Toán 7 - Hàm số và phương trình

Toán học là môn khoa học tự nhiên có từ rất lâu đời. Nó tồn tại và phát triển cùng với sự tồn tại và phát triển của xã hội loài người. Từ 2000 năm trước công nguyên người Cổ đại đã biết cách giải các phương trình bậc nhất, người cổ Babilon đã biết giải phương trình bậc hai và đã dùng các bảng đặc biệt để giải phương trình bậc ba. Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt khi dạy chương phương trình ta thấy các dạng phương trình đa dạng và phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ năng biến đổi đại số như sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng, dùng các phép biến đổi tương đương và các phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử ... Phương trình là một trong nhiều nội dung được liên tục đề cập tới trong chương trình toán của học sinh, bởi lẽ chúng là những kiến thức cơ bản nhất, quan trọng nhất thường xuyên được áp dụng trong toán học và ứng dụng thực tiễn. Giải phương trình có nhiều phương pháp và cần kết hợp tốt các phương pháp tùy thuộc vào từng cấp, lớp học mà được dùng phương pháp và dùng phương pháp nào cho nhanh gọn, hay nhất, đề xuất cách giải phù hợp cho từng dạng bài cụ thể tránh mất thời gian tìm tòi hướng đi. Định nghĩa phương trình : Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x được gọi là ẩn. Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm. Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương. 1.2. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn : Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a ¹0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do. 1.3. Tập xác định của phương trình : Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa. 1.4. Định nghĩa hai phương trình tương đương : Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. 1.5. Các phép biến đổi tương đương : Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành những phương trình tương đương với nó ( nhưng đơn giải hơn). Phép biến đổi như thế được gọi là phép biến đổi tương đương. 1.6. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn : Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0; trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a ¹ 0 Một số phương pháp giải phương trình 1- Phương pháp đưa về phương trình tích : Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để giải các phương trình dạng này trước hết ta phải nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng mọi cách đưa phương trình đã cho về dạng tích. f(x).g(x) ... h(x) = 0 f(x) = 0 g(x) = 0 ..... = 0 h(x) = 0 Vì một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất 1 phần tử bằng 0. Nghiệm của phương trình đã cho chính là tập hợp nghiệm của các phương trình : f(x) = 0; g(x) = 0; ..... ; h(x) = 0. * Bài toán 1 : Giải phương trình (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 (1) Giải : (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 x3 – 3x2 +3x – 1+ x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8 x3 - 3x2 - 3x – 4 = 0 x3 – 1 – 3x2 – 3x – 3 = 0 (x-1) ( x2 + x+ 1) – 3 (x2 + x + 1) = 0 ( x2 + x + 1) ( x – 4) = 0 (2) Với học sinh lớp 8 ta làm như sau: Do x2 + x + 1 ¹ 0 nên phương trình có một nghiệp x – 4 = 0 x = 4 Với học sinh lớp 9 : (2) x2 + x + 1 = 0 (*) x – 4 = 0 (**) Giải phương trình (*) : D = 1 – 4 = -3 < 0 nên (*) vô nghiệm. Giải (**) : x = 4. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = 4. 2- Phương pháp đặt ẩn phụ - Phương pháp này thường được sử dụng với các dạng phương trình. *Dạng 1 :Phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( a¹0) gọi là phương trình trùng phương. + Cách giải : Đặt ẩn phụ y = x2 ( y ³0) đưa về phương trình bậc hai đối với y như sau : ay2 + by + c = 0 Bài toán 2: Giải phương trình : x4 – 5x2 + 4 = 0 (1) Giải : Đặt y = x2 ( y ³0) (1) y2 – 5y + 4 = 0 (y-1)(y-4) = 0 y – 1 = 0 y = 1 y – 4 = 0 y = 4 x2 = 1 x1 = 1; x2 = -1 x2 = 4 x3 = 2; x4 = -2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : x = 1; x = -1; x = 2; x = -2. * Dạng 2 : Phương trình có dạng : ( x +a) (x+b) (x+c) (x+d) = m Với a + b = c + d hoặc a + c = b + d hoặc a + d = b + c. Bài toán 3: Giải phương trình ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9 (1) Giải : (1) ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9 ( x2 + 4x – 5) ( x2 + 4x + 3) = 9 Đặt y = x2 + 4x – 5 Ta được phương trình : y ( y+8) = 9 y2 + 8y – 9 = 0 (y-1)(y+9) = 0 y – 1 = 0 y = 1 y +9 = 0 y = -9 x2 + 4x – 5 = 1 x2 + 4x - 6 = 0 x1,2 = x2 + 4x – 5 = -9 x2 + 4x + 4 = 0 x3,4 = - 2 Vậy phương trình ( 1) có 3 nghiệm : x1 = ; x2 = ; x3 = -2 Dạng 3: Phương trình có dạng: (x + a) (x + b) ( x+ c) ( x + d) = mx2 Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + ad/2 hoặc y = (x + a) (x + d) Bài toán 4 Giải phương trình 4(x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) = 3x2 (1) Giải: * Cách 1: (1) 4 (x2 + 17x + 60) ( x2 + 16 x + 60 ) = 3x2 4(x + 17 + (x + 16 + = 3 ( vì x ¹ 0) ( 2) Đặt y = ( x + 16 + (2) 4y ( y + 1) = 3 4y2 + 4y – 3 = 0 y1 = 1/2 ; y2 = -3/2 Với y = 1/2 ta có : 2x2 + 31x + 120 = 0 x1 = - 8; x2 = -15/2 Với y = -3/2 ta có : 2x2 + 35x + 120 = 0 ; * Cách 2: Đặt y = x2 + 16x + 60, ta được phương trình 4y ( y + x) – 3x2 = 0 (3) ( 2y – x) ( 2y + 3x) = 0 x1 = 2y x2 = -2y/3 Thay vào ( 3) ta tìm được 4 nghiệm như trên * Dạng 4: Phương trình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c + Cách giải :Ta đưa phương trình trên về dạng phương trình trùng phương bằng cách đặt y = x + ( a+b)/2 Bài toán 5 Giải phương trình : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 Giải : Đặt y = x + 2 ta được phương trình. ( y-1)4 + ( y+1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16 y4 + 6y2 – 7 = 0 ( Phương trình trùng phương) Đặt m = y ( m³0) ta được phương trình. m2 + 6m – 7 = 0 (8) Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ( a+b+c = 0) (*) m1 = 1 (thoả mãn); m2 = -7 (loại) y2 = 1 => y1 = 1; y2 = -1 x + 2 = 1 => x = -1 x + 2 = -1 => x = -3 Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là : x = - 1; x = -3 3 – Phương pháp đưa về hai luỹ thừa cùng bậc * Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi từ đó đưa hai vế của phương trình về luỹ thừa cùng bậc. Sau đó vận dụng các hằng đẳng thức đã học để giải phương trình. *Chú ý: A2n = B2n A = ± B A2n – 1 = B2n – 1 A = B *Bài toán 6 Giải phương trình x4 = 24x + 32 (1) Giải: Thêm 4x2 + 4 vào 2 vế của (1) x4 + 4x + 4 = 4x4 = 24x + 36 (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2 (2) (3) Giải (2): x2 + 2 = 2x + 6 x2 – 2x – 4 = 0 D’ = 1 + 4 = 5 > 0 => phương trình có 2 nghiệm x1 = ; x2 = Giải (3): x2 + 2 = - 2x – 6 x2 + 2x + 8 = 0 D’ = 1 – 8 = -7 phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : x1 = ; x2 = 4.Dùng bất đẳng thức biến đổi hai vế * Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu của hàm số trên từng khoảng * Bài toán : Giải phương trình: (1) Giải: Viết phương trình dưới dạng (1) Dễ thấy x = 8 ; x = 9 đều là nghiệm của (1) Xét các giá trị còn lại của x +) Với x < 8 thì Nên vế trái của (1) lớn hơn 1, (1) vô nghiệm +) Với x > 9 thì Nên vế trái của (1) lớn hơn 1, (1) vô nghiệm +) Với 8 < x < 9 thì 0 0 Nên vế trái của (1) nhỏ hơn : x – 8 + 9 – x = 1 ; ( 1) vô nghiệm Vậy (1) có 3 nghiệm : x = 8 ; x = 9 Lên lớp 9, học sinh học phương trình bậc nhất 2 ẩn số chủ yếu để chuẩn bị cho học phần hệ phương trình. Phương trình c = ax + by với a,b # 0 biểu thị mối tương quan giữa hai đại lượng biến thiên x và y. Coi x là biến, y là hàm thì phương trình bậc nhất ax + by = c biểu thị mối tương quan hàm số (a,b,c # 0) hoặc hàm bằng y = ( nếu a= 0 và b,c # 0) hoặc tương quan không phải hàm số x = ( a,c # 0, b = 0). Nếu coi y là biến, x là hàm ta cũng tìm được kết quả tương tự. Khi dạy học phương trình cần quán triệt quan điểm hàm trong cách xây dựng khái niệm phương trình Trong khi dạy học phương trình càn chú ý đến sự tương ứng giữa các giá trị của biến với sự đúng hay sai của khẳng định về sự bằng nhau của giá trị biểu thức ở hai vế. Chính sự tương ứng này dẫn đến khái niệm hàm mệnh đề VD: Với giá trị nào của x thì 2x + 3 = 3x – 7 x =1 D. x=8 x=2 E. x=10 x=5 Với VD này học sinh vừa được luyện tập phát hiện sự tương ứng giữa giá trị của hàm số cho bởi biểu thức 2x + 3 và 3x – 7, vừa phát hiện cả sự tương ứng giữa giá trị của x 5. Ứng dụng các tính chất của hàm số vào bài toán giải phương trình Nhằm giúp các bạn học sinh có thêm sự lựa chọn công cụ trong việc giải tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình, hệ phương trình … Tôi xin trình bày một số ví dụ về bài toán giải phương trình, bất phương trình… bằng cách sử dụng các tính chất của hàm số. Bài toán 1: Giải phương trình: Giải Do nên chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình tương đương : Xét hàm số : Ta có hàm số là hàm số giảm , do vậy phương trình có nhiều nhất là một nghiệm Mặt khác ta có : suy ra là một nghiệm của phương trình Từ kết quả trên ta kết luận phương trình có nghiệm Chú ý: Tính chất của hàm số được dùng trong bài toán như  sau : Nếu hàm số luôn tăng (hoặc luôn giảm ) thì đồ thị của hàm số cắt đường thẳng nhiều nhất là một điểm ( Nếu hàm số   đơn điệu thay đổi , thì lý luân trên không còn hiệu lực nữa). Phương pháp vận dụng bài toán trên: Để giải phương trình: bằng cách vận dụng tính chất trên, ta tiến hành như sau Biến đổi tương đương phương trình về dạng: ( là hằng số) Xét tính đơn điệu của hàm số Nếu : Hàm số luôn tăng (hoặc luôn giảm) thì kết luận phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, kế đó bạn chịu khó dò tìm được nghiệm của phương trình để kết luận về nghiệm của bài toán Nếu : Hàm số có tính đơn điệu thay đổi, thì cách lý luận trên không còn hiệu lực, bạn chịu khó đổi qua cách lý luận khác 6. Sử dụng tính chất của hàm số bậc hai giải phương trình chứa căn1)Dạng 1:Đặt ta thu được  VD: Giải phương trình:x=12)Dạng 2:Đặt thu được VD: Giải phương trìnhĐiều kiện Đặt ta thu được Giải 7) Phương pháp đồ thị: Phương pháp: Tách phương trình bậc hai thành hai phần ở hai vế khác nhau: Một vế có dạng: y = ax2 (D) Một vế có dạng: y = ax + b (P) Sau đó vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ. a) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) cắt đồ thị của parapol (P) thì hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình đã cho. b) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) tiếp xúc đồ thị của parapol (P) thì hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình đã cho. c) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) không cắt đồ thị của parapol (P) thì pt đã cho vô nghiệm. EChú ý: Có thể sử dụng phương pháp trên để giải các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng(D) và Parapol (P): {Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (D) cắt parapol (P) tại hai điểm phân biệt hoặc tại một điểm(Tiếp xúc) hoặc đường thẳng (D) không cắt parapol (P)} (D): y = a1x + b1 (P): y = a2x2 VD: Dùng đồ thị tìm nghiệm của phương trình: x2 - 8x + 16 = 0 (1) Giải: Xét hàm số y = x2 và hàm số y = 8x – 16 Số giao điểm của hai đồ thị này chính là số nghiệm của phương trình một Suy ra x = 4 VD2: Biện luận số nghiệm của phương trình - m = 0 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị y = và y = m. Nhìn vào đồ thị ta thấy: Nếu m > 0 đường thẳng y=m cắt đồ thị (1) tại 2 điểm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt. Nếu m = 0 đường thẳng y=m giao đồ thị (1) tại 1 điểm phương trình có nghiệm duy nhất Nếu m < 0 đường thăng y=m không cắt đồ thị (1) phương trình vô nghiệm 8. Sử dụng tính chất đơn điệu để gpt chứa cănDạng thường gặp là:Giả sử =>=>=>Ví dụ: Giải phương trìnhLời giải:ĐKXD Giả sử =>=>=>=>=>=.Các tính chất đơn điệu cơ bản của hàm số như sau:* là hàm đơn điệu tăng* là hàm đơn điệu tăng với *Nếu là hàm tăng,suy ra là những hàm tăng Như vậy hàm số và phương trình là hai nội dung đóng vai trò rất quan trọng trong chương trình toán học. Chúng có mootis liên hệ qua lại với nhau. Nhờ vào hàm số ta có thể giải một số phương trình phức tạp và biện luận được số nghiệm của phương trình, mặt khác dựa vào phương trình chung ta cũng thấy rõ hơn về hàm số, nó không còn là trìu tượng nữa.