Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH - Nguyễn Mạnh Tiến

chuyên đề i: Rút gọn biểu thức chứa biến Trong chương trình Toán lớp 9, việc rút gọn các biểu thức là vấn đề vô cùng quan trọng (chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm trong các kì thi), vì thế, mà tôi muốn giới thiệu bài Toán này tới bạn đọc. Mong các bạn hiểu sâu hơn và nắm vửng cách làm về dạng Toán này. A. Lí thuyết. 1) Bài Toán quy đồng mẩu thức các phân thức. Trong chương trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phương pháp quy đồng mẩu thức các phân thức như sau. Bước 1. Tìm mẩu thức chung (MTC) Trong bước này các em cần làm các việc sau: +) Phân tích các mẩu thức thành nhân tử. +) Lập tích gồm các NTC có số mủ cao nhất và các NT riêng để có MTC. Bước 2. Tìm NTP của từng phân thức. (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm được chia cho MT riêng của từng phân thức). Bước 3. Quy đồng. (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tương ứng). Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau: a) và b) và c) và Giải: a) Đầu tiên ta phải tìm MTC: Ta có: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) và: x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 khi phân tích xong, ta thấy Nhân tử chung là (x – 1), còn nhân tử riêng là (x + 1) MTC là: (x – 1)2. (x + 1) Tìm được MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ (NTP) của từng phân thức: Để tìm NTP của phân thức , ta lấy MTC là (x – 1)2. (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là (x2 – 1) hay (x – 1)(x + 1) Vì (x – 1)2. (x + 1) : (x – 1)(x + 1) = x – 1 NTP của phân thức là: (x – 1) Tương tự, để tìm NTP của phân thức , ta lấy MTC là (x – 1)2. (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là x2 – 2x + 1 hay (x – 1)2 Vì (x – 1)2. (x + 1):(x – 1)2 = x + 1 NTP của phân thức là: (x + 1) Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho. Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy “tử” và “mẩu”cùng nhân với nhân tử phụ của nó là (x – 1). Tức là: Tương tự: b) Ta có: và: MTC là: +) NTP của phân thức là: +) NTP của phân thức là: Và c) Tương tự. Lưu ý: Trước khi quy đồng nếu phân thức chưa tối giản, ta nên tối giản rồi mới quy đồng 2) Các phép toán trên phân thức. a) Phép cộng và phép trừ: +) Cộng trừ hai phân thức cùng mẩu: +) Cộng trừ hai phân thức khác mẩu: b) Phép nhân: c) Phép chia: 3) Bài Toán rút gọn biểu thức. a) Cách giải: Bước 1. Tìm ĐKXĐ của biểu thức đã cho. Bước 2. Quy đồng mẩu thức các phân thức, rồi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để đưa biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn. b) Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A = Giải: Biểu thức A có nghĩa ĐKXĐ của biểu thức là và . Khi đó ta có: A = B. Các dạng toán liên quan. Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số) Bước 1. Sử dụng tính chất để làm mất mẩu của phương trình. Bước 2. Giải phương trình vừa thu được để tìm được x. Bước 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí. Ví dụ 1: Cho A = (với x 0 và x 1). Tìm các giá trị của x để: a) A = 2. b) A = c) A = Giải: Ta có: a) A = 2 x = 4 (TMĐK) Vậy với x = 4 thì A =2. b) A = (Vô nghiệm) Vậy không có giá trị nào của x để A = . c) A = (TMĐK) Vậy với x = thì A = . Chú ý: Trong trường hợp nếu bài toán chưa cho giá trị của P thì các em cần dựa giả thiết của bài toán để tìm P rồi tiến hành giải như bình thường. +) +) Ví dụ 2: Cho P = (với x 0 và x 4). Tìm các giá trị của x để: a) . b) . c) . Giải: a) Ta có: Trường hợp 1. Với (Vô nghiệm) Trường hợp 2. Với (TM) Vậy với x = 25 thì . b) Ta có: Trường hợp 1. Với (Vô nghiệm) Trường hợp 2. Với (TM) Vậy với x = 64 thì . b) Ta có: Trường hợp 1. Với (Vô nghiệm) Trường hợp 2. Với (TM) Vậy với x = 1 thì . Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P m, hoặc P m, hoặc P m (với m là hằng số) Bước 1. Chuyển m sang vế trái, để vế phải bằng 0. Bước 2. Quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái. Bước 3. Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có được một bất phương trình đơn giản (không chứa mẩu). Bước 3. Giải bất phương trình trên để tìm được x. Bước 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí. Ví dụ: Cho A = (với x 0). Tìm các giá trị của x để: a) A > . b) A < c) A . Giải: Ta có: a) A > (vì ) (TMĐK) Vậy với x > 4 thì A > . b) A < (vì ) Kết hợp với điều kiện xác định ta được 0 x <. Vậy với 0 x < thì A < . c) A (vì ) Kết hợp với điều kiện xác định ta được 0 x 9. Vậy với 0 x 9 thì A . Chú ý: +) . +) . +) . +) . +) . Ví dụ 2. Cho biểu thức: P = (với và ). Tìm tất cả các giá trị của x để: a) . b) . c) . d) Giải: a) Ta có: . Kết hợp với điều kiện xác định ta được: . Vậy với thì . b) Ta có: (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy với x > 1 thì . c) Ta có: . . Kết hợp với điều kiện xác định ta được: . Vậy với thì . d) Ta có: . (không tồn tại x) Vậy không có giá trị nào của x để . Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số) Bước 1. Tính P – m = ? Bước 2. Nhận xét dấu của hiệu P – m để có kết quả so sánh. +) Nếu P – m > 0 thì P > m. +) Nếu P – m < 0 thì P < m. +) Nếu P – m = 0 thì P = m. Ví dụ: Cho P = (với x > 0). Hãy so sánh P với 1. Giải: Ta có: P – 1 = Vì < 0 P – 1 < 0 P < 1. Dạng 4. Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị của x thuộc ĐKXĐ. Bước 1. Tính P – m = ? Bước 2. Nhận xét dấu của hiệu P – m để có điều phải chứng minh. +) Nếu P – m > 0 thì P > m. +) Nếu P – m < 0 thì P < m. +) Nếu P – m = 0 thì P = m. Ví dụ: Cho P = (với x > 0). Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0. Giải: Ta có: P – 1 = Vì với x > 0 thì > 0 > 0 P – 1 > 0 P > 1. (đpcm) Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dương) Loại I. Bài toán tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. Cách giải: Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = m ( Với m, n Z, f(x) là biểu thức chứa x) Bước 2. Biện luận: Vì m Z nên để P nguyên thì phải nguyên, mà nguyên thì “f(x) phải là ước của n”. Bước 3. Giải các phương trình: f(x) = Ư(n) để tìm được x. Bước 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí. Ví dụ 1: Cho P = (với x 0 và x 1). Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. Giải: Ta có: P = Để P nhận giá trị nguyên thì phải nhận giá trị nguyên, mà nguyên thì phải là ước của 3. Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên. Ví dụ 2: Cho M = (với x 0 và x 4). Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị nguyên dương. Giải: Ta có: M = Để P nhận giá trị nguyên thì phải nhận giá trị guyên, mà nguyên thì phải là ước của 2. Với x = 9 thì M = > 0 (TM) Với x = 1 thì M = (loại) Với x = 16 thì M = > 0 (TM) Với x = 0 thì M = (loại) Vậy với x = 9 và x = 16 thì M nhận giá trị nguyên dương. Loại II. Bài toán tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên. Cách giải: Bước 1. Nhân chéo rồi đặt để đưa biểu thức P về dạng một phương trình bậc 2 có ẩn là và tham số P. Bước 2. Tìm P để phương trình bậc hai ẩn trên có nghiệm không âm. Bước 3. Chọn các giá trị P nguyên trong tập hợp các giá trị của P vừa tìm ở bước 2. Bước 4. Thay P vừa tìm được vào biểu thức đã cho để tìm được x. Bước 5. Đối chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí. Ví dụ: Cho biểu thức P = (với x 0) Giải: Ta có : P = (1) Đặt: (ĐK: ) khi đó phương trình (1) trở thành: (2) Trường hợp 1. Nếu thì (thoả mãn điều kiện) Trường hợp 2. Nếu phương trình (2) là một phương trình bậc hai ẩn y có: ; ; ; và Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm không âm: . Để P nhận giá trị nguyên thì Với (TMĐK) Với (TMĐK) Với (TMĐK) Vậy với x = 0, x = 1, x = , x = thì biểu thức P nhận giá trị nguyên. Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. a) Khái niệm: +) Nếu P(x) m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x). +) Nếu P(x) k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x). b) Cách giải: Loại 1. Trường hợp biểu thức P có dạng là một đa thức. Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = ( là biểu thức chứa biến x và m là một hằng số) Bước 2. Lập luận để có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Bước 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”. Bước 4. Kết luận. Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P Giải: Ta có: P Vì P . Dấu “=” xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2. Đạt được khi . Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = Giải: Ta có: M Vì P . Dấu “=” xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng . Đạt được khi . Loại 2. Trường hợp biểu thức có dạng ( là hằng số, ) Cách giải. Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của mẩu thức: và điều kiện dấu “=” xảy ra. Bước 2. Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P. Bước 3. Kết luận. Lưu ý. +) Nếu thì P đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị nhỏ nhất và ngược lại. +) Nếu thì P đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị lớn nhất và ngược lại. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức () Giải: Ta có: Vì: . . Dấu “=” xảy ra . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng . Đạt được khi . Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức () Giải: Ta có: Vì . Dấu “=” xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 1. Đạt được khi . Loại 3. Trường hợp biểu thức có dạng . (là hằng số ) Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = m + (m, n Z, f(x) là biểu thức chứa x) Bước 2. Biện luận: Trường hợp 1. “n > 0”. +) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất. (Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì phải đạt giá trị lớn nhất tức là f(x) phải đạt giá trị nhỏ nhất. Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì phải đạt giá trị nhỏ nhất tức là f(x) phải đạt giá trị lớn nhất). Trường hợp 2. “n < 0”. +) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất. +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Bước 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P. Bước 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”. Bước 5. Kết luận. Ví dụ 1: Cho P = (với x 0). Tìm giá trị lớn nhất của P. Giải: Ta có: P = Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì phải đạt giá trị lớn nhất. Vì: 0 . Dấu “=” xảy ra khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của là 1 Giá trị lớn nhất của P là: . Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt được khi x = 0. Ví dụ 2: Cho M = (với x 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Giải: Ta có: M = Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì phải đạt giá trị nhỏ nhất. Vì: 0 . Dấu “=” xảy ra khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của là 2. Giá trị lớn nhất của M là: Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là , đạt được khi x = 0. Loại 4. Trường hợp phân thức có dạng . ( là hằng số, ) Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng: P = ( là biểu thức chứa biến x và ) Bước 2. áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dương và rồi từ đó tìm được giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Bước 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”. Bước 4. Kết luận. Ví dụ 1: Cho A = (với x 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Giải: Ta có: A = áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dương và ta được: A . Dấu “=” xảy ra khi Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt được khi x = 1. Ví dụ 2: Cho B = (với x 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của B. Giải: Ta có: A = áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dương và ta được: A . Dấu “=” xảy ra khi Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt được khi x = 4. Loại 5. Trường hợp biểu thức có dạng . ( là hằng số, ) Cách giải: Bước 1. Nhân chéo rồi đặt để đưa biểu thức P về dạng một phương trình bậc 2 có ẩn là () và tham số P. Bước 2. Tìm P để phương trình bậc hai ẩn trên có nghiệm không âm. Bước 3. Tìm điều kiện của x để có dấu “=” xảy ra. Bước 4. Dựa vào điều kiện của P để suy ra giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của P, rồi kết luận. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: () Ta có: (1) Đặt () khi đó phương trình (1) trở thành: (2) Ta có: ; ; ; Và TH 1. Nếu thì . TH 2. Nếu thì . Khi đó phương trình (2) là môt phương trình bậc hai. Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có hai nghiệm không âm. . (thayvào pt (2)) Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng . Đạt được khi . Dạng 7. Phương trình dạng ax + b + c = 0 (1) (a, b, c là các số cho trước và a 0) a) Cách giải: Bước 1. Đặt = y (*) (ĐK: y 0) Để đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai có ẩn là y. a.y2 + b.y + c = 0 (2) Bước 2. Giải phương trình (2) để tìm được y. Bước 3. Thay y vừa tìm được vào hệ thức (*) để tìm được x. b) Chú ý: +) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt không âm. Tức là: Phương trình (2) phải có: +) Để phương trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, hoặc phương trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phương trình (2) phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không. Tức là: Phương trình (2) phải có (3 trường hợp): Trường hợp 1. Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu . Trường hợp 2. Phương trình (2) có nghiệm kép không âm Trường hợp 3. Phương trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0 Ví dụ: Cho phương trình: x – 2(m – 1) + 1 – 2m = 0 (1) (với m là tham số) a) Giải phương trình khi m = . b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có: 1) Hai nghiệm. 2) Một nghiệm. Giải: Đặt = y (*) (ĐK: y 0) Khi đó phương trình (1) trở thành: y2 – 2(m – 1)y + 1 – 2m = 0 (2) a) Khi m = thì phương trình (2) trở thành: y2 + y = 0 y(y + 1) = 0 Với y = 0 thì = 0 x = 0 Vậy khi m = thì phương trình có nghiệm là x = 0. b) Ta có: a = 1, b = –2.(m – 1), c = 1 – 2m, b’ = –(m – 1) = 1 – m. 1) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có: (Không tồn tại m) Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm. 2) Để phương trình (1) có một nghiệm thì phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu hoặc phương trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phương trình (2) phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0. Trường hợp 1. Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: 1 – 2m Trường hợp 2. Phương trình (2) có nghiệm kép không âm (Không tồn tại m) Trường hợp 3. Phương trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không: Kết hợp cả 3 trường hợp trên ta được m 0. Vậy với m 0 thì phương trình (1) sẽ có một nghiệm. C. Bài tập. Bài 1. Cho biểu thức A = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tìm các giá trị của x để A > 0. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = A. khi x > 1. Bài 2. Cho biểu thức B = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức B nhận giá trị âm. c) Tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện B = . Bài 3. Cho biểu thức C = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn C. b) Tính giá trị của biểu thức C khi a = c) Tìm các giá trị của a thoả mãn điều kiện > 2. Bài 4. Cho biểu thức D = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Tìm các giá trị nguyên của x để D nhận giá trị nguyên. c) Tìm các giá trị của x để . Bài 5. Cho biểu thức E = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn E. b) Tìm các giá trị nguyên của x để E nhận giá trị nguyên. c) Tìm các giá trị của x để . Bài 6. Cho biểu thức F = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F. b) Tìm các giá trị của x để = 1. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = . Bài 7. Cho biểu thức P = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Bài 8. Cho biểu thức Q = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tìm các giá trị của x để Q = . c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức N = nhận giá trị nguyên dương. Bài 9. Cho biểu thức S = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn S. b) Tìm các giá trị của x để S2 = S. c) So sánh S với 1. Bài 10. Cho biểu thức: H = a) Tìm tập xác định và rút gọn H. b) Tính giá trị của H khi x = 4 + 2. c) So sánh H với 3 + 1. Bài 11. (2 điểm) Cho biểu thức P = Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) Tìm x để P > 0. Bài 12. (3 điểm). Cho biểu thức A = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của x để A < 0. c)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A = m – có nghiệm. Bài 13. (3 điểm). Cho biểu thức P = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P = . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = Bài 14. (2 điểm) Cho biểu thức A = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. b)Tính giá trị của biểu thức A khi x = . c)Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1. Bài 15. Cho biểu thức : A = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 – 2. c) Tìm các giá trị của x để x.A = . Bài 16. Cho biểu thức : B = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 2. c) Tìm các giá trị của x để B = 1. Bài 17. (2 điểm ) Cho biểu thức : C = (Với a > 0 và a 4) a) Rút gọn C . b) Tính giá trị của C với a = 9 Bài 18. Cho biểu thức : D = , a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Tìm số nguyên x lớn nhất để D có giá trị nguyên. Bài 19. (2,5 điểm ) Cho biểu thức : N = a) Rút gọn biểu thức N . b) Tính giá trị của N khi x = 7 + 4 c) Với giá trị nào của x thì N đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 20. (2,5 điểm) Cho biểu thức: H = a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức H. b) Với những giá trị nguyên nào của a thì biểu thức H nhận giá trị nguyên . Bài 21. ( 3 điểm ) Cho biểu thức: Q = Rút gọn biểu thức Q . b) Tính giá trị của khi x = 4 + 2 Bài 22. Cho biểu thức: D =  a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Chứng minh rằng D < 1 với mọi giá trị của x ạ ±1. Bài 23. Cho biểu thức: C =  a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn C. b) Tìm các giá trị của x để C = . Bài 24. Cho biểu thức : F = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F. b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức F – nhận giá trị nguyên. Bài 25. Cho biểu thức: P = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm a biết P > . c) Tìm a biết P = Bài 26. Cho biểu thức: M = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn M. b) Tìm x để M < 1. c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 27. (2 điểm) Cho biểu thức: M = (với x 0 và x 1) a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm x để M ≥ 2. Bài 28. Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P. b) Tìm x để P = 3x – 3. c) Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn điều kiện: P. Bài 29. Cho biểu thức: A = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) So sánh A với 1. c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dương. d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình A.x = m có một nghiệm. Bài 30. Cho biểu thức: M = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M. b) Chứng minh rằng M > 4 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định. c) Tìm các giá trị của x để: M. < 2. d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình M = 2m có hai nghiệm. Bài 31. Cho biểu thức: P = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) Chứng minh rằng P < với mọi giá trị của x thuộc tập xác định. c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m.P = 1 có 1 nghiệm. Bài 32. (3 điểm) Cho biểu thức: E = Tìm điều kiện của x để biểu thức E có nghĩa . c) Rút gọn biểu thức E. c) Giải phương trình A = 2 theo ẩn x. Bài 33. Cho biểu thức: F = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F. b) Tìm giá trị của x để: c) Tìm các giá trị của x để F2 = 40F. Bài 34. Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0. c) Tính giá trị nhỏ nhất của . d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn: m(– 3).P = 12m – 4 Bài 35. (3 điểm) Cho biểu thức: M = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức M. b) Coi M là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số M. Bài 36. (2 điểm) Cho biểu thức : A = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A . b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn nhận giá trị dương với mọi a thuộc ĐKXĐ. Bài 37. Cho biểu thức: B =  a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Cho . Hãy tính giá trị của B. Bài 38. Cho biểu thức: E = a) Rỳt gọn E. b) Tỡm a để: . Bài 39. Cho biểu thức: Q = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 3 + 2. c) Chứng minh rằng: Q 1 với mọi giá trị của x thoả mãn điều kiện x 0 và x 1. Bài 40. (2 điểm) Cho biểu thức: N = (với a, b > 0 và a b). a) Rút gọn biểu thức N. b) Tính giá trị của N khi: và . Bài 41. : Cho biểu thức H = a) Rút gọn M. b) Tìm tất cả các giá trị của a để M < 1. c) Tìm giá trị lớn nhất của M. Bài 42. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) So sánh P với biểu thức Q = . Bài 43. Cho biểu thức A = a) Rút gọn A. b) So sánh A với 1. Bài 44. : Cho biểu thức A = a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = c) Chứng tỏ A là bất đẳng thức sai. Bài 45. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P > 1. c) Tính giá trị của P, biết . d) Tìm các giá trị của x để: .P . Bài 46. : Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Xác định giá trị của x để (x + 1).P = x – 1. c) Biết Q = . Tìm x để Q đạt giá trị lớn nhất. Bài 47. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tìm m để phương trình P = m – 1 có nghiệm x, y thoả mãn . Bài 48. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = P. c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 thoả mãn điều kiện: P.. Bài 49. Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P. b) Tìm x để P < 1. c) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 50. Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P. b) Tìm x để: . Bài 51. Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P . b) Tìm x để P < . Bài 52. Cho biểu thức: P = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; c) Tìm các giá trị của x để P = . Bài 53. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P < 1. c) Tìm x Z để P Z. Bài 54. 1) Cho biểu thức: M = a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn biểu thức M. c) Tớnh giỏ trị của M tại a = . 2) Tớnh : Bài 55. Cho biểu thức: N = a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị của a để N = - 2010. D. đáp số. Bài 1. a) ĐKXĐ: x > 0 và x. Kết quả rút gọn: A = b) A > 0 c) M = A. Vì khi x > 1 thì nên áp dụng BĐT Cô-sy Cho 2 số dương và ta được: + M 4 Dấu “=” xảy ra khi = Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt được khi x = 4. Bài 2.a) ĐKXĐ: x 0 ; x và x. Kết quả rút gọn: B = b) B nhận giá trị âm Kết hợp với ĐKXĐ ta được và x c) B = (TMĐK) Bài 3. a) ĐKXĐ: a > 0 . Kết quả rút gọn: C = b) Khi a = thì C = 36 c) . Kết hợp với ĐKXĐ ta được: . Bài 4. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rút gọn: D = b) Ta có D nguyên khi phải là ước của 2 . c) (TMĐKXĐ) Bài 5. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rút gọn: E = b) Ta có E = . E nguyên khi nguyên phải là ước của 1 . c).Kết hợp với ĐKXĐ ta được Bài 6. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rút gọn: F = b) Vì F = F = 1 (TMĐKXĐ) c) M = áp dụng BĐT Cô - Sy cho 2 số dương và ta được: Dấu “=” xảy ra khi = Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 đạt được khi x = 0. Bài 7. a) ĐKXĐ: x và x 1.Kết quả rút gọn: P b) . Kết hợp với ĐKXĐ ta được: . c) P . Do (-2) < 0 nên P đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị nhỏ nhất. Vì .Dấu “=” xảy ra khi x = 0Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1, đạt được khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là (-1), đạt được khi x = 0. Bài 8. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rút gọn: Q = b) Ta có Q = . c) N = . N nguyên khi nguyên phải là ước của 3 (TMĐK). Với x = 4 thì N = 3 (thoả mãn), Với x = 16 thì N = 1 (thoả mãn) Bài 9. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rút gọn: S = b) Ta có: TH1. S = 0 (loại) TH2. S = c) S – 1 = Bài 10. a) ĐKXĐ: x 0 và x . Kết quả rút gọn: S = b) Thay vào biểu thức H ta được H = c) H – = Bài 11. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rút gọn: P = b) Ta có: . Kết hợp ĐKXĐ ta được 0 < x < 1. Bài 12. a) ĐKXĐ: x > 0 và x . Kết quả rút gọn: A = b) . Kết hợp với ĐKXĐ ta được 0 < x < 1. c) (1) Đặt (ĐK: y > 0 và y ). Khi đó phương trình (1) trở thành: (2) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm dương khác 1. TH1.Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều dương khác1 (VN) TH2. Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu khác 1 TH3. Phương trình (2) nghiệm kép dương khác 1 (VN) TH4. Phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương khác 1 (VN) Kết hợp, 4 Trường hợp trên ta có m > 1. Bài 13. a) ĐKXĐ: x và x 1. Kết quả rút gọn: P = b) (TMĐKXĐ) c) M . áp dụng BĐT Cô-sy Cho 2 số dương và ta được: + M 4 Dấu “=” xảy ra khi = Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt được khi x = 4. Bài 14. a) ĐKXĐ: x và x 1. Kết quả rút gọn: A = b) Thay x = vào biểu thức A ta được A = c) A < 1 . Kết hợp với ĐKXĐ ta được Bài 15. a) ĐKXĐ: x > 0 và x 1. Kết quả rút gọn: A = b) Thay x = vào biểu thức A ta được A = c) (TMĐK) Bài 16. a) ĐKXĐ: x > 0 và x 1. Kết quả rút gọn: B = b) Thay x = vào biểu thức B ta được B = c) (TMĐK) Bài 17. a) ĐKXĐ: a 0 và a 4. C = b) Thay a = 9 vào C ta được C = Bài 18. a) ĐKXĐ: x > 0 và x 1. Kết quả rút gọn: D = b) Ta có D nguyên nguyên x – 1 là ước của 2 Cách 2. D = (*) TH1. Nếu D = 0 thì phương trình (*) vô nghiệm. TH2. Nếu D 0 thì phương trình (*) . Để x là số n