Vật lý thống kê

Lý thuyết: 1/ Ngoặc poission: 2/ Tích phân poission: 3/ Phân bố poission: 4/ Tích phân Gama- euler: 5/ Chuyển sang tọa độ cầu: 6/ Các đại lượng: 1.@/ Chứng minh: . Hay tính giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ k có thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gibbs : Giải Xét hệ N hạt, hàm Haminton trong không gian pha có dạng: Động năng của hệ: với Và động năng trung bình của hạt thứ k là: Ta chỉ cần tính: Ta có: Tách một phần tử thứ k để xét ta được: Tích phân từng phần biểu thức : Đặt: Ta được: Khi thì nên . Do đó mà với điều kiện chuẩn hóa: Vậy trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ k bằng : Động năng trung bình của hệ: 2.@/ Chứng minh: Giải Ta có giá trị trung bình của phân bố chính tắc: Lấy đạo hàm theo ta được: Lấy đạo hàm 2 vế của điều kiện chuẩn hóa: Vì và không phụ thuộc vào X nên: Với: và Thay (4) vào (1) ta được: (đpcm) 3.@/ Từ điều kiện chuẩn hóa hệ thức: Nghiệm đúng với mọi thể tích V và vận tốc Chứng minh:và rút ra nhận xét về phương trình này. Giải Ta có: Điều kiện chuẩn hóa: Nghiệm đúng với mọi thể tích V và vận tốc Nên: Tích vô hướng của Từ phương trình chính tắc Hamilton: với là hàm Hamilton của hệ. Từ (2) và (3) vào (4) suy ra: Mặt khác ta thấy: Nên: (đpcm) # nhận xét: - Tập hợp các hệ trong tập hợp thống kê thỏa mản các phương trình haminton xử sự trong không gian pha như một chất lỏng không nén được. - Khi các hệ thức (tức các điểm biểu diễn pha của hệ) chuyển động trong không gia pha thì các thể tích nguyên tố giữ nguyên không đổi về độ lớn mà chỉ thay đổi về hình dạng. 4.@/ Chứng minh định lí: Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha của hệ. Giải: Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. Phương trình liên tục có dạng : trong đó là hàm phân bố thống kê, vớilà vận tốc của điểm pha trong không gian pha 2f chiều. Do đó ta có : Tích vô hướng của Từ phương trình chính tắc Hamilton: với là hàm Hamilton của hệ. Từ (2) và (3) vào (4) suy ra: Hay: trong đó gọi là ngoặc Poisson giữa và Mặt khác, ta lại có : nếu thì (6) Từ (5) và (6) ta có : hay (7) Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo thời gian. Phương trình (5) được viết lại là : hay (8) là phương trình định lí Liouville 5.@/ Biết: và phương trình cơ bản của nhiệt động lực học: Hãy chứng minh: Từ và Lấy vi phân phương trình (2)ta được: Từ (1) Thế (4) vào (3): Đối chiếu với: Suy ra:hay: đại lượng chính là entropi thống kê của Do đó: (đpcm) Với: 6.@/ Chứng minh entropi s tỉ lệ nghịch với trung bình pha của loragic mật độ xác xuất. Từ biểu thức: Suy ra: dokhông phụ thụ vào X nên ta có thể viết lại biểu thức (1): Mặt khác khi lấy ln hàm phân bố xác xuất: Từ (2) (3) suy ra: Vậy entropi s tỉ lệ nghịch với trung bình pha của loragic mật độ xác xuất. 7.@/ Thiết lập phân bố Maxwell – Boltzmann: Xét hệ N hạt đồng nhất không tương tác nhau, nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động ở nhiệt độ T. Khi đó hàm Hamilton H (X,a) của hệ trùng với năng lượng E(X) và có dạng , với là năng lượng của hạt thứ i. Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái có năng lượng E(X) và ở trong yếu tố thể tích dX của không gian pha là : Hay: Trong đó: Biểu thức (2) chính là xác suất để hạt thứ i có năng lượng bằng , có tọa độ nằm trong khoảng từ đến và có xung lượng nằm trong khoảng từ đến . Xét phân bố (2) trong không gian pha 6 chiều của một hạt (không gian µ). Năng lượng của một hạt riêng lẻ biểu thị qua động năng và thế năng phụ thuộc vào xung lượng và tọa độ của hạt là . Do đó, phân bố (2) được viết lại là : Đây chính là phân bố Maxwell – Boltzmann. Biểu thức (3) còn được viết lại dưới dạng: Trong đó : là phân bố Maxwell theo xung lượng Và: là phân bố Boltzmann trong trường lực Xét phân bố Maxwell theo xung lượng, sử dụng tích phân Poisson: để chuẩn hóa hàm phân bố (5) : Mà: nên: và . Vậy phân bố Maxwell theo xung lượng ở (5) được viết thành phân bố Maxwell theo vận tốc: Trong hệ tọa độ cầu thì , lấy tích phân theo hai biến và , khi đó phân bố theo vận tốc trở thành : với: là hàm phân bố vận tốc. Xét phân bố Boltzmann trong trường lực ở (6) cho khí lí tưởng ở trong trường trọng lực. Thế năng của hạt trong trường trọng lực là nên phân bố Boltzmann ở (6) trở thành : Với N là tổng số hạt của hệ thì số hạt ở độ cao từ đến là : Gọi n(z) và n0 lần lượt là mật độ khí ở độ cao z và mặt đất thì từ biểu trên suy ra : Khi nhiệt độ không đổi, áp suất của khí tỉ lệ với mật độ khí nên nếu gọi p(z) và p0 lần lượt là áp suất của khí ở độ cao z và ở mặt đất thì từ biểu thức trên suy ra : BÀI TẬP BT CHƯƠNG 1: 1.1/ Xác xuất khi gieo xúc xắc 2 lần cho ta cùng một giá trị: Giải Xác xuất khi gieo xúc xắc 1 lần có một giá trị bằng số mặt xuất hiện chia cho các mặt khả năng: Khi gieo các lần tiếp theo thì những biến cố đó đều là độc lập nhau nên chỉ cần nhân chúng với nhau: 1.2/ Số điểm trung bình thu được trong 1 lần gieo xúc xắc. Giải Số điểm trung bình thu được trong 1 lần gieo xúc xắc cũng là số trung bình cộng của các số trên xúc xắc. vì theo nguyên lí xác xuất thì khả năng xuất hiện của mỗi mặt là như nhau. 1.5/ Định luật poission thỏa điều kiện chuẩn hóa: Giải Hàm phân bố poission có dạng: Phải thỏa đk chuẩn hóa: Do phân bố poission có các giá trị gián đoạn nên ta có đk chuẩn hóa theo: Mà ta lại có: Nên ta được: => Thỏa điều kiện chuẩn hóa. 1.6/ Hàm phân bố poission. Tính giá trị trung bình hàm phân bố poission với: Giải Do phân bố poission có các giá trị gián đoạn nên ta có điều kiện chuẩn hóa: Ta tính giá trị trung bình của hàm phân bố poission: Mà: Nên ta được: => Giá trị trung bình của hàm phân bố poission là một hằng số. 1.7/ Với Tính: . Giải Ta có: 1.8/ Với: Tính: . Giải Ta có: Tích phân từng phần ta được: Đặt: Vậy: Tích phân từng phần ta được: Đặt: Vậy: 1.9/ Với: Tính: Giải Ta có: Áp dụng theo tích phân poission: Nên: Ta có: Áp dụng theo tích phân poission: Với: Vậy: Ta có: 1.10/ Chứng minh hạt dao động điều hòa Giải Chọn pha ban đầu bằng 0, phương trình dao động điều hòa theo trục ox có dạng: Cho nên xác xuất tìm thấy hạt trong khoảng dx bằng thời gian dt chia cho thời gian dao động khả dĩ trên đoạn 2a là T/2. Áp dụng công thức độc lập với thời gian: Vậy: (đpcm) BT CHƯƠNG 2: 2.1/ Quỹ đạo pha đối với hạt chuyển động theo quán tính. Giải Hạt có khối lượng m chuyển động theo quán tính với vận tốc v=const. Do đó động lượng p=mv cũng là hằng số (p=const). Vậy quỹ đạo pha là đường thẳng song song với trục của tọa độ suy rộng q, cắt trục p tại vị trí xác định. 2.2/ Quỹ đạo pha đối với hạt rơi tự do. Giải Khi đó hàm Hamilton trong trường trọng lực có dạng: . Chọn góc tọa độ tại mặt đất, chiều dương hướng xuống. Thế năng tại vị trí bắt đầu rơi là cực đại: Từ định luật bảo toàn cơ năng ta được: Quỹ đạo pha là đường parapol ở góc một phần tư thứ nhất: 2.3/ Quỹ đạo pha đối với hạt chuyển động trong hố thế theo quán tính. Giải Hạt có khối lượng m chuyển động trong hố thế theo quán tính với vận tốc v=const, tại hai thành hố thế hạt va chạm tuyệt đối đàn hồi. Do đó động lượng p = mv = const. Nhưng tại vị trí thành thì có sự chuyển hóa năng lượng từ thế năng thành động năng nên quỹ đạo pha tại đây bị bẽ cong. Vậy quỹ đạo pha là đường thẳng song song với trục của tọa độ suy rộng q và cong tại hai đầu múc như hình vẽ: 2.5/ Tìm biểu thức thể tích của không gian pha của một phân tử khí lí tưởng phụ thuộc vào năng lượng của phân tử. Giải Thể tích của không gian pha của một phân tử khí lí tưởng: Hay: Với: Trong đó dV là phần tử thể tích thực chiếm bởi chất khí: Vì năng lượng của một phân tử khí lí tưởng phụ thuộc vào động lượng: Khi đó hàm Hamilton của hệ là : . Do đó: Chuyển sang tọa độ cầu: sẽ bằng: Với: Vậy: BT CHƯƠNG 3: 3.1/ Chiều cao của cột không khí ở có áp suất giảm đi 3 lần so với áp suất mặt nước biển. Giải Gọi là áp suất ngang mặt nước biển, là áp suất ở dộ cao z. Ta có công thức liên hệ của áp suất phụ thuộc và độ cao như sau: Khi ở độ cao z thì: Vậy: Với: 3.2/ Độ cao trung bình của cột không khí. Giải Độ cao của cột không khí chỉ phụ thuộc vào thế năng trọng trường của hệ: Ta có công thức tính độ cao trung bình là: . Đặt Và: Vậy: Với: 3.3/ mật độ phân tử bao quanh khối khí có khối lượng m, bán kính R trong trường thế hấp dẫn. Giải Thế hấp dẫn có công thức là: Mật độ phân tử phân bố theo độ cao: Mật độ phân tử bao quanh khối khí: => Do đó không xác định được mật độ trong trường hợp này. BT CHƯƠNG 4: 4.1/ Tìm năng lượng tự do và phương trình trạng thái của khí lí tưởng đơn nguyên tử tương đối tính. Năng lượng và xung lượng thoatr mản hệ thức: Giải Theo đề bài ta có: , thế vào:  Với: và . Chuyển sang tọa độ cầu: sẽ bằng: Sử dụng tích phân Gama- euler: Phương trình trạng thái là: 4.2/ Tìm năng lượng tự do và phương trình trạng thái của khí lí tưởng đơn nguyên tử tương đối tính. Năng lượng và xung lượng thoatr mản hệ thức: Giải Theo đề bài ta có: , thế vào: Với: và . Chuyển sang tọa độ cầu: sẽ bằng: Sử dụng tích phân Gama- euler: Phương trình trạng thái là: 4.3/ Tính năng lượng tự do và nội năng của hệ N hạt khí lí tưởng đồng nhất ở trong bình có chiều cao h và diện tích dáy s, ở trong gia tốc trọng trường g, nhiệt độ T, khối lượng m. Giải Khi đó hàm Hamilton của hệ là : . Ta có: Tích phân trạng thái của một hạt: Áp dụng tích phân poission: Ta có : . Vậy: Tích phân trạng thái của hệ có dạng : Năng lượng tự do của hệ : Entropi của hệ : Nội năng của hệ : 4.4/ Tính áp suất đặt lên mặt trên của bình lập phương cạnh L, chứa khí lí tưởng gồm N hạt, ở trong trường trọng lực có gia tốc g, nhiệt độ T, khối lượng m. Giải Khi đó hàm Hamilton của hệ là : . Ta có: Tích phân trạng thái của một hạt: Áp dụng tích phân poission cho động năng của hạt: Ta có : . Và: Vậy: Tích phân trạng thái của hệ có dạng : Năng lượng tự do của hệ : Entropi của hệ :