Toán 11 - Chuong 4: Giới hạn dãy số

1 Chuong 4:GIỚI HẠN DÃY SỐ A / Lý thuyết: Nếu , lim 0 lim 0n n n nu v n v u      lim c c  lim limn nu L u L    33lim limn nu L u L   ;  lim , 0 0, limn n nu L u n L u L       2 11 1 1 ... 1 uS u u q u q q        1lim lim 0n n u u    3 1 1 1lim 0; lim 0; lim 0; n n n    lim 0nq  nếu 1q  *1 lim 0,k k Nn   lim 0k c n  3lim ; lim ; lim ; n n n      lim nq   nếu 1q  ; *lim ,kn k N   lim nu   , lim nv   lim nu   , lim 0nv L  lim 0nu L  , lim 0nv  lim nu lim nv lim .n nu v lim nu Dấu của L lim .n nu v Dấu của LDấu của v lim n n u v                                     B/ Bài Tập: Tìm các giới hạn sau: 1. 2 1lim 1 n n   2. 2 2 3 4 1lim 2 3 7 n n n n      3. 3 3 4lim 5 8 n n n    4.     3 2 1 3 2 lim 6 1 n n n n    5. 2 1lim 2 n n   6. 2 4lim 3 2 n n n    7.    3 2 1 lim 6 1 n n n   8. 3 2lim 1 n n   9.      2 3 2 1 3 2 lim 6 1 n n n n    10. 2 1lim 2 3 n n   11. 2 1lim 2 2 n n    12. 1lim 1 n n   13. 2lim 1 n n n    14. 3 3 2lim 2 n n n    15. 3 3 2 1 1lim 3 2 n n     16. 32 3 2 1lim 1 3 n n n n n n      17.  lim 1n n  18.  2 2lim 5 1n n n n    19.  2lim 3n n  20.  2 2lim 3 2 1 3 4 8n n n n     21.  2lim 4n n n  22.  lim 1n n  23.  3 2 3lim n n n  24.  3 3lim 1n n  25. 3 3 2 1lim 1 n n n n     26.  3 3 2 2lim 3 1 4n n n n    27. 1 4lim1 4 n n   28. 1 2 3 4lim 3 4 n n n n     29. 3 4 5lim 3 4 5 n n n n n n     30. 1 1 2 6 4lim 3 6 n n n n n      31. 2 2 3 4 1lim 2n n n n    32. sinlim 1 n n   33. 2 sin10 cos10lim 2 n n n n   34. 2 1 3 5 ... (2 1)lim 3 4 n n       35. 2 1 2 3 ...lim 3 n n      36. 1 1 1lim ... 1.2 2.3 ( 1)n n        37. 1 1 1lim ... 1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n         38. 2 2 2 21 2 3 ...lim ( 1)( 2) n n n n       Tính các tổng sau:1. 1 11 ... 2 4 S     2. 1 1 11 ... 3 9 27 S      3. 2 31 0,1 (0,1) (0,1) ....S      4. 2 32 0,3 (0,3) (0,3) ....S      2 GIỚI HẠN HÀM SỐ A/Lý thuyết : 0 0limx x x x  0 lim x x C C   1lim 0 x x  1lim 0kx x  lim k x x    , 2 lim , 2 1 k x k l x k l              0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x L f x f x L           0 lim x x f x    0 lim x x g x      0 lim . x x f x g x    0L      0L    B/ Bài tập: 1. Ñeå tính . Ta laøm nhö sau:  Phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû . Sau ñoù giaûn öôùc nhaân töû chung :  Neáu u(x) vaø v(x) chöùa bieán soá döôùi daáu caên ,thì coù theå nhaân töû vaø maãu vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ,tröôùc khi phaân tích chuùng thaønh tích ñeå giaûn öôùc .  Moät soá bieåu thöùc lieän hôïp thöôøng duøng : * Chuù yù : Trong (**) neáu A(x0)=B(x0)=0 ,ta laïi phaân tích tieáp chuùng thaønh : ** Các Dạng Thường gặp Giới hạn của hàm số dạng:     0lim 0x a f x g x       o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2. o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. Tính caùc giôùi haïn: 1. 4 6lim 2 2 2    x xx x 2. 1 23lim 23 3 1    xxx xx x 3. 20 16lim 2 2 4    xx x x 4. 8 4lim 3 2 2    x x x 5. 3 34lim 2 3    x xx x 6. 9 3lim 23    x x x 7. x x x 2 121lim 0   8. 4 23lim 22    x xx x 9. x x x 2 121lim 0   10. 39 4lim 0  x x x 11. 33 223lim 1    x xx x   0 lim x x f x    0 lim x x g x  Dấu của g(x)    0 lim x x f x g x L  Tuỳ ý 0 +  L>0 -  +  L<0 0 -  3 12. 2 24lim 3 2    x x x 13. 32 372lim 1    x x x 14. 34 472lim 31    xx xx x 15. 25 32lim 2 3 5    x x x 16. 1 1lim 3 1    x x x 17. 22 2lim 2 2 2    xx x x 18. 33 276lim 23 24 3    xxx xx x 19. 314 2lim 2    x xx x 20. 43 42lim 2 23 1    xx xxx x 21. 45 32lim 1    xx xx x 22. 33 3 2 0 232 11lim    xx x x 23. x xxx x 11lim 2 0   25. 23 2423lim 2 2 1    xx xxx x 26. x x x 3 0 11lim   27. 3 34lim 2 3    x xx x 28. xxx xx x    23 2 3 )1)(1(lim 29. x x x 3 11lim 3 0   30. 62 23lim 2 2 2    xx xx x 31. x x x    51 53lim 4 32. 23 1lim 2 3 1    x x x 33. 1 12lim 2 23 1    x xxx x 34. 2 321lim 4    x x x 35. 23 1lim 2 3 1    x x x Giới hạn của hàm số dạng:     lim x f x g x      Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x  thì coi như x>0, nếu x  thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. 1. 32 1lim 2    x x x 2. 2 1lim 2 3    x xx x 3. 1 12lim 3 25    x xx x 4. 53 132lim 2 2    xx xx x 5. 3)43( )41)(12)(2(lim    x xxx x 6. 16 83lim 4 2    xx xx x 7. 53 734lim 2 3    xx xx x 8. 3 3 2 1 32lim    xx xx x 9. 13 14lim 2    x x x 10. 12 32lim 3 2    xx x x 11. xx xxx x    214 4132lim 2 2 12. 1 12419lim 22    x xxxx x Giới hạn của hàm số dạng:      lim - x f x g x        o Đưa về dạng:         lim x f x g x f x g x   1. )(lim 3 23 xxx x   2. )34412(lim 2   xxx x 3. )(lim 2 xxx x   4.          31 1 3 1 1lim xxx 5. )3(lim 3 32 xxx x   6. )1(lim 2   xx x 7. )11(lim 22   xxxx x 8.          65 1 23 1lim 222 xxxxx Daïng : Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá löôïng giaùc: Cho bieát : 1sinlim 0   x x x 1. x x x 2 5sinlim 0 2. 11 2sinlim 0  x x x 3. xx x x sin 2cos1lim 0   4. 20 2 4cos1lim x x x   5. 30 sinlim x xtgx x   6. x x x 5cos1 3cos1lim 0    7. xtg x x 20 cos12lim   8. x xx x 2 2 0 sin cossin1lim   9. 2 2 0 3 sin lim x x x 10. x xtg x 2 3lim 0 11. 20 6cos1lim x x x   12. x x x cos21 3 sin lim 3            Giới hạn của hàm số dạng:      lim . 0. x f x g x      . Ta biến đổi về dạng:      Ứng dụng của tính liên tục để xét nghiệm của pt ( ) 0f x  . Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Chứng tỏ f(a).f(b)<0 4 Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b). Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm. Chú ý. Pt ( ) 0f x  có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b) nếu: + f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. + f(a).f(b) < 0. a) 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm b) 4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1). c) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt. d) x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2). e) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2]. f) Chứng minh phương trình 3 1 0x x   có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. g) Chứng minh phương trình cos3 3 1x x  có nghiệm. **. Bài Tập Rèn Luyện. 1. 2 3 9lim 3x x x   2.  2 1 lim 3 1 x x x    3. 2 3 9lim 4x x x   4. 2 2 2 9lim 4x x x   5. 2 lim x x  6.   2 lim 3 x x   7.  2 2 lim 2 3 5 x x x     8.    0 lim 3 2 x x x    9. 1 5 2lim 1x x x   10. 2 2 3 1lim 1x x x x    11. 2 5 2 1lim 1x x x x     Tìm các giới hạn sau: 1.  3lim 2 x x x   2.  3lim 2 x x x   3. 2 2 5 3 1lim 2 3x x x x    4. 2 2 5 3 1lim 2 3x x x x    5. 4 2 4 5 1lim 2 3x x x x    6. 4 2 4 5 1lim 2 3x x x x    7. 2 3 1lim 2 3x x x   8. 2 3 1lim 2 3x x x   9. 2 3 3 1lim 2 5x x x   10. 2 3 3 1lim 2 5x x x   11. 2 2 2lim 1x x x x    12. 2 2 2lim 1x x x x    13. 2lim 2 x x x   14. 2lim 2 x x x   15. 24 1lim 3 1x x x   16. 4 2 3 5lim 2 4 5x x x x x x     17. 2 2 3 4lim 4 1x x x x x     18. 2 29 1 4 2lim 1x x x x x     19.  23 5 2lim 3x x x   20.  23 2 3lim 3x x x        21. 3 5 2lim 3x x x   22. 3 5 2lim 3x x x   23. 2 2 5 2lim 2x x x x    24. 2 2 5 2lim 2x x x x    Tìm các giới hạn sau: Cho hàm số :   22 3 1 , 2 3 7 , 2 x x xf x x x         Tìm: 1.   1 lim x f x  2.   3 lim x f x  3.   2 lim x f x  Cho hàm số :   21 2 , 1 5 4 , 1 x x f x x x        1.   0 lim x f x  2.   3 lim x f x  3.   1 lim x f x  Tìm các giới hạn sau. 1. 2 3 2 15lim 3x x x x    2. 2 21 2 3lim 1x x x x    3. 2 22 3 2lim 2x x x x x    4. 2 22 3 2lim 6x x x x x     5. 3 2 21 1lim 3 2x x x x x x      6. 4 4 lim x a x a x a   7.   2 2 0 lim h x h x h   8. 4 2 3 23 6 27lim 3 3x x x x x x      9. 5 31 1lim 1x x x   10. 1 1lim 1 m nx x x   11.   6 5 21 4 5lim 1x x x x x    12. 1 1lim 1x x x   13. 23 1 2lim 9x x x    14. 21 2 3lim 1x x x    15. 22 4 1 3lim 4x x x    16. 22 2 5 7lim 2x x x x x     17. 3 2 4 2lim 2x x x   18. 3 21 1lim 1x x x   19. 2 2lim 4 1 3x x x x     20. 3 0 1 1lim 3x x x   21. 3 21 1lim 3 2x x x    22. 3 1 7 2lim 1x x x    23. 3 1 1lim 1x x x   24. 3 0 1 1lim x x x x    25. 0 1 4 3lim x x x x     26.   3 2 3 21 2 1lim 1x x x x    27. 0 9 16 7lim x x x x     28.  2limx x x x   29.  2lim 2 1 4 4 3x x x x     30.  3 3lim 1x x x   5 31.  2 2lim 1 1x x x x x      32. xlim ( xxx 52  ) 33. xlim ( 122  xxx ) 34.  32 3lim . 1x x x x   35.  3 33 2 3lim 5 8x x x x x    36. 21 2 1lim 1 1x x x      37. 31 1 3lim 1 1x x x      HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC Xét tính liên tục của hàm số dạng:         0 0 x x a x=x g x f x      Tìm   0 lim x x g x     .Hàm số liên tục tại x0   0 lim x x g x a      . Xét tính liên tục của hàm số dạng:             0 0 0 x<x x=x x>x g x f x a h x       Tìm :           0 0 0 0 0 lim lim lim lim x x x x x x x x f x g x f x g x f x                            . Hàm số liên tục tại x = x0       0 0 0lim limx x x xf x f x f x a             . Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 1. (x) = 2 9 3 3 6 3 x khi x x khi x       tại x0=3 2.f(x) = 2 25 5 5 9 5 x khi x x khi x       tại x0=5 3. f(x)= 5 14   x xx tại x0 = 5 2. 4.   2 3 2 2 7 5 khi 2 3 2 1 khi 2 x x x xf x x x x          tạix0=2 5.   3 3 2 khi 1 1 4 khi 1 3 x x x xf x x            tại x0= -1 6.   1 2 3 khi 2 2 1 khi 2 x xf x x x          tại x0=2 7.   3 3 2 2 khi 2 2 3 khi 2 4 x x xf x x          tại x0=2 8.   2 khi 4 5 3 3 khi 4 2 x x xf x x         tại x0=4 9.   2 +4 2 2 1 2 x khi xf x x khi x       tại x0=2 10.   4 2 1 1 3 2 1 x x khi x f x x khi x           tại x0= -1 11.   2 0 1 0 x khi x f x x khi x       tại x0=0 12.   5 khi 5 2 1 3 3 khi 5 2 x x xf x x         tại x0=5 13.   3 22 1 2 x xf x x     tại x0=2 Chứng minh các hàm số 6 1.   2 2 3 khi 1 1 4 khi 1 x x xf x x x        liên tục trên R 2.   3 3 2 khi 1 1 4 khi 1 3 x x x xf x x            liên tục trên R 3.   2 2 7 4 khi 3 5 6 3 khi 3 4 x x x xf x x          liên tục trên  \ 2R tìm a để hàm số liên tục trên R 1.   2 1 2 3 1 x khi xf x ax khi x       2.     2 2 2 1-a 2 a x khi x f x x khi x     3.   2 4 2 2 a 2 x khi xf x x khi x        4.   3 2 khi 1 1 a+1 khi 1 x xf x x x          tại x0=1 5. f(x) = 2 2 2 2 4 2 x khi x x a khi x         tại x0=2 6.   1 1 khi 1 1 4 -a khi 1 2 x x x xf x x x             tại x0=1 7.   3 3 2 2 khi 2 2 1 khi 2 4 x x xf x ax x           tại x0=2 Cho haøm soá f(x) = 3 22 5 0 4 1 0 x x khi x x khi x        Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá treân taäp xaùc ñònh cuûa noù.(Ñs:giaùn ñoïan taïi x = 0). Cho haøm soá f(x) = 2 2 3 2 ax khi x khi x     Tìm a ñeå haøm soá lieän tuïc taïi x=2, veõ ñoà thò haøm soá vôùi a tìm ñöôïc. Chöùng minh raèng phöông trình x3 + 3x2 +5x-1= 0 coù ít nhaát 1 nghieäm trong khoaûng (0;1) Chöùng minh raèng phöông trình x3-3x+1= 0 coù 3 nghieäm phaân bieät. Chöùng minh raèng phöông trình x5-3x4 +5x-2= 0 coù ít nhaát 3 nghieäm phaân bieät naèm trong khoaûng (-2 ;5 ) 7