Tổng hợp các bài toán về tích phân

Bài toỏn tớnh diện tớch hỡnh phẳng: - Cho hàm số y = f(x) liờn tục trờn [a; b]. khi đú diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là: (1) - Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liờn tục trờn [a; b]. Khi đú diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: (2) Bài toỏn tớnh thể tớch của vật thể trũn xoay: - Thể tớch của vật thể trũn xoay khi cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: . - Thể tớch của vật thể trũn xoay khi cho hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = a, y = b quay xung quanh trục Oy là: . - Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liờn tục, cựng dấu trờn đoạn [a; b]. Hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị của cỏc hàm số trờn và hai đường thẳng x=a, x=b quay xung quanh trục Ox tạo nờn một khối trũn xoay cú thể tớch là: 1. (ĐH Công Đoàn 99- 00) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và . 2. (HV Ngân Hàng TP. HCM 1999 - 2000) a. Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong (C): , trục Ox và đường thẳng x = 1. b. Cho (H) là miền kín giới hạn bởi đường cong (L): , trục Ox và đường thẳng x = 1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho (H) quay quanh trục Ox. 3. (ĐH Huế A, B, V CPB 99- 00) Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đường: 4. (ĐH Huế A, B, V CB 99- 00) Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đường: 5. (ĐH Nông Nghiệp I A99- 00) a. (CPB) Cho D là miền phẳng bị giới hạn bởi các đường cong: và - Tính diện tích miền D. - Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox. b. (CB) Cho miền phẳng D bị giới hạn bởi các đường: - Tính diện tích miền D. - Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox. 6. (ĐH Nông Nghiệp I B99- 00) (Phần chung) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: (Phần dành cho chương trình CPB) Cho hình D giới hạn bởi các đường: Hãy tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên khi cho D quay quanh trục Ox. 7. (ĐH QG Hà Nội B99- 00) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay quanh trục Ox hình phẳng hữu hạn bởi các parabol: 8. (ĐHSP Hà Nội II 99- 00) a. (CPB khối A, B) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: . b. (CB khối A) Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau: 9. (ĐH Thương Mại 99- 00) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = -1; x = 2; y = 0 và y = x2 - 2x. 10. (ĐH Thuỷ Lợi 99- 00) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và . 11. (ĐH Thuỷ Lợi 99- 00 Đề dự bị) b. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường: và . 12. (CĐSP Hà Nội A99- 00) Cho hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (C) và đường thẳng . 13. (ĐH Y Hà Nội 99- 00) Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh ra bởi hình elíp khi nó quay quanh trục Ox. 14. (ĐH SP Hà Nội A00- 01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và trong mặt phẳng toạ độ Oxy. 15. (ĐH SPHà Nội B00-01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và y=3 trong mặt phẳng Oxy 16. (ĐH Huế-CPB A,B00-01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=1, x=e, y=0 và 17. (ĐH Thuỷ Lợi phân ban 00-01) Cho Parabol . Gọi d là tiếp tuyến với Parabol tại điểm có hoành độ . CMR: diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol, đường thẳng (d) và trục Oy có diện tích là: . 18. (ĐH An Giang-A00-01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , x=0, x=1, y=a (a<0) 19. (ĐH Tây Nguyên-A00-01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , y=4 20. (HV Hành Chính QG A00- 01) (Chuyên ban) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: trong mặt phẳng toạ độ Oxy. 21. (ĐH TCKT Hà Nội 00- 01) (CB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 22. (HV KTQS 00- 01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 23. (HV CNBCVT 00- 01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 24. (ĐH Công Đoàn 00- 01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình: 25. (ĐH Kiến Trúc Hà Nội 00- 01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), trục hoành Ox và các đường thẳng . 26. (ĐH Thuỷ Sản 00- 01) a. (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: b. (CB) Cho hình phẳng (G) giới hạn bởi các đường . Quay hình phẳng (G) quanh trục Ox ta được một vật thể. Tính thể tích vật thể này. 27. (CĐ A, B00- 01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . 28. (CĐSP Nhà Trẻ- Mẫu giáo Trung Ương I - CPB 00- 01) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: và 29. (ĐHDL Hùng Vương D00- 01) Trong mặt phẳng xOy, hãy tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: trục Ox, x= -2, x= 2, y = x(x + 1)(x - 2). 30. (CĐ Kiểm Sát 00- 01) (CB) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường: và y = 0, với . 31. (ĐH BKHN-A2000) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong có phương trình , trục Ox và hai đường thẳng x=0 và 32. Cho hàm số (C). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), trục Ox và các đường thẳng x=1, x=-1 33. (ĐH QG TP. HCM A00- 01) Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường a. Tính diện tích của miền D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi ta quay (D) quanh trục Oy. 34. (ĐH Hàng Hải 00- 01) Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường và y = 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh: a. Trục Ox. b. Trục Oy. 35. (ĐH Thuỷ Sản 00- 01) a. (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: b. (CB) Cho hình phẳng (G) giới hạn bởi các đường Quay hình phẳng (G) quanh trục Ox ta được một vật thể. Tính thể tích vật thể này. 36. (ĐHDL Hải Phòng A00- 01) a. (CPB) Tính thể tích khối tròn xoay do quay quanh trục Oy phần mạt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi hai trục toạ độ, đường thẳng x=1 và đường cong . b. (CB) Tính thể tích khối tròn xoay do quay quanh trục Ox phần mạt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi hai trục toạ độ, đường thẳng x=1 và đường cong y= 1 + x3 . 37. (ĐH BK Hà Nội A2001- 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình: và 38. (HV CN BC VT 2001- 2002) Tính diện tích hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường: 39. (ĐH KTQD 2001- 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol và các đường tiếp tuyến với Parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua điểm . 40. (ĐH TCKT Hà Nội 01- 02) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường và với . 41. (ĐH Công Đoàn 2001- 2002) Cho a > 0, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình: và Tìm giá trị của a để diện tích trên đạt giá trị lớn nhất. 42. (ĐH Y Hà Nội 2001- 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và . 43. (ĐH Y Thái Bình 2002- 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và . 44. (ĐH Y Dược TP. HCM 01- 02) Gọi (D) là miền được giới hạn bởi các đường: Và (D) nằm ngoài parabol . Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo nên khi (D) quay xung quanh trục Ox. 45. (ĐH An Giang A, B 01- 02) Tính thể tích của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi các đường: 46. (ĐH Đà Lạt A, B01- 02) Tính diện tích S(t) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số trên đoạn [0;t] (t > 0) và trục hoành. Tính . 47. (ĐHDL Bình Dương A01- 02) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 48. (ĐH CĐ-A2002) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường và 49. (ĐH CĐ-A2007) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường , 50. (ĐH CĐ-B2007) Cho hình H giới hạn bởi các đường . Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox Yờu nhau yờu cả đường đi Ghột nhau ghột cả tụng ti họ hàng Yờu nhau nước đục cũng trong Yờu nhau hạt gạo cắn đụi Ghột nhau nước chảy giữa dũng cũng dơ Ghột nhau cú thịt cú xụi để thừa Yờu nhau thỡ núi quỏ ưa Yờu nhau trong ngừ yờu ra Ghột nhau núi thiếu núi thừa như khụng. Ghột nhau ngó bảy ngó ba ghột về Yờu nhau vạn sự chẳng nề Yờu nhau rau chỏo thoả lũng Ghột nhau việc trọng chẳng hề quan tõm. Ghột nhau chả phượng nem cụng chẳng gần Yờu nhau củ ấu cũng trũn Yờu nhau xa mấy cũng gần Ghột nhau thỡ quả bồ hũn cũng vuụng. Ghột nhau cỏch một bàn chõn cũng lỡa Yờu nhau cau sỏu bổ ba Ghột nhau cau sỏu bổ ra làm mười. 51. Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau: a. . b. . c. và trục Ox. d. e. . f. . g. , trục Ox và x = 0; x = 1. h. . i. . j. . k. l. và hai tiếp tuyến của nú tại cỏc điểm A(0; -3), B(3; 0). ĐS: a. ; b. 9; c. 2; d. ; e. 4; f. 9/2; g. 4/3; h,i. 9/2; j. 125/6; k. ; l. PTTT của parabol tại A, B lần lượt là: Hoành độ giao điểm của hai tiếp tuyến là nghiệm phương trỡnh: . 52. Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: HD: 53. Tớnh diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: HD: (đvdt)