Toán 12 – Hình học không gian

Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 1 CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc a biết 1 cos 6 a = (Đại học khối A – 2006) Giải a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ thì tọa độ các điểm là: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M( 1 2 ; 0; 0), N( 1 2 ; 1; 0) Ta có ( ) ( ) 1 A 'C 1;1; 1 ,MN 0;1;0 ,A 'M ;0; 1 2 ỉ ư = - = = - ç ÷ è ø uuuur uuuur uuuuur ( ) ( ) 2 2 2 A'C,MN 1;0;1 1 1 A 'C,MN .A 'M 1 2 d A 'C,MN 2 2 1 0 1 A 'C,MN é ù = ë û - é ù ë û Þ = = = é ù + + ë û uuuur uuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur 1 b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos 6 a a = A 'C có qua A'(0;0;1) VTCP là A'C (1;1; 1) x - y 0 x y z 1 nên pt chính tắc A'C là pt tổng quát A'C là y z 1 0 1 1 1 Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì mp (P) chứa A'C nên pt mp (P) dạng = - = ì - = = Þ í + - = - ỵ uuuur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Oxy 2 2 2 2 2 2 2 2 1 A x - y B y z -1 0 A B 0 Ax B A y Bz B 0 Mp Oxy có pt là z 0 n 0;0;1 B 1 Ycbt cos cos (P),(Oxy) 6 A B A B A 2B 6B 2A 2AB 2B A AB 2B 0 A B A 2B. Chọn B 1,A 2 pt mp (P ) :2x y z 1 0 A B. + + = + ¹ Û + - + - = = Þ = Þ a = = = + - + = é Û = - + Û - - = Û ê = - ë - = = = Þ - + - = - = - uuuur 2 Chọn B 1,A 1 pt mp (P ) :x 2y z 1 0 = - = Þ - - + = z A B(1; 0; 0) C D(0; 1; 0) A’(0; 0; 1) B’ C’ D’ y x M N Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 2 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2 x 1 2t x y 1 z 2 d : và d : y 1 t 2 1 1 z 3 = - + ì - + ï = = = + í - ï = ỵ a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1 và d2. (Đại học khối A – 2007) Giải a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. ( ) ( ) 1 2 d qua A(0;1; 2) có VTCP là a (2; 1;1),d qua B( 1;1;3) có VTCP là b (2;1;0) Ta có : a, b 1;2;4 0 a và b không cùng phương (1) AB -1;0;5 , a, b .AB 1 0 20 21 0 3 vectơ a, b - = - - = é ù = - ¹ Þ ë û é ù = = + + = ¹ Þ ë û r r r r r r r uuur r r uuur r 1 2 , AB không đồng phẳng (2) Từ (1) & (2) d và d chéo nhau Þ r uuur b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1 và d2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 x 2y 2 0 x 2y 3 0 Ta có PTTQ của d : ,d : y z 1 0 z 3 0 chứa d chứa d Ta có d mp : ,d mp : P P Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng : A x 2y 2 B y z 1 0 A B 0 Ax 2A B y Bz 2A B + - = - + = ì ì í í + + = - = ỵ ỵ a b ì ì ï ï Ì a Ì b í í a ^ b ^ ï ï ỵ ỵ - a a a + - + + + = + ¹ Û + + + - + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P 2 2 2 P 0 Ycbt n .n 0 7A 2A B 4B 0 9A 3B 0 B 3A Chọn A 1 B 3 : pt : x 5y 3z 1 0 Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng : M x 2y 3 N z 3 0 M N 0 Mx 2My Nz 3M 3N 0 Ycbt n .n 0 7M 2M 4N 0 5M 4N 0 Chọn a b Þ = Û + + - = Û - = Û = = Þ = a + + + = - b b b - + + - = + ¹ Û - + + - = Þ = Û - - = Û - = uur uur uur uur ( ) ( ) ( ) 1 2 M 4 N 5 : pt : 4x 8y 5z 3 0 x 5y 3z 1 0 Vậy ptđt d: 4x 8y 5z 3 0 Ro õ ràng : d cắt d tại M 2;0; 1 ,cắt d tại N 5; 1;3 nên ta nhận pt đt d trên = Þ = b - + - = + + + = ì í - + - = ỵ - - - 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng: 1 2 x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1 d : ,d : 2 1 1 1 2 1 - + - - - + = = = = - - a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1. b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. (Đại học khối D – 2006) Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 3 Giải a) Tìm tọa độ A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 ( ) 1 1 P d1 Trước tiên ta tìm H - hình chiếu vuông góc của A lên d Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d thì (P) có VTPT là n =a = 2; 1;1 Vậy pt mp (P) dạng : 2x y z m 0. Vì (P) q - - + + = uur uur ( ) ( ) A A ' H A A ' H A A ' H ua A(1;2;3) nên 2 2 3 m 0 m 3 2x y z 3 0 Vậy pt mp (P) là : 2x y z 3 0 H thỏa H 0; 1;2 x 2 y 2 z 3 2 1 1 x x 2x H là trung điểm của AA' nên y y 2y A ' 1; 4;1 z z 2z - + + = Û = - - + - = ì ï - + - = Þ Û - í - + - = = ï ỵ - + = ì ï + = Û - - í ï + = ỵ b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 (P) qua A (Q) chứa d mp P , mp(Q) (P) d (Q) qua A 2x y 3 0 Viết pt mp (Q) : Ta có PTTQ của d : x z 0 Vì (Q) chứa d nên pt mp (Q) dạng : A 2x y 3 B x z 0 A B 0 2A B x Ay Bz 3A 0 (Q) qua A(1;2; ì ì D Ì D Ì í í ^ ỵ ỵ + - = ì í + = ỵ + - + + = + ¹ Û + + + - = ( ) 2 3) nên 2A B 2A 3B 3A 0 A 4B 0 Chọn B 1,A 4, ta được pt mp (Q) : 7x 4y z 12 0 2x y z 3 0 Vậy pt đt : 7x 4y z 12 0 Ro õ ràng cắt d tại M 2; 1; 2 nên nhận pt đt trên + + + - = Û + = = - = + - - = - + - = ì D í + - - = ỵ D - - D 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B1(-a;0;b), a>0, b>0 a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a và b. b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn a+ b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 đạt giá trị lớn nhất. (Đại học khối D – 2004) Giải a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 B1 B C1 C C1 B1 B C1 C C1 1 B1 B C1 C C1 1 1 1 1 ABC.A B C là hình lăng trụ đứng nên ta có : BB CC x x x x x 0 y y y y y 1 C 0;1; b z z z z z b B C a;1; b ,AC a;1; b , B C,AC 2b; 0; = - = - = ì ì ï ï Û - = - Û = Þ í í ï ï - = - = ỵ ỵ é ù = = - = ë û uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2a ,AC a;1;0 B C,AC .AC 2ab ab d B C,AC 4a 4b a b B C,AC = - é ù - ë û = = = é ù + + ë û uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 4 b) Tìm a và b để khoảng cách giữa hai đường thẳng trên đạt giá trị lớn nhất 2 2 2 2 max Áp dụng BĐT Cau chy : a b 2 ab ab ab 1 1 a b nên a b 2ab ab 2(Vì a b 4) 2 2ab 2 2 a b Vậy d 2 khi a b 2 + ³ + + ³ Þ £ = £ = + = + = = = 5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng x 2y z 9 0 d 2y z 5 0 - + - = ì í + + = ỵ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, cắt đường thẳng d theo 1 dây cung AB có độ dài bằng 16 Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 pt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R là : x 1 y 1 z 1 R AB Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB. Vậy R IA IH HA với HA 8; IH d I,d 2 x z 9 x 14 Trong đt d cho y 0, ta được M 14 z 5 z 5 - + - + - = ^ = = + = = = + = = ì ì = Û Þ í í = - = - ỵ ỵ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d 1 2 d 2 d d d ; 0; 5 d IM 13; 1; 6 n 1; 2;1 d có cặp VTPT là d có VTCP là a n ,n 4; 1;2 a 16 1 4 21 n 0;2;1 a ,IM 8; 2; 17 a ,IM 64 4 289 357 a ,IM IH - Ỵ Þ = - - ì = - ï é ù Þ = = - - Þ = + + = í ë û = ï ỵ é ù é ù = - - - Þ = + + = ë û ë û = uuur uur uur uur uur uur uur uur uuur uur uuur uur u ( ) ( ) ( ) 2 d 2 2 2 357 17 R 17 64 81 21 a Vậy pt mc (S) là x 1 y 1 z 1 81 é ù ë û = = Þ = + = - + - + - = uur uur 6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;1;1), mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 = 100. Viết phương trình đường thẳng d qua M, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo dây AB thỏa MA = MB. Giải ( ) ( ) = < Þ Ì = = ^ = = uur uuuur uur uur P d P Mặt cầu (S) có tâm O, bán kính là 10, OM 3 R M ở trong mặt cầu Vì d mp(P) nên n 1;2;3 là 1 VTPT của d MA MB nên OM AB nên OM 1;1;1 là 1 VTPT của d Vậy d có VTCP là a n ( ) ( ) - - - é ù = - - = = ë û - - uuuur x 1 y 1 z 1 ,OM 1;2; 1 mà d qua M 1;1;1 nên pt đt d : 1 2 1 7) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng x 1 y 2 z : 1 1 2 - + D = = - a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất. (Đại học khối D – 2007) Giải Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 5 a) Viết phương trình đường thẳng d qua G, vuông góc mp(OAB) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O A B G O A B G O A B G d x x x x 0 3 y y y G là trọng tâm OAB nên G thỏa y 2 G 0;2;2 3 z z z x 2 3 mp(OAB) có cặp VTCP là OA 1;4;2 ,OB 1;2;4 n 12; 6;6 6 2; 1;1 d mp(P) nên a n 2; 1;1 mà d + + ì = = ï ï + + ï D = = Þ í ï + + ï = = ï ỵ = = - Þ = - = - ^ = = - uuur uuur r uur r x y 2 z 2 qua G nên pt đt d : 2 1 1 - - = = - b) Tìm MỴD để MA 2 + MB 2 nhỏ nhất ( ) 2 2 2 2 2 2 P AB Gọi E là trung điểm của AB thì MA MB 2ME 2 Vậy MA MB min ME min M H hình chiếu của E lên đt E là trung điểm AB nên E 0;3;3 ;Gọi (P) là mp qua E và vuông góc đt thì n a D + = + + Û Û º - D D = = uur uur ( ) ( ) 1;1;2 pt mp (P) : x y 2z m 0.(P) qua E nên 3 6 m 0 m 9 pt mp (P) : x y 2z 9 0 x 1 x y 2z 9 0 Vậy H thỏa y 0 M 1;0;4 x 1 y 2 z z 4 1 1 2 - Þ - + + + = + + = Û = - Þ - + + - = = - ì - + + - = ì ï ï Û = Þ - í í - + = = ï ï = - ỵ ỵ 8) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : 1 2 x 1 t x 2y z 4 0 : và : y 2 t x 2y 2z 4 0 z 1 2t = + ì - + - = ì ï D D = + í í + - + = ỵ ï = + ỵ a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 và song song với đường thẳng D2. b) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. (Đại học khối A – 2002) Giải a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 và song song với đường thẳng D2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 n 1; 2;1 có cặp VTPT là có VTCP là a = n ,n 2;3;4 n 1;2; 2 x 2y 4 x 0 Trong cho z 0, ta được qua A 0; 2;0 x 2y 4 y 2 Vì mp (P) chứa nên a = 2;3;4 la ì = - ï é ù D Þ D = í ë û = - ï ỵ - = = ì ì D = Û Þ D - í í + = - = - ỵ ỵ D uur uur uur uur uur uur ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 ø 1 VTCP của (P) (P) có VTPT là n a ,a 2;0; 1 mp (P) // nên a = 1;1;2 là 1 VTCP của (P) pt mp (P) dạng : 2x z m 0. (P) qua A 0; 2;0 nên m 0. Vậy pt mp (P) là : 2x z 0 ü ï é ù Þ = = - ý ë û D ï þ Þ - + = - = - = r uur uur uur b) Tìm H Ỵ D2 để MH nhỏ nhất. Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 6 ( ) 2 2 2 Q 2 Kẻ ME . Ta có ME MH. Vậy MH min MH ME H E hình chiếu của M xuống Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với thì (Q) có VTPT là n a 1;1;2 pt mp (Q) dạng : x y 2z m 0. Vì (Q) qua ^ D £ Û = Û º - D D = = Þ + + + = uur uur ( ) ( ) M 1;2;4 nên m 11 Vậy pt mp (Q) : x y 2z 11 0 x 1 t x 2 y 2 t H thỏa : y 3 H 2;3;3 z 1 2t z 3 x y 2z 11 0 = - + + - = = + ì = ì ï = + ï ï Û = Þ í í = + ï ï = ỵ ï + + - = ỵ 9) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’. a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b) Xác định tỉ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. (Đại học khối A – 2003) Giải a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M Tọa độ của các điểm là : A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0) A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a; b 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 BDA'M b Ta có : BD a;a;0 ,BA ' a;0; b ,BM 0;a; 2 a b 3a b BD,BA' ab;ab;a , BD,BA' .BM a b 2 2 1 1 3a b a b V BD,BA' .BM 6 6 2 4 ỉ ư = - = - = ç ÷ è ø é ù é ù = = + = ë û ë û é ù = = = ë û uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur b) Xác định tỉ số a b để 2 mp (A’BD) và (MBD) vuông góc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 (A'BD) có cặp VTCP A 'B a;0; b ,A 'D 0;a; b 2 (A 'BD) có VTPT n A 'B,A 'D ab;ab;a a b;b;a 1 b (MBD) có cặp VTCP MB 0; a; ; BD a;a;0 2 (MBD) có VTPT n MB - = - = - é ù Þ = = = ë û - ỉ ư - = - = - ç ÷ è ø Þ = uuuur uuuur uur uuuur uuuur uuur uuur uur uuur ab ab b b 2 ,BD ; ; a a ; ; a 2 2 2 2 2 2 b a b b a 2 2 2 Để 2 mp trên vuông góc thì n .n 0 a 0 b a 0 1 1 2 b a(loại a, b 0) 2 2 b a KL : 1 thì 2 mp(A'BD) và (MBD) vuông góc b ỉ ư ỉ ư é ù = - = - ç ÷ ç ÷ ë û è ø è ø = é = Û + - = Û - = Û Û = ê = - > ë = uuur uur uur A B(a; 0; 0) C D(0; a; 0) A’(0; 0; b) B’ C’ D’ y x M z Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 7 10) Tìm m để hai mặt phẳng sau song song : mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 và mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0 Giải ( ) ( ) ( ) ( ) P Q 2 2 P Q P Q 2 2 Ta có : n 2;m;3 và n m 3;2;5m 1 Để mp(P) // mp (Q) thì n // n n ,n 0 5m m 6; 7m 7;4 m 3m 0;0;0 5m m 6 0 7m 7 0 m 1 4 m 3m 0 Với m 1: mp(P) : 2x y 3z 5 0,mp(Q) : 4x 2y 6z = = + + é ù Û = Û + - - + - - = ë û ì + - = ï Û - + = Û = í ï - - = ỵ = + + + = + + - uur uur uur uur uur uur 10 0 \ Nhận thấy mp (P) // mp (Q) nên nhận m 1 = = 11) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : ( ) 2S abc a b c ³ + + (Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003) Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là : A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 BCD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC c; b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc 1 1 S BC,BD a b a c b c 2 2 đpcm a b a c b c abc(a b c) a b a c b c abc(a b c) Theo BĐT Cauchy ta được : a b +b c 2ab c b c +c a é ù = - = - = ë û é ù = = + + ë û Û + + ³ + + Û + + ³ + + ³ uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)(đpcm) c a a b 2ca b ü ï ³ + + ³ + + ý ï + ³ þ 12) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất. (Đại học khối B – 2007) Giải a) Viết phương trình mp (Q) chứa Ox, cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3 ( ) 2 2 M.cầu (S) có tâm I(1; 2; 1), bán kính R 1 4 1 3 3 y 0 mp (Q) chứa trục Ox nên pt mp (Q) dạng : Ay Bz 0 A B 0 z 0 Vì mp (Q) cắt (S) theo 1 đường tròn bán kính bằng 3 nên (Q) phải qua tâm - - = + + + = = ì + = + ¹ í = ỵ I của m.c Vậy 2A B 0. Chọn A 1,B 2, ta được pt mp (Q) : y 2z 0 - - = = = - - = z y x A B C D Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 8 b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp (P) là max ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp (P). d cắt m.c tại A và B. Nếu d A,mp(P) d B,mp(P) thì d M,mp(P) max khi M A x 1 y 2 z 1 d có VTCP là a 2; 1;2 ,qua I nên ptđt d là 2 1 2 Gọi l > º - + + = - = = - a r ( ) ( ) ( ) ( ) 1 à tiếp diện của m.c (S) và // mp (P) thì pt dạng: 2x y 2z m 0 m 2 9 m 7 2 2 2 m Để tiếp xúc m.c (S) đk là d I,mp( ) R 3 m 2 9 m 2 9 m 11 4 1 4 Với m 7, ta có pt : 2x y 2z 7 0. d cắt a - + + = + = = + - + é é a a = Û = Û + = Û Û ê ê + = - = - + + ë ë = a - + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2x y 2z 7 0 tại A thỏa hpt A 1; 1; 3 x 1 y 2 z 1 2 1 2 2x y 2z 11 0 Với m 11, ta có pt : 2x y 2z 11 0. d cắt tại B thỏa hpt B 3; 3;1 x 1 y 2 z 1 2 1 2 2 1 6 14 Ta có d A,mp(P) 7, 4 1 4 - + + = ì ï a Þ - - - í - + + = = ï - ỵ - + - = ì ï = - a - + - = a Þ - í - + + = = ï - ỵ - + - - = = + + ( ) ( ) ( ) 6 3 2 14 d B,mp(P) 1. 4 1 4 Vậy d M,mp(P) max khi M A 1; 1; 3 + + - = = + + º - - - 13) Tìm a, b để 3 mặt phẳng sau cùng chứa một đường thẳng : Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0 Giải 3x 2y z 3 0 Gọi d là giao tuyến của mp (Q) và mp (R) thì pt đt d là : x 2y 2z 5 0 Để 3 mp trên cùng chứa 1 đt thì mp (P) phải chứa đường d 9 5 Ta thấy đường d qua 2 điểm : A 4; ;0 ,B 2 - + - = ì í - - + = ỵ ỉ ư ç ÷ è ø 11 ; ;1 2 4 9 20 a b 0 a 2 2 Để mp (P) chứa đường d thì A,B mp(P) 25 11 b 11 a 4 b 0 2 4 ỉ ư ç ÷ è ø ì + + = ï = - ì ï Ỵ Þ Û í í = - ỵ ï + + + = ï ỵ 14) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : 1 2 x 1 t x 2 t : y t và : y 4 2t z 4t z 1 = - = - ì ì ï ï = = + í í ï ï = = ỵ ỵ d d Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) : y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. (Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng – 2007) Giải Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 Gọi A d P , ta thế x,y,z vào pt mp (P) : t 8t 0 t 0 A 1;0;0 Gọi B d P , ta thế x,y,z vào pt mp (P) : 4 2t 2 0 t 3 B 5; 2;1 d (P) cắt cả d và d nên d qua A và B. Với VTCP AB 4; 2;1 , ta được = + = Û = Þ = + + = Û = - Þ - Ì = - I I uuur x 1 y z pt đt d : 4 2 1 - = = - 15) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm O, A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh bên SA. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM. b) Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tính thể tích khối tứ diện SCMN. (Đại học Sài Gòn – Khối A – 2007) Giải a) Khoảng cách giữa SC và DM Ta có tọa độ các điểm S(0;0;2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SC 2;0; 2 2 ,DM 1;1; 2 ,SD 0; 1; 2 2 , SC,DM 2 2;0; 2 SC,DM .SD 4 2 4 2 2 6 Vậy d SC,DM 3 12 2 3 SC,DM é ù = - - = = - - = - ë û é ù ë û = = = = é ù ë û uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur b) Tính VSCMN. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mp(CDM) có cặp VTCP là CD 2; 1;0 ,CM 3;0; 2 (CDM) có VTPT là n CD,CM 2; 2 2;3 pt(CDM) dạng : 2x 2 2y 3z m 0 (CDM) qua C 2;0;0 nên m 2 2 pt CDM : 2x 2 2y 3z 2 2 0 SB 0;1; 2 2 pt đ = - = é ù = = - - Þ - - + + = ë û - = - Þ - - + - = = - Þ uuur uuuur r uuur uuuur uur { } ( ) ( ) ( ) ( ) SCMN x 0 1 t SB: y 1 t .Vì N SB CDM nên ta có tọa độ N 0; ; 2 2 z 2 2t 1 SC 2;0; 2 2 ,SM 1;0; 2 ,SN 0; ; 2 , SC,SM 0;4 2;0 , SC,SM .SN 2 2 2 1 V SC,SM . 6 ì = ï ỉ ư = + = í ç ÷ è ø ï = - ỵ ỉ ư é ù é ù = - - = - = - = = ç ÷ ë û ë û è ø é ù = ë û I uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 2 SN .2 2 (đvtt) 6 3 = = uuur 16) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;-3), đường thẳng d : x 3 y 1 z 5 2 1 2 - - - = = và mặt phẳng (P) : x + y – z – 1 = 0. a) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3 . (Cao đẳng kinh tế – 2007) Giải a) Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc d và // (P) Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d P d P d nên có 1 VTPT là a 2;1;2 // mp(P) nên có 1 VTPT là n 1;1; 1 có VTCP là a a ,n 3;4;1 x 2 y 1 z 3 qua A 2;1; 3 nên pt đt : A P nên //(P) 3 4 1 D D ^ D = D D = - é ù Þ D = = - ë û - - + D - D = = Ï D - uur uur uur uur uur b) Tìm tọa độ M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 x 3 2t Ta có pt đt d y 1 t .Vì M d nên M 3 2t;1 t;5 2t z 5 2t t 2 3 t 5 3 2t 1 t 5 2t 1 d M,mp(P) 3 t 2 3 t 2 3 t 1 1 1 1 Vậy M 13;6;15 ,M 1;0;3 = + ì ï = + Ỵ + + + í ï = + ỵ - = = + + + - - - é é = = Û - = Û Û ê ê - = - = - + + ë ë 17) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – y + z + 3 = 0 và hai điểm A(-1;-3;-2) ; B(-5;7;12). a) Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). b) Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA + MB (Dự bị 2 – Đại học khối A – 2002) Giải a) Tìm A’ – đối xứng với A qua (P) ( ) Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mp (P) thì x 1 y 3 z 2 pt đt d : 1 1 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp (P) thì x 1 y 3 z 2 H thỏa hệ H 2; 2; 3 1 1 1 x y z 3 0 H là + + + = = - + + + ì = = ï Þ - - - - í ï - + + = ỵ ( ) A A' H A A' H A A' H x x 2x trung điểm AA' nên y y 2y A ' 3; 1; 4 z z 2z + = ì ï + = Þ - - - í ï + = ỵ b) Tìm min(MA + MB) ( ) ( ) A B Thế tọa độ A, B vào pt mp (P) ta được 3, 3. Vậy AB nằm cùng phía với mp (P) A' là đối xứng của A qua mp (P) nên MA MA ' MA MB MA ' MB A ' B MA MB 18 (A ' B 2;8;16 ) Min MA MB 18 khi M A ' r = r = = + = + ³ Þ + ³ = - + = = uuuur ( ) (P) : x y z 3 0 B mp (P) M thỏa hệ M 4;3; 4 x 3 y 1 z 4 A ' B : 1 4 16 - + + = ì ï Ç Þ Þ - + + + í = = ï - ỵ A H A’ M B P Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 11 18) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) và D(4;-2;1) Tìm MỴAB, NỴCD sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất. Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 t AB 1;1; 2 , pt đt AB : y 2 t ,M AB M 1 t;2 t;3 2t z 3 2t x 2 t ' CD 2; 4;2 , pt đt CD : y 2 2t ' ,N CD N 2 t ';2 2t '; 1 t ' z 1 t ' MN t ' t 3; 2t ' t; t ' 2t 4 MN min chỉ khi MN là đường vuông = - + ì ï = - = + Ỵ Þ - + + - í ï = - ỵ = + ì ï = - = - Ỵ Þ + - - + í ï = - + ỵ = - + - - + - uuur uuur uuuur ( ) MN.AB 0 góc chung của AB và CD vậy MN.CD 0 4 13 5 t ' 1 M ; ; t ' t 3 2t ' t 2t ' 4t 8 0 3t ' 6t 11 3 3 3 7 2t ' 2t 6 8t ' 4t 2t ' 4t 8 0 12t ' 6t 2 t N 1;4; 2 3 ì = ï í = ï ỵ ì - ỉ ư = - ì - + - - - - + = - - = - ì ì ç ÷ ï ï Û Û Û Þ è ø í í í í - + + + + + - = + = = ỵ ỵ ï ï - ỵ ỵ uuuur uuur uuuur uuur 19) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz, cho đường ( ) ( ) 3x ky k 0 d : k 0 1 k x kz 0 + - = ì ï ¹ í - - = ï ỵ Chứng minh rằng d luôn đi qua 1 điểm cố định và luôn nằm trong 1 mặt phẳng cố định. Giải a) CMR : d luôn đi qua 1 điểm cố định ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b 1 0 k b 1 3a 0 3a kb k 0 Gọi E a;b;c là điểm cố định của d thì k 0 k 0 a 0 1 k a kc 0 k a c a 0 a c 0 E 0;1;0 là điểm cố định của đường thẳng d - = ì ì - + = + - = ì ï ï ï ¹ Û ¹ Û = í í í - - = - - + = ï ï ỵ ï ỵ - - = ỵ Þ b) CMR : d luôn nằm trong 1 mp cố định ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Gọi (P) là mặt phẳng cố định chứa đường d thì pt mp (P) dạng : a 3x ky k b 1 k x kz 0 a b 0 3a b kb x kay kbz ka 0 k ay bz a bx 3a b x 0 Chọn 3a b 0.a 1, b 3 pt mp (P) là 3x y 3z 1 0 Đây là mp cố + - + - - = + ¹ Û + - + - - = Û - - - + + = + = = = - Þ + + - = định chứa đường d 20) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;3;-1), đường thẳng x 5 y z 25 d : 1 1 1 - + = = - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giải Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 12 Kẻ AH (P),AE d, ta có : AH AE AH max AH AE H E Vậy mp (P) cần tìm phải vuông góc với AE Gọi ( ) là mp qua A và d thì pt ( ) dạng : x y z m 0