Ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán

Mục lục A. Đặt vẫn đề B. Giải quyết vẫn đề i- Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu II- Kiến thức cần nắm III- Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm C. Phần chi tiết Phần I: vận dụng BĐT Cosi để giải toán “tìm cực trị” Phần II: Sử dụng BĐT cosi để chứng minh BĐT Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng công thức để giải toán d. kết luận i- Kết quả đạt được II- Bài học kinh nghiệm A. Đặt vấn đề Toán học là một môn khoa học tự nhiên, toán học có một vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều và rất đa dạng và phong phú. Trong đó các bài toán loại tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức là những bài toán khó, để giải được các dạng toán đó đòi hỏi chúng ta phải nắm được nhiều kiến thức cơ bản và các phương pháp để giải. Có nhiều phương pháp để giải và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi loại bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Đối với học sinh trung học cơ sở loại toán tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức làm đa số các em rất ngại nhưng nó lại thường được sử dụng trong các kỳ thi HSG. Hơn nữa đa số các em khá giỏi lại rất có hứng thú với loại toán này, bởi nó giúp các em khả năng phân tích, dự đoán, tính lập luận lô rích, khả năng tổng hợp, khái quát một vấn đề … . Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy ở trường THCS, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các dạng toán này vì các bài toán tìm cực ttrị và chứng ming bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán. Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vạn dụng kiến thức vào giải các dạng bài toán khác Với nhiều năm giảng dạy môn toán THCS bản thân tôi đã có cố gắng tìm tòi góp nhặt được một số kinh nghiệm nhỏ để giải bài toán cực trị và chứng minh BĐT. Với kinh nghiệm này tôi mong giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận với loại toán này và có định hướng rõ hơn khi giải toán. B- Giải quyết vấn đề I- Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu Khi giảng dạy trên lớp 9 chọn, gặp một số bài tập về tìm cực trị và chứng minh BĐT học sinh còn lúng túng khi ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán. Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy Số lượng Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm kém 35 0 6 11 16 2 Trước vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hướng dẫn học sinh một số phương pháp khi ứng dụng BĐT côsi trong loại toán tìm cực trị và chứng minh BĐT. Để vận dụng BĐT côsi vào giải toán như thế nào cho hợp lý đó là đIũu mà tôI trăn trở nhất trong SKKN này. ở đây qua các ví dụ ngoài việc giải rõ ràng tôi đã cố gắng hướng dẫn các em cách phân tích bài toán để phân dạng, phân loại đế sử dụng phương pháp giải hợp lý và một số bài tập đã được nâng lên thành ví dụ tổng quát giúp học sinh khái quát hoá vấn đề một cách nhanh chóng. II- Kiến thức cần nắm Như chúng ta đã biết từ lớp 8 học sinh đã được làm quen với bất BĐT côsi. (Với a, b 0) Mở rộng cho trường hợp n số không âm a1, a2,… an Ta có a1+ a2+…+an n(dấu = xẩy ra a= a= … = a) III- Cấu trúc SKKN này gồm 3 phần Phần I: áp dụng BĐT Côsi để giải bài toán cực trị Phần II: Sử dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng bài toán chìa khoá để giải toán C. Phần chi tiết Phần I: Vận dụng BĐT Cosi để giải toán “tìm cực trị” Trường hợp 1: Biểu thức cần tìm cực trị có dạng với (a,b là một hằng số VD1: Tìm giá trị lớn nhất của P1 = Giải: ĐK: Ta có: P12 = 4x + 5 + 7 – 4x + áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có: Vậy P12 P1 dấu “=” xẩy ra Vậy Max P1 = 2 Trường hợp 2: BT cần tìm cực trị có dạng VD2: Tìm giá trị lớn nhất của P2 = ĐK: > ở đây ta thấy cần dùng BĐT Cosi để đánh giá P2 mà ta lại có áp dụng BĐT Cosi cho hai số không âm ta có Vậy P2 dấu “=” xẩy ra vậy min P2 = ở đây ta cũng có thể giải bài toán ở góc độ tổng quát như sau: VD3: Tìm giá trị lớn nhất của P3 = Với a, b, n > 0 và x Ta thấy áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có vậy P2 dấu “=” xẩy ra vậy Max P3 = Trường hợp 3: BĐT đã cho là tổng của nhiều phân thức. * Phương pháp giải: 3.1 Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử bằng nhau VD4: Cho x > 0 tìm GTNN của P3 = 3x + áp dụng BĐT Cosi cho 4 số không âm ta có: dấu”=” xẩy ra vậy Min P3 = 12 3.2 Tạo ra một hạng tử là nghịch đảo của hạng tử đã cho VD5: Cho a > 0; 0 < x < k. Tìm giá trị nhỏ nhất của P4 = ở đây ta thấy cần phải tạo ra một hạng tử có dạng (là nghịch đảo của ) Mặt khác ta lại có vậy áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có: dấu “=” xẩy ra vậy Min VD6: Cho 0 < x < 1 tìm giá trị nhỏ nhất của B = ta có B = áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có dấu “=” xẩy ra vậy Min B = 7 + 4 Chú ý: Vấn đề “kỹ thuật” làm thế nào để biết tách ? Ta đặt sau đó đồng nhất hệ số ta được a = b = 1; c = 7 VD7: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của Ta thấy muốn vận dụng BĐT Cosi để dánh giá được P5 thì cần phải làm triệt tiêu các mẫu của các hạng tử vì vậy ta phải cộng thêm mỗi hạng tử một lượng thích hợp dấu “=” xẩy ra vậy min Chú ý: Khi gặp loại bài tập này đa số học sinh sẽ rất lúng túng vì không biết sẽ thêm vào BT nào cho phù hợp để nhằm thoả mãn cả 2 ĐK. + ) Vận dụng được BĐT Cosi để dánh giá P5 +) x + y + z = 2 Trở về với ví dụ trên ta thấy tại sao mẫu số của biểu thức cần thêm vào phải là 4 mà không phải là một số chính phương khác. Đến đây học sinh vẫn phải biết “kỹ thuật” phân tích ngược vấn đề. Giả sử BT cần thêm là lúc Min dấu “=” xẩy ra nghĩa là: (1) tương tự (2) (3) Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có: (vì ); Lập luận tương tự y = z; z = x Vậy thay vào (1) ta có Bài tập vận dụng phần I: 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 5x + 3y + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = 4x + Phần II: Sử dụng bất dẳng thức Cosi để chứng minh BĐT VD1: CMR: ta luôn có Với bài toán này nếu học sinh biết cách sử dụng BĐT Cosi thì việc giải sẽ trở nên vô cùng đơn giản như sau: Giải: áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có: Thực hiện phép cộng từng vế của cả 3 BĐT trên sau đó chia cả 2 vế cho 2 ta có: (1) Dờu “=” xẩy ra Mở rộng cho trường hợp tổng quát: Từ bài toán trên nếu ta đặt a = 3; b = 4; c = 5 thì ta được bài toán tổng quát sau: Với ; CMR: (Học sinh có thể giả bài toán này một cách dễ dàng bằng cách tương tự như trên) VD2: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1 CMR: Giải: Vế trái = Mà (áp dụng BĐT Cosi cho 4 số dương) Thực hiện phép nhân từng vế của 3 BĐT trên ta có: Vậy (1) dấu “=” xẩy ra VD3: CMR: Với số thực không âm a, b, c ta luôn có (*) Giải: Ta thấy (*) áp dụng BĐT Cosi cho 3 số không âm ta có: Thực hiện phép nhân 2 vế của 2 BĐT trên ta có: dấu “=” xẩy ra Chú ý: Bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp n số dương. VD: Cho a1, a2,…., an > 0. CMR: (Ta dễ dàng CM bài toán nay tương tự ví dụ 3) VD4: CMR với số thực a, b, c > 0 thì Giải Đặt S = P = Q = Ta dễ thấy P + Q = ; P + S = áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương ta có P + S ; Q + S 2S + Q + P mà P + Q = 3 Vậy 2S S dấu “=” xẩy ra Bài tập vận dụng phần II: 1. Cho a > b > c > 0. CMR: 2. Cho x > y và xy = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất Q = 3. Cho x, y, z và x + y + z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của A = xy + yz + xz. Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng công thức để giải toán Thật vậy, từ BĐT Cosi quen thuộc x2 + y2 2xy. Ta dễ dàng CM được (Với > 0) (*) Thật vậy: x2 + y2 2xy dấu “=” xẩy ra x = y Với BĐT chìa khoá này nó được sử dụng để CM rất nhiều bài toán khác. Mời các bạn cùng theo dõi. Bài tập 1: Cho a, b, c, d > 0 và thoả mãn a + b + c + d = 1; CMR: Giải: áp dụng BĐT (*) cho 2 số dương và 2 số dương ta có Mà Dấu “=” xẩy ra Bài tập 2: Cho các số dương x, y thoả mãn x+ y = 1; CMR Giải: Vậy Dấu “=” xẩy ra Lưu ý: Có những lúc gặp tử thức không phải là 1 mà là một biểu thức chứa chữ thì chúng ta hãy tìm cách biến đổi để dưa về dạng sử dụng được BĐT (*) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số dương. CMR: Giải: Ta nhận thấy Và áp dụng BDT (*) ta có Vậy VT = VT Dấu “=” xẩy ra Bài tập 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác; P là chu vi. CMR: (1) Ta có (1) Vì a + b – c > 0; c + a – b > 0; b + c – a > 0. Nên áp dụng (*) ta có: Dấu “=” xẩy ra (Tam giác đó đều) Tuy nhiên trong thực tế cũng có những bài toán cần thiết phải biết cách biến đổi tinh vi hơn một chút. Bài tập 5: Cho x, y, z là các số dương. CMR: Giải: áp dụng BĐT (*) ta có: Tương tự: Thực hiện phép cộng từng vế của cả 3 BĐT trên ta được (ĐPCM) Bài tập vận dụng phần 3: 1. Cho x, y, z > 0 và . CMR: . 2. Cho a, b, c > 0. CMR: D- Kết luận: I- Kết quả đạt được: Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy học sinh đã xác định được loại toán và cách làm về tìm cực trị và chứng minh BĐT (ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán). Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận các em sẽ tự tin hơn. Kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài: Số lượng HS Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm kém 35 7 11 14 3 0 II- Bài học kinh nghiệm: Qua việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đè tài là phần kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối giờ luyện tập, hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học còn phức tạp khó hình dung vì vậy cần đưa kiến thức cho học sinh làm từ dễ đến khó, kết hợp ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra học sinh,… Sau khi hướng dãn học sinh xong nội dung, cần cho học sinh hững kiến thức cần thiết đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh, cần nội dung vào bài dạy cho phù hợp tránh dồn ép học sịnh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt một kết quả không mong muốn. Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà thu tôi thu nhặt được trong quá trình giảng dạy môn toán ở THCS. Đề tài có thể đang còn nhiều hạn chế rất mong nhận được góp ý của các đồng nghiệp để đè tài được hoàn thiện. Tôi xin chân thành cảm ơn! Nghĩa Đàn, ngày 2 tháng 5 năm 2008 Người viết Nguyễn Danh Thắng