta có thể thấy với một ph-ơng tiện bình th-ờng nh-ng hợp lý ta vẫn đạt đ-ợc những kết quả lớn. Ân Thi ngày 15/4/2003 1 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' & ( ' ' ' ; ' ( ' ') ( ' ') ( ' ') ) cc aa bb cc aa bb y y A A A c a b a c ac b c bc a b ab                    