Tuyển tập 80 bài tập hình học lớp 9

Trang 1 TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 17 QUANG TRUNG Cần Thơ 2013 Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuõn Khỏnh – Ninh Kiều – Cần Thơ Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929 Trang 2 80 BAỉI TAÄP HèNH HOẽC – LễÙP 9 --------- Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chứng minh AC + BD = CD. 2. Chứng minh COD = 900. 3. Chứng minh AC. BD = 4 2AB . 4. Chứng minh OC // BM 5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 6. Chứng minh MN  AB. 7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 17 QUANG TRUNG Đ/c: 17 Quang Trung – Xuõn Khỏnh – Ninh Kiều – Cần Thơ ĐT: 0939.922.727 – 0915684.278 – 07103.751.929 Trang 3 Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chứng minh tam giác BEC cân. 2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). 4. Chứng minh BE = BH + DE. Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn. 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. 4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. Trang 4 3) Chứng minh BAF là tam giác cân. 4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chứng minh  ABD =  DFB. 3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vuông góc từ S đến AB. 1. Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cân. 2. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh : 1. Tam giác DEF có ba góc nhọn. 2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4. CF BM CB BD  Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh : 1. Tứ giác OMNP nội tiếp. 2. Tứ giác CMPO là hình bình hành. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào. Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. 1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật. 2. BEFC là tứ giác nội tiếp. 3. AE. AB = AF. AC. Trang 5 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K). 1. Chứng minh EC = MN. 2. Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K). 3. Tính MN. 4. Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S.Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp . 1. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 2. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 3. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 4. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh : 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp . 3. AC // FG. 4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy. Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (M không trùng B,C,H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC. 1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH. 3. Chứng minh OH  PQ. Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. Trang 6 3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp Bài 19. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . 1. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 2. Chứng minh BI // AD. 3. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 4. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’). Bài 20. Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác MDGC nội tiếp . 2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn 3. Tứ giác ADBE là hình thoi. 4. B, E, F thẳng hàng 5. DF, EG, AB đồng quy. 6. MF = 1/2 DE. 7. MF là tiếp tuyến của (O’) Bài 21. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. 1. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A. 2. Chứng minh IP // OQ. 3. Chứng minh rằng AP = PQ. 4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất. Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp . 2. Tính góc CHK. 3. Chứng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào? Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE. 1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng. Trang 7 2. Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân. 3. Cho biết ABC > 450 ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm b, k, e, m, c cùng nằm trên một đường tròn. 4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E. 1. Chứng minh AE = EB. 2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. 3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ BDE. Bài 25. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. 1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp . 3. Chứng minh MI2 = MH.MK. 4. Chứng minh PQ  MI. Bài 26. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD  AB ở H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh : 1. AB AC KB KC  2. AM là tia phân giác của CMD. 3. Tứ giác OHCI nội tiếp 4. Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại M. Bài 27 Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chứng minh : 1. Tứ giác ABOC nội tiếp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Trang 8 Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. 1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành. 2. F nằm trên đường tròn (O). 3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân. 4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 29 BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC  2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. 1. Gọi A’ là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA’. 2. Gọi A1 là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA1 = AA’. OA’. 3. Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất. Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đường cao AH và bán kính OA. 1. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH. 2. Giả sử B > C. Chứng minh OAH = B - C. 3. Cho BAC = 600 và OAH = 200. Tính: B và C của tam giác ABC. 4. Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết BAC = 600. 1. Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R. 2. Vẽ đường kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC Chứng minh BD // AH và AD // BH. 3. Tính AH theo R. Bài 32 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB. 1. Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố định. 2. Từ A kẻ Ax  MN, tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành. 3. Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN. 4. Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào. 5. Cho AM. AN = 3R2 , AN = R 3 . Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN Trang 9 Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M. 1. Chứng minh OM  BC. 2. Chứng minh MC2 = MI.MA. 3. Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đường tròn Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiều cao AH = 4 Cm, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính của đường tròn (O). 2. Kẻ đường kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao? 3. Kẻ AK  CC’ tứ giác AKHC là hình gì? Tại sao? 4. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác ABC. Bài 35 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. 1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chứng minh AM2 = AE.AC. 4. Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh : 1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật. 2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp . 3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng. 4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. Bài 37 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B  (O), C  (O’) . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. 1. Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp . 2. Chứng minh  BAC = 900 . 3. Tính số đo góc OIO’. 4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. Trang 10 Bài 38 Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B(O), C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh : 1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp . 2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. 3. ME.MO = MF.MO’. 4. OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. 5. BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ Bài 39 Cho đường tròn (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 1. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K). 2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?. 3. Chứng minh AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). 5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất. Bài 40 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N. 1. Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB. 2. Chứng minh AM. BN = R2. 3. Tính tỉ số APB MON S S khi AM = 2 R . 4. Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra. Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho  DOE = 600 . 1. Chứng minh tích BD. CE không đổi. 2. Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE 3. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE. Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh : 1. BD2 = AD.CD. 2. Tứ giác BCDE nội tiếp . 3. BC song song với DE. Trang 11 Bài 43 Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. 1. Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp . 2. Chứng minh NE  AB. 3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O). 4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R ( B, C là tiếp điểm ). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D. 1. Chứng minh CO = CD. 2. Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi. 3. Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH. 4. Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng. Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F. 1. Chứng minh BC // AE. 2. Chứng minh ABCE là hình bình hành. 3. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI. 4. So sánh BAC và BGO. Bài 46: Cho đường trũn (O) và một điểm P ở ngoài đường trũn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (CA). Đoạn PC cắt đường trũn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E. 1. Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD. 2. Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB. Bài 47: Cho ∆ABC vuụng ở A. Lấy trờn cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuụng gúc BD. 1. Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD. 2. Chứng minh tứ giỏc ABCE là tứ giỏc nội tiếp. 3. Chứng minh FD vuụng gúc BC, trong đú F là giao điểm của BA và CE. 4. Cho ABC = 600; BC = 2a; AD = a. Tớnh AC; đường cao AH của ∆ABC và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ADEF Bài 48: Cho ∆ABC vuụng (ABC = 900; BC > BA) nội tiếp trong đường trũn đưũng kớnh AC. Kẻ dõy cung BD vuụng gúc AC. H là giao điểm AC và BD. Trang 12 Trờn HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường trũn đường kớnh EC cắt BC tại I (IC). 1. Chứng minh CI CE CB CA  2. Chứng minh D; E; I thẳng hàng. 3. Chứng minh HI là một tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh EC. Bài 49: Cho đường trũn (O; R) và một đường thẳng (d) cố định khụng cắt (O; R). Hạ OH (d) (H d). M là một điểm thay đổi trờn (d) (MH). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dõy cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K. 1. Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cựng nằm trờn 1 đường trũn. 2. Chứng minh IH.IO = IQ.IP 3. Giả sử PMQ = 600. Tớnh tỉ số diện tớch 2 tam giỏc: ∆MPQvà ∆OPQ. Bài 50: Cho nửa đường trũn (O), đường kớnh AB=2R. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm E (E A). Từ E, A, B kẻ cỏc tiếp tuyến với nửa đường trũn. Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D. 1. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường trũn. Chứng minh tứ giỏc ACMO nội tiếp được trong một đường trũn. 2. Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đú suy ra DM CM DE CE  . 3. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD. 4. Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO. 5. Đặt AOC = α. Tớnh theo R và α cỏc đoạn AC và BD. 6. Chứng tỏ rằng tớch AC.BD chỉ phụ thuộc giỏ trị của R, khụng phụ thuộc vào α. Bài 51: Cho ∆ABC cú 3 gúc nhọn. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AA1; BB1; CC1. 1. Chứng minh tứ giỏc HA1BC1 nội tiếp được trong đường trũn. Xỏc định tõm I của đường trũn ấy. 2. Chứng minh A1A là phõn giỏc của 1 1 1 B A C . 3. Gọi J là trung điểm của AC. Chứng minh IJ là trung trực của A1C1. 4. Trờn đoạn HC lấy 1 điểm M sao cho MH 1 MC 3  . 5. So sỏnh diện tớch của 2 tam giỏc: ∆HAC và ∆HJM Bài 52: Cho điểm C cố định trờn một đường thẳng xy. Dựng nửa đường thẳng Cz vuụng gúc với xy và lấy trờn đú 2 điểm cố định A, B (A ở giữa C và B). M là một điểm di động trờn xy. Đường vuụng gúc với AM tại A và với BM tại B cắt nhau tại P. Trang 13 1. Chứng minh tứ giỏc MABP nội tiếp được và tõm O của đường trũn này nằm trờn một đường thẳng cố định đi qua điểm giữa L của AB. 2. Kẻ PI Cz. Chứng minh I là một điểm cố định. 3. BM và AP cắt nhau ở H; BP và AM cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KH  PM. 4. Cho N là trung điểm của KH. Chứng minh cỏc điểm N; L; O thẳng hàng. Bài 53: Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB và K là điểm chớnh giữa của cung AB. Trờn cung AB lấy một điểm M (khỏc K; B). Trờn tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dõy BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của cỏc đường thẳng AP, BM. 1. So sỏnh hai tam giỏc: ∆AKN và ∆BKM. 2. Chứng minh: ∆KMN vuụng cõn. 3. Tứ giỏc ANKP là hỡnh gỡ? Vỡ sao? Bài 54: Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R, cú hai đường kớnh AB, CD vuụng gúc với nhau. M là một điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N. 1. Chứng minh: tia MD là phõn giỏc của gúc AMB. 2. Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA. Chứng minh: BM.BN khụng đổi. 3. Chứng minh: tứ giỏc ONMA nội tiếp. Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ONMA, I di động như thế nào? Bài 55: Cho ∆ABC cõn (AB = AC) nội tiếp một đường trũn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tia BD cắt tiếp tuyến tại A với đường trũn (O) tại điểm E; EC cắt (O) tại F. 1. Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến của đường trũn (O) tại A. 2. Tứ giỏc ABCE là hỡnh gỡ? Tại sao? 3. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của cỏc tia BC; OI. So sỏnh BGO với BAC . 4. Cho biết DF // BC. Tớnh cosABC . Bài 56: Cho 2 đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Cỏc đường thẳng AO; AO’ cắt đường trũn (O) lần lượt tại cỏc điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E; F. 1. Chứng minh: C; B; F thẳng hàng. 2. Chứng minh: Tứ giỏc CDEF nội tiếp được. 3. Chứng minh: A là tõm đường trũn nội tiếp ∆BDE. 4. Tỡm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). Bài 57: Cho đường trũn (O; R) cú 2 đường kớnh cố định ABCD. 1. Chứng minh: ACBD là hỡnh vuụng. Trang 14 2. Lấy điểm E di chuyển trờn cung nhỏ BC (E B; EC). Trờn tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. Chứng tỏ: ED là tia phõn giỏc của AEB và ED // MB. 3. Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trờn đường trũn mà ta phải xỏc định tõm và bỏn kớnh theo R. Bài 58: Cho ∆ABC đều, đường cao AH. Qua A vẽ một đường thẳng về phớa ngoài của tam giỏc, tạo với cạnh AC một gúc 400. Đường thẳng này cắt cạnh BC kộo dài ở D. Đường trũn tõm O đường kớnh CD cắt AD ở E. Đường thẳng vuụng gúc với CD tại O cắt AD ở M. 1. Chứng minh: AHCE nội tiếp được. Xỏc định tõm I của đường trũn đú. 2. Chứng minh: CA = CM. 3. Đường thẳng HE cắt đường trũn tõm O ở K, đường thẳng HI cắt đường trũn tõm I ở N và cắt đường thẳng DK ở P. Chứng minh: Tứ giỏc NPKE nội tiếp. Bài 59: BC là một dõy cung của đường trũn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trờn cung lớn BC sao cho O luụn nằm trong ∆ABC. Cỏc đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H. 1. Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC. 2. Gọi A’ là trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2.A’O. 3. Gọi A1 là trung điểm EF. Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’. 4. Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC. Suy ra vị trớ điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN. Bài 60: Cho đường trũn tõm (O; R) cú AB là đường kớnh cố định cũn CD là đường kớnh thay đổi. Gọi (∆) là tiếp tuyến với đường trũn tại B và AD, AC lần lượt cắt (∆) tại Q và P. 1. Chứng minh: Tứ giỏc CPQD nội tiếp được. 2. Chứng minh: Trung tuyến AI của ∆AQP vuụng gúc với DC. 3. Tỡm tập hợp cỏc tõm E của đường trũn ngoại tiếp ∆CPD. Bài 61: Cho ∆ABC cõn (AB = AC; A < 900), một cung trũn BC nằm bờn trong ∆ABC tiếp xỳc với AB, AC tại B và C. Trờn cung BC lấy điểm M rồi hạ cỏc đường vuụng gúc MI, MH, MK xuống cỏc cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi Q là giao điểm của MB, IK. 1. Chứng minh: Cỏc tứ giỏc BIMK, CIMH nội tiếp được. 2. Chứng minh: tia đối của tia MI là phõn giỏc HMK . 3. Chứng minh: Tứ giỏc MPIQ nội tiếp được  PQ // BC. Bài 62: Cho nửa đường trũn (O), đường kớnh AB, C là trung điểm của cung AB; N là trung điểm của BC. Đường thẳng AN cắt nửa đường trũn (O) tại M. Hạ CIAM (IAM). Trang 15 1. Chứng minh: Tứ giỏc CIOA nội tiếp được trong 1 đường trũn.