Toán học tổng hợp

MỘT SỐ KIẾN THỨC *Phương trình đường tròn : Hay : Cótâm là: và bán kính : 0 *Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là: ( là miền gạch hình 2) *Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là: (là miền gạch hình 3) *Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by + c 0 và ax + by + c 0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1 điểm trên miền thế vào. Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại . Xét đường thẳng : -x + y – 2 0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế vào (-x + y – 2) ta được -2 0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính là miền gạch như trên hình vẽ * cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói: Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m y M trong mxđ f(x) có nghiệm khi M trong mxđ f(x) đúng x khi m trong mxđ f(x) có nghiệm khi m trong mxđ f(x) đúng x khi M trong mxđ *Cho A(x0 , y0 ) và đường thẳng () có phương trình : ax + by + c = 0 , khoảng cách từ A đến đường thẳng là : d(A; ) = *Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ] Đổi trục oxy IXY phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm. Giải : Đặt u = sinx , v = siny Bài toán trơ ûthành tìm m để hệ sau có nghiệm : (*) Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như hình vẽ ,(2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính R = , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt đường thẳng u + v = nằm trong hình vuông. Dễ thấy M(1 ; -) và OM = ON OM = , OH = = , suy ra ycbt là - m Cho hệ phương trình. (*) a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt. b)gọi (x1 ; y1) , (x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng . (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 1 Giải : a) Hệ đã cho có thể viết lại : (*) Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định (0;1) . (2) là phương trình đường tròn có tâm I(;0) bán kính R = . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi : D(I ;d) = < 0 <m < b) ta có AB = 2R (x2 –x1)2 + (y2 – y1)2 4R =1 (đpcm) Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm : Hay : - a = 0 a = Cho hệ phương trình. (*) Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm. Giải : Hệ đã cho có thể viết lại : Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4) . Vậy từ đồ thị hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3. Cho hệ phưong trình. (*) Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm . Giải : Hệ đã cho có thể viết lại : (*) Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán kính R = , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 3 nghiệm thì : R = ON , mà ON = = (áp dụng đktx) do đó : = Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình. Giải : Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận: Đổi trục oxy 0XY Hệ đã cho có thể viết lại : Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I/(1;1) như hình vẽ , do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm . nên ta có : Nếu hệ vô nghiệm. Nếu hệ có 2 nghiệm. Nếu hệ có 4 nghiệm. Nếu hệ có 3 nghiệm. Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm . (*) Giải : Với điều kiện x – x2 0 , đặt y = 0 (*) trở thành (2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm I(;0) bán kính R = . (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì đường thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc trên bằng . hay 0 a < định a để phương trình sau có 4 nghiệm . 2 (*) Giải : Đặt (*) Nhận xét t thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t Dễ thấy A() (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì () (2) là phương trình đường thẳng y = t , 0 Vậy đểâ phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì: Cho hệ bất phưong trình. (*) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất . Giải : Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O2(0;-1) bán kính R2 =. (như hình vẽ) Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O1(-1;0) bán kính R1 = . Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R1 + R2 = O1O2 Hay : 2= Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất. Giải : Hệ (*) cho có thể viết lại . Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa. Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền gạch chéo nằm trên và trong hình thang ABCD .Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi : a = 1 hoặc a = 5 Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm. Giải : Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận. Đổi trục oxy 0XY Hệ đã cho có thể viết lại . Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kímh R = . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 8 nghiệm khi : OH < R < OB . Mà : OH = ( áp dụng đktx) , OB = 1 . Vậy < < 1 đó là ycbt Biện luận số nghiệm của phương trình . Giải : Với điều kiện 12 – 3x2 0 đặt y = . Phương trình có thể viết lại Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (1) và (2) là phương trình của nửa ellip lấy phần dương , như trên hình vẽ . Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (3) là phương trình đường thẳng luôn di động và có hệ số góc là -1 . Xét các vị trí tới hạn của nó : qua A ứng với m = -1 Vị trí tiếp xúc trên Tại B ứng với m = 1 Vậy ta có : Nếu 1 m <2 phương trình có 2 nghiệm. Nếu m = 2 hoặc -1 m <1 phương trình có 1 ngiệm. Nếu m > 2 hoặc m<-1 phương trình vô nghiệm. Cho hệ : a) tìm a để hệ có nghiệm. b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Giải : Hệ đã cho có thể viết lai . Các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) nằm trong miền gạch chéo ta có, S1(2;) , S2(-1;1) và xA = -< 1 từ hình vẽ, hệ đã cho có nghiệm khi . 0 hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi . tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất . Giải : Hệ đã cho có thể viết thành . Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy Nhận xét : những điểm M(x;y) thỏa mãn (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I(1;1) bán kính R = (như hình vẽ) , những điểm M(x;y) thỏa mãn (2) là miền gạch chéo và đường thẳng x +y =1 .Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R = OH , Mà OH = ( áp dụng đktx) vậy : là ycbt tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm. Giải : Hệ đã cho có thể viết thành . phương trình m = -x2 + 2x +4 là parabol có đỉnh S(1;5) như hình vẽ do đó các điểm M(x;y)thoả (1 ) là những điểm nằm trong parabol chứa miền thỏa (0;0) . Xét hàm số: m = x4 -6x2 -8x+18 mxđ: D = R Đạo hàm : m/ = 4x3 -12x-8 = 4(x+1)2(x-2) m/ = 0 bảng biến thiên . Hàm số đạt cực tiểu tại . Điểm đặc biệt (1;5) ; (3;5) các điểm M(x;y) thoả mãn (*) là miền gạch chéo như hình vẽ . từ đồ thị ta thấy hệ có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt miền gạch chéo, hay - Cho hệ : a) tìm a để hệ có nghiệm. b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Giải : Hệ đã cho có thể viết lại . Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa . Dễ nhận thấy A(-2;0) , B(-;) O1(;) , F(--) M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là những điểm nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ, như vậy để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a phải cắt miền gạch sọc . Vậy theo ycbt thì a) hệ có nghiệm khi - b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = - hoặc a = - hoăc a = Cho hệ : a) tìm m để hệ có nghiệm. b) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Giải : Hệ đã cho có thể viết lại như sau . Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxm . Các điểm M(x;m) thỏa mãn (1) nằm trong giới hạn của 2 đường thẳng x =-2 và.x =, các điểm M(x;m) thỏa mãn (2) nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ .Dễ thấy A() , vậy để phương trình có nghiệm thì đường thẳng m = phải cắt miền gạch sọc trong giới hạn cho phép cũa (1) hay. a) hệ có nghiệm khi m b) hệ có nghiệm duy nhất khi . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. Giải : Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận: Đổi trục oxy 0XY Hệ đã cho có thể viết lại . Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(-1;-1) bán kímh R = . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi : ON R OM . Mà : ON = ( áp dụng đktx) , OB = . Vậy đó là ycbt MỘT SỐ BÀI TẬP Tìm m để phương trình có nghiệm Cho phương trình . a) tìm gtln và gtnn b) tìm m để phương trình có nghiệm . Cho hệ tìm a để hệ có nghiệm. Tìm m để bất phương trình sau đúng Cho hệ tìm m để hệ vô nghiệm. Cho hệ tìm m để hệ có nghiệm. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm. loga+x(x(a-x)) < loga+x x Cho hệ phưong trình. (*) a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt. b) gọi A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ .Tìm a để độ dài dây cung AB đạt giá trị lớn nhất . phần2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH Xét đa thức với biến là x,y gọi F(x;y) .Nếu ta có F(x;y) = F(y;x) với moi x ,y R thì F(x;y) là đa thức đối xứng: Đối xứng loại 1 .(nếu thay x bởi y và thay y bởi x phương trình (1) vẩn là phương trình (1) và phương trình (2) vẩn là phương trình (2) ) Đối xứng loại 2 .(nếu thay x bởi y và thay y bởi x phương trình (1 ) trở thành (2)và phương trình (2) trở thành (1)) Bài tập đối xứng loai Giải hệ phương trình . Giải : Hệ đã cho có thể viết lại như sau . đặt điều kiện S2 4P Hệ phương trình tương đương với . Giải hệ phương trình . Giải : (Ta cứ coi z như là tham số , ta được hệ đối xứng loại 1 ) Hệ đã cho có thể viết lại như sau . Để phương trình có nghiệm x,y khi Nếu z hệ vô nghiệm Nếu z =1 thì Vậy hệ có nghiệm x = 0 ,y = 0 , z = 1 . Cho hệ phương trình . a) giải hệ với m = 5 b) với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm . Giải : Hệ đã cho có thể viết lại như sau . đặt điều kiện S2 4P với m = 5 để hệ phương trình có nghiệm. th1: . hay 2 th2: . hay 3dễ thấy bất phương trình vô nghiệm vì Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi đó là ycbt. Bài tập đối xứng loai 2 Giải hệ phương trình . Giải : Hệ đã cho có thể viết lại như sau . Hảy xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất . Giải : xét điều kiện cần : Nhận xét rằng nếu hệ phương trình có nghiệm (x;y) thì hệ phương trình cũng có nghiệm (y;x) .Vậy để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì x = y ,ta được x2 + x = ax2 + 1 (a- 1)x2 –x + 1 = 0 (1) phương trình (1) có nghiệm duy nhất xét điều kiện đủ : với a =1 hệ có dạng : vậy a=1 loai . với a =hệ có dạng : dễ nhận thấy hệ có ít nhất 2 nghiệm thoả như (1;0) , (0;1) . Vậy với a =không thỏa kết luận : không tồn tại a để hệ có nghiệm duy nhất Giải hệ . Giải : Điều kiện : Hệ đã cho có thể viết lại như sau . a 0 hệ vô nghiệm a > 0 (1) Hệ đẳng cấp. Giải hệ phương trình . Giải : Điều kiện : x0 , y0 Hệ đã cho có thể viết lại như sau . vậy hệ có 2 nghiệm . Giải hệ phương trình . Giải : Nhận xét phương trình không có nghiệm (x;0) . Ta có : Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm như trên. Giải hệ phương trình . Giải : Dễ dàng nhận thấy hệ không có nghiệm (x;0) . Do đó MỘT SỐ BÀI TẬP . Giải hệ phương trình . a) Giải hệ với m = 1 b)Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm chứng tỏ rằng với a0 , hệ có nghiệm duy nhất . Cho (x;y;z) là nghiệm của hệ phương trình Chừng minh rằng . Tìm a để hệ sau đây có nghiệm. Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất. Giải hệ phương trình . Giải hệ phương trình . Giải hệ phương trình . Tìm a để hệ sau đây có nghiệm. Cho hệ phương trình. a) giải hệ m=3 b) chứng minh rằng với mọi m hệ phương trìmh luôn có nghiệm Một số dạng thường gặp khác. Giải hệ phương trình . Giải : Hệ đã cho có thể viết lại như sau . Vì nên dễ nhận thấy (2) vô nghiệm . Giải hệ phương trình . Giải : Hệ đã cho có thể viết lại như sau . xét có = nên (2) vô nghiệm Tìm các số x,y thuộc khoảng (0;) thỏa mãn hệ. Giải : Xét hàm số y = cotgx – x với x y/ = - ( cotg2x + 1) – 1 < 0 x . Vậy hàm số luôn luôn giảm do đó phương trình cotgx – x = cotgy – y có nghiệm duy nhất x = y Phương trình ẩn đối xứng Giải phương trình . (*) Giải : đặt Dễ dàng thấy phương trình vô nghiệm vì < 0 hay Giải phương trình . (*) Giải : đặt Phương trình vô nghiệm vì Phần 3 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ. (có thể giải những bài phi tuyến) Cần phát hiện điều kiện cần hợp lí.Chọn điều kiện đủ . Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất. Giải : * điều kiện cần. Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì hệ cũng có nghiệm (-x;y) ,do tính duy nhất của nghiệm nên hệ có nghiệm duy nhất khi . x = -x x = 0 . Thay vào (*) ta được *điều kiện đủ . Với a = 2 hệ (*) trở thành . dễ nhận thấy hệ có nghiệm (1;0) , (-1;0) nên a = 0 không thỏa . Với a = 2 hệ (*) trở thành . Vậy (3)(4) Vậy theo ycbt thì : a = 0 Tìm a để hệ sau đây có nghiệm với mọi b . Giải : * điều kiện cần. Giả sử hệ có nghiệm b tức có nghiệm với b = 0 , ta được *điều kiện đủ . Với a = 0 hệ (*) trở thành nếu b 0 suy ra y = 0 ta nhận thấy (2) không thỏa mãn . Vậy b 0 và a = 0 không thoả mãn ycbt . Với a = 1 hệ (*) trở thành rõ ràng b (3)(4) luôn luôn thỏa mãn Vậy a = 1 là điều kiện cần và đủ để thoả ycbt . Tìm a để hệ sau đây có nghiệm với mọi b . Giải : * điều kiện cần. Giả sử hệ có nghiệm b tức có nghiệm với b = 0 , ta được *điều kiện đủ . Với a = 1 hệ (*) trở thành Dễ nhận thấy b phương trìmh vô nghiệm . Vậy a = 1 không thỏa mãn . Với a = -1 hệ (*) trở thành rõ ràng b hệ (3)(4) luôn luôn nhận là nghiệm Vậy a = -1 là điều kiện cần và đủ để thỏa mãn ycbt . Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất. Giải : * điều kiện cần. Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì hệ cũng có nghiệm (-x;y) ,do tính duy nhất của nghiệm nên hệ có nghiệm duy nhất khi . x = -x x = 0 . Thay vào (*) ta được * điều kiện đủ Với a = 0 hệ (*) trở thành hệ này vô số nghiệm tùy theo giá trị của k Vậy a = 0 không thoả mãn ycbt Với a = 2 hệ (*) trở thành (1)(2) Vậy a = 2 là điều kiện cần và đủ để thỏa mãn Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất. Giải : * điều kiện cần. Nếu (*) có nghiệm x = x0 thì (*) cũng có x = 1 - x0 do tình duy nhất của nghiệm nên để phương trình có nghiệm duy nhất khi x0 = 1 - x0 hay x0 = Thay vào (*) ta được . m = * điều kiện đủ Với m = (*) trở thành Theo bất đẳng thức Bunhiakốpki thì . (1) (2) từ (1) và (2) để thoả (*) ta cần đẳng thức (1) và (2) xảy ra đồng thời , hay Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất khi m = Tìm x để phương trình sau nhgiệm đúng Giải : * điều kiện cần. Phương trình (*) đúng nên đúng với a = 0 , ta có Vậy (1) *điều kiện đủ . Với x = 1 (*) trở thành .(2) hiển nhiên đúng Với (*) trở thành . Dễ dàng nhận thấy (3) chỉ đúng với a = 0 , nên không thỏa mãn ycbt Tóm lại điều kiện cần và đủ là x = 1 . Tìm x để phương trình sau nhgiệm đúng Giải : * điều kiện cần. Phương trình (*) đúng nên đúng với a = 0 , ta có * điều kiện đủ . Với x = 2 (*) trở thành . (*). phương trình không thể đúng vì điều kiện vậy với x = 2 không thỏa mãn ycbt. Với x = 5 (*) trở thành (*) . rõ ràng phương trình đúng Tóm lại điều kiện cần và đủ là x = 5 . Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất. Giải : *điều kiện cần . Nếu phương trình (*) có nghiệm x = x0 thì phương trình (*) cũng có nghiệm x = 4 - x0 do tính duy nhất của nghiệm nên , để phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = 4 - x0 x0 = 2 với x0 = 2 ta được . * điều kiện đủ . Với m = 1 (*) trở thành thỏa mãn ycbt. Tóm lại điều kiện cần và đủ là m = 1 . Tìm a để hệ sau đây có nghiệm. Giải : *điều kiện cần . Giả sử hệ có nghiệm (x;y) hay . suy ra * điều kiện đủ . Với Ta có Có nghiệm thì (*) có nghiệm vì mọi nghiệm (1) (2) đều là nghiệm của hệ (*) Xét hệ (1) (2) hệ có nghiệm .Vậy điều kiện cần và đủ là Tìm b để hệ sau đây có nghiệm. Giải : *điều kiện cần . Giả sử hệ có nghiệm (x;y) hay . suy ra * điều kiện đủ . Với ta có Có nghiệm thì (*) có nghiệm vì mọi nghiệm đều là nghiệm của hệ (*) Xét hệ (1) (2) hệ có nghiệm . Vậy điều kiện cần và đủ là Tìm a để hệ sau đây có nghiệm. Giải : * điều kiện cần . Giả sử hệ có nghiệm (x;y) hay . suy ra * điều kiện đủ . Với ta có Có nghiệm thì (*) có nghiệm vì mọi nghiệm đều là nghiệm của hệ (*) Xét hệ hệ có nghiệm .Vậy điều kiện cần và đủ là MỘT SỐ BÀI TẬP Tìm a để hệ sau đây có nghiệm. Tìm a , b để phương trình sau đây có nghiệm đúng x sao cho . Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất. Phần 4 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c =0 (1) , a 0 Ta có = b2 – 4ac . Vậy (2) Từ (2) suy ra một số kết quả sau đây . Định lí 1 : nếu 0 Định lí 2: nếu = 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất Định lí 3: nếu > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm Ơû định lí (3) - nếu a.f(x) < 0 khi x1 < x < x2 - nếu a.f(x) > 0 khi x x2 * từ đó ta thu được một số hệ quả sau . Hệ quả1 : trên trục số thực xét khoảng mà không là nghiệm Nếu ta có thì và Hệ quả2 : trên trục số thực xét khoảng mà không là nghiệm Nếu ta có thì và Các số a,b,c thỏa mãn điều kiện . 5a+4b+6c=0 (1 ) Chứng minh rằng phương trình . f(x) = ax2 + bx + c = 0 (2) có nghiệm . Giải : Nếu a = 0 (1) ta có thay vào phương trình (2) ta được . vậy luôn có nghiệm Nếu a 0 . (1) (4a+2b +c) + ( a + 2b + 4c ) + c =0 f(2) + 4f() + f(0) af(2) + 4af() + af(0) =0 Vậy tồn tại ít nhất một số hạng âm hoặc 3 sốâ hạng bằng không , hay phương trình (2) có nghiệm . Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng phương trình (a2 +b2-c2)x2-4abx+ a2 +b2-c2 = 0 (*) có nghiệm . Giải : Nếu a2 +b2-c2 = 0 ABC là tam giác vuông tại c thì (*) có nghiệm x = 0 Nếu a2 +b2-c2 0 ta có = (2ab)2 – (a2 +b2-c2)2 = (2ab + a2 +b2-c2)(2ab - a2 -b2+c2) = [(a+b)2 – c2][c2-(a-b)2] = (a+b-c)(a+b+c)(c+b-a)(c+a-b) > 0 Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên > 0 , vậy phương trình luôn có 2 nghiệm ( tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại ) Tóm lại phương trình (*) luôn luôn có nghiệm . Cho các phương trình . ax2 + bx + c =0 (a.c 0 ) cy2 + by + a =0 có các nghiệm tương ứng . Chứng minh rằng Giải : Theo Cauchy ta luôn có . Ta có : Vậy (đpcm) Giả sử x , y là các số thoả các phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải : Nhận xét từ giả thiết ta có Đặt khi đó theo Cauchy ta được . (xem phần bất đẳng thức) Vậy min f(a,b) = đẳng thức xảy ra khi . thay vào phương trình ta có. Giải và biện luận. Giải : Đặt Phương trình (*) có thể viết lại . Ta có : Th1 : m = phương trình (2) có nghiệm Th2: m = phương trình (2) có nghiệm Th3: Nếu hay thì phương trình có 1 nghiêm phương trình này cho 2 nghiệm (1) Nếu hay thì phương trình vô nghiệm . m - + _ ------ 0--- + --------- + + ----------- + ------0--- _ + ------0--- _ ---------- _ Tìm a để phương trình có nghiệm Tìm a để phương trình có nghiệm Tìm a để phương trình có nghiệm Giải phương trình Giải phương trình Xét phương trình . có nghiệm Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Vì nên Đặt khi đó . Xét 2 số a, b dương ta luôn có . Vậy từ bất đẳng thức trên ta được . min Dấu bằng xảy ra khi Cho 3 số đặt Chứng minh rằng các phương trình . đều có 2 nghiêm Giải : Xét phương trình (1) ta có Vì ø . Xét phương trình (2) ta có Vì . Tóm lại các phương trình trên đều có 2 nghiệm . Bài tập Cho phương trình .và tìm các điều kiên sau . trong đó gs là 2 nghiệm Bài toán cực trị bậc hai Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức : Giải : Vì nên . (*) có nghiệm Th1 .ta được Th2 .để phương trình có nghiệm khi . Tóm lại từ hai trường hợp ta được . Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức : Giải : điều kiện và nên ta đặt . Ta được Dễ dàng nhận thấy thì nên Th1 ta được Th2 ta có hệ vô nghiệm Vậy và Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức : biết rằng Giải : (*) _ _ phải có nghiệm phải có nghiệm Bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : biết rằng Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức : Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức : Phương trình bậc bốn Dạng 1 đặt Dạng 2 Với Đặt (tính để tìm điều kiện của ) Dạng 3 Đặt Hằng đẳng thức Dạng 4 Chia 2 vế cho (vì x=0 không là nghiệm) Đặt (tính để tìm điều kiện của ) Tìm nghiệm thực của phương trình : Giải : Vì nên ta đặt có nghiệm . Phương trình có dạng . Vậy ta có . Tìm nghiệm thực của phương trình : Giải : Đặt Phương trình trên có thể viết thành : Vậy ta có . Tìm nghiệm của phương trình : Giải : Nhận xét phương trình (*) không có nghiệm x = 0 Ta đặt Phương trình có dạng . vậy ta được nghiệm như sau . Bài tập Tìm nghiệm của phương trình : Tìm nghiệm của phương trình : Tìm nghiệm của phương trình : Phần 5 BẤT ĐẲNG THỨC. GTLN VÀ GTNN 1) bất đẳng thức Cauchy. Với là những sôù dương , ta luôn có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2) Bất đẳng thức Bunhiakôpxki hay Cauchy-Svaxơ Với mọi ,ta luôn có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Đặc biệt . Chúng ta nên nhận biết trước điểm rơi của các bất đẳng thức thị việc chứng minh có thể dễ hơn một ít. Ngoài ra có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức như khảo sát , phương pháp đồ thị , phương pháp tương đương , vectơ , tam thức ,điều kiện có nghiệm Cauchy ngược dấu Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất Giải (Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (a;b;c) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là ) Ta có Cũng chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được Mà Vậy từ và ta được Đẳng thức xảy ra khi và hay Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất Giải Ta có Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được Mà Từ đó suy ra Đẳng thức xảy ra khi và hay Chứng minh rằng số dương ,ta luôn có. Giải Ta có Cộng vế theo vế ta được đpcm Chứng minh rằng số dương ,ta luôn có. Giải Ta có Chứng minh tương tự ta có. Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh a