Vận dụng toán học vào bài toán cực trị trong điện xoay chiều

MỤC LỤC Trang A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Thực trạng của vấn đề 2 II. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 2 II.1.Nhiệm vụ 2 II.2.Phương pháp 3 III. Phạm vi của đề tài 3 B. NỘI DUNG I.Những kiến thức toán học bổ trợ 4 I.1.Tính chất của phân thức đại số 4 I.2.Tính chất của các hàm số lượng giác 4 I.3.Bất đẳng thức Cô-si 4 I.4.Tính chất đạo hàm của hàm số 4 II.Những trường hợp vận dụng cụ thể 4 II.1.Bài tập liên quan đến điều kiện cộng hưởng điện. 4 II.2.Bài tập liên quan đến giá trị cực đại của điện áp trên L,C khi giá trị L,C thay đổi. 5 II.3.Bài tập liên quan về giá trị công suất cực đại khi R thay đổi 8 II.4.Bài toán cực trị liên quan đến tần số dòng điện biến thiên 8 III.Bài tập đề nghị 10 C.KẾT LUẬN 13 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Thực trạng của vấn đề Với phương thức kiểm tra thi cử theo phương pháp mới ( chủ yếu là thi trắc nghiệm ) trong bộ môn Vật lí như hiện nay đã cho chúng ta thấy những ưu điểm của hình thức thi cử này : Nội dung đề thi bao quát cả chương trình, tránh được tình trạng học tủ như trước đây và từ đó có thể đánh giá trình độ học sinh một cách toàn diện. Tuy nhiên để làm tốt bài thi trắc nghiệm đòi hỏi người học phải ghi nhớ đầy đủ kiến thức trọng tâm, biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy trong phán đoán nhận dạng cũng như trong tính toán mới có thể đạt được kết quả cao. Điện xoay chiều là một phần quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12 và chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi của các kì thi cuối cấp,và đây cũng là một phần có lượng kiến thức lớn và khó đối với nhiều học sinh THPT. Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “ VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU” nhằm trang bị cho các em học sinh những kiến thức cơ bản, giúp các em có thể nhanh chóng định hình những kiến thức cần áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệm phần điện xoay chiều một cách nhanh chóng và tránh được những nhầm lẫn. II. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu II.1.Nhiệm vụ Đề tài nêu ra phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến cực trị trong phần điện xoay chiều, từ đó giúp học sinh hình thành phương pháp luận căn bản để giải quyết các vấn đề khi gặp phải, đồng thời từ đó cũng giúp cho các em có thể phân biệt được, áp dụng được các điều kiện cụ thể trong từng bài tập. Bên cạnh đó, trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu, các kiến thức được phân loại trong từng trường hợp vận dụng giúp học sinh ghi nhớ và áp dụng một cách nhanh chóng. II.2.Phương pháp -Vận dụng những kiến thức toán học để tìm cực trị, như: +Tính chất của phân thức đại số. +Tính chất của các hàm số lượng giác. +Bất đẳng thức Cô-si. +Tính chất đạo hàm của hàm số. -Khái quát hóa, phân loại các trường hợp để có thể giải quyết các bài tập trong từng điều kiện cụ thể. III. Phạm vi của đề tài Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng cao thường gặp trong đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi. Với phạm vi một sáng kiến, kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề nhỏ của môn vật lý lớp 12: -Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường hợp vận dụng. -Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài tập điện xoay chiều. B. NỘI DUNG I.Những kiến thức toán học bổ trợ I.1.Tính chất của phân thức đại số Xét một phân số P = , trong điều kiện A là hằng số dương, thì phân số P đạt giá trị lớn nhất nếu mẫu số B nhỏ nhất. I.2.Tính chất của các hàm số lượng giác Đối với các hàm số lượng giác : + y = sinx thì = 1 khi x = p/2 + k p (kÎZ) + y = cosx thì = 1 khi x = kp (kÎZ) I.3. Bất đẳng thức Cô-si Với hai số thực dương a,b thì ta luôn có : a + b ³ 2 Điều kiện để đẳng thức xảy ra là: a = b, và nếu ab không đổi thì khi đó tổng (a + b) bé nhất I.4. Tính chất đạo hàm của hàm số Xét hàm số y = f(x); (x Î R) có đạo hàm tại x = xo và liên tục trong khoảng chứa xo. Nếu hàm số đạt cực trị tại x = xo thì f’(xo) = 0 Và : + Nếu f’’(xo) > 0 thì xo là điểm cực tiểu. + Nếu f’’(xo) < 0 thì xo là điểm cực đại. II.Những trường hợp vận dụng cụ thể II.1.Bài tập liên quan đến điều kiện cộng hưởng điện. L R B C A V M Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: Hiệu điện thế luôn duy trì hai đầu đoạn mạch là: uAB = 200cos(100pt)(V). Cuộn dây thuần cảm, có L = (H); điện trở thuần có R = 100W; tụ điện có điện dung C thay đổi được.Vôn kế có điện trở rất lớn. a.Điều chỉnh C để công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại. Tính công suất cực đại đó. b.Với giá trị nào của C thì số chỉ vôn kế V là lớn nhất, tìm số chỉ đó. Bài giải Ta có ZL = wL = 100W; R = 100W; U = 200/ = 100V a.Công suất của mạch tính theo công thức: P = I2R = Ta thấy rằng U và R có giá trị không thay đổi, vậy P lớn nhất Û Z = nhỏ nhất Û ZC = ZL = 100W => C = (F) và khi đó Z = R => = 200W. b.Số chỉ vôn kế là: Uv = UAM = I.ZAM = Dễ thấy do U và = 100W không đổi, nên UAM lớn nhất Û Z nhỏ nhất Û ZC = ZL = 100W => C = (F) và khi đó Z = R => Uvmax = = = 200V *Nhận xét: Trong bài tập này ta đã áp dụng tính chất cực đại của phân thức đại số khi mẫu số nhỏ nhất, đây cũng là điều kiện cộng hưởng điện mà ta thường gặp. L R B C A M V II.2.Bài tập liên quan đến giá trị cực đại của điện áp trên L,C khi giá trị L,C thay đổi. Cho mạch điện như hình vẽ: Hiệu điện thế luôn duy trì hai đầu đoạn mạch là uAB = 100cos(100pt)(V). Cuộn dây thuần cảm, có L = (H); điện trở thuần có R = 50W; tụ điện có điện dung C thay đổi được.Vôn kế có điện trở rất lớn. a.Điều chỉnh C để số chỉ vôn kế cực đại. Tính số chỉ cực đại đó. b.Tìm C để công suất P tiêu thụ trong mạch cực đại. Phác vẽ đồ thị P theo ZC. Bài giải Ta có ZL = wL = 50W; R = 50W; U = 100V a.Số chỉ vôn kế là UC = I.ZC = => = = = = Đặt: x = ; a = ; b = -2; y = ax2 + bx + 1 => (1) Ta có: y’ = 2ax + b y’ = 0 Û x = xo = => xo là điểm cực trị. Do y’’ = 2a > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = xo = (1) Ta thấy rằng lớn nhất khi y nhỏ nhất. Từ điều kiện (1) ta có: =>ZC = = 100W => Và với y = 1 = UCmax = U = 200V. b. -Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2R = = Dễ thấy Pmax ó ZL = ZC = 50W => C = (F) - Ta có: P = -Khi ZC = ZCo = 50W thì P = Pmax = 1155W P(W) O ZC(W) Pmax Po 50 -Khi ZC = 0 thì P = Po = 866W -Khi ZC ® +¥ thì P® 0 Đồ thị: *Nhận xét: 1.Với bài tập này có thể giải câu a dựa vào điều kiện cực đại của hàm số lượng giác như sau: Hiệu điện thế hai đầu mạch được biểu diễn bằng véc tơ quay như hình vẽ. gọi φ, φ’là góc lệch pha giữa và so với . Theo định lí hàm số sin ta có: => Do L và R không đổi nên j’ = const => cosj’ = const, và U cũng không đổi, nên khi C biến thiên thì chỉ φ thay đổi, UC cực đại khi sin(φ’- φ) = 1 => φ’- φ = π/2 => tanφ = - cotanφ’ ó tanφ.tanφ’ = -1 ó => 2.Trong trường hợp L thay đổi, tìm điều kiện để hiệu điện thế hai đầu cuôn dây có giá trị cực đại. Cách giải tương tự như bài này, ta dễ dàng tìm được điều kiện bài toán là: L R B C A M II.3.Bài tập liên quan về giá trị công suất cực đại khi R thay đổi Một mạch điện xoay chiều gồm: Cuộn cảm thuần có L = (H); tụ điện có C = (F); R là một biến trở. Giữa hai đầu AB được duy trì một hiệu điện thế u = 120cos(100pt)(V). Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại. Tìm R và công suất đó. Bài giải Ta có ZL = wL = 200W; ZC = = 50W; U = 200V Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2R = = Có thể viết: P = = với y = Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a = R và b = ta luôn có: y =³ 2 = const => giá trị nhỏ nhất của y là: ymin = 2 => R = = 150W Và Pmax = = 48W II.4.Bài toán cực trị liên quan đến tần số dòng điện biến thiên Một đoạn mạch xoay chiều gồm điện trở thuần R, cuôn dây thuần cảm L và một tụ điện C mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch một hiệu điện thế xoay chiều: u = Ucos(wt),có U = const nhưng tần số thay đổi. Xác định w để: a.hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu điện trở đạt cực đại. b.hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt cực đại. c.hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt cực đại. Bài giải a.Hiệu điện thê hiệu dụng hai đầu điện trở:UR = I.R = , dễ dễ thấy U, R không đổi nên URmax Û Zmin Û ZC = ZL => w = b.Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện: UC = I.ZC = => = = = = = Đặt: x = w2 > 0; a = L2C2; b = R2C2 -2LC; y = ax2 + bx + 1 => Ta có: y’ = 2ax + b y’ = 0 Û x = xo = => xo là điểm cực trị. Do y’’ = 2a > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = xo = (2) Ta thấy rằng lớn nhất khi y nhỏ nhất. Từ điều kiện (2) ta có: với R2 < c. Điện áp hiệu dụng hai đầu cuôn cảm: UL = I.ZL = => = = = = = Đặt: x = > 0; a = ; b = ; y = ax2 + bx + 1 => Ta có: y’ = 2ax + b y’ = 0 Û x = xo = => xo là điểm cực trị. Do y’’ = 2a > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = xo = (3) Ta thấy rằng lớn nhất khi y nhỏ nhất. Từ điều kiện (3) ta có: với R2 < r, L B C A IV.Bài tập đề nghị Bài tập 1.Cho đoạn mạch như hình vẽ: r = 10W; L = ; C biến thiên. Hiệu điện thế hai đầu mạch là: u = 100cos100pt(V). a. Tìm C để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại. b.Định giá trị nhỏ nhất của công suất đoạn mạch trong điều kiện ứng với một giá trị của công suất đoạn mạch có hai giá trị khác nhau của C. Đáp số: a.C = 10-3/p(F); b. P = 500W Bài tập 2. Cho đoạn mạch xoay chiều như hình vẽ: L B C A R V1 V2 V3 R = 80W; L = ; C biến thiên. Hiệu điện thế hai đầu mạch là: u = 240cos100pt(V). Khi C thay đổi, hãy tính giá trị cực đại mỗi vôn kế và giá trị điện dung C ứng với các số chỉ cực đại này. Đáp số: U1max = 240V; C = C1 = 53mF U2max = 180V; C = C2 = 53mF L R B C A U3max = 300V; C = C3 ≈ 19mF Bài tập 3. Cho đoạn mạch xoay chiều: Điện trở thuần R = 100W; C = (F); cuộn dây thuần cảm, có L biến thiên. Hiệu điện thế hai đầu mạch là: u = 200cos100pt(V). a.Tính L để hệ số công suất của đoạn mạch cực đại. Tính công suất của mạch khi đó. b.Tính L để điện áp hiệu dụng trên L đạt cực đại. Đáp số: a. L = 1/p (H); Pmax = 200W b. L = 2/p(H) L R B A Bài tập 4. Một mạch điện xoay chiều AB gồm biên trở R và cuộn cảm thuần có L =0,09/p (H) ghép nối tiếp như hình vẽ. Hiệu điện thế hai đầu mạch AB là: u = 5cos100pt(V). Tính R để công suất của đoạn mạch cực đại. Tính công suất cực đại đó. Đáp án: R = 9,0W; Pmax ≈ 1,4W r, L B C A Bài tập 5. Một mạch điện xoay chiều như hình vẽ: Cuộn dây có độ tự cảm L = 0,5/p (H) và điện trở nội r = 10W; Tụ điện có C = (F). Điện áp hai đầu mạch: uAB = 100cos100pt(V). a.Tính công suất tiêu thụ của mạch. b. Để điện áp hai đầu cuộn dây cực đại, phải mắc thêm một tụ Co vào mạch, nêu cách ghép và giá trị Co. c.Để công suất đoạn mạch cực đại, phải mắc vào đoạn mạch ban đầu một điện trở R. Nêu cách mắc và tìm giá trị R. Đáp số: a.P = 62W b.Co = C; ghép Co //C. c.R = 10()W, ghép nối tiếp. Bài tâp 6.Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: B A C V L R Biết uAB =120cos100pt(V). Điện trở thuần R = 100W ; tụ điện có C =; Cuộn dây thuần cảm có L biến thiên. a.Tìm L để điện áp uL hai đầu cuộn dây lệch pha so với điện áp uAB hai đầu đoạn mạch. b. Mắc song song điện trở R với điện trởthay đổi L thấy số chỉ của vôn kế thay đổi và có giá trị cực đại là 240(V). Tìm , L khi đó. Đáp số: a. L = 1,5/p(H) b.L = 2/p (H); Ro = 75(W) C. KẾT LUẬN Xuất phát từ kinh nghiệm của bản thân, từ thực tế nhiều năm giảng dạy, bản thân tôi đúc rút thành kinh nghiệm mong đem lại cho các em học sinh một cái nhìn tổng quát hơn về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số lưu ý khi làm tập phần này. Việc giải bài tập loại này đòi hỏi học sinh không những có kiến thức vững vàng và nắm được bản chất vật lý mà còn phải có kiến thức cơ bản về toán học tối thiểu như tôi đã đề cập: Tính chất của phân thức đại số; Tính chất của các hàm số lượng giác ; Bất đẳng thức Cô-si và đặc biệt là công cụ đạo hàm của hàm số Chúng tôi đã phân loại các trường hợp thường gặp và điều kiện vận dụng để học sinh có thể tham khảo và qua đó có thể nhanh chóng kiểm tra, đối chiếu khi làm các bài tập trắc nghiệm. Các bài tập áp dụng trong đề tài này có thể có nhiều cách để giải tuy nhiên với mỗi bài tập, học sinh phải phân tích kỹ đề bài để từ đó chọn phương pháp giải phù hợp nhất. Bên cạnh đó, chúng tôi đưa ra những bài tập đề nghị nhằm giúp các em học sinh lựa chọn cách giải phù hợp để rèn luyện kỹ năng và phương pháp làm bài. Do thời gian có hạn nên đề tài này chưa được áp dụng rộng rãi và chắc chắn không tránh hết những thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn động nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp dụng thực hiện trong những năm học tới. Xin chân thành cảm ơn! M’Drăk ngày 22 tháng 2 năm 2012 Người thực hiện NGUYỄN XUÂN CƯ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bùi Quang Hân – Giải toán Vật lý 12 – NXB Giáo dục, 2004 2. Nguyễn Thế Khôi, Vũ Thanh Khiết – Sách giáo khoa Vật lý 12 – NXB Giáo dục, 2008. 3. Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi – Bài tập Vật lý 12 Nâng cao – NXB Giáo dục, 2008.