Tuyển tập các bài bất đẳng thức thi vào lớp chuyên toán năm học 2009-2010

TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page1- DIễN ĐÀN BấT ĐẳNG THứC VIệT NAM ============================================ The Vietnam Inequality Mathematic Forum TÁC GIả: MESSI_NDT *** ∇∇∇∇∇ TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CHUYÊN TOÁN NăM HọC 2009-2010 TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page2- Như các bạn ñã biết, Bất ñẳng thức là một trong năm bài toán chính thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào các lớp chuyên tóan của các trường THPT chuyên của tất cả mọi tỉnh thành trên cả nước. Trong lúc bấy giờ, không ít người từ học sinh cho tới sinh viên rất nhiều người yêu bất ñẳng thức bởi vẻ ñẹp và những sự mới lạ và nét ñẹp trong phương pháp giải nó. Xin nói thêm bất ñẳng thức là bông hoa ñẹp nhất trong vườn hoa tóan học ngày nay rất hay xuất hiện trong mọi kì thi tóan học từ thấp ñến cao. Và cùng vs xu thế ñó, các cao thủ cũng xuất hiện nhiều, các phương pháp cũng ngày càng cải tiến,sáng tạo và mạnh mẽ cũng như hiệu qủa cao trong việc giải bất ñẳng thức. Tuy nhiên trong kì thi tuyển sinh vào lớp chuyên tóan THPT thì các bạn lại không ñược sử dụng những phương pháp mạnh mà trong SGK, SBT không nêu ra. Chính vì thế các bạn chỉ ñược dùng những gì có trong SGK,SBT trong khi làm bài thi. Nhằm giúp các bạn có thêm chút tài liệu ñể ôn tập trước kì thi quan trọng này,mình ñã tuyển tập một số bài BĐT tiểu biểu xuất hiện trong các ñề thi vào lớp chuyên tóan THPT năm qua ñồng thời thêm vào một số ví dụ năm trước và tự tạo nhằm giúp các bạn ôn ñược kĩ hơn. Cũng xin bình, các bài BĐT xuất hiện trong ñề thi thường không qúa khó và không qúa chặt như những bài chúng ta thảo luận hằng ngày trên Forum chính vì thế file của mình cũng không cần có nhiều bài khó và chặt lắm, chỉ những bài vừa với trình mà ñề ra yêu cầu. Chúc các bạn bỏ túi câu bñt trong ñề thi của mình ! Tác giả chém gió. Messi_ndt. Trong File của mình ñể cho gọn thì kí hiệu ∑ thay cho tổng hóan vị . Ví dụ : 2 2 2 2 2. cyc ab ab ab bc ca= = + +∑ ∑ TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page3- Phần I: Một số bài tập. Bài1: (Chuyên Phan Bội Châu,Nghệ An) Cho a,b,c là các số thực dương thay ñổi thoã mãn: 3a b c+ + = Tìm Min của 2 2 2 2 2 2 . ab bc caP a b c a b b c c a + + = + + + + + Bài2:(Chuyên Quang Trung,Bình Phước) Cho các số , 0x y ≥ .Chứng minh rằng: 2 4 3.( )( 1)T x x y y= + ≥− + Bài3: (Chuyên Vĩnh Phúc,Vĩnh Phúc) Cho ba số , ,a b c ñôi một phân biệt.CMR: 2 2 2 2 2 2 2.( ) ( ) ( ) a b c b c c a a b + + ≥ − − − . Bài 4: (Chuyên Trần Phú,hải Phòng) 1)Cho các số thực dương , ,a b c .CMR: ( ) 1 1 1 9.a b c a b c  + + + + ≥    2)Cho các số thực dương , ,a b c thõa mãn 3a b c+ + ≤ .CMR: 2 2 2 1 2009 670 a b c ab bc ca + ≥ + + + + Bài5: (Khối THPT chuyên,ĐH Vinh) Cho các số thực dương , ,x y z thõa mãn 2 3 18x y z+ + = . Chứng minh rằng: 2 3 5 3 5 2 5 51 1 1 2 1 3 7 y z z x x y x y z + + + + + + + + ≥ + + + Bài6: (Chuyên Lê Khiết,Quãng Ngãi) Cho 0.x > Tìm giá trị của x ñể biểu thức 2( 2010) xN x = + Bài7: (Chuyên Lam Sơn,Thanh Hoá) Cho biểu thức 2 2 2 2P a b c d ac bd= + + + + + ,trong ñó 1.ad bc− = Chứng minh rằng: 3P ≥ Bài8: (Chuyên Lê Hồng Phong,Nam Định) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 22 1 4P x x x= + − − Bài9: (Chuyên Hưng Yên,Hưng Yên) Cho , 0a b > và 1a b+ = .Chứng minh rằng: 2 2 2 3 14 ab a b + ≥ + . Bài10: (Chuyên Nguyễn Trãi,Hải Dương) Tìm GTLN của biểu thức: 2 24 5 6 13P x x x x= − + − + + Bài11: (Chuyên Hùng Vương,Phú Thọ) 1)Cho ,x y là các số thực dương thõa mãn 5 4 x y+ = .Tìm Min: 4 1 4 A x y = + 2)Cho các số thực không âm , ,a b c thõa mãn 3ab bc ca+ + = Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2a b c + + ≤ + + + . Bài12: Cho ba số , ,a b c dương và 3.ab bc ca+ + = Chứng minh bất ñẳng thức sau : TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page4- 2 2 2 .2 2 2 a b c abc a bc b ca c ab + + ≥ + + + Bài13: (Chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM) 1) Cho ba số thực , ,a b c .CMR: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) . 26 6 2009 a b b c c a a b c ab bc ca − − −+ + + ≥ + + + + + 2) Cho 0; 0; 0.a b a b> < + ≥ .Chứng minh rằng: 1 2 8 2a b a b ≥ + − . 3) Cho ,a b dương thõa mãn: 2 1. 1 1 a b a b + = + + CMR: 2 1 8 ab ≤ . Bài14: Cho , , 0; 1a b c abc> = .Chứng minh rằng: 3 1 1 1 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + + . Bài 15: Cho , , 0; 3a b c a b c> + + = .Chứng minh rằng: 3 1 1 1 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + + . Bài16: Cho , , 0.a b c > CMR: 3 3 3 3 3 2 . 2 b c a b c abc a+ + + − ≥ −    Bài17:Cho , ,a b c là các số thực dương.Chứng minh rằng: ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 222a b b c c a a b b c c a+ + + + + ≥ + + + + + Bài18:Cho các số dương , ,a b c .Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 3 3 3 33 3 3 4 4 44( ) 4( ) 4( ) .a b ca b b c c a a b b c c a + + + + + ≤ + + + + + Bài19:Cho các số thực dương , ,a b c thõa mãn ñiều kiện: 2 2 2 1a b c+ + = Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 a b c b a c b a c + + ≥ + − + − + − . Bài20: 1)Cho ba số , ,a b c dương thõa mãn ( ) 1 1 1 11.a b c a b c  + + + + =    Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất: A= ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c  + + + +    . 2) Cho bốn số , , ,a b c d dương thõa mãn ( ) 1 1 1 1 20.a b c d a b c d  + + + + + + =    Chứng minh rằng: ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d a b c d  + + + + + +    36.≥ Bài21: Cho các số dương , ,a b c .Chứng minh rằng: 2 2 22( 1)( 1)( 1) ( 1)( )( 1)( 1)a b c a b c c abc+ + + ≥ + + + + . Bài22:Cho các số dương , ,a b c .Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .(2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) a b c a b a c b c b a c a c b a b c + + ≤ + + + + + + + + Bài23: a) Cho , ,a b c 0> .CMR: 2 2 2 23(1 )(1 )(1 ) 1 ( ) .x x y y z z xyz xyz− − − − − − ≥ + + TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page5- b) Với , , ,a b c .l à ba số dương. Chứng minh rằng: .a b b c c a a b c a c b a c b b c a + + + + + ≤ + + + + + Bài24: Cho ba số , ,x y z thõa mãn 6 2; 6; . . x y z xyz y x z ≥ ≥ = ≤ ≤ Chứng minh rằng : 2 2 2 9 4 5 1. 4 3 12x y z + + ≥ . Bài25: (Chuyên Lê Qúy Đôn,Bình Định) Cho ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ..... 1 3 5 7 97 99 A = + + + + + + . .CMR: 9 . 4 A > Bài26: Cho , , 0a b c > và 1a b c+ + = .Tìm Min của 2 2 21 1 1 a b cP abc a b c = + + + + + + . Bài27: Cho các số thực dương , ,x y z . Chứng minh rằng. ( )2 2 2 3 ( ) 2 .x y z xyz x y z xy yz zx+ + + + + ≥ + + Bài28: (Khối AO,Hà Nội) Cho ba số , ,x y z thõa mãn 2 , , 0x y z≥ ≥ và 3x y z+ + = .Tìm Min,Max của biểu thức 4 4 4 12(1 )(1 )(1 ).T x y z x y z= + + + − − − Bài29: (Khối THPT chuyên ĐHKHTN,ĐHQG HN) Vòng 1) Cho hai số a,b dương . Tìm Giá trị Nhỏ Nhất của : . (4 5 ) (4 5 ) a bP a a b b b a + = + + + Vòng 2) Cho ba số dương , ,a b c . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 53 8 14 3 8 14 3 8 14 a b c a b c a b ab b c bc c a ca + + + + ≥ + + + + + + Bài30: Cho , , 1a b c > và 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1a b c + + = − − − .CMR: 1 1 1 1 1 1 1a b c + + ≤ + + + . Bài31: Chứng minh rằng với hai số thực dương ,a b thì ta có bất ñẳng thức sau: 2 2 4 2 10.a b a b b a a b + + + ≥    + Bài32:. Cho , , 0a b c > thõa mãn 2 2 2 1.a b c+ + = Chứng minh rằng: 2 2 2 21 1 1 . 3 a bc b ca c ab− + − + − ≥ Bài33: Cho , , 0a b c > thõa mãn 2 2 2 1.a b c+ + = Chứng minh rằng: 1 1 1 9 . 1 1 1 2bc ca ab + + ≤ − − − Bài34: Cho 3 số , , 0a b c ≥ .& 1.a b c+ + = Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2ab c c bc a a ca b b ab bc ca + + ≥ + + + + + + + + Bài35: Cho ba số a,b,c dương. Chứng minh rằng: ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 a ab b b bc c c ca c a ab b b bc c c ca c− + + − + + − + ≥ + + + + + + + + TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page6- : Bài36: Cho ba số thực dương , ,a b c thõa mãn: 4a b c abc+ + = . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 a b c + + ≥ . Bài37: Cho hai số thực ,a b thõa mãn : 3ab a b+ + = .Chứng minh rằng: 2 2 33 . 1 1 2 a b ab a b b a a b  + + ≤ + + + + +  Bài38: Cho các số thực dương , ,a b c thõa mãn 2 2 2 1a b c+ + = .Chứng minh rằng : 2 2 2 3.a b c a b c b c a c a b + + ≤ + + + + + + Bà39: Cho , , , 0a b c d > .Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c b c b c d a d a b a b c d b c d c d a d a b a b c + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + Bài40: Cho , , 0; 1a b c abc> ≥ .Chứng minh rằng : 3 . 1 1 1 2 x y zA x y z = + + ≥ + + + Bài41: Cho , , 0a b c > .CMR: 3 2 2 2 ( ) 28.ab bc ca a b c a b c abc + + + + + ≥ + + Bài 42:Cho ba số dương a,b,c bất kì.Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 .2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + + ≥ + + + Bài43: Cho , ,a b c là 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 12 1 1 1 a b c a b c b c a a b c + − − + + ≥ + +  − + +  Bài44: Cho các số thực , ,a b c thõa mãn 2 2 2 1.a b c+ + = Tìm Giá Trị Lớn Nhất Của Biểu thức ( ) ( )( )( )P c a b c a b a b c= − − − + + . Bài45: Cho các số thực không âm , ,a b c .Chứng minh rằng bất ñẳng thức sau luôn ñúng: a) ( )22 2 2 1 1 1 8 . 2 2 2a bc b ca c ab a b c + + ≥ + + + + + b) ( )22 2 2 1 1 1 1 . 22 5 22 5 22 5a bc b ca c ab a b c + + ≥ + + + + + Bài46: Chứng minh rằng : 1 1 2. n n n n n n n n + + − < Bài47: Cho các số thực dương , ,a b c .Chứng minh rằng : ( )2 2 2( ) ( ) ( ) 1 1 1a b c b c a c a b a b ca bc b ca c ab a b c + + +   + + ≤ + + + + + + +   Bài48: Cho các số thực dương , ,a b c .Chứng minh rằng : TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page7- 2 2 2 2 2 2 2. 1 1 1 4 4 4 a b c b bc c c ca a a ab b + + ≥ + + + + + + PhầnII: Lời giải: Bài1: Lời giải: Ta sẽ chứng minh: A= 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + .(1) Thật vậy , 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 23( ) ( )( )a b c a b c a b c a b c ab bc ca a b b c c a+ + = + + + + = + + + + + + + + Áp dụng AM-GM ta có: 3 2 4 2 22 2 ;a c a a c ca+ ≥ = 3 2 4 2 22 2 ;b a b b a ab+ ≥ = 3 2 4 2 22 2 ;c b c c b bc+ ≥ = Nên ( )2 2 2 2 2 23( ) 3 .a b c ab bc ca+ + ≥ + + Suy ra (1) ñúng. BĐT cần chứng minh tở thành: 2 2 2 2( ) 9 9 1 9 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca A A AA A A A ab bc ca A A A A + + + + − + ≥ + = + = + − = + − + + + 21 5 ( )3 4. 2 2 2 6 A a b c+ + ≥ − + ≥ + = Hay 4P ≥ . Vậy Min P=4 1.a b c⇔ = = = Bài2:Lời Giải: Ta có: 2 2 4 1 1 4( ) 1( )( 1) 2 2 ( )( 1) y yT x x y x y y x y y + + = + = − + + + − − + − + Áp Dụng AM-GM ta có 4 2 1 1 44 ( ) 1 4 1 3. 2 2 ( )( 1) y yT x y x y y + +  ≥ − − = − =   − +   Vậy Min T =3 tại 2 1 4 2; 1. 2 ( )( 1) y x y x y x y y + − = = ↔ = = − + Bài3:Lời Giải: Đặt ; ; a b c x x z b c c a a b = = = − − − . Dễ thấy: ( ) 1.( )( ) ( ) ab a bab xy b c c a a b − = = = − − − − ∑∑ ∑ ∏ Do ñó: ( )22 2 2 2.LHS x x xy xy= = − ≥ − =∑ ∑ ∑ ∑ Q.E.D Mở rộng: Với ba số thực bất kì , ,a b c :1) 2 2 ( ) 2.( ) a b a b + ≥ −∑ 2) ( )2 2 2 2 1 9 .( ) 2a b c a b   + + ≥ −  ∑ 3) Với 2 .a c b+ ≥ thì ( ) 2 2 2. a a b ≥ − ∑ Bài4:Lời Giải: By AM-GM Inequality TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page8- a) ( ) 3 31 1 1 13 .3 9a b c abc a b c abc  + + + + ≥ =    . b) Ta Áp dụng câu a thì LHS= 2 2 2 2 1 1 1 2007 9 2007 ( )a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca+ + + ≥ ++ + + + + + + + + + + + 2 3.20071 670.( )a b c≥ + ≥+ + Q.E.D Bài5:Lời Giải: Đặt ; 2 ; 3a x b y c z= = = thì theo bài ra ta có: 18.a b c+ + = Ta cần chứng minh : 5 51. 1 7cyclic b c a + + ≥ +∑ Áp Dụng Schwar ta có : 2 25 ( 5) (2 2 2 15) 1 (1 )( 5) (1 )( 5)cyclic cyclic b c b c a b c a a b c a b c + + + + + + + = ≥ + + + + + + +∑ ∑ ∑ = 2 2 2 (18.2 15) 51 2( )6( ) 2( ) 15 6.18 15 3 a b ca b c ab bc ca + ≥ + ++ + + + + + + + = 51 7 . Q.E.D . Dấu “=” xảy ra 6; 3; 2a b c= = = . Bài6:Lời Giải: Áp Dụng BĐT 2( ) 4a b ab+ ≥ thì ( )22010 4. .2010x x+ ≥ . Khi ñó : 2 1 .( 2010) 8080 8010 x xN x x = ≤ = + Q.E.D Dấu = tại x=2010 Bài 7:Lời Giải: Ta có: ( ) ( )( )22 2 2 2 2 21 ( ) ( )ac bd ad bc ac bd a b c d+ + = − + + = + + Áp Dụng BĐT AM-GM ta có: ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 ( )a b c d a b c d ac bd+ + + ≥ + + = + + Khi ñó Chuyển ac bd x+ = thì 22 1P x x≥ + + 2 2 2 2 2 2 24(1 ) 4 1 3 [(2 ) 4 1 (1 )]P x x x x x x x x→ = + + + + = + + + + + ( ) 2 2 23 2 1 3 3P x x P→ = + + + ≥ → ≥ 3P→ ≥ (Q.E.D) Bài8:Lời Giải: Áp Dụng AM-GM ta có: ( ) 2 2 2 1 42 1 4 .1 2 1 1. 2 2 x x xP x x x x − −= + − − ≤ + = − ≤ Dấu = xảy ra tại 0.x = Bài9: Lời Giải: Áp dụng BĐT quen thuộc 1 1 4 a b a b + ≥ + , , 0a b∀ > ta có: TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page9- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 1 3.4 2 12 14. 2 2 2 2 ( ) ( )LHS ab a b ab ab a b ab a b ab a b a b= + = + + ≥ + ≥ + =+ + + + + + Q.E.D Dấu = xảy ra tại 1 . 2 a b= = Bài10:Lời Giải: Bổ ñề: 2 2 2 2 2 2( ) ( ) .a c b d a b c d− + − ≥ + − + Áp dụng BĐT trên ta có: 2 2 2 2 2 24 5 6 13 ( 2) 1 ( 3) 2 .P x x x x x x= − + − + + = − + − + + ≤ ( )2 22 3 (1 2) 26 26.x x≤ − − − + − = = Đẳng thức xảy ra tại 7.x = Bài11: Lời Giải: 1) Dùng CBS : ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2 2 2 5 4 1 4 1 2 1 52 1/ 2 . 4 4 4 42 x y x y x y x y x y           + = + + = + + ≥ + =                    4 1 5 . 4 4x y → + ≥ Đẳng thức xảy ra tại 12; . 2 x y= = 2) Bất ñẳng thức tương ñương 2 2 2 2 2 1. 2 2 a a a ≤ ⇔ ≥ + +∑ ∑ Áp dụng BĐT CBS: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1.2 6 2 a aa a a a ab = = = + + + ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ Q.E.D Bài12: Lời Giải: Từ GT 1 1 1 33 .ab bc ca a b c abc + + = ↔ + + = Đặt 1 1 1 ; ; .x y z a b c = = = Khi ñó 3 .x y z xyz+ + = Khi ñó : 2 1 1 9 2 1 2 1 1 12 xLHS x x y z x yz x yz x y z yz zx xy = = ≥    + + + + + + +        ∑ ∑ 2 2 2 2 9 9 1 . 2 2 2 9( ) abcx y z xy yz zx xyz xyz xyz xyz = = = = + + + + + ( Q.E.D) Đẳng thức xảy ra tại 1. 1.x y z a b c= = = ↔ = = = Bài13:Lời Giải: 1) Ta có, BĐT tương ñương: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0. 26 6 2009 a b b c c a a ab − − −− − + + ≥∑ ∑ 2 2 212( ) 2( ) 2007( ) 0. 13 3 2009 a b b c c a− − − ↔ + + ≥ TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page10- Vì ; : 0.a b cS S S > nên BĐT hiển nhiên ñúng. 2) Vì 0; 0.a b> BĐT cần chứng minh tương ñương với 1 2 8 . 2a b a b + ≥ − − Áp dụng BĐT quyen thuộc 1 1 1 9 . x y z x y z + + ≥ + + ta có: 1 1 1 9 2a a b a b + + ≥ − − .Khi ñó ta chỉ cần chứng minh cho : ( )2 21 1 1 . 2 . 2 2 1 0.2 a b a b a b ab a b a+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − ⇔ + + − ≥− − Đúng vì 0; 0.a a b> + > Do ñó bất ñẳng thức ñược chứng minh hòan tòan. Đẳng thức xảy ra tại a b= − . 3) Từ GT 1 2 2. 1 1a b + = + + ta dễ dàng suy ra: ( Dùng AM-GM) . 1 2 22 . 1 1 1 b a b b = − = + + + và 1 1 12 2 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) a b ab b a b a b a b = − − = + ≥ + + + + + + + Nhân vế vs vế ta có: 2 2 2 2 1 2 8 . 2 .( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) b ab ab a b b a b a b   ≥ =  + + + + + + +  Suy ra 2 2 18 1 . 8 ab ab≤ ↔ ≤ Q.E.D . Đẳng thứ cxảy ra tại 1/ 2.a b c= = = Bài14: Lời Giải: Vì theo giã thiết 1.abc = Đặt ; ; .x y za b c y z x = = = Khi ñó: . 1 1 . 1 x x a xzy y x y xab yz xy zy z = = = + +++ BĐT cần chứng minh trở thành: 3 . 2 xy yz zx yz zx zx xy xy yz + + ≥ + + + Đây chính là BĐT Netbit quen thuộc . BĐT ñúng với mọi .xy yz zx= = hay 1.a b c= = = Bài15:Lời Giải: Cách 1: BĐT cần chứng minh tương ñương : 2 2 23 3 . 1 2 1 2 a a b a b a b a b c ab ab + − ≥ ↔ + + − ≥ + +∑ ∑ 2 3 . 1 2 a b ab ↔ ≥ + Áp dụng AM-GM ở mẫu 1 2 .ab ab+ ≥ ta chỉ cần chứng minh: 3 1 2 2 3.a b ≤∑ Đến ñây cho 2 2 2; ;a x b y z c= = = thì ta có ngay bài quyen thuộc : ( ) ( )2 22 3 2 213 2 0.2x x y x y xy zx yz≥ ⇔ − − − + ≥∑ ∑ ∑ Đúng. Vậy bài tóan ñược giải quết xong, Đẳng thức tại tâm 1.a b c= = = TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page11- Cách2: BĐT ( ) ( ) 2 3 2 ( )0 0 2 2( ) 2 23 2 2 0 0 2( )( ) 2( )( ) ( )( ) 0. a a a b c bc a bc a bc ab bc ca a b c a bc ab ac bca bc ab ac bc ab bc ca a bc ab bc ca a bc a b a c a abc  + − ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ + + + +   + + + − −+ − −  ⇔ ≥ ⇔ ≥ + + + + + + − − ⇔ ≥ + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Không mất tính tổng quát giã sử a b c≥ ≥ khi ñó 2 2 1 1 0. c abc b abc ≥ > + + Đúng theo tiêu chuẩn II Voirnicu Schur.Suy ra BĐT ñược chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra tại tâm .a b c= = Bài16:Lời Giải: Để cho dễ ñánh giá ta xét hai trường hợp: TH1: 2b c a+ ≤ . Khi ñó 3 2 0. 2 b cRHS a+ = − ≤    Còn 3 3 3 3 0 , , 0.LHS a b c abc a b c= + + − ≥ ∀ > BDT⇒ hiển nhiên ñúng . TH2: 2b c a+ > .Khi ñó BĐT trở thành 3 3 3 3 3 2 0. 2 b c a b c abc a+ + + − − − ≥    Đặt b a x= + và .c a y= + với , 0x y > . Khi ñó BĐT cần chứng minh thành: ( ) 2 2 2 2 3( )( ) 3( )( )3 0. 2 2 x y x y x y x y a x xy y + − + −− + + ≥ ≥ ( True) Vậy BĐT ñược chứng minh. Bài17:Lời Giải: Ta sẽ chứng minh : 3 3 3 2 22 . 2 a b a b+ ≥ + ( ) ( ) ( )2 26 6 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 ( ) [( ) 3 ] 0 ( ) 3 0 3 0 ( ) 0.( ) a b a b a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ab a b a b ab ab a b True ⇔ + + ≥ + ⇔ − ≥ − ⇔ − + + − ≥ ⇔ + + − ≥ ⇔ + + − ≥ ↔ − ≥ Do ñó: 3 3 3 2 22 . 2 a b a b→ + ≥ +∑ ∑ Q.E.D Dấu = xảy ra tại .a b c= = Bài18:Lời Giải: Ta có ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 24 4 4 a b b c c aa b cRHS a b b c c a a b b c c a + + + = + + = + + + + + + + + BĐT cần chứng minh trở thành: ( )2 23 33 24( ) .a ba b a b + + ≤ +∑ ∑ Ta sẽ chứng minh: 2 2 3 33 2( )4( ) .a ba b a b + + ≤ + ( ) ( )3 3 2 23 4( ) 2a b a b a b⇔ + + ≤ + TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page12- ( ) ( )33 3 3 2 2 6 6 4 2 2 4 6 6 3 3 5 5 4 2 2 4 .4( ) 8 2 2 6 6 2 3 3 3 3 a b a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b a b ⇔ + + ≤ + ⇔ + + + ≥ + + + + + + ( ) ( )4 2 2 0 , .a b a ab b a b R⇔ − + + ≥ ∀ ∈ Tương tự và cộng lại ta có Q.E.D Đẳng thức xảy ra tại a=b=c Bài19:Lời Giải: Ta có: 2 4 4 4 2 2 3 2 2 3 2 2 31 a a b aLHS b a a a b a b b c b c c a c = = + + + − + − + − + −∑ Áp dụng BĐT CBS: ( ) 224 2 2 3 2 3 2 aa a a b a a a a b ≥ + − − + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = 3 2 1 1 a a b− +∑ ∑ Khi ñó ta chỉ cần chứng minh : 3 2a a b≥∑ ∑ . Nó ñúng theo BĐT hóan vị . Hoặc dùng AM-GM: 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 23 ; 3 ; 3 .a a b a b b b c b c c c a c a+ + ≥ + + ≥ + + ≥ Cộng lại ta có Q.E.D Bài20:Lời Giải: 1) Ta có ( ) 1 1 1 11 3 11.a b c b c aa b c a b c b c a a b c  + + + + = ↔ + + + + + + =    Đặt a b c x b c a + + = và .b c a y a b c + + = Khi ñó 8.x y+ = Suy ra: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 a b c b c aA a b c a b c b c a a b c  = + + + + = + + + + + +    2 2 2 23 2 2 2 2 3a b c b c a b c a a b c x y x y b c a a b c a b c b c a        = + + + − + + + + + − + + = + − − +                Thay 8y x= − vào A ta có : 2 2 2 22 3 (8 ) 2(8 ) 2 16 51 2( 4) 19 19.A x x x x x x x= − + + − − − = − + = − + ≥ Đẳng thức xảy ra tại 4x y= = ↔ 4.a b c b c a b c a a b c + + = + + = Chẳng hạn 1a b= = và 3 5 . 2 c + = 2) từ GT ( ) 1 1 1 1 20.a b c d a b c d  + + + + + + =    ta có 16.a b c d + + ↔ =∑ Áp dụng BĐT CBS ta có: 2 2 2 2 2 1( ) 4 12 144.b c d a a b cb c d a a a d + + − + +      + + − ≥ = − = =             ∑ ∑ ∑ ∑ Mặt khác 2 2( ) 4b c d a a+ + − =∑ ∑ nên ( )2 2 1 144 36. 4 a a   ≥ =    ∑ ∑ Vậy Min 36.B = Bài21:Lời Giải: Ta sẽ chứng minh: ( ) ( ) ( )3 33 32 1 1 1a a a+ ≥ + + BĐT tương ñương với 9 6 3 6 5 4 3 22( 3 3 1) 3 3 2 3 3 1a a a a a a a a a+ + + ≥ + + + + + + TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page13- 9 6 5 4 3 2 4 22 5 3 3 4 3 3 1 0. ( 1) ( 1) 0.a a a a a a a a a a↔ + − − − − − + ≥ ↔ − − + ≥ (True). Do ñó: ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 32 2 2 3 3 38 1 . 1 . 1 1 1 1 1 1 1a b c a b c a b c+ + + ≥ + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 31 1 1 1abc a b c≥ + + + + .(BĐT Holder). Căn bậc 3 2 vế suy ra: 2 2 22( 1)( 1)( 1) ( 1)( )( 1)( 1)a b c a b c c abc+ + + ≥ + + + + Q.E.D Dẳng thức xảy ra tại 1.a b c= = = Bài22:Lời Giải: Áp dụng bất ñẳng thức CBS: ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ( ) ( ) .a b a c a b a a a c a ab ac a a b c+ + = + + + + ≥ + + = + + Do ñó: 3 3 2 2 2 2 2 2 2(2 )(2 ) ( ) ( ) a a a a b a c a a b c a b c ≤ = + + + + + + Tương tự ta có: ( ) 3 22 2 2 2 1 .(2 )(2 ) a a b c a b a c a b ca b c + + ≤ = + + + ++ + ∑ (Q.E.D) Đẳng thức xảy ra tại .a b c= = Bài23:Lời Giải: a) Ta áp dụng Bổ ñề sau ñể ñánh giá: ( )22 6 33 1 1.a a a a− + ≥ + + Thật vậy bất ñẳng thức trên tương ñương với : ( ) ( )4 21 2 2 0a a a− − + ≥ (True) Nên bổ ñề ñược chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại 1.a = Áp dụng bổ ñề trên ta có: ( ) ( ) ( )3 3 333 2 2 2 2 2 23(1 )(1 )(1 ) 3 1 3 1 3 1LHS x x y y z z x x y y z z = − − − − − − = − + − + − +  ( )( )( )3 6 3 6 3 6 31 1 1LHS x x y y z z⇒ ≥ + + + + + + Lại dùng BĐT holder ta có: ( )( )( ) ( ) 326 3 6 3 6 3 31 1 1 1 .x x y y z z xyz xyz RHS + + + + + + ≥ + + =  Suy ra Q.E.D. Đẳng thức xảy ra tại 1.x y z= = = b)Đặt ; ; .a b cx y z b c a = = = thì có ngay 1.xyz = Khi ñó : 1 1 . 1 1 c a xy x x c a y y + + − = = + + + + Khi ñó BĐT cần chứng minh trở thành: 1 1 0. 1 1 x x x y z x y z y y − − + + + ≤ + + ↔ ≥ + +∑ ∑ Bất ñẳng thức ( ) ( )2 2 2 2 2 2 3.x y z x y y z z x x y z⇔ + + + + + ≥ + + + Mà 2 2 2 2 3( ) ( ) . 3 x y z x y z xyz x y z x y z+ ++ + ≥ ≥ + + = + + & 2 3 3.x y xyz≥ =∑ Cộng vế với vế ta có ñiều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại 1 .x y z a b c= = = ↔ = = Mở rộng: Với a,b,c dương thì : .a kb b kc c ka a b c a kc b ka c kb b c a + + + + + ≤ + + + + + Bài 24:Lời giải: Từ Giã Thiết ta dễ dàng có : ; 6; 2; 1; 6.xy yz zx xy yz z xyz≥ ≥ ≥ ≤ ≤ = Vì thế ta dự ñóan dấu “=” tại 3; 2; 1.x y z= = = Theo ñó ta dễ dàng có: TUYểN TậP CÁC BÀI BấT ĐẳNG THứC THI VÀO LớP CUYÊN TOÁN 2009-2010 DIễn Đàn Bất Đẳng Thức Việt Nam-VIMF ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~▼▼▼▼~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tác giả: Messi_ndt - page14- 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 4 5 1 9 4 1 1 4 1 1 3 36 1 1 3 1 1 1. 4 3 12 4 12 12 4 ( ) 3 6 4 6 12x y z x y z y z z xyz yz z     + + = + + + + + ≥ + + ≥ + + =        (BĐT AM-GM cho ba số ) Đó chính là ĐPCM. Đẳng thức xảy ra tại 3; 2; 1.x y z= = = Bài 25: Lời Giải: Ta có : 1 1 1..... . 1 3 5 7 97 99 A = + + + + + + Đặt 1 1 1 ... . 3 5 5 7 99 101 S = + + + + + + Dễ thấy: A S> 2 .A A S⇒ > + Ta có : 1 1 1 1 ..... 1 3 3 5 97 99 99 101 A S A+ = = + + + + + + + + 3 1 5 3 101 99 ... 2 2 2 − − − → + + + 101 1 100 1 9 . 2 2 2 − − = > = 9 . 4 A→ > Q.E.D. Bất ñẳng thức ñược chứng minh xong. Bài 26: Lời Giải: Ta dự ñóan cực trị của biểu thức tại tâm .a b c= = Ta sẽ chứng minh hai BĐT: 1 . 27 abc ≤ .Thật vậy dùng AM-GM ta có: 3 1 . 3 27 a b c abc + + ≤ =    Và 2 2 2 9 . 1 1 1 10 a b c a b c + + ≤ + + + Thật vậy,không mất tính tổng quát giã sử a b c≥ ≥ Vì