Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm học: 2011-2012

ĐỀ THI SỐ 1 Cõu 1: (4,0 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Cõu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : Tỡm ĐKXĐ rồi rỳt gọn biểu thức A ? Tỡm giỏ trị của x để A > 0? Tớnh giỏ trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Cõu 3: (5,0 điểm) Tỡm x,y,z thỏa món phương trỡnh sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. Cho và . Chứng minh rằng : . Cõu 4: (6,0 điểm) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớn hơn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ ? Hóy chứng minh điều đú ? Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đỏp ỏn Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 1,0 1,0 0,5 0,25 Vậy với thỡ . 0,25 b 1,0 Với 0,25 0,25 0,25 Vậy với x > 3 thỡ A > 0. 0,25 c 1,0 0,5 0,25 Với x = 11 thỡ A = 0,25 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : 0,5 Nờn : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5 Từ : 0,5 ayz + bxz + cxy = 0 0,25 Ta cú : 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 4 6,0 0,25 a 2,0 Ta cú : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giỏc : BEDF là hỡnh bỡnh hành. 0,25 b 2,0 Ta cú: 0,5 Chứng minh : 1,0 0,5 b, 1,75 Chứng minh : 0,25 0,25 Chứng minh : 0,25 0,25 Mà : CD = AB 0,5 Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25 ĐỀ SỐ 2 Cõu1. a. Phõn tớch cỏc đa thức sau ra thừa số: b. Giải phương trỡnh: c. Cho . Chứng minh rằng: Cõu2. Cho biểu thức: a. Rỳt gọn biểu thức A. b. Tớnh giỏ trị của A , Biết |x| =. c. Tỡm giỏ trị của x để A < 0. d. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn. Cõu 3. Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ MEAB, MFAD. a. Chứng minh: b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất. Cõu 4. a. Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Cõu Đỏp ỏn Điểm Cõu 1 (6 điểm) a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) (2 điểm) b. (*) Vỡ x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0 (*) (x - 5)(x + 6) = 0 (2 điểm) c. Nhõn cả 2 vế của: với a + b + c; rỳt gọn đpcm (2 điểm) Cõu 2 (6 điểm) Biểu thức: a. Rỳt gọn được kq: (1.5 điểm) b. hoặc hoặc (1.5 điểm) c. (1.5 điểm) d. (1.5 điểm) Cõu 3 (6 điểm) HV + GT + KL (1 điểm) a. Chứng minh: đpcm (2 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm (2 điểm) c. Cú Chu vi hỡnh chữ nhật AEMF = 2a khụng đổi khụng đổi lớn nhất (AEMF là hỡnh vuụng) là trung điểm của BD. (1 điểm) Cõu 4: (2 điểm) a. Từ: a + b + c = 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = (1 điểm) b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = 1 (a – 1).(b – 1) = 0 a = 1 hoặc b = 1 Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại) Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại) Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 (1 điểm) Đề thi SỐ 3 Câu 1 : (2 điểm) Cho P= a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên Câu 2 : (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . Câu 3 : (2 điểm) a) Giải phương trình : b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : A = Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : a) BD.CE= b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Câu 5 : (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . đáp án đề thi học sinh giỏi Câu 1 : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 0,25 Rút gọn P= 0,25 b) (0,5đ) P= ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3, mà Ư(3)= 0,25 Từ đó tìm được a 0,25 Câu 2 : (2đ) a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 . 0,25 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)= =(a+b) 0,5 Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ; Do vậy (a+b) chia hết cho 9 0,25 b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36 0,25 Câu 3 : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : 0,25 Phương trình trở thành : 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm được x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy ra a= ; 0,5 Thay vào ta được A= 0,25 Từ đó suy ra A hay A 0,25 Câu 4 : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : Vì =600 nên ta có : Suy ra Chứng minh ∾ (1) 0,5 Suy ra , từ đó BD.CE=BM.CM Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= 0,5 b) (1đ) Từ (1) suy ra mà BM=CM nên ta có Chứng minh ∾ 0,5 Từ đó suy ra , do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 0,5 Câu 5 : (1đ) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ẹEÀ THI SOÁ 4 Caõu1( 2 ủ): Phaõn tớch ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ Caõu 2( 2 ủ): Vụựi giaự trũ naứo cuỷa a vaứ b thỡ ủa thửực: phaõn tớch thaứnh tớch cuỷa moọt ủa thửực baọc nhaỏt coự caực heọ soỏ nguyeõn Caõu 3( 1 ủ): tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = chia heỏt cho ủa thửực Caõu 4( 3 ủ): Cho tam giaực ABC, ủửụứng cao AH,veừ phaõn giaực Hx cuỷa goực AHB vaứ phaõn giaực Hy cuỷa goực AHC. Keỷ AD vuoõng goực vụựi Hx, AE vuoõng goực Hy. Chửựng minh raốngtửự giaực ADHE laứ hỡnh vuoõng Caõu 5( 2 ủ): Chửựng minh raống ẹaựp aựn vaứ bieồu ủieồm Caõu ẹaựp aựn Bieồu ủieồm 1 2 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ 2 2 ủ Giaỷ sửỷ: Khửỷ a ta coự : mn = 10( m + n – 10) + 1 vỡ m,n nguyeõn ta coự: suy ra a = 12 hoaởc a =8 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 3 1 ủ Ta coự: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 ẹeồ thỡ 0,5 ủ 0,5 ủ 4 3 ủ Tửự giaực ADHE laứ hỡnh vuoõng Hx laứ phaõn giaực cuỷa goực ; Hy phaõn giaực cuỷa goực maứ vaứ laứ hai goực keà buứ neõn Hxvaứ Hy vuoõng goực Hay = 900 maởt khaực = 900 Neõn tửự giaực ADHE laứ hỡnh chửừ nhaọt ( 1) Do Hay HA laứ phaõn giaực (2) Tửứ (1) vaứ (2) ta coự tửự giaực ADHE laứ hỡnh vuoõng 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 5 2 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ ĐỀ THI SỐ 5 Bài 1: (4 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử: (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trỡnh: . Bài 3: (3 điểm) Tỡm x biết: . Bài 4: (3 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, D là điểm di động trờn cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm D lờn AB, AC. Xỏc định vị trớ của điểm D để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng. Xỏc định vị trớ của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giỏ trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giỏc ABC, cỏc điểm A, E, F tương ứng nằm trờn cỏc cạnh BC, CA, AB sao cho: . Chứng minh rằng: . Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tớnh độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = = = = 3 = 3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = = = . Bài 2: Bài 3: . ĐKXĐ: . Đặt a = x – 2010 (a 0), ta cú hệ thức: (thoả ĐK) Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) Vậy x = và x = là giỏ trị cần tỡm. Bài 4: = Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 5: a) Tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật (vỡ ) Để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng thỡ AD là tia phõn giỏc của . b) Do tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật nờn AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn BC. Bài 6: a) Đặt . Ta cú (*) Qua D, E, F lần lượt kẻ cỏc đường thẳng vuụng gúc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phõn giỏc của tam giỏc DEF. (1) Ta cú (2) (1) & (2) (**) (*) & (**) . b) Chứng minh tương tự cõu a) ta cú: s , s s (3) Ta lại cú CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5 ĐỀ SỐ 6 Bài 1(3 điểm): Tỡm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 b) c) 4x – 12.2x + 32 = 0 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và . Tớnh giỏ trị của biểu thức: Bài 3 (1,5 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chớnh phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. a) Tớnh tổng b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. c) Tam giỏc ABC như thế nào thỡ biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất? ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): a) Tớnh đỳng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tớnh đỳng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đú: ( 0,25điểm ) Tớnh đỳng A = 1 ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi là số phải tỡm a, b, c, d N, (0,25điểm) với k, mN, (0,25điểm) Ta cú: (0,25điểm) Do đú: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) hoặc m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 hoặc m = 67 m = 37 k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đỳng = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hỡnh đỳng (0,25điểm) a) ; (0,25điểm) Tương tự: ; (0,25điểm) (0,25điểm) b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC: (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD (0,25điểm) -BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (0,25điểm) Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BCABC đều Kết luận đỳng (0,25điểm) *Chỳ ý :Học sinh cú thể giải cỏch khỏc, nếu chớnh xỏc thỡ hưởng trọn số điểm cõu đú ĐỀ SỐ 7 Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức A = với x khỏc -1 và 1. a, Rỳt gọn biểu thức A. b, Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x . c, Tỡm giỏ trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) Cho . Chứng minh rằng . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh. Một phõn số cú tử số bộ hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lờn 4 đơn vị thỡ sẽ được phõn số nghịch đảo của phõn số đó cho. Tỡm phõn số đú. Bài 4 (2 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú gúc ABC bằng 600, phõn giỏc BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giỏc AMNI là hỡnh gỡ? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tớnh cỏc cạnh của tứ giỏc AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chộo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. b, Chứng minh rằng . c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tớch); SCOD= 20092 (đơn vị diện tớch). Tớnh SABCD. Đỏp ỏn Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khỏc -1 và 1 thỡ : A= 0,5đ = 0,5đ = 0,5đ = 0,5đ b, (1 điểm) Tại x = = thỡ A = 0,25đ = 0,25đ 0,5đ c, (1điểm) Với x khỏc -1 và 1 thỡ A<0 khi và chỉ khi (1) 0,25đ Vỡ với mọi x nờn (1) xảy ra khi và chỉ khi KL 0,5đ 0,25đ Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ Biến đổi để cú 0,5đ Biến đổi để cú (*) 0,5đ Vỡ ;;; với mọi a, b, c nờn (*) xảy ra khi và chỉ khi ; và ; 0,5đ 0,5đ Từ đú suy ra a = b = c 0,5đ Bài 3 (3 điểm) Gọi tử số của phõn số cần tỡm là x thỡ mẫu số của phõn số cần tỡm là x+11. Phõn số cần tỡm là (x là số nguyờn khỏc -11) 0,5đ Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phõn số (x khỏc -15) 0,5đ Theo bài ra ta cú phương trỡnh = 0,5đ Giải phương trỡnh và tỡm được x= -5 (thoả món) 1đ Từ đú tỡm được phõn số 0,5đ Bài 4 (2 điểm) Biến đổi để cú A= 0,5đ = 0,5đ Vỡ và nờn do đú 0,5đ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 0,25đ KL 0,25đ Bài 5 (3 điểm) a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giỏc AMNI là hỡnh thang 0,5đ Chứng minh được AN=MI, từ đú suy ra tứ giỏc AMNI là hỡnh thang cõn 0,5đ b,(2điểm) Tớnh được AD = ; BD = 2AD = AM = 0,5đ Tớnh được NI = AM = 0,5đ DC = BC = , MN = 0,5đ Tớnh được AI = 0,5đ Bài 6 (5 điểm) a, (1,5 điểm) Lập luận để cú , 0,5đ Lập luận để cú 0,5đ OM = ON 0,5đ b, (1,5 điểm) Xột để cú (1), xột để cú (2) Từ (1) và (2) OM.() 0,5đ Chứng minh tương tự ON. 0,5đ từ đú cú (OM + ON). 0,5đ b, (2 điểm) , 0,5đ Chứng minh được 0,5đ Thay số để cú 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009 0,5đ Do đú SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,5đ ĐỀ SỐ 8 Bài 1: Cho x = ; y = Tớnh giỏ trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trỡnh: a, = ++ (x là ẩn số) b, + + = 0 (a,b,c là hằng số và đụi một khỏc nhau) Bài 3: Xỏc định cỏc số a, b biết: = + Bài 4: Chứng minh phương trỡnh: 2x2 – 4y = 10 khụng cú nghiệm nguyờn. Bài 5: Cho ABC; AB = 3AC Tớnh tỷ số đường cao xuất phỏt từ B và C ĐỀ SỐ 9 Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: a/ Thu gọn A b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1 c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acú giỏ trị nguyờn Bài 2: (2 điểm) a/ Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử ( với hệ số là cỏc số nguyờn): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hóy tớnh x2 + y2 Bài 3 (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đú b và c là cỏc số nguyờn. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tớnh P(1) Bài 4 (3,5 điểm): Cho hỡnh chữ nhật cú AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuụng gúc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tớnh số đo gúc DBK. b/ Gọi F là chõn đường vuụng gúc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cựng nằm trờn một đường thẳng. Bài 5 (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiờn m, m+k, m+ 2k đều là cỏc số nguyờn tố lớn hơn 3, thỡ k chia hết cho 6. ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức a) Rỳt gọn A. b) Tỡm x để A < -1. c) Với giỏ trị nào của x thỡ A nhận giỏ trị nguyờn. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trỡnh: a) b) Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe mỏy và một ụ tụ cựng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lỳc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lỳc mấy giờ ụ tụ cỏch đều xe đạp và xe đạp và xe mỏy? Bài 4: (2 điểm) Cho hỡnh chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chộo AC ta dựng hỡnh chữ nhật AMPN ( M ẻ AB và N ẻAD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trờn AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chớnh phương. ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm) a) Cho .Tớnh b) Nếu a, b, c là cỏc số dương đụi một khỏc nhau thỡ giỏ trị của đa thức sau là số dương: Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thỡ: Bài 3: (2 điểm) Một ụ tụ phải đi quóng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quóng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quóng đường sau đi với vận tốc kộm hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tớnh thời gian ụ tụ đi trờn quóng đường AB biết người đú đến B đỳng giờ. Bài 4: (3 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuụng gúc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giỏc MENF là hỡnh thoi. b) Chứng minh chi vi tam giỏc CME khụng đổi khi E chuyển động trờn BC Bài 5: (1 điểm) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: ĐỀ SỐ 12 Bài 1: Phõn tớch thành nhõn tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a, Cho a, b, c thoả món: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tớnh giỏ trị của A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0. Tớnh giỏ trị của D = x2011 + y2011 + z2011 Biết x,y,z thoả món: = ++ Bài 3: a, Cho a,b > 0, CMR: + b, Cho a,b,c,d > 0 CMR: +++ 0 Bài 4: a, Tỡm giỏ trị lớn nhất: E = với x,y > 0 b, Tỡm giỏ trị lớn nhất: M = với x > 0 Bài 5: a, Tỡm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tỡm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Bài 6: Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hỡnh bỡnh hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ ĐỀ SỐ 13 Bài 1: (2 điểm) a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: b) Cho a, b, c khỏc nhau, khỏc 0 và Rỳt gọn biểu thức: Bài 2: (2điểm) a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: b) Giải phương trỡnh: Bài 3: (2điểm) Một người đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phỳt, người đú gặp một ụ tụ, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ụ tụ đến A nghỉ 15 phỳt rồi trở lại B và gặp người đi xe mỏy tại một một địa điểm cỏch B 20 km. Tớnh quóng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD. M là một điểm trờn đường chộo BD. Kẻ ME và MF vuụng gúc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuụng gúc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xỏc định vị trớ của điểm M để tứ giỏc AEMF cú diện tớch lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: ĐỀ SỐ 14 Bài 1: (2,5điểm) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) x- 3x + 4-2 với x > 0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức: Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0 Tớnh: Bài 4 : (3điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn BC lấy M bất kỡ sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF. Biết : AB =7cm Chứng minh : AFEN là hỡnh thang cõn c) Tớnh : ANB + ACB = ? M ở vị trớ nào để tứ giỏc AEMF là hỡnh thoi và cần thờm điều kiện của D ABC để cho AEMF là hỡnh vuụng. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. Đề SỐ 15 Bài 1: (2 điểm) a) Phõn tớch thành thừa số: b) Rỳt gọn: Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiờn n. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba mỏy bơm A, B, C hỳt nước trờn giếng. Nếu làm một mỡnh thỡ mỏy bơm A hỳt hết nước trong 12 giờ, mỏy bơm B hỳt hếtnước trong 15 giờ và mỏy bơm C hỳt hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai mỏy bơm A và C cựng làm việc sau đú mới dựng đến mỏy bơm B. Tớnh xem trong bao lõu thỡ giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trỡnh: (a là hằng số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại C (CA > CB), một điểm I trờn cạnh AB. Trờn nửa mặt phẳng bờ AB cú chứa điểm C người ta kẻ cỏc tia Ax, By vuụng gúc với AB. Đường thẳng vuụng gúc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại cỏc điểm M, N. a) Chứng minh: tam giỏc CAI đồng dạng với tam giỏc CBN. b) So sỏnh hai tam giỏc ABC và INC. c) Chứng minh: gúc MIN = 900. d) Tỡm vị trớ điểm I sao cho diện tớch ∆IMN lớn gấp đụi diện tớch ∆ABC. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: là số chớnh phương. (). Đề SỐ 16: Cõu 1 : ( 2 ủieồm ) Phõn tớch biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Cõu 2 : ( 4 ủieồm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bỡnh phương của một đa thức khỏc . Cõu 3 : ( 4 ủieồm ) Cho biểu thức : P = a) Rỳt gọn p . b) Tớnh giỏ trị của biểu thức p khi /x / = c) Với giỏ trị nào của x thỡ p = 7 d) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để p cú giỏ trị nguyờn . Cõu 4 : ( 3 ủieồm ) Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Cõu 5 : ( 3ủieồm) Qua trọng tõm G tam giỏc ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tớnh độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giỏc ABC bằng 75 (cm) Cõu 6 : ( 4 ủieồm ) Cho tam giỏc đều ABC . M, N là cỏc điểm lần lượt chuyển động trờn hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xỏc định vị trớ của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . đề SỐ 17 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)( Tìm số d trong phép chia của biểu thức cho đa thức . Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo . Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 2,0 1.1 (0,75 điểm) 0.5 0,5 1.2 (1,25 điểm) 0,25 0,25 0,25 2. 2,0 2.1 (1) + Nếu : (1) (thỏa mãn điều kiện ). + Nếu : (1) (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là . 0,5 0,5 2.2 (2) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: (2) và . Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm 0,25 0,5 0,25 3 2.0 3.1 Ta có: A= = Mà: (BĐT Cô-Si) Do đó A Vậy A 0,5 0,5 3.2 Ta có: Đặt , biểu thức P(x) đợc viết lại: Do đó khi chia cho t ta có số d là 1993 0,5 0,5 4 4,0 4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 1,0 0,5 4.2 Ta có: (do ) mà (tam giác AHD vuông vân tại H) nên (do ) Do đó (c.g.c), suy ra: 0,5 0,5 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. Suy ra: , mà 0,5 Do đó: 0,5 Phòng GD & ĐT huyện Thờng Tín Trờng THCS Văn Tự Gv: Bùi Thị Thu Hiền đề SỐ 18 đề bài: Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình: a) b) c) Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó. Bài 4 (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. Tứ giác AMDB là hình gì? Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điể