Tuyển tập các bài tập hình học phẳng hay nhất ( tài liệu để ôn thi đại học )

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG HAY NHẤT ( Tài liệu để ôn thi đại học ) Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm và đường thẳng . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau. Giải - M thuộc d thi M(a;3a-5 ) - Mặt khác : - Tính : - Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì : - Vậy trên d có 2 điểm : Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C Giải - Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a-1;2a). - Ta có : . - Theo giả thiết : - Vậy ta có 2 điểm C : Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , ®Ønh C n»m trªn ®­êng th¼ng , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Giải - Tọa độ C có dạng : C(4;a) , - Theo tính chát trọng tâm ; - Do G nằm trên : 2x-3y+6=0 , cho nên : . - Vậy M(4;2) và (đvdt) Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 . Giải. A(2;1) B(1;-2) C M() G d:x+y-2=0 - Ta có : M là trung điểm của AB thì M. Gọi C(a;b) , theo tính chất trọng tam tam giác : - Do G nằm trên d : - Ta có : - Từ giả thiết : - Kết hợp với (1) ta có 2 hệ : Trong mặt phẳng oxy cho có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích . A(2;1) B C x+y+1=0 x-3y-7=0 M Giải - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ phương - Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : Giải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung điểm của AB . - Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C : - Ta có : - Vậy : (đvdt). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Giải A(5;2) B C x+y-6=0 2x-y+3=0 M N - Gọi B(a;b) suy ra M. M nằm trên trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1). - B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên : . Từ đó suy ra tọa độ N : . Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a ) - Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2) - Từ (1) và (2) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:, và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’. Giải - Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc - A thuộc đường tròn (1) - Đường tròn tiếp xúc với . (2) - Từ (1) và (2) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB Giải * Cách 1. - Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương - Đường tròn , suy ra : - Nếu d cắt tại A : - Nếu d cắt tại B : - Theo giả thiết : MA=2MB - Ta có : * Cách 2. - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k=. ( Học sinh tự làm ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm , chân đường cao hạ từ đỉnh B là , trung điểm cạnh AB là . Giải H(1;0) K(0;2) M(3;1) A B C - Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến . - B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương . - M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t). - Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2) - Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) , . Theo tính chất đường cao kẻ từ A : . Vậy : C(-2;1). - (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương - (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến . Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình và Lập phương trình tiếp tuyến chung của và Giải - Ta có : - Nhận xét : không cắt - Gọi d : ax+by+c =0 ( ) là tiếp tuyến chung , thế thì : . Mặt khác từ (1) : - Trường hợp : a=2b thay vào (1) : - Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm : - Trường hợp : , thay vào (1) : - Vậy có 2 đường thẳng : , Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm A có hoành độ bằng 4. Giải - Do A thuộc d : A(4;2) - Giả sử (H) : - Mặt khác do d tiếp xúc với (H) thì hệ sau có 12 nghiệm bằng nhau : - Kết hợp với (1) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật A B C D M(2;1) x-7y+14=0 x-2y+1=0 I Giải - Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ : - Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương: - Ta có : - (AB) có , (BD) có - Gọi (AC) có - Do đó : - Suy ra : - (AC) cắt (BC) tại C - (AC) cắt (AB) tại A : - (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) : - (AD) cắt (BD) tại D : - Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 các em làm tương tự . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG Giải A(2;3) B C x+y+5=0 x+2y-7=0 G(2;0) M - B thuộc d suy ra B :, C thuộc d' cho nên C: . - Theo tính chất trọng tâm : - Ta có hệ : - Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ chỉ phương , cho nên (BG): - Vậy đường tròn có tâm C(5;1) và có bán kính R= Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1) Giải A B C 2x-5y+1=0 M(3;1) H 12x-y-23=0 - Đường (AB) cắt (BC) tại B Suy ra : B(2;-1). . (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng (BC) có hệ số góc k'= , do đó ta có : . Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta có : . Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có : - Trường hợp : - Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB ). - Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Giải : . - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15. (C') có J(1;2) và R'=5. Gọi d là tiếp tuyến chung có phương trình : ax+by+c=0 (). - Khi đó ta có : - Từ (1) và (2) suy ra : . Thay vào (1) : ta có hai trường hợp : - Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) : Suy ra : - Trường hợp : . Vô nghiệm . ( Phù hợp vì : . Hai đường tròn cắt nhau ) . Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. I(-1;4) A B H Giải - Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0 - IH là khoảng cách từ I đến d' : - Xét tam giác vuông IHB : B(2;-1) A C x+2y-5=0 3x-4y+27=0 H K Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y– 5=0 Giải - Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) và vuông góc với (AH) suy ra (BC):, hay : - (BC) cắt (CK) tại C : - (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến Suy ra (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*). Gọi - Tương tự : - (AC) cắt (AH) tại A : - Lập (AB) qua B(2;-1) và 2 điểm A tìm được ở trên . ( học sinh tự lập ). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : x – y - = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếptam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . Giải - Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho y=0 suy ra x=1 , B(1;0) . Gọi A(a;0) thuộc Ox là đỉnh của góc vuông ( a khác 1 ).. Đường thẳng x=a cắt (BC) tại C : . - Độ dài các cạnh : - Chu vi tam giác : 2p= - Ta có : S=pr suy ra p=.(*) Nhưng S=. Cho nên (*) trở thành : - Trọng tâm G : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : và đường thẳng d : . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc Giải M x+y+1=0 A B I(2;1) - M thuộc d suy ra M(t;-1-t). . Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông ( A,B là 2 tiếp điểm ). Do đó AB=MI= IA=R=. - Ta có : - Do đó : . * Chú ý : Ta còn cách khác - Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) . - Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d(I;d')=R - Từ giả thiết ta có điều kiện : - Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) : .Tìm những điểm N trên elip (E) sao cho : ( F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip (E) ) Giải - (E) : - Gọi . Xét tam giác theo hệ thức hàm số cos : - Như vậy ta tìm được 4 điểm : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + 4 =0 Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với nhau góc 450. Giải - Gọi d là đường thẳng qua A(1;1) có véc tơ pháp tuyến thì d có phương trình dạng : a(x-1)+b(y-1)=0 (*). Ta có . - Theo giả thiết : - Vậy B là giao của d với cho nên : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng . d2: 3x +6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. P(2;-1) d:2x-y+5=0 d':3x+6y-7=0 Giải - Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau : - Lập đường thẳng qua P(2;-1) và vuông góc với tiếp tuyến : 9x+3y+8=0 . - Lập qua P(2;-1) và vuông góc với : 3x-9y+22=0 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: . Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). Giải - (H) có . Và hình chữ nhật cơ sở của (H) có các đỉnh : . - Giả sử (E) có : . Nếu (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) thì ta có phương trình : - (E) đi qua các điểm có hoành độ và tung độ - Từ (1) và (2) suy ra : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A Giải - (C) có I(), R= 4 . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm : I(-2;0) A(0;2) y x J(a;b) -Do (C) và (') tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách IJ =R+R' - Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên : - Do đó ta có hệ : - Giải hệ tìm được : b=3 và a= . * Chú ý : Ta có cách giải khác . - Gọi H là hình chiếu vuông góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b - Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra : - Từ tỷ số trên ta tìm được : b=3 và a= . Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Giải - Hình vẽ : ( Như bài 12 ). - Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ : . - Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và . Mặt khác : - Gọi (AC) có hệ số góc là k - Do đó : - Trường hợp : k=1 suy ra (AC) : y=(x-2)+1 , hay : x-y-1=0 . - C là giao của (BC) với (AC) : - A là giao của (AC) với (AB) : - (AD) //(BC) suy ra (AD) có dạng : 2x+y+m=0 (*) , do qua A(1;0) : m= -2 . Cho nên (AD) có phương trình : 2x+y-2=0 . - D là giao của (AD) với (BD) : - Trường hợp : k=- cách giải tương tự ( Học sinh tự làm ). Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (D) có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2); B (3;4). Tìm điểm M(D) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất Giải - M thuộc suy ra M(2t+2;t ) - Ta có : Tương tự : - Do dó : f(t)= . Lập bảng biến thiên suy ra min f(t) = đạt được tại Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của AB Giải - Đường tròn (C) : nằm trong hình tròn (C) . - Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương - Nếu d cắt (C) tại A,B thì : ( có 2 nghiệm t ) . Vì vậy điều kiện : - Gọi M là trung điểm AB thì ta có hệ : . Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được : Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E): , biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3) Giải - Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến qua A(4;3) thì d có phương trình là :a(x-4)+b(y-3)=0 (*) , hay : ax+by-4a-3b (1) . - Để d là tiếp tuyến của (E) thì điều kiện cần và đủ là : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I và đường thẳng D: mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. Giải - (C) : . - Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) tại 2 điểm A,B thì - Điều kiện : . Khi đó gọi - Khoảng cách từ I đến d = - Từ giả thiết : - Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC Giải - (AB) cắt (AC) tại A : - B nằm trên (AB) suy ra B(t; t-2 ), C nằm trên (AC) suy ra C(5-2m;m) - Theo tính chất trọng tâm : Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0. Giải - Gọi M là trung điểm AB suy ra M(3;3 ) . d' là đường trung trực của AB thì d' có phương trình : 1.(x-3)-2(y-3)=0 , hay : x-2y+3=0 . - Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d' cho nên I(2t-3;t) (*) - Nếu (C) tiếp xúc với d thì . (1) - Mặt khác : R=IA=. (2) . - Thay (2) vào (1) : . Thay các giá trị t vào (*) và (1) ta tìm được tọa độ tâm I và bán kính R của (C) . * Chú ý : Ta có thể sử dụng phương trình (C) : ( có 3 ẩn a,b,c) - Cho qua A,B ta tạo ra 2 phương trình . Còn phương trình thứ 3 sử dụng điều kiện tiếp xúc của (C) và d : khoảng cách từ tâm tới d bằng bán kính R . I M A B H Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho . Giải - Đường tròn (C) : . - Gọi H là giao của AB với (IM). Do đường tròn (C') tâm M có bán kính R' = MA . Nếu AB=, thì tam giác IAB là tam giác đều , cho nên IH= ( đường cao tam giác đều ) . Mặt khác : IM=5 suy ra HM= . - Trong tam giác vuông HAM ta có - Vậy (C') : . Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®­êng trßn (C) cã ph­¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vµ ®­êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®­êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®­êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. Giải I(1;-2) B C A x+y+m=0 - (C) có I(1;-2) và bán kính R=3 . Nếu tam giác ABC vuông góc tại A ( có nghĩa là từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau ) khi đó ABIC là hình vuông . Theo tính chất hình vuông ta có IA= IB(1) . - Nếu A nằm trên d thì A( t;-m-t ) suy ra : . Thay vào (1) : (2). Để trên d có đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều kiện : .Khi đó (2) có nghiệm kép là : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy. Giải - Gọi A là giao của - Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của với Oy : cho x=0 suy ra y=-4 , B(0;-4) và C là giao của với Oy : C(0;4 ) . Chứng tỏ B,C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên Ox vì vậy tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A . Do đó tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a;0). - Theo tính chất phân giác trong : . Có nghĩa là I() - Tính r bằng cách : . Trong mặt phẳng toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : . Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15 Giải - Nhận xét I thuộc , suy ra A thuộc : A(4t;1+3t) . Nếu B đối xứng với A qua I thì B có tọa độ B(4-4t;4+3t) - Khoảng cách từ C(2;-5) đến bằng chiều cao của tam giác ABC : - Từ giả thiết : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Giải - A,B có hoành độ là hoành độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của (E) , chúng nằm trên đường thẳng y-2=0 . C có hoành độ và tung độ dương thì C nằm trên cung phần tư thứ nhất - Tam giác ABC có AB=6 cố định . Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi khoảng cách từ C đến AB lớn nhất . - Dễ nhận thấy C trùng với đỉnh của bán trục lớn (3;0) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng vµ träng t©m thuéc ®­êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C. Giải - Do G thuộc suy ra G(t;3t-8). (AB) qua A(2;-3) có véc tơ chỉ phương , cho nên (AB) : . Gọi M là trung điểm của AB : M. - Ta có : . Giả sử C, theo tính chất trọng tâm ta có : - Ngoài ra ta còn có : AB=, - Theo giả thiết : Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E): vµ ®­êng th¼ng :3x + 4y =12. Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó Giải - Do A thuộc (AB) suy ra A(2t-2;t) ( do A có hoành độ âm cho nên t<1) - Do ABCD là hình chữ nhật suy ra C đối xứng với A qua I : C. - Gọi d' là đường thẳng qua I và vuông góc với (AB), cắt (AB) tại H thì : , và H có tọa độ là H. Mặt khác B đối xứng với A qua H suy ra B. - Từ giả thiết : AB=2AD suy ra AH=AD , hay AH=2IH - Vậy khi t = . * Chú ý : Ta còn có cách giải khác nhanh hơn - Tính , suy ra AD=2 h(I,AB)= - Mặt khác : IA=IB = -Do đó A,B là giao của (C) tâm I bán kính IA cắt (AB) . Vậy A,B có tọa độ là nghiệm của hệ : (Do A có hoành độ âm - Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại : C(3;0) và D(-1;-2) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao , phân giác trong .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC Giải C H B N A(1;-2) x-y+1=0 2x+y+5=0 - Đường (AB) qua A(1;-2) và vuông góc với (CH) suy ra (AB): . - (AB) cắt (BN) tại B: Do đó B(-4;3).Ta có : - Gọi A' đối xứng với A qua phân giác (BN) thì A' nằm trên (AB). Khi đó A' nằm trên d vuông góc với (BN) - d cắt (BN) tại H : . - A' đối xứng với A qua H suy ra A'(-3;-4) . (BC) qua B,A' suy ra : . (BC) cắt (CH) tại C: - Tính diện tích tam giác ABC : - Ta có : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng và . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Giải - Theo giả thiết , tọa độ tâm I . Gọi M là trung điểm của AD thì M có tọa độ là giao của : x-y-3=0 với Ox suy ra M(3;0). Nhận xét rằng : IM // AB và DC , nói một cách khác AB và CD nằm trên 2 đường thẳng // với ( có . -A,D nằm trên đường thẳng d vuông góc với . Giả sử A (1), thì do D đối xứng với A qua M suy ra D(3-t;t) (2) . - C đối xứng với A qua I cho nên C(6-t;3+t) (3) . B đối xứng với D qua I suy ra B( 12+t;3-t).(4) - Gọi J là trung điểm của BC thì J đối xứng với M qua I cho nên J(6;3). Do đó ta có kết quả là : . Khoảng cách từ A tới : . Thay các giá trị của t vào (1),(2),(3),(4) ta tìm được các đỉnh của hình chữ nhật : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H): và điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB Giải - Giải sử d có véc tơ chỉ phương , qua M(2;1) - d cắt (H) tại 2 điểm A,B thì A,B có tọa độ : - Điều kiện : (*). Khi đó và tọa độ của B : , suy ra nếu M là trung điểm của AB thì : 4+a - Kết hợp với - Áp dụng vi ét cho (1) : - Vậy d : 3(x-2)=(y-1) hay d : 3x-y-5=0 . Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng có phương trình x+2y-3=0 và hai điểm A(1;0),B(3;-4). Hãy tìm trên đường thẳng một điểm M sao cho : là nhỏ nhất Giải - D M có nên ta có : . Suy ra tọa độ của . - Vậy : f(t) = . Xét g(t)=, tính đạo hàm g'(t)= 160t+112. g'(t)=0 khi - Vậy min , đạt được khi t= và Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn : và cắt nhau tại A(2;3).Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt theo hai dây cung có độ dài bằng nhau Giải - Từ giả thiết : - Gọi đường thẳng d qua A(2;3) có véc tơ chỉ phương - d cắt tại A, B : . Tương tự d cắt tại A,C thì tọa độ của A,C là nghiệm của hệ : - Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của A,C . Từ đó ta có phương trình : Suy ra : . Vậy có 2 đường thẳng : d: x-2=0 và d': 2x-3y+5=0 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+y+1=0 trung tuyến từ đỉnh C có phương trình : 2x-y-2=0 . Viết phường trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải B C K H A(3;0) x+y+1=0 2x-y-2=0 - Đường thẳng d qua A(3;0) và vuông góc với (BH) cho nên có véc tơ chỉ phương do đó d : . Đường thẳng d cắt (CK) tại C : - Vì K thuộc (CK) : K(t;2t-2) và K là trung điểm của AB cho nên B đối xứng với A qua K suy ra B(2t-3;4t-4) . Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên : (2t-3)+(4t-4)+1=0 suy ra t=1 và tạo độ B(-1;0) . Gọi (C) : là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cho (C) qua lần lượt A,B,C ta được hệ : - Vậy (C) : Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(1;-1) ,B(2;1), diện tích bằng và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x+y-4=0 . Tìm tọa độ đỉnh C ? A(1;-1) B(2;1) G 3x+y-4=0 C Giải - Nếu G thuộc d thì G(t;4-3t). Gọi C(. Theo tính chất trọng tâm : Do đó C(3t-3;12-9t). -Ta có : - h(C,AB)= . Do đó : Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4;5) và một đường chéo có phương trình : 7x-y+8=0 . Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông Giải - Gọi A(-4;8) thì đường chéo (BD): 7x-y+8=0. Giả sử B(t;7t+8) thuộc (BD). - Đường chéo (AC) qua A(-4;8) và vuông góc với (BD) cho nên có véc tơ chỉ phương . Gọi I là giao của (AC) và (BD) thì tọa độ của I là nghiệm của hệ : - Từ B(t;7t+8) suy ra : . Để là hình vuông thì BA=BC : Và BAvuông góc với BC . Tìm tọa độ của D đối xứng với B qua I - Từ đó : (AB) qua A(-4;5) có (AD) qua A(-4;5) có (BC) qua B(0;8) có (DC) qua D(-1;1) có * Chú ý : Ta còn cách giải khác - (BD) : , (AC) có hệ số góc và qua A(-4;5) suy ra (AC): . -Gọi I là tâm hình vuông : - Gọi (AD) có véc tơ chỉ phương . Chọn a=1, suy ra Tương tự : và đường thẳng (DC): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(-1;0) và đường tròn ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất. Giải - - Nhận xét : P/(M,C)=1+8-16=-7<0 suy ra E nằm trong (C) - Gọi d là đường thẳng qua E(-1;0) có véc tơ chỉ phương - Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm M,N có tọa độ là nghiệm của hệ : . (1) - Gọi M(-1+at;bt),N( -1+at';bt') với t và t' là 2 nghiệm của (1). Khi đó độ dài của dây cung MN - . Xét hàm số f(t)= - Tính đạo hàm f'(t) cho bằng 0 , lập bảng biến thiên suy ra GTLN của t , từ đó suy ra t ( tức là suy ra tỷ số a/b ) ). Tuy nhiên cách này dài * Chú ý : Ta sử dụng tính chất dây cung ở lớp 9 : Khoảng cách từ tâm đến dây cung càng nhỏ thì dây cung càng lớn - Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d bất kỳ qua E(-1;0). Xét tam giác vuông HIE ( I là đỉnh ) ta luôn có : . Do đó IH lớn nhất khi HE=0 có nghĩa là H trùng với E . Khi đó d cắt (C) theo dây cung nhỏ nhất . Lúc này d là đường thẳng qua E và vuông góc với IE cho nên d có véc tơ pháp tuyến , do vậy d: 5(x+1)+2y=0 hay : 5x+2y+5=0 . Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là: x + 2y – 5 = 0 và 3x – y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; - 3). Giải A B C x+2y-5=0 3x-y+7=0 F(1;-3) - Ta thấy B là giao của (AB) và (BC) cho nên tọa độ B là nghiệm của hệ : . Đường thẳng d' qua A vuông góc với (BC) có . (AB) có . Gọi (AC) có hệ số góc là k ta có phương trình : - Với k=- - Với k= Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB Giải - Gọi A. - Do A là đỉnh của tam giác vuông cân cho nên AM vuông góc với AN hay ta có : - Do đó A nằm trên đường tròn (C) : - Đường tròn (C) cắt d tại 2 điểm B,C có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình : - Do đó ta tìm được : , tương ứng ta tìm được các giá trị của x : . Vậy : và tọa độ của điểm Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 5 = 0, d2: 3x + 2y – 1 = 0 và điểm G(1;3). Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm. Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và Giải - Tìm tọa độ A là nghiệm của hệ : A B C G M 2x+y+5=0 3x+2y-1=0 - Nếu C thuộc - Theo tính chấ