Tuyển tập 102 bài ôn thi hình học 9 vào lớp 10

Bài 1 .Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lượt lấy điểm E, F sao cho . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh: ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp DCGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau n Bài 2. Cho DABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm N và HE// CD. M là tâm đường tròn ngoại tiếp DHEF. Bài 3. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi H là điểm chính giữa cung AB, gọi M là một điểm nằm trên cung AH; N là một điểm nằm trên dây cung BM sao cho BN = AM. Chứng minh: DAMH = DBNH. DMHN là tam giác vuông cân. Khi M chuyển động trên cung AH thì đường vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố định ở trên tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm B. Gợi ý : 3)Gọi đthẳng qua N vuông góc với MB cắt ttuyến tại B ở QChứng minh D AMB = D BNQ ị BQ = BA = const Bài 4.Cho (O) đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn (O/) đường kính BC. Gọi M là trung điểm đoạn AB. Từ M kẻ dây cung DE^AB. Gọi I là giao của DC với (O/) Chứng minh ADBE là hình thoi. BI// AD. I,B,E thẳng hàng . Gọi ý : c: Chứng minh qua B có 2 đường thẳng: BE và BI Cùng song song với AD Bài 5. Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. 1)Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn 2)Chứng minh AI.BK = AC.CB 3)Giả sử A,B,I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI max. Bài 6. Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó. Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S,A,E,O,B cùng thuộc một đường tròn Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao? Chứmg minh rằng: b/ SAOB là hình vuông c/ Lấy E thuộc CD Sao cho chứng minh D CAE ~ D BAD ị AB.CE = AC. AD (1) CM AB.DE = AC. CB (2) Từ (1) và (2) ị AB.CD = AC .BD + AD.BC (3) Cminh D SAC ~ D SDA ị (4) , (5) D SCB ~ D SBD ị (6) Từ 4, 5, 6 ị AC.BD = AD. BC (7) Từ 3, 7 ị Đfải CM Bài 7. Cho DABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. Chứng minh: CDEF là một tứ giác nội tiếp. Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? Gọi r, r1, r2 là theo thứ tự là bán kính của đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng . Bài 8. Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó. MN// DE Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp DCDE không đổi. Y 3 / Dễ chứng minh được HC = Bài 9. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy D trên cung AB (D khác A,B), lấy điểm C nằm giữa O và B. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Đường thẳng qua D vuông góc với DC cắt Ax và By lần lượt tại E và F . CMR : Góc DFC bằng góc DBC CMR : ECFvuông Giả sử EC cắt AD tại M, BD cắt CF tại N. CMR : MN//AB 4)CMR: Đường tròn ngoại tiếp EMD và đường tròn ngoại tiếp DNF tiếp xúc nhau tại 4 a/ Sử dụng tc góc nội tiếp b/ Chưng minh tổng 2 góc của ECF bằng 1 vuông c/ (cùng phụ với góc MDC) Bài 10. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưòng tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By ở C, D. Chứng minh: a) CD = AC+BD b) AC.BD = R2 Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất. Cho R = 2 cm, diện tích tứ giác ABDC bằng 32cm2. Tính diện tích DABM 2 SDABM nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất CD nhỏ nhất khi CD song song với AB Khi đó M là điểm chính giữa cung AB 3 Bài 11. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của AO. Qua I kẻ dây CD vuông góc với AB. 1) Chứng minh: a) Tứ giác ACOD là hình thoi. b) 2) Chứng minh rằng O là trực tâm của DBCD. 3) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tổng (MB+MC+MD) đạt giá trị lớn nhất. Bài 12. Cho D ABC có 3 góc nhọn AC > BC nội tiếp (O) . Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC CMR a/MAOH là tứ giác nội tiếp b/ Tia HM là phân giác của góc AHB c/ Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lượt tại E, F. Nối EH cắt AC tại P, HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng QP // EF. Bài 13. Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MM . CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp. Tính AH.AK theo R. Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó . Bài 14. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đường tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN, H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh: Năm điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên một đường tròn. và . Bài 15. Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hai đường cao AI và BE cắt nhau tại H. 1/. Chứng minh CHI = CBA . 2/. Chứng minh EI CO. 3/. Cho góc ACB = 600. Chứng minh CH = CO. Bài 16.Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được; E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH; Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đường tròn. Bài 17.Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E. Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông. Chứng minh rằng: . Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất. Bài 18. Cho hai đường tròn (O1) và (O2)có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B . Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đường tròn ở E và F . (E ẻ(O1); Fẻ(O2)). 1. Chứng minh AE = AF 2. Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB (C ẻ(O1); Dẻ(O2)).Gọi P là giao điểm của CE và FD . Chứng minh rằng: a. Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp được đường tròn . b. Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng. 3. Khi EF quay quanh B thì I di chuyển trên đường nào ? Bài 19. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến Ax và By tại C và D. Chứng minh rằng: DCOD vuông . Chứng minh rằng: AC.BD = R2 . Gọi E là giao của OC và AM; F là giao của OD và BM. Chứng minh rằng: EF = R Tìm vị trí M để SABCD đạt giá trị bé nhất. Bài 20. Cho M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R(M không trùng với A và B). Vẽ các tiếp tuyến Ax, By, Mz của nửa đường tròn đó. Đường Mz cắt Ax và By tại N và P. Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt cắt Ax tại D. CMR: Tứ giác AOMN nội tiếp và NP = AN+BP N, P là trung điểm của AD và BC AD.BC = 4 R2 Xác định vị trí điểm M để SABCD có giá trị nhỏ nhất Bài 21. Cho (O;R) và dây cung CD cố định có trung điểm là H. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với (O) .Đường thẳng AB cắt các đường SO; OH lần lượt tại E, F.Chứng minh rằng: SEHF là tứ giác nội tiếp. OE.OF = R2. OH.OF = OE.OS. AB luôn đi qua một điểm cố định khi S chạy trên tia đối của tia DC Bài 22. Cho (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. M là điểm bất kỳ thuộc đường kính AB (M khác O,A,B). CM cắt (O) tại N (N khác C). Dựng đường thẳng d vuông góc với AM tại M. Tiếp tuyến với (O) tại N cắt d ở E CMR: OMEN nội tiếp OCME là hình gì? tại sao? CMR: CM.CN không đổi CMR: E chạy trên đường thẳng cố định khi M chuyển động trên đường kính AB (M khác A,B) Bài 23. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp . Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. H và M đối xứng nhau qua BC. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: é CEH = 900 ( Vì BE là đường cao) é CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) => é CEH + é CDH = 1800 Mà é CEH và é CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => éBEC = 900. CF là đường cao => CF ^ AB => éBFC = 900. Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: é AEH = é ADC = 900 ; Â là góc chung => D AEH ~ DADC => => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: é BEC = é ADC = 900 ; éC là góc chung => D BEC ~ DADC => => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có éC1 = éA1 ( vì cùng phụ với góc ABC) éC2 = éA1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => éC1 = é C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM => D CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn => éC1 = éE1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp éC1 = éE2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) éE1 = éE2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 24. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh ED = BC. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: é CEH = 900 ( Vì BE là đường cao) é CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) => é CEH + é CDH = 1800 Mà é CEH và é CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => éBEA = 900. AD là đường cao => AD ^ BC => éBDA = 900. Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có éBEC = 900 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => éE1 = éA1 (1). Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => éE3 = éB1 (2) Mà éB1 = éA1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => éE1 = éE3 => éE1 + éE2 = éE2 + éE3 Mà éE1 + éE2 = éBEA = 900 => éE2 + éE3 = 900 = éOED => DE ^ OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ú ED2 = 52 – 32 ú ED = 4cm Bài 25 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. Chứng minh AC + BD = CD. Chứng minh éCOD = 900. 3.Chứng minh AC. BD = . 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 5.Chứng minh MN ^ AB. 6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà éAOM và éBOM là hai góc kề bù => éCOD = 900. Theo trên éCOD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM ^ CD ( OM là tiếp tuyến ). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . Theo trên éCOD = 900 nên OC ^ OD .(1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD). Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD 6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra => MN // BD mà BD ^ AB => MN ^ AB. 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 26 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lời giải: (HD) 1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI ^ BK hayéIBK = 900 . Tương tự ta cũng có éICK = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Ta có éC1 = éC2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH. éC2 + éI1 = 900 (2) ( vì éIHC = 900 ). éI1 = é ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) Từ (1), (2) , (3) => éC1 + éICO = 900 hay AC ^ OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = = 16 ( cm) CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) OC = = 15 (cm) Bài 28 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. Chứng minh OAHB là hình thoi. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d Lời giải: (HS tự làm). Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính Và dây cung) => éOKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có éOAM = 900; éOBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có éOAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao. áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2. 4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi. 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ^ AB; cũng theo trên OM ^ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài 29 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. Chứng minh tam giác BEC cân. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). Chứng minh BE = BH + DE. Lời giải: (HD) D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2). Vì AB ^CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của DBEC => BEC là tam giác cân. => éB1 = éB2 2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, éB1 = éB2 => D AHB = DAIB => AI = AH. 3. AI = AH và BE ^ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I. 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 30 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn. 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. 4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Lời giải: (HS tự làm). 2.Ta có é ABM nội tiếp chắn cung AM; é AOM là góc ở tâm chắn cung AM => é ABM = (1) OP là tia phân giác é AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) => é AOP = (2) Từ (1) và (2) => é ABM = é AOP (3) Mà é ABM và é AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4) 3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : éPAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); éNOB = 900 (gt NO^AB). => éPAO = éNOB = 900; OA = OB = R; éAOP = éOBN (theo (3)) => DAOP = DOBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau). 4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ^ AB => ON ^ PJ Ta cũng có PM ^ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ. (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có éPAO = éAON = éONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật). (6) AONP là hình chữ nhật => éAPO = é NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác éAPM => éAPO = éMPO (8). Từ (7) và (8) => DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK ^ PO. (9) Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng. Bài31 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 3) Chứng minh BAF là tam giác cân. 4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Lời giải: 1. Ta có : éAMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => éKMF = 900 (vì là hai góc kề bù). éAEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => éKEF = 900 (vì là hai góc kề bù). => éKMF + éKEF = 1800 . Mà éKMF và éKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp. Ta có éIAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => éIAE = éMAE => AE = ME (lí do ) => éABE =éMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1) Theo trên ta có éAEB = 900 => BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2). Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B . BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3) Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác éHAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường). (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân. AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => éABM = éMAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7) Tam giác ABI vuông tại A có éABI = 450 => éAIB = 450 .(8) Từ (7) và (8) => éIAK = éAIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn. Bài 32 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E). Chứng minh AC. AE không đổi. Chứng minh é ABD = é DFB. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Lời giải: C thuộc nửa đường tròn nên éACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BC ^ AE. éABE = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông tại B có BC là đường cao => AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao ), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi. D ADB có éADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ). => éABD + éBAD = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800)(1) D ABF có éABF = 900 ( BF là tiếp tuyến ). => éAFB + éBAF = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (2) Từ (1) và (2) => éABD = éDFB ( cùng phụ với éBAD) Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => éABD + éACD = 1800 . éECD + éACD = 1800 ( Vì là hai góc kề bù) => éECD = éABD ( cùng bù với éACD). Theo trên éABD = éDFB => éECD = éDFB. Mà éEFD + éDFB = 1800 ( Vì là hai góc kề bù) nên suy ra éECD + éEFD = 1800, mặt khác éECD và éEFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài 33 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vuông góc từ S đến AB. 1.Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cân. 2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn . Lời giải: 1. Ta có SP ^ AB (gt) => éSPA = 900 ; éAMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => éAMS = 900 . Như vậy P và M cùng nhìn AS dưới một góc bằng 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính AS. Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn. 2. Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M’ cũng nằm trên đường tròn => hai cung AM và AM’ có số đo bằng nhau => éAMM’ = éAM’M ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ ^ AB tại H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc với AB) => éAMM’ = éAS’S; éAM’M = éASS’ (vì so le trong) (2). => Từ (1) và (2) => éAS’S = éASS’. Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đ/ tròn => éASP=éAMP (nội tiếp cùng chắn AP ) => éAS’P = éAMP => tam giác PMS’ cân tại P. 3. Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS’ vuông tại M => éB1 = éS’1 (cùng phụ với éS). (3) Tam giác PMS’ cân tại P => éS’1 = éM1 (4) Tam giác OBM cân tại O ( vì có OM = OB =R) => éB1 = éM3 (5). Từ (3), (4) và (5) => éM1 = éM3 => éM1 + éM2 = éM3 + éM2 mà éM3 + éM2 = éAMB = 900 nên suy ra éM1 + éM2 = éPMO = 900 => PM ^ OM tại M => PM là tiếp tuyến của đường tròn tại M Bài 34. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh : Tam giác DEF có ba góc nhọn. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4. Lời giải: 1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD = AF => tam giác ADF cân tại A => éADF = éAFD sđ cung DF éDEF < 900 ( vì góc DEF nội tiếp chắn cung DE). Chứng minh tương tự ta có éDFE < 900; éEDF < 900. Như vậy tam giác DEF có ba góc nhọn. 2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => => DF // BC. 3. DF // BC => BDFC là hình thang lại có é B = éC (vì tam giác ABC cân) => BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp được một đường tròn