Toán cho vật lý

Bài 1 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x = 0 và x = l, biết độ lệch ban đầu được cho bởi u(x,0) = (0 Ê x Ê l) còn vận tốc ban đầu bằng 0. Giải : Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t. Ta có phương trình dao động của dây : (1) Theo bài ra, ta có : điều kiện ban đầu : (2) và điều kiện biên : (3) Theo lý thuyết, ta có nghiệm riêng của phương trình (1) thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng : u(x,t) = (4) Ta xác định ak, bk sao cho u(x,t) thoả mãn điều kiện ban đầu (2) Thay (4) vào (2) : (5) (6) Giải (5) : Nhận thấy ak là hệ số trong khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng (0, l). Nhân 2 vế của (5) với rồi lấy tích phân 2 vế từ 0 đ l ta có : (7) VT = = ị VT = (8) VP = Ta có : I1 = I2 = ị I2 = - Nên VP = VP = (9) Thay (8) (9) vào (7) ta có : nếu nếu ak = = (n=0,1,2...) Từ (6) ị bk = 0 do đó, nghiệm của bài toán đã cho : u(x,t) = . Bài 2 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x= 0 x = 1 biết độ lệch ban đầu bằng 0, vận tốc ban đầu được cho bởi : nếu < p/2 nếu > p/2 với v0 là hằng số dương và p/2 < c < l - p/2. Giải : Gọi u(x,t) là độ lệch của dây có hoành độ x ở thời điểm t .Ta có phương trình dao động của dây : trong miền (0<x<l , 0<tÊT) (1) thoả mãn điều kiện biên: (0Ê tÊT) (2) và thoả mãn điều kiện ban đầu : nếu < p/2 nếu > p/2 (0Ê xÊ l) (3) Tương tự bài 1) ta có nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2) : u(x,t) = (4) Từ điều kiện ban đầu ta có : (5) Nhận thấy bk là hệ số trong khai triển F(x) thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng (0, l) ị ị = = = = = = ị bk = Do đó nghiệm của bài toán đã cho là : u(x,t) = Bài 3 : Xác định dao động dọc của thanh nếu 1 mút gắn chặt còn 1 mút tự do, biết các điều kiện ban đầu : , Giải : Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t ị Phương trình : (1) Thoả mãn điều kiện đầu : , (2) Thoả mãn điều kiện biên : , (3) Nghiệm của phương trình có dạng : U(x,t) = X(x).T(t) (4) Từ (1) và (4) ta có : Từ (3)&(4) ị X(0) = 0 ; X’(l) = 0 (7) Giải (5) : * l = - c2 ị X(x) = c1.e-cx + c2.ecx nên theo (7) : X(x) = c1 + c2 = 0 c1 + c2 = 0 c1 = 0 X’(l) = -c.c1.e-cl + c.c2.ecl = 0 ị c2.ecl – c1e-cl = 0 ị c2 = 0 (loại) * l = 0 ị X(x) = c1 + c2x ị Theo (7) : (loại) * l = c2 ị X(x) = c1cos cx + c2sin cx Từ (7) ị Để c2 = Ak ị cos cl = 0 ị ị ị l = ịNghiệm của phương trình (5) thoả mãn điều kiện biên (7) là : Giải (6) : Nên nghiệm riêng của phương trình (1) là : (8) Từ (2) ta có : (9) (10) Nhận thấy ak là hệ số trong khai triển chuỗi Fourier ị nhân 2 vế của (8) với sin nên : ị ị (11) (10) Û ị ị (12) Vậy (8) là nghiệm của bài toán trong đó ak và bk được xác định từ (11),(12) Bài 4 : Cũng như bài 3 nhưng cả 2 mút đều tự do Giải : Ta có phương trình dao động của dây (1) Thoả mãn điều kiện đầu : , (2) Thoả mãn điều kiện biên : , (3) Nghiệm của (1) có dạng : U(x,t) = X(x).T(t) Nên ị Giải(4) : *l =-c2 ị X(x)= c1.e-cx+c2.ecx ị * l = 0 ị X(x) = c1.x + c2 ị ị c2 = A0 ứng với trị riêng l = 0 thì ta có hàm riêng tương ứng X0(x) = A0 ị (5) có nghiệm : T0(t) = B0.t + D0 ị u0(x,t) = a0 + b0t * l =c2 ị X(x) = c1cos cx + sin cx Để có nghiệm không tầm thường thì sin cl = 0 ị cl = kp ị c = khi đó c1=Ak nên và do đó nghiệm riêng của phương trình (1) : ị nghiệm của pt (1) : Từ (2) ị (6) (7) Nhận thấy a0, ak và b0, bk là các hằng số trong khai triển f(x),F(x) thành chuỗi Fourier theo hàm cosin trong khoảng (0,l). Từ (6) ị (7) ị Vì u0(x,t) là 1 nghiệm riêng của (1) nên ị ị (8) (9) Tương tự uk(x,t) là nghiệm riêng của (1) ị ị ị (10) (11) Vậy nghiệm của bài toán : ị u(x,t) = a0 + b0t + . Trong đó : a0, b0 , ak , bk được xác định bởi (8) , (19) , (10) , (11) Bài 5 : Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén cho nên độ dài của nó còn lại là 2l(1-e). Lúc t = 0, người ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi: nếu gốc hoành độ đặt ở tâm của thanh. Giải: Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với tâm của thanh . Trục ox dọc theo thanh Theo bài ra, thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén thì độ dài còn lại của nó là 2l(1-e) Do đó khi trục dịch chuyển 1 đoạn là x thì thanh bị nén x(1-e) ị độ lệch u(x,0) = x(1-e) – x = - ex Gọi u(x,t) là độ lệch của mặt cắt x ở thời điểm t Xét tiết diện có hoành độ x, do thanh đồng chất nên ở thời điểm t nó bị nén đến vị trí x(1 - e) và có độ lệch u(x,0) = - e.x = f(x). Phương trình dao động của thanh : (1) Theo bài ra, tại thời điểm t = 0 người ta buông ra tức vận tốc ban đầu = 0 chứng tỏ hai đầu mút của thanh đều tự do ị ta có điều kiện biên : ; (2) và điều kiện ban đầu : ; (3) Tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng u(x,t) = X(x).T(t) (4) Từ (4) và (1) ta có : Bây giờ ta đi tìm nghiệm của phương trình (5) thoả mãn điều kiện : X’(-l) = 0 ; X’(l) = 0 (7) Giải (5) : Đặt X = erx ta có phương trình đặc trưng của (5) : r2 + l = 0 l = -c2 ị X(x) = c1e-cx + c2ecx Từ (7) ị c1 = c 2 = 0 (loại) l = 0 ị X(x) = c1x + c2 Theo (7) : ị c2 ạ 0 và c2 = A0 Nên X0(x) = A0 ứng với trị riêng l = 0 thì (6) có nghiệm : T0(t) = B0t + D0 nên ta có nghiệm riêng của (1) u0(x,t) = a0 + b0t (a0 = A0D0; b0= A0B0) (8) l = c2 ị X(x) = c1cos cx + c2sin cx Theo (7) : Để (4) có nghiệm không tầm thường thì sincl = 0 hoặc coscl = 0 + Xét sincl = 0 ị cl = kp ị c = và c1 = Ak ị phương trình (5) có nghiệm : ứng với phương trình (6) có nghiệm tổng quát : ị Ta có nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) : (9) + Xét coscl = 0 ị ị ị và Nên nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) : ị (10) Từ (8),(9),(10) ta có nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2) chính là tổng của các nghiệm riêng của u(x,t) : Từ điều kiện ban đầu (3) : (11) (12) Từ (12) ị b0 = bk = bn = 0 (13) Lấy tích phân 2 vế của (11) theo x cận từ (-l đ l) vì b0 = 0 ị u0(x,t) = a0 vì u0(x,t) là 1 nghiệm riêng nên u0(x,o) = -ex ị a0 = -ex đ lấy tích phân 2 vế ị ị 2a0l = (l2 - l2) = 0 ị a0 = 0 (14) vì bk = 0 ị uk(x,t) = akcos cos vì uk(x,t) là 1 nghiệm riêng của (1) nên uk(x,0) = - ex Nhân 2 vế với cos và lấy tích phân 2 vế cận từ (-l đ l) VT = VP = = (15) Vì bn = 0 ị Vì un(x,t) là 1 nghiệm riêng của (1) nên un(x,0) = - e.x ị VT = => VT = an.l VP = ị VP = ị ị (16) Từ (14), (15), (16) ta có nghiệm của (1) : Bài 6 : Bằng phương pháp tách biến, tìm nghiệm của phương trình : thoả mãn các điều kiện biên và điều kiện ban đầu sau : ; Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình : (1) thoả mãn các điều kiện biên : (2) và điều kiện ban đầu : (3) dưới dạng : u(x,t) = X(x).T(t) (4) Thay (4) vào (1) : T”(t).X(x) + a2X(4)(x).T(t) = 0 ị ị Từ (2) và (4) ta có : (7) Giải (6) : Đặt X(x) = erx thì phương trình (6) Û r4 – l = 0 ị r4 = l *Nếu l = 0 ị X(4)(x) = 0 ị X(x) = c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Nên từ (7) ta có : ị c1 = c2 = c3 = c4 = 0 * Nếu l < 0 ị r4 = l < 0 : phương trình vô nghiệm * Nếu l > 0 ị r4 = l : phương trình có 4 nghiệm : ; ; ; Đặt thì nghiệm tổng quát của phương trình (6) : Từ (7) ta có hệ 4 phương trình : ị Để c4 ạ 0 ị sin cl = 0 ị c = ị l = (k = 1,2 ...) ị phương trình (6) có nghiệm : (8) Thay l = vào phương trình (5) : ị (9) Thay (8), (9) vào (4) ta có : (10) Với ak = Ak.Bk ; bk = Ak.Dk Từ điều kiện ban đầu (3) : (11) (12) Nhận thấy ak là hệ số trong khai triển Ax(l - x) thành chuỗi Fourier theo hàm sin nên : ị Ta có : nếu k=2n nếu k=2n+1 = ị ị (13) Từ (10, (12), (13) ta có nghiệm của bài toán : Bài 7 : Xét dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút x = 0, x = l trong 1 môi trường có sức cản tỷ lệ với vận tốc, biết các điều kiện ban đầu : ; Giải : Gọi u(x,t) là độ lệch của thanh có hoành độ x tại thời điểm t. Do dây gắn chặt tại 2 mút chịu 1 lực tác dụng g(x,t) nên phương trình dao động của dây có dạng: (1) Vì trong môi trường có sức cản tỉ lệ với vận tốc nên g(x,t) = đặt k = 2h ị g(x,t) = nên (1) ị với (1’) Bây giờ ta tìm nghiệm của (1’) Thoả mãn điều kiện đầu : ; (2) Thoả mãn điều kiện biên : ; (3) Ta tìm nghiệm dưới dạng u(x,t) = X(x).T(t) (4) thay (4) vào (1’) ta có :T”(t).X(x) + 2hT’(t).X(x) = a2X”(x).T(t) Chia 2 vế cho T(t).X(x) : ị Từ (3) và (4) để có nghiệm không đồng nhất bằng 0 thì (7) Ta phải tìm nghiệm của (6) thoả mãn (7) * l = - c2 ị X(x) = c1e-cx + c2ecx ị (loại) * l = 0 ị X(x) = c1x + c2 ị (loại) * l = c2 ị X(x) = c1cos cx + c2sin cx ị để có nghiệm không tầm thường thì ị pt (6) có nghiệm : và giải (5) : Đặt T = eat thì (5) có pt đặc trưng : a2 + 2ha + aa2 = 0 Ta có : D’ = h2 – la2 = h – = ị ị a = - h ± = - h ± qk.i ị nghiệm của phương trình (5) là : với Nên nghiệm riêng của (1) : Từ điều kiện đầu (8) (9) Nhận thấy ak là hệ số trong khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier nên nhân 2 vế của (8) với được : ị ị ị (10) (9) ị ị ị ị (11) Vậy nghiệm của bài toán : trong đó ak ,bk được xác định bởi (10) và (11) Bài 8: Tìm nghiệm của phương trình Với điều kiện ban đầu ban đầu bằng 0 và điều kiện biên ; Giải : Ta có phương trình : (1) thoả mãn điều kiện : ; (2) và thoả mãn điều kiện biên : ; (3) Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : u(x,t) = V(x) + W(x,t) (4) Trong đó : W(x,t) thoả mãn phương trình (5) thoả mãn điều kiện biên ; (6) V(x) thoả mãn phương trình (7) thoả mãn điều kiện biên ; (8) Giải (7) : Từ (8) ta có : ị V(x) = (shl – shx) (9) ị điều kiện ban đầu của (7) (10) mà theo lý thuyết phương trình (5) có nghiệm : (11) Từ (2), (4), (10) ị ị (12) Ta có (13) với ị (14) và ị mà ị nên ị (15) Thay (14), (15) vào (12) : (16) Thay (12) và (16) vào (11) ta có : ị (17) Từ (4), (9), (17) ta có nghiệm của (1) : Bài 9: Tìm nghiệm của phương trình Với điều kiện ban đầu ban đầu bằng 0 và điều kiện biên ; Giải : Tương tự bài 8) ta tìm nghiệm của pt (1) dưới dạng : u(x,t) = V(x) + W(x,t) (2) Với V(x) thoả mãn phương trình : (3) thoả mãn điều kiện biên : ; (4) Với W(x) thoả mãn phương trình : (5) thoả mãn điều kiện biên : ; (6) Giải (3) : Từ (4) ị ị (7) Ta có điều kiện ban đầu của pt (3) : (8) Mà phương trình (5) có nghiệm : (9) Từ (2) và (8) ị (10) Từ (9) và (10) ị ị = = = = = = nếu k=2n nếu k=2n+1 = ị = ị (11) Thay (11) vào (9) : (12) Từ (2), (7), (12) ta có nghiệm của bài toán đã cho : Bài 10 : Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại 2 mút biết dạng của sợi dây ban đầu là cung parabol f(x) = và vận tốc ban đầu bằng không , đồng thời g(x,t) = g với g là hằng số dương đủ nhỏ . Giải :Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn các điều kiện biên (2) và các điều kiện ban đầu (3) dưới dạng : u(x,t) = V(x,t) + w(x,t) (4) trong đó : hàm V(x,t) thoả mãn phương trình : (5) thoả mãn các điều kiện biên (6) và các điều kiện ban đầu (7) còn hàm w(x,t) thoả mãn phương trình : (8) thoả mãn các điều kiện biên : (9) và các điều kiện ban đầu (10) Trước hết ta giải phương trình (5) thoả mãn điều kiện (6) : Nghiệm của phương trình (5) được tìm dưới dạng : (11) Ta sẽ xác định Tk(t) sao cho (11) thoã mãn phương trình (5) với các điều kiện ban đầu (7) : Thế (11) vào (5) ta được : (12) Giả sử g có thể khai triển được thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng (0,l) : trong đó (13) (14) Từ (12),(13),(14) ta có phương trình : Đây là phương trình tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số , phưong trình này có nghiệm : (15) Từ (7),(11) và (15) ta có : nên (15) được viết lại : (16) Thay (16) vào (11) ta có : (17) Ta biết nghiệm của phương trình (8) thoả mãn điều kiện biên (9) là : (18) Từ điều kiện ban đầu (10) ta có : (19) từ (19) = = nên w(x,t) = (20) Từ (4) ,(17) ,(20) ta có nghiệm của bài toán : Hay Dạng 2 : Bài toán có điều kiện biên khác 0 Nghiệm của phương trình : (2.1) trong miền ( 0<x<l , 0<tÊT), thoả mãn các điều kiện biên : (2.2) ( 0ÊtÊT ) và các điều kiện ban đầu : (2.3) ( 0ÊxÊl ) dưới dạng u(x,t) = V(x,t) + W(x,t) (2.4) trong đó , hàm V(x,t) thoả mãn phương trình : (2.5) trong miền ( 0<x<l , 0<tÊT ) , thoả mãn các điều kiện biên : (2.6) ( 0ÊtÊT ) và nghiệm của phương trình (2.5) được tìm dưới dạng: V(x,t) = X(x).T(t) (2.7) còn hàm W(x,t) thoả mãn phương trình : (2.8) trong miền (0<x<l,0<tÊT) , thoả mãn các điều kiện biên : (2.9) (0ÊtÊT) các điều kiện ban đầu : (2.10) ( 0ÊxÊl ) Việc giải phương trình (2.8) thoả mãn điều kiện biên (2.9) hoàn toàn giống phương pháp của dạng 1 ở phần 1.1 Sau đây là một số bài tập : Bài 1 : Xác định dao động của 1 dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút x = l chuyển động theo quy luật Asinwt, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng 0. Giải : Gọi u(x,t) là độ lệch của dây ở thời điểm t ị phương trình dao động : (1) trong miền Thoả mãn điều kiện biên : ; (2) Thoả mãn điều kiện đầu : ; (3) Ta tìm nghiệm của (1) dưới dạng tổng của 2 hàm: u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (4) trong đó : hàm w(x,t) thoả mãn phương trình : (5) thỏa mãn điều kiện biên : ; (6) v(x,t) thoả mãn phương trình thuần nhất (7) thỏa mãn điều kiện biên : (8) và thỏa mãn điều kiện đầu : (9) Ta tìm nghiệm w(x,t) của phương trình (5) dưới dạng : W(x,t) = X(x).T(t) (10) Thay (10) vào (5) ta có : Từ (6) và (10) ta có : Để có nghiệm không tầm thường tức T(t) ạ 0 thì X(0) = 0; X(l) = B (13) Khi đó : (14) Thay (14) vào (12) : ị l = Thay l = vào (11) : Đặt ị ị ị Từ (13) : ị ị (15) Từ (10), (14), (15) ta có : ị (16) Từ (16) ta có điều kiện ban đầu của phương trình (5) : (17) Nghiệm của phương trình (7) thoả mãn điều kiện biên (8) có dạng: (18) Từ (9) và (17) ta có điều kiện ban đầu của (7) : (19) Từ (18) và (19) ta có : (20) (21) Giải (20) : ak = 0 (22) Giải (21) : ị = = = ị (23) thay (22), (23) vào (18) ta được: (24) Từ (4), (16), (24) ta có nghiệm của bài toán đẵ cho : ị Bài 2 : Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất mà 1 mút cố định, còn mút kia chịu tác dụng của lực Q(lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết độ lệch và vận tốc ban đầu bằng 0. Giải : Ta có phương trình dao động của thanh : (1) thoả mãn điều kiện đầu : ; (2) thoả mãn điều kiện biên : - 1 đầu mút cố định - 1 đầu mút chịu tác dụng của 1 lực Q lên 1 đơn vị diện tích : ị (3) Ta tìm nghiệm dưới dạng : u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (4) Trong đó hàm v(x,t) thoả mãn phương trình thuần nhất : (5) thoả mãn điều kiện biên : ; (6) còn hàm w(x,t) thoả mãn phương trình : (7) thoả mãn điều kiện biên : ; (8) và thoả mãn điều kiện đầu : ; (9) * Ta tìm nghiệm v(x,t) của phương trình (5) dưới dạng : v(x,t) = X(x).T(t) (10) Thay (10) vào (5) : Từ (6) và (10) : Để hệ có nghiệm không đồng nhất bằng 0 thì T(t) ạ 0 ị ị (13) Thay (13) vào (12) ta có l = 0 ị X(x) = c1x + c2 Nên ị là nghiệm của (11) ị Nghiệm riêng của (5) : (14) ị Điều kiện ban đầu của phương trình(5) là : (15) * Theo lý thuyết ,phương trình (7) thoả mãn điều kiện biên (8) có nghiệm : W(x,t) = Ta có điều kiện ban đầu : (16) ị VT = VP = ị VP = = ị (17) Từ (16) và (17) ta có nghiệm của phương trình (7) thoả mãn điều kiện (8),(9) là: (18) Từ (14) và (18) ta có nghiệm của bài toán : II – Phương trình sóng 2 chiều : Dạng 3 : Dao động của màng hình chữ nhật Ta tìm nghiệm của phương trình : (3.1) trong miền {(x,y)ẻG , 0<tÊT} thoả mãn các điều kiện ban đầu : (3.2) với xác định trong miền G và thoả mãn các điều kiện biên : (3.3) dưới dạng : u(x,y,t) = V(x,y).T(t) (3.4) Khi đó ta có các phương trình : Từ (3.3) và (3.4) ta có : (3.7) trong đó hàm V(x,y) có dạng : V(x,y)=X(x).Y(y) (3.8) Từ (3.6) và (3.8) ta được : với Giải (3.9) ,(3.10) và kết hợp điều kiện (3.7) ta tìm được nghiệm V(x,y) ứng với trị riêng l ta hoàn toàn tìm được nghiệm của phương trình (3.5) . Sau đây là một số bài toán cụ thể : Bài 1: Một màng hình vuông đồng chất lúc t = 0 có độ lệch được xác định bởi trong đó 0 Ê x Ê b, 0 Ê y Ê b, dao động với vận tốc ban đầu bằng 0, mép gắn chặt. Hãy xác định dao động của màng. Giải : Gọi u(x,y,t) là độ lệch của màng tại điểm (x,y) ở thời điểm t TMPT (1) thoả mãn điều kiện ban đầu : (2) và thoả mãn điều kiện biên : (3) Ta tìm nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng : u(x,y,t) = V(x,y).T(t) (4) Thay (4) vào (1) : ị Từ (3), (4) ị (3’) ị Ta tìm nghiệm của phương trình (6) dưới dạng : V(x,y) = X(x).Y(y) (7) nên từ (6) và (7) ta có : ị ị ị Từ (3’), (7) ị (10) (11) Giải (8) : với ị Giải (9) : ị là hàm riêng của (6) ứng với trị riêng : Thay l = c2kn vào (5) ta có nghiệm riêng của (5) : T(t) = akn cos cknat + bkn sin cknat ị nghiệm riêng của (1) : Ukn(x,t) = (akn cos cknat + bkn sin cknat). sin sin nên ta có nghiệm của phương trình (1) : U(x,t) =(akn cos cknat + bkn sin cknat). sin sin (12) Từ điều kiện ban đầu : Nhận thấy akn là hệ số trong khai triển Axy(b - x) thành chuỗi Fourier. Nhân 2 của (12) với sin sin và lấy tích phân theo x và y. Ta có : * VT = = ị VT = (15) * VP = = Đặt : = ị Đặt : = = = ị nên VP = = 0 nếu n = 2p nếu n = 2p + 1 ị VP = = = nếu k=2q nếu k=2q+1 = = = ị VP = (16) Từ (15), (16) ị (17) Theo trên : Từ (12), (14), (17) ta có nghiệm của bài toán đã cho : Bài 2 : Một màng hình chữ nhật 0 Ê x Ê l , 0 Ê y Ê m , gắn chặt ở mép , lúc t = 0 bị một xung lượng tập trung tại tâm của màng sao cho : Với : A là hằng số , vo là vận tốc ban đầu . là miền lân cận của tâm của màng. d c m/2 m y Hãy xác định dao động của màng. l/2 l 0 x Giải : Gọi u(x,y,t) là độ lệch của màng tại (x,y) ở thời điểm t. Ta có phương trình dao động của màng : (1) Giả sử màng chiếm miền d trong mặt phẳng 0xy có biên là c . Do đó theo bài ra ta có điều kiện biên : c = 0 (2) và điều kiện đầu nếu (x,y) ( D \ ) nếu (x,y) (3) Do điều kiện biên giống bài 1) nên ta có nghiệm riêng của (1) : Từ điều kiện đầu (3) : Ta thấy a.bkn.ckn là hệ số trong khai triển v0thành chuỗi Fourier theo hàm sin nên ta có : ị Ta xem như se là 1 miền vuông có các cạnh là 2e do đó: Cho e đ 0 sao cho xung lượng Ao không đổi : A = với r : khối lượng riêng. Nên từ giả thiết : nên Do đó theo De-L’Hospital : tương tự : ị (6) Thay (5), (6) vào (4) ta có : Đặt và Khi đó ta có nghiệm của bài toán : B . Phương trình truyền nhiệt : Dạng 1 : Bài toán có điều kiện biên bằng 0 Ta tìm nghiệm của phương trình : trong miền {0<x<l , 0<tÊT } , thoả mãn các điều kiện ban đầu : và thoả mãn các điều kiện biên : - các mút giữ ở nhiệt độ không : - các mút trao đổi nhiệt với môi trường ở nhiệt độ u0 : - các mút cách nhiệt : dưới dạng u(x,t) = X(x).T(t) và sử dụng phương pháp tách biến ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình . Sau đây là một số các bài toán : Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình : (1) trong miền (0 0) thoả mãn các điều kiện biên u(0,t) = 0 ; u(l,t) = 0 nếu 0 < x Ê l/2 nếu l/2 Ê x < l và các điều kiện ban đầu : Giải: Gọi U(x,t) là nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t .Ta có phương trình truyền nhiệt của thanh: (1) thoả mãn điều kiện biên : (2) nếu 0 < x Ê l/2 nếu l/2 Ê x < l và điều kiện ban đầu : (3) Theo lý thuyết, ta có nghiệm riêng của phương trình (1) : Từ điều kiện ban đầu (3) , ta có : Nhận thấy ak là hệ số khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier . Nhân 2 vế với sin và lấy tích phân cận từ 0 á l : ta có do đó = nếu k = 2n nếu k = 2n+1 Vậy nghiệm của bài toán : Bài 2 : Một thanh đồng chất có độ dài l , hai mút được giữ ở nhiệt độ không nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi : Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t > 0 . Giải: Gọi U(x,t) là nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t. Ta có phương trình truyền nhiệt của thanh : (1) thoả mãn điều kiện biên : x = 0 = 0 , x = l = 0 (2) Với điều kiện ban đầu : (3) Tương tự bài (1) , ta có nghiệm riêng của (1) : (4) Từ (3) ta có : vì ak là hệ số trong khai triển hàm thành chuỗi Fourier nên ta có : = nếu k=2n nếu k=2n+1 Nên nghiệm của bài toán : Bài 3: Một thanh đồng chất có độ dài l ,mút x = 0 được giữ ở nhiệt độ không còn tại mút x = l có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài giữ ở nhiệt độ không. Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0 ,biết nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi : Giải: Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh ở thời điểm t Phương trình truyền nhiệt của thanh : (1)thoả mãn điều kiện biên : (2) và điều kiện ban đầu : (3) Ta tìm nghiệm riêng của phương trình (1) dưới dạng : u(x,t) = X(x).T(t) (4) Từ (1) và (4) ta có : Từ (2) và (4) Để T(t)0 thì (7) Ta tìm nghiệm của phương trình (6) thỏa mãn điều kiện (7) sao cho X(x)0 : Thật vậy, đặt X(x) = erx => phương trình đặc trưng của (6) : r2 + l = 0 * l = -c2 => r2 = c2  => Nghiệm tổng quát của (6) là : X(x) = c1e-cx + c2ecx trong đó c1, c 2  la những hằng số tuỳ ý Từ (7) ị c1 = c2 = 0 (loại) * l = 0 => pt (6) có nghiệm tổng quát X(x) = c1x + c2 Từ (7) (loại) * l = c2 thì pt (6) có nghiệm tổng quát : X(x) = c1cos cx + c2sin cx Theo (7) Để c2 ạ 0 => c.cos cl + h.sin cl = 0 => tg cl =- => tg cl = -Đặt m = c.l ; p = h.l => tgm = - Khi đó phương trình (6) thoả mãn điều kiện (7) có nghiệm không tầm thường ứng với trị riêng l = là: Xk(x) = Ak và phương trình (5) có nghiệm:  nên nghiệm riêng của phương trình (1) là: Ta cần xác định ak sao cho hàm u(x,t) thỏa mãn điều kiện (3)  Ta có : mà sin2mk = 2sinmk.cosmk = 2cos2mk.tgmk = nên ta có : Do đó ị Vậy nghiệm của bài toán : Bài 4: Một thanh đồng chất đặt dọc theo trục x, có măt xung quanh và cả hai mút x=0, x=l cách nhiệt .Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh biết phân bố nhiệt độ ban đầu được cho bởi nếu 0<x<l/2 nếu l/2<x<l t = 0 = = Giải: Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh ở thời điểm t tại điểm M(x) Ta có phương trình truyền nhiệt của thanh: (1) thoả mãn điều kiện biên : (2) và điều kiện ban đầu : (3) Nghiệm của bài toán được tìm dưới dạng : u(x,t) = X(x).T(t) (4) Từ (1) và (4) ta có : X”(x) + l X(x) = 0 (5) T’ (t) + l a2 T(t) = 0 (6) Từ điều kiện biên (2) ta có : (7) Ta giải pt (5) thoả mãn điều kiện (7) để tìm nghiệm không đồng nhất bằng 0 : Đặt X(x) = erx thì ta có phương trình đặc trưng của (5) : r2 + l = 0 * = - c2 phương trình (5) có nghiệm : X(x) = c1 e-cx + c2ecx Từ (7) ta có : X’(0) = -c. c1 + c. c2 = 0 X’(l) = -c.c1e-cl + c.c2ecl = 0 ị c1 = c2 = 0 ị X(x) = 0 * l = 0 ị phương trình (5) có nghiệm : X(x) = c1x + c2 Theo (7) : nên c2 = A ị X(x) = A0 ứng với trị riêng l = 0 ị pt (6) có nghiệm T(t) = B0 ị phương trình (1) có 1 nghiệm riêng với điều kiện biên (2) : u0(x,t) = ao (8) với a0 = A0B0 * l = c2 thì phương trình (5) có nghiệm tổng quát : X(x) =c1cos cx + c2 sin cx Theo (7) : X’(0) = c.c2 = 0 ị c2 = 0 X’(l) = -c.c1sin cl = 0 Để c10 và c1 = Ak thì sincl =0 ị cl = kp ị c = ( k = 0;) (9) ứng với thì phương trình (6) có nghiệm : (10) Từ (9) và (10) ta có nghiệm riêng của phương trình (1) : (11) Từ (8) và (11) ta có nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2) là : (12) Ta cần xác định a0 , ak sao cho hàm u(x,t) thoả mãn điều kiện (3) : Ta thấy a0 , ak là các hệ số trong khai triển hàm thành chuỗi Fourier theo hàm cosin trong khoảng (0,l) nên ta có : Vì uo(x,t) là 1 nghiệm riêng của phương trình (1) nên u0(x,0) = u0 ị a0 = u0 ị ị tương tự , uk(x,t) cũng là 1 nghiệm riêng của (1) nên uk(x,0) = u0 : ị nếu k = 2n nếu k = 2n+1 ị Vậy nghiệm của bài toán là : Bài 5 : Tìm sự phân bốnhiệt trong thanh có đầu mút x = 0 cách nhiệt , còn đầu mút x = l luôn giữ ở nhiệt độ bằng 0 . ở thời điểm t = 0 , tất cả các điểm của thanh được nâng lên ở nhiệt độ u0 và trong thanh không có nguồn nhiệt . Giải : Gọi u(x,t) là nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t. Ta có phương trình truyền nhiệt : (1) thoả mãn điều kiện biên (2) và thoả mãn điều kiện ban đầu : (3) . Nghiệm riêng của phương trình (1) được tìm dưới dạng : u(x,t) = X(x).T(t) (4) Thay (4) vào (1) và tách biến ta có : T’(t) + a2T(t) = 0 (5