Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức Hình học

KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 1 PHẦN MỘT §ÆT VÊN §Ò Trong quá trình giảng dậy , việc hình thành và phát triển một số kĩ năng cơ bản cần thiết cho HS là vấn ñề mà người giáo viên luôn phải duy trì, ñồng thời phải ñưa ra ñược những giải pháp ñể hình thành và phát triển những kĩ năng ñó. Với tôi, một trong những kĩ năng ñó là “vẽ hình phụ”. Trong thực tế, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng khi ñứng trước bài toán chứng minh hình học, nhất là với những bài cần phải kẻ thêm ñường. Các em chưa ñịnh hướng ñược vấn ñề, ñôi khi còn chưa biết phải bắt ñầu từ ñâu, vẽ hình phụ như thế nào? Có cơ sở nào giúp các em tìm ra hướng ñi cho việc kẻ thêm hình mỗi khi chưa tìm ngay ñược lời giải của bài toán? Thiết nghĩ ñây là vấn ñề rất trăn trở với mỗi người giáo viên dạy toán. Không chỉ là ñịnh hướng và rèn kĩ năng cho các em,mà thực sự ñây còn là cách ñể rèn luyện và phát triển tư duy cho HS, nâng cao khả năng suy luận lôgic và khả năng vận dụng tri thức vào thực tiễn. Với mục ñích như vậy, tôi ñã viết và áp dụng kinh nghiệm “ v hình ph ñ chng minh ñng thc hình hc”. Phạm vi áp dụng kinh nghiệm này xin giành cho các em HS lớp 8 và 9. Nội dung chỉ xin ñề cập ñến một kĩ năng nhỏ trong kĩ năng vẽ hình phụ của HS , nên rất mong sự ñóng góp bổ sung ý kiến của ñồng nghiệp ñể kinh nghiệm ñược hoàn chỉnh và ñầy ñủ hơn . Tôi xin trân trọng cảm ơn! KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 2 PHẦN HAI GI¶I QUYÕT VÊN §Ò Khi giải các bài toán hình học , việc vẽ hình phụ tạo ñiều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải của bài toán, nhưng biết tạo ra hình phụ một cách thích hợp không phải là bài toán dễ. Trong bài viết này tôi ñưa ra một cách phân tích có chủ ý ñể tìm ñược cách vẽ thêm ñược hình phụ thích hợp khi giải một số bài toán chứng minh ñẳng thức hình học dạng: xy = ab + cd, x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + b2 Ta xuất phát từ một bài toán ñơn giản như sau: “ðể chứng minh một ñoạn thẳng bằng tổng hai ñoạn thẳng khác : AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia ñoạn AB thành hai ñoạn bởi ñiểm M sao cho AM = CD, công việc còn lại là chứng minh MB = EF ” Ý tưởng trên cũng ñược sử dụng ñể chứng minh ñẳng thức xy = ab + cd và các trường hợp riêng như sau: Bước 1: Chia ñoạn thẳng ñộ dài x thành hai ñoạn bởi ñiểm M sao cho x = x1 + x2 và x1y = ab Bước 2: Chứng minh hệ thức x2y = cd Bước 3: Cộng từng vế các ñẳng thức trên ta ñược ñpcm Sau ñây là mt s ví d minh ho" áp dng ph$%ng pháp trên KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 3 Vídụ 1 ð ịnh lí Pytago: Tamgiác ABC có góc A vuông . CMR BC2 = AB2 + AC2 Phân tích : Lấy ñiểm M thuộc cạnh BC sao cho BM.BC = AB2 ⇒=⇔ BC AB AB BM tamgiác BMA ñồng dạng với tam giác BAC nên góc BMA bằng 900. Suy ra M là chân ñường cao hạ từ A xuống BC Lời giải: Hạ AM vuông góc với BC . Ta thấy M thuộc cạnh BC Ta có tam giác BMA ñồng dạng với tam giác BAC BC.BMAB BC AB AB BM 2 =⇒=⇒ Tam giác CMA ñồng dạng với tam giác CAB BC.CMAC BC AC AC CM 2 =⇒=⇒ Ta suy ra AB2 + AC2 = BC2 M CB A Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có góc DAB = 900 và góc DBC = 900 . CMR : DC2 = DI.DB + CI.CA Phân tích: Lấy ñiểm M thuộc cạnh CD sao cho DM.DC = DI.DB ⇒=⇒ DC DB DI DM KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 4 tam giác DMI ñồng dạng với tam giác DBC , do ñó góc DMI = góc DBC = 900 hay IM vuông góc với DM (DC) Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M Lời giải : Kẻ IM vuông góc với DC Ta có tam giác DBC ñồng dạng với tam giác DMI DBDIDMDC DI DM DC DB .. =⇒=⇒ (1) Lại thấy tam giác ACD ñồng dạng với tam giác MCI CICAMCDC CI MC CD AC .. =⇒=⇒ (2) Từ (1) và (2) ta có: DC.(DM+MC) = DI.DB + CI.CA Hay DC2 = DI.DB + CI.CA B M I D C A B M I D C A Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AD là phân giác của góc A. CMR: AD2 = AB.AC – BD.CD Phân tích : Lấy ñiểm E trên AD sao cho AD.AE = AB.AC ⇒=⇒ AC AD AE AB tam giác ABE ñồng dạng với tam giác ADC , do ñó góc ABE = góc ADC. KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 5 Như vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm E Lời giải: Trên AD lấy E sao cho AD góc ABE = góc ADC . Dễ thấy AD = AE – DE Do AD là phân giác góc A nên tam giác ABE ñồng dạng với tam giác ADC ACABAEAD AC AD AE AB .. =⇒=⇒ (1) Lại thấy tam giác BDE ñồng dạng với tam giác ADC nên CDBDDEAD DE DC BD AD .. =⇒= (2) Từ (1) và (2) ta có: AD.( AE – DE ) = AB.AC – BD.CD Hay AD2 = AB.AC – BD.CD E D B C A E D B C A Ví dụ 4: Cho hình thang cân ABCD ( AD//BC) . CMR: AB2 + AD. BC = AC2 Phân tích: Giả sử ñiểm M thuộc cạnh AC sao cho AB2 = AM.AC suy ra tam giác ABM ñồng KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 6 dạng với tam giác ACB do ñó góc ABM bằng góc ACB. Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M Lời giải: Dựng góc ABM bằng góc ACB ( M thuộc AC) Ta thấy tam giác ABM và tam giác ACB ñồng dạng AC.AMAB AB AM AC AB 2 =⇒=⇒ (1) Mặt khác ta thấy : góc BCM = góc CAD và góc CBM = góc ACD. Do ñó tam giác CBM ñồng dạng với tamgiác ACD AC.CMBC.AD AD AC CM CB =⇒=⇒ (2) Từ (1) và (2) suy ra AB2 + AD. BC = AM.AC + CM.AC , vậy AB2 + AD.BC = AC2 A M D CB A M D CB Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi E và F lần lượt là các ñường vuông góc hạ từ C xuống các ñường thẳng AB và AD. CMR: AC2 = AB. AE + AD. AF KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 7 Phân tích: Lấy M thuộc ñoạn AC sao cho AM.AC = AB.AE ⇒=⇒ AC AE AB AM tam Giác ABM ñồng dạng với tam giác ACE nên BM vuông góc với AC . Vậy ñiểm M cần tìm là chân ñường vuông góc hạ từ B xuống AC Lời giải: Gọi M là chân ñường vuông góc hạ từ B xuống AC, ta thấy M thuộc ñoạn AC do góc A nhọn nên AC = AM + MC Lại thấy tam giác ABM ñồng dạng với tam giác ACE (g.g) suy ra AM. AC = AB. AE Và tam giác ACF ñồng dạng với CBM(g.g) suy ra CM. AC = BC. AF. Do BC =AD ta có : AB. AE + AD. AF = AM. AC + CM. AC = AC2 B M A D F C E B M A D F C E Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O. CMR: AC. BD = AB. CD + AD. BC Phân tích: Giả sử M thuộc ñoạn AC sao cho AM.BD=AB. CD, suy ra tam giác ABM ñồng dạng với tam giác DBC nên góc ABM bằng góc KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 8 DBC . Như vậy ta xác ñịnh ñiểm M như sau Lời giải: Do góc ABC > góc DBC nên tồn tại ñiểm M trên ñoạn AC sao cho góc ABM = góc CBD. Suy ra tam giác ABM ñồng dạng với tam giác DBC (g.g) nên AM. BD = AB. CD (1) Dễ thấy tam giác BMC ñồng dạng với tam giác BAD (g.g) nên MC. BD = AD. BC(2) Từ (1) và (2)⇒ AC. BD =AB. CD + AD. BC A B D C M Ví dụ 7: Cho tam giác ABC biết 3A + 2B = 1800. Chứng minh rằng: AB2 = BC2 +AB. AC Phân tích : Giả sử ñiểm M thuộc cạnh AB sao cho BM . AB =BC2 suy ra tam giác BMC ñồng dạng với tam giác BCA nên góc BCM = góc BAC = góc A Kết hợp giả thiết ta có góc ACM = góc AMC hay tam giác ACM cân tại A. Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M như sau M C B A Lời giải: Từ giả thiết suy ra AB > AC Trên cạnh AB lấy ñiểm M sao cho AM = AC, do ñó tam giác ACM cân tại A nên góc ACM = 2 1 (A + B + C – A) = A+ B. KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 9 Do ñó góc BCM = C – ACM = A Suy ra tam giác BCM ñồng dạng với tam giác BAC suy ra BM. BA = BC2 nên ( AB – AC ).AB = BC2, do ñó AB2= BC2 + AB. AC Ví dụ 8: Cho tam giác ABC nội tiếp trong ñường tròn . D là một ñiểm trên cung BC không chứa ñỉnh A. Gọi I, K và H lầnlượtlà hình chiếu của D trên các ñường thẳng BC,AB và AC.CMR: DH AC DK AB DI BC += Phân tích : Giả sửñiểm M thuộc cạnh BC sao cho ⇒= DK AB DI BM tam giác DKI ñồng dạng với tamgiác BAM suy ra góc BAM = góc DKI mà góc DKI = góc DBI nên sñ CD = sñ BN ( N là giao ñiểm của AM với ñường tròn) Do ñó DN // BC. Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M và N như sau D C B A N H K I M Lời giải: Qua D kẻ ñường thẳng song song với BC cắt ñường tròn tại N( khác D). AN cắt BC tại M Ta thấy tam giác DKI ñồng ñạng với tamgiác BAM (g.g) DK AB DI BM =⇒ Lại thấy tam giác ACM ñồng dạng với tam giác HDI (g.g) DH AC DI CM =⇒ Cộng từng vế các ñẳng thức trên ta có ðPCM KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 10 Các hệ thức hình học rất ña dạng. Việc tìm ra chúng tuỳ thuộc vào ñiều kiện cụ thể của bài toán và sự sáng tạo, linh hoạt của người giải. Xin giới thiệu bài toán tương tự Bài 1: Cho tam giác ABC có ñường cao BE, CF cắt nhau tại H. CMR: BE. BH + CF. CH = BC2 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại C. Lấy ñiểm E trên ñường cao CH. Kẻ BD vuông góc với AE tại D. CMR: a) AE.AD + BA.BH = AB2 b) AE. AD – HA.HB = AH2 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A với ñường cao AH . Gọi HD, HE lần lượt là các ñường cao của tam giác ABH và ACH. CMR: AH3 = AD.AE.BC KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 11 PHẦN BA KÕT LUËN Vµ KIÕN NGHÞ Trên ñây là một nội dung nhỏ trong việc rèn kĩ năng vẽ hình phụ cho HS.Qua thực tế áp dụng tôi thấy ñã thu ñược kết quả khá khả quan. Các em bớt ñi những lúng túng khi phải kẻ ñường phụ trong bài toán chứng minh hình học. Và hơn cả là các em ñã giải quyết ñược các bài toán có nội dung tương tự một cách chính xác, logic, nhanh chóng. Với những HS giỏi toán,các em còn giải quyết ñược các bài toán khó hơn,phức tạp hơn. Tuy vậy ,còn rất nhiều những bài toán hình học cần ñến kĩ KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí N¡M HäC 2007 - 2008 12 năng vẽ hình phụ mà thực sự vẫn còn là bài toán khó cho việc ñịnh hướng cho HS.Vì vậy rất mong chờ các bài viết và kinh nghiệm quý báu của các ñồng nghiệp ñể tôi ñược học tập và trau dồi bổ sung kiến thức cho bản thân. Tôi xin trân trọng cảm ơn!