Ðường tiệm cận của Đồ thị hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ðƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ðường tiệm cận ñứng và ñường tiệm cận ngang: • ðường thẳng 0 y y= ñược gọi là ñường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang) của ñồ thị hàm số ( )y f x= nếu ( ) 0limx f x y→+∞ = hoặc ( ) 0limx f x y→−∞ = . • ðường thẳng 0 x x= ñược gọi là ñường tiệm cận ñứng ( gọi tắt là tiệm cận ñứng) của ñồ thị hàm số ( )y f x= nếu ( ) 0 lim x x f x −→ = +∞ hoặc ( ) 0 lim x x f x +→ = +∞ hoặc ( ) 0 lim x x f x −→ = −∞ hoặc ( ) 0 lim x x f x +→ = −∞ . 2. ðường tiệm cận xiên: ðường thẳng ( )0y ax b a= + ≠ ñược gọi là ñường tiệm cận xiên ( gọi tắt là tiệm cận xiên) của ñồ thị hàm số ( )y f x= nếu ( ) ( ) ( )lim 0 x f x f x ax b →+∞  = − + =  hoặc ( ) ( ) ( )lim 0x f x f x ax b→−∞  = − + =  .Trong ñó ( ) ( )lim , lim x x f x a b f x ax x→+∞ →+∞  = = −  hoặc ( ) ( )lim , lim x x f x a b f x ax x→−∞ →−∞  = = −  . Ví dụ : Tìm tiệm cận của hàm số : ( ) 2 1) 2 x a f x x − = + ( ) 2 1 ) x b f x x + = Giải : ( ) 2 1) 2 x a f x x − = + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp { }\ 2ℝ . ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 lim lim lim 2 , lim lim lim 2 2 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x xx xf x f x y x x x x →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ − −− − = = = = = = ⇒ = + + + + là tiệm cận ngang của ñồ thị khi x → −∞ và x → +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 2 1 lim lim , lim lim 2 2 2x x x x x x f x f x x x x− − + +→ − → − → − → − − − = = −∞ = = +∞ ⇒ = − + + là tiệm cận ñứng của ñồ thị khi ( )2x −→ − và ( )2x +→ − ( ) ( ) 1 2 2 1 lim lim lim 0 22x x x f x x x x xx x→−∞ →−∞ →−∞ −− = = = ⇒ ++ hàm số f không có tiệm cận xiên khi x → −∞ ( ) ( ) 1 2 2 1 lim lim lim 0 22x x x f x x x x xx x→+∞ →+∞ →+∞ −− = = = ⇒ ++ hàm số f không có tiệm cận xiên khi x → +∞ . ( ) 2 1 ) x b f x x + = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp { }\ 0ℝ . ( ) 2 2 1 1 1 lim lim lim 1 1, 1 x x x x xf x y x x→−∞ →−∞ →−∞ − + = = − + = − ⇒ = − là tiệm cận ngang của ñồ thị khi x → −∞ . ( ) 2 2 1 1 1 lim lim lim 1 1, 1 x x x x xf x y x x→+∞ →+∞ →+∞ + = = + = ⇒ = là tiệm cận ngang của ñồ thị khi x → +∞ . ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 1 1 lim lim , lim lim 0 x x x x x x f x f x x x x− − + +→ → → → + + = = −∞ = = +∞ ⇒ = là tiệm cận ñứng của ñồ thị khi 0x −→ và 0x +→ ( ) 2 2 2 2 1 1 1 lim lim lim 0 x x x xf x x x x x x→−∞ →−∞ →−∞ − + + = = = ⇒ hàm số f không có tiệm cận xiên khi x → −∞ ( ) 2 2 2 2 1 1 1 lim lim lim 0 x x x xf x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ + + = = = ⇒ hàm số f không có tiệm cận xiên khi x → +∞ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Tìm tiệm của ñồ thị các hàm số sau : ( ) 2) 3 2 x a f x x − = + ( ) 2 2) 3 x b f x x − − = + ( ) 1) 2 3 c f x x x = + − − ( ) 2 3 4 ) 2 1 x x d f x x − + = + ( ) 2 2 1 ) 3 x e f x x x − = + − ( ) 3 2 2 ) 2 x f f x x x + = − ( ) 3 2 1 ) 1 x x g f x x + + = − ( ) 2 2 1 ) 5 2 3 x x h f x x x + + = − − + 2. Tìm tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang của ñồ thị các hàm số sau : ( ) 1) 2 1 x a f x x + = + ( ) 1) 4 2 b f x x = + − ( ) 2 ) 1 x x c f x x + = − ( ) 3) 1 x d f x x + = + ( ) 1) 2 1e f x x x = − + ( ) 2 2 ) 3 x x f f x x + = − ( ) ( )2 1 ) 3 2 1 g f x x x = − + − ( ) 3 2 2 2 ) 1 x x h f x x − = + ( ) 2 2 2 1 ) 2 x i f x x x + = − ( ) 2) 1 x j f x x = − ( ) 3 2 ) 1 x k f x x = − ( ) 2) 4 x l f x x = − ( ) 2) 1m f x x x= − + ( ) 2) 2n f x x x x= + + ( ) 2) 3o f x x= + ( ) 2)p f x x x = + ( ) 2 2 1 ) 1 x x q f x x + + = − 3. Tìm tiệm của ñồ thị các hàm số sau : ( ) 2) 3a f x x x= + + ( ) 2) 2 1b f x x x= + − ( ) 2) 4c f x x x= + + ( ) 2) 4 3d f x x x= − + ( ) 2) 1e f x x x= + − ( ) 2) 4f f x x= + Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt