Ứng ứng dụng đạo hàm để giải Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình chứa tham số

øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 – Thư viện Sách Online 1 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên tập D 1. Phương trình ( )f x m= có nghiệm x D∈ ( ) ( )min max x D x D f x m f x ∈ ∈ ⇔ ≤ ≤ 2. Bất phương trình ( )f x m≤ có nghiệm x D∈ ( )min x D f x m ∈ ⇔ ≤ 3. Bất phương trình ( )f x m≤ có nghiệm ñúng với x D∈ ( )max x D f x m ∈ ⇔ ≤ 4. Bất phương trình ( )f x m≥ có nghiệm x D∈ ( )max x D f x m ∈ ⇔ ≥ 5. Bất phương trình ( )f x m≥ có nghiệm ñúng với x D∈ ( )min x D f x m ∈ ⇔ ≥ II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm ta làm như sau: 1. Biến ñổi phương trình, bất phương trình về dạng: ( ) ( )f x g m= ( hoặc ( ) ( ) ( ) ( );f x g m f x g m≥ ≤ ) 2. Tìm TXð D của hàm số ( )y f x= 3. Lập bảng biến thiên của hàm số ( )y f x= ở trên D 4. Tìm ( ) ( )min ;max x D x D f x f x ∈ ∈ 5. Vận dụng các kiến thức cần nhớ bên trên suy ra giá trị m cần tìm Lưu ý: Trong trường hợp PT, BPT, HPT chứa các biểu thức phức tạp ta có thể ñặt ẩn phụ: + ðặt ( )t xϕ= ( ( )xϕ là hàm số thích hợp có mặt trong ( )f x ) + Từ ñiều kiện ràng buộc của x D∈ ta tìm ñiều kiện t K∈ + Ta ñưa PT, BPT về dạng ( ) ( )f t h m= ( hoặc ( ) ( ) ( ) ( );f t h m f t h m≥ ≤ ) + Lập bảng biến thiên của hàm số ( )y f t= ở trên K + Từ bảng biến thiên ta suy ra kết luận của bài toán III. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.(B-06). Tìm m ñể phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt 2 2 2 1x mx x+ + = + Giải: 2 2 2 1x mx x+ + = + ( ) ( ) 22 2 12 1 0 2 2 2 1 3 4 1 * x x x mx x mx x x + ≥ ≥ −  ⇔ ⇔  + + = +  = + − Xét phương trình ( )* + 0 0. 1x x= ⇒ = − , phương trình này vô nghiệm. Nghĩa là không có giá trị nào của m ñể phương trình có nghiệm 0x = + 1 0 3 4x x m x ≠ ⇒ + − = . Ta xét hàm số ( ) 13 4f x x x = + − trên tập { }1 ; \ 0 2  − +∞  Ta có ( ) 2 1 ' 3 0f x x = + > với { }1 ; \ 0 2 x  ∀ ∈ − +∞  , suy ra hàm số ( ) 13 4f x x x = + − ñồng biến trên { }1 ; \ 0 2  − +∞  ( ) 0 0 1 lim lim 3 4 x x f x x x± ±→ →  = + − = ∞    m ; ( ) 1lim lim 3 4 x x f x x x→+∞ →+∞  = + − = +∞    Ta có bảng biến thiên của hàm số ( )f x Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) 13 4f x x x = + − và ñường thẳng y m= trên miền { }1 ; \ 0 2  − +∞  Dựa vào bảng biến thiên ta ñược giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 9 2 m ≥ Ví dụ 2. Tìm m ñể phương trình ( ) ( )2 2 2 1 2 0m x x x x− + + + − ≤ có nghiệm thuộc 0;1 3 +  Giải: ðặt 2 2 2t x x= − + ( ) 22 2x x t⇒ − − = − . x f’(x) f(x) 1 / 2− 0 −∞ + + +∞ +∞ +∞ 9 2 øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 – Thư viện Sách Online 2 Khi ñó bất phương trình trở thành: ( ) 21 2m t t+ ≤ − (*) Ta có 2 1 ' , ' 0 1 2 2 x t t x x x − = = ⇔ = − + Ta có bảng biến thiên : Từ ñó ta có 1 2t≤ ≤ , từ (*) suy ra 2 2 1 t m t − ≤ + (1) Xét hàm số ( ) 2 2 1 t f t t − = + trên tập[ ]1;2 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ' 0 1 t f t t + + = > + với [ ]1;2t∀ ∈ Ta có bảng biến thiên của hàm số ( )f t Bất phương trình ñã cho có nghiệm 0;1 3x  ∈ +  ⇔ bất phương trình ( )1 có nghiệm [ ]1;2t∈ [ ] ( ) ( ) 1;2 2 max 2 3 m f t f⇔ ≤ = = Ví dụ 3.(A-08). Tìm m ñể phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt ( )4 42 2 2 6 2 6x x x x m m+ + − + − = ∈ ¡ Giải ðiều kiện: 0 6x≤ ≤ Xét hàm số ( ) 4 42 2 2 6 2 6f x x x x x= + + − + − trên tập [ ]0;6 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 4 2 4 22 2 2 6 2 6f x x x x x= + + − + − ( ) ( ) ( ) 3 1 4 2 1 1 ' 2 .2 2 .2 4 2 f x x x − − = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 2 1 1 2. 6 . 1 2. 6 . 1 4 2 x x − − − − + − − ( ) ( )3 34 4 1 1 1 1 1 1 . . 2 22 62 6x xx x = + − − −− ( ) ( )3 34 4 1 1 1 1 1 . 2 2 62 6 x xx x     = − + −   − −  ( ) ( ) ( )4 4 2 244 4 1 1 1 1 1 1 . 2 2 6 2 62 6x x x xx x     = − + +  − −  −  4 4 4 4 1 1 1 1 2 6 2 6x x x x    + − +  − −   ( ) ( ) ( ) 4 4 4 42 244 4 1 1 1 1 1 1 1 1 22 6 2 62 62 6x x x xx xx x         = − + + + +     − −−   −    ta có ( ) ( ) ( ) 4 42 244 4 1 1 1 1 1 1 0 2 2 62 62 6 x xx xx x     + + + + >   −−  −  với ( )0;6x∀ ∈ ( ) 4 4' 0 2 6 2 6 2f x x x x x x= ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = Ta có bảng biến thiên Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( )y f x= và ñường thẳng y m= trên miền [ ]0;6 Dựa vào bảng biến thiên ta ñược giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 42 6 2 6 3 2 6m+ ≤ < + Ví dụ 4.(B-07) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: ( )2 2 8 2x x m x+ − = − Giải: ðiều kiện: do 0 2m x> ⇒ ≥ . Ta có: ( )2 2 8 2x x m x+ − = − ( )( ) ( )2 4 2x x m x⇔ − + = − ( )( ) ( )2 2 2 4 * x x x m = ⇔  − + = x t’ t 0 + - 1 3+ 1 0 2 1 2 t f’(t) f(t) 1 + 2 2 3 1 2 x f’(x) f(x) 0 - + 6 2 0 42 6 2 6+ 3 2 6+ 4 12 2 3+ øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 – Thư viện Sách Online 3 Nhận thấy phương trình ñã cho luôn có 1 nghiệm 2x = , ñể chứng minh khi 0m > phương trình ñã cho có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương trình ( )* luôn có một nghiệm thực 2x > khi 0m > Xét hàm số ( ) ( )( )2 3 22 4 6 32f x x x x x= − + = + − trên tập ( )2;+∞ Ta có ( ) 2' 3 12 0f x x x= + > với 2x∀ > ( ) 3 3 6 32 lim lim 1 x x f x x x x→+∞ →+∞  = + − = +∞    Ta có bảng biến thiên của hàm số ( )f x Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( )y f x= và ñường thẳng y m= trên miền ( )2;+∞ Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi 0m > thì phương trình (*) luôn có 1 nghiệm 2x > Vậy với 0m > thì phương trình ñã cho luôn có 2 nghiệm thực phân biệt Ví dụ 5. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm: 2 22 4 2 4x x x x m+ + − − + = Giải: Vì ( )22 2 4 1 3 3 0,x x x x± + = ± + ≥ > ∀ ∈ ¡ nên TXð: D = ¡ Xét hàm số ( ) 2 22 4 2 4f x x x x x= + + − − + trên ¡ Ta có: ( ) 2 2 1 1 ' 2 4 2 4 x x f x x x x x + − = − + + − + ( )' 0f x = ⇔ 2 2 1 1 0 2 4 2 4 x x x x x x + − − = + + − + ( ) ( )2 21 2 4 1 2 4x x x x x x⇔ + − + = − + + (*) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2 4 1 2 4x x x x x x⇒ + − + = − + + 4 3 2 3 2 22 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x⇔ − + + − + + − + = 4 3 2 3 2 22 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x+ + − − − + + + 0x⇔ = Thay 0x = vào phương trình (*) ñược: 1 = - 1. Vậy phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra ( )'f x chỉ mang 1 dấu (không ñổi dấu), có ( )' 0 1 0f = > ( )' 0,f x x⇐ > ∀ ∈ ¡ Ta có ( ) ( )2 2lim lim 2 4 2 4 x x f x x x x x →+∞ →+∞ = + + − − + 2 2 4 lim 2 4 2 4x x x x x x→+∞ = + + + − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 1 1 x x x x x →+∞ = + + + − + 2= ( ) ( )2 2lim lim 2 4 2 4 x x f x x x x x →−∞ →−∞ = + + − − + 2 2 4 lim 2 4 2 4x x x x x x→−∞ = + + + − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 1 1 x x x x x →−∞ = − + + − − + 2= − Ta có bảng biến thiên của hàm số ( )f x Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( )y f x= và ñường thẳng y m= trên ¡ Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 2 2m⇔ − < < Ví dụ 6. Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm 2 3 2 3 4 0 3 15 0 x x x x x m m  − − ≤  − − − ≥ Giải: Ta có: 2 3 4 0 1 4x x x− − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Hệ phương trình ñã cho có nghiệm ⇔ 3 23 15 0x x x m m− − − ≥ có nghiệm [ ]1;4x∈ − 3 23 15x x x m m⇔ − ≥ + có nghiệm [ ]1;4x∈ − ðặt ( ) 3 2 3 3 2 3 1 0 3 3 0 4 x x khi x f x x x x x x khi x  + − ≤ < = − =  − ≤ ≤ Ta có x f’(x) f(x) 2 + +∞ 0 +∞ x f’(x) f(x) -∞ + +∞ -2 2 øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 – Thư viện Sách Online 4 ( ) 2 2 3 6 1 0 ' 3 6 0 4 x x khi x f x x x khi x  + − < < =  − < < ( )' 0 0; 2f x x x= ⇔ = = ± Ta có bảng biến thiên : ( ) 2 15f x m m≥ + có nghiệm [ ]1;4x∈ − [ ] ( ) 2 1;4 max 15f x m m − ⇔ ≥ + 216 15m m⇔ ≥ + 2 15 16 0 16 1m m m⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm 16 1m⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 7. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm: 3 3sin cosx x m+ = Giải ( )( )3 3sin cos sin cos 1 sin .cosx x m x x x x m+ = ⇔ + − = ðặt sin cos 2.sin 4 t x x x π = + = +    , 2 2t− ≤ ≤ Khi ñó: ( )22sin cos sin cost x x t x x= + ⇒ = + 2 1 sin .cos 2 t x x − ⇒ = Phương trình trở thành: 2 31 1 31 2 2 2 t t m t t m  − − = ⇔ − + =    Xét hàm số ( ) 31 3 2 2 f t t t= − + trên tập 2; 2 −  Ta có: ( ) 23 3' 2 2 f t t= − + ( )' 0f t = ⇔ 23 3 0 1 2 2 t t− + = ⇔ = ± Ta có bảng biến thiên: Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( )y f t= và ñường thẳng y m= trên 2; 2 −  Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 1 1m⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 8: Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm: 3 1mx x m− − ≤ + (1) Giải: ðặt 3 0t x= − ≥ 2 3x t⇒ = + . Khi ñó bất phương trình trở thành: ( )2 3 1m t t m+ − ≤ + ( )2 2 1m t t⇔ + ≤ + 2 1 2 t m t + ⇔ ≥ + (*) Xét hàm số ( ) 2 1 2 t f t t + = + trên ( )0;+∞ Ta có: ( ) ( ) 2 22 2 2 ' 2 t t f t t − − + = + ( ) 2' 0 2 2 0 1 3f t t t t= ⇔ − − + = ⇔ = − ± ( ) 1 1 lim lim 0 2x x tf t t t →+∞ →+∞ + = = + Ta có bảng biến thiên của hàm số ( )f t Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm 0t > ⇔ ( ) ( ) 0; 3 1 max 4 f t m m +∞ + ≥ ⇔ ≤ Ví dụ 9.(A-07) Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm: 243 1 1 2 1x m x x− + + = − Giải: ðiều kiện: 1x ≥ 243 1 1 2 1x m x x− + + = − 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ − + = + + (1) ðặt 4 1 1 x t x − = + , khi ñó phương trình (1) trở thành: 23 2t t m− + = (*) x f’(x) f(x) -1 + 4 -4 2 0 2 0 0 - - 16 t f’(t) f(t) - 2 - -1 2 2 − -1 1 0 0 + - 2 1 2 2 t f’(t) f(t) 0 - +∞ 3 1 4 + 1 2 1 3− + 0 + 0 øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 – Thư viện Sách Online 5 Ta có 1x ≥ 0t⇒ ≥ và 4 2 1 1 1 t x = − < + , vậy 0 1t≤ < Xét hàm số ( ) 23 2f t t t= − + trên tập [ )0;1 Có ( ) ( ) 1' 6 2; ' 0 6 2 0 3 f t t f t t t= − + = ⇔ − + = ⇔ = Ta có bảng biến thiên của hàm số ( )f t Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( )y f t= và ñường thẳng y m= trên miền [ )0;1 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 1 1 3 m⇔ − < ≤ Ví dụ 10. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm ( )( )1 8 1 8x x x x m+ + − + + − = ðiều kiện: 1 8x− ≤ ≤ ðặt 1 8t x x= + + − Ta có: 1 1 ' 2 1 2 8 t x x = − + − với 1 8x− < < ' 0t = ⇔ 1 1 0 2 1 2 8x x − = + − 1 8x x⇔ + = − 7 1 8 2 x x x⇔ + = − ⇔ = Ta có bảng biến thiên: Từ ñó dẫn ñến 3 3 2t≤ ≤ Có ( )221 8 1 8t x x t x x= + + − ⇒ = + + − ( )( ) 2 9 1 8 2 t x x − ⇒ + − = , phương trình ñã cho trở thành: 2 9 2 t t m − + = 2 2 9 2t t m⇔ + − = Xét hàm số ( ) 2 2 9f t t t= + − trên tập 3;3 2   Ta có: ( )' 2 2 0f t t= + > với 3;3 2x  ∀ ∈  Ta có bảng biến thiên của hàm số ( )f x Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( )y f t= và ñường thẳng 2y m= trên 3;3 2   Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 9 6 2 6 2 9 6 2 3 2 m m + ⇔ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ IV. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm m ñể các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau có nghiệm: 1) 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y  + + + =   + + + = −  2) 44 13 1 0x x m x− + + − = có ñúng một nghiệm 3) 6 6sin cos .sin 2x x m x+ = 4) cos3 - cos 2 cos -1 0x x m x+ = có ñúng 7 nghiệm thuộc ;2 2 π π −    5) ( )( ) 24 6 2x x x x m+ − ≤ − + nghiệm ñúng với mọi [ ]4;6x∈ − 6) 29 9x x x x m+ − = − + + 7) 3 2 4 6 4 5x x x x m− − − + − − + = có ñúng hai nghiệm thực phân biệt 8) 4 4 1 sin cos sin 2 2 x x m x+ = − có ñúng 2 nghiệm ; 12 2 x π π ∈    9) Tìm m nhỏ nhất ñể bất phương trình sau ñúng với [ ]0;1x∀ ∈ : ( )2 21 1m x x x x− + ≤ + + t f’(t) f(t) 0 - -1 0 1 3 1 0 + 1 3 x t’ t -1 - 3 3 7 2 8 0 + 3 2 t f’(t) f(t) 3 6 3 2 + 9 6 2+