Vẽ hình phụ thế nào cho có lợi - 04 - Cố gắng tìm cách phân loại các bài toán và phương pháp vẽ hình phụ

Vẽ hình phụ thế nào cho có lợi - 04 Cố gắng tìm cách phân loại các bài toán và phương pháp vẽ hình phụ * Ví dụ : - Vẽ các đối tượng có liên quan với các đối tượng có trong bài toán - Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học như xy = ab + cd * Phương pháp vẽ các đối tượng có liên quan với các đối tượng có trong bài toán : + Thực chất của phương pháp này là dựa vào nhận xét sau : Các mệnh đề hình học thường kết hợp các đối tượng khác nhau nhưng có liên quan chặt chẽ thành từng nhóm . Trong nhiều trường hợp , các đối tượng có liên quan trực tiếp này gợi ý thêm các hình phụ cần thiết ( Phương pháp suy nghĩ ) . - Nếu trong bài toán có cho trung điểm của một đoạn thẳng ta cần liên hệ với trung tuyến của tam giác , đường trung bình của tam giác đi qua điểm đó ... - Nếu cho tỷ số của hai đoạn thẳng thì nghĩ tới hai đường thẳng song song ... - Nếu cho tiếp tuyến của đường tròn ta chú ý đến bán kính đi qua tiếp điểm .. - Nếu cho dây cung của đường tròn ta nghĩ đến đường kính vuông góc với dây ... - Hai đường tròn thường liên hệ với đường nối tâm , dây chung , tiếp tuyến chung ... + Thực tế cho thấy thường học sinh học hình ít quan tâm đến bản chất hình học ( Đó là sự liên hệ giữa các đối tượng hình học ) , vì vậy thường không có hướng giải dẫn đến ngại học . Học sinh thường không dám làm bài tập hình , vì vậy cần xây dựng cho học sinh phương pháp suy nghĩ ngay sau mỗi kiến thức . * Ví dụ 1 : Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , đường cao AH , E là hình chiếu của H trên AC . Gọi I là trung điểm của HE . Chứng minh BE vuông góc với AI . - Hướng dẫn : Học sinh phân tích để thấy H là trung điểm của BC , I là trung điểm của HE . + Cho H là trung điểm của BC thì nghĩ gì ? ( Có một đường trung bình qua H ) . + Hãy tạo ra một đường trung bình đi qua điểm H ? ( Học sinh tìm hai cách vẽ và lựa chọn lấy K là trung điểm của CE ) . + Nhận xét gì về quan hệ vị trí của BE và HK ? + Vậy để chứng minh AI vuông góc với BE , cần đề xuất chứng minh gì ? Đến đây học sinh suy nghĩ để chứng minh AI vuông góc với HK . - Rõ dàng hình phụ ở đây là việc lấy thêm điểm K để có sự liên hệ giữa HK với BE ; IK với AH ... - Chú ý : Đây là một bài toán hay , có thể sử dụng giảng dạy cho cả đối tượng học sinh các lớp 7 , 8 , 9 bằng cách thay đổi cách nói , thay đổi một số điều kiện , cắt bớt một số phần hình , chuyển dịch các đoạn thẳng theo một điều kiện nào đó mà phương pháp vẽ hình phụ của các bài toán ấy không thay đổi . + Bài toán 1 : Cho hình thang ABCD ( A = D = 900 ) , AB = CD . Kẻ DE vuông góc với AC tại E . Gọi M là trung điểm của CE . Chứng minh BMD = 900 . + Bài toán 2 : Cho hình chữ nhật ABCD , H là hình chiếu của điểm A trên BD . Gọi I và K thứ tự là trung điểm của DH và BC . Tính góc AIK . + Bài toán 3 : Gọi H là tâm của hình vuông ABCD , I là trung điểm của DH , K là trung điểm của BC . Hãy tính góc AIK . + Bài toán 4 : Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB và AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = AN . Gọi H là hình chiếu của điểm A trên BN Tính góc CHM . * Phương pháp vẽ hình phụ để chứng minh hệ thức hình học Khi giải các bài toán hình học , việc vẽ hình phụ tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải của bài toán . Nhưng biết tạo ra hình phụ một cách thích hợp không phải lúc nào cũng dễ dàng . Trước hết xin giới thiệu đẳng thức dạng : xy = ab + cd ; x2 = ab + cd ; x2 = a2 + cd ; x2 = a2 + c2 ( Ta xét tính cùng dạng của hai vế ) . + Cơ sở : Để chứng minh AB = CD + EF ta tìm cách phân chia AB thành hai đoạn thẳng bởi điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = CD , rồi chứng minh cho BM = EF . Hoặc trên tia CD ta đặt một đoạn thẳng DK = E F , rồi chứng minh cho CK = AB . Từ đó , ý tưởng trên cũng được sử dụng để chứng minh đẳng thức xy = ab + cd và các trường hợp riêng như sau : - Bước 1 : Chia đoạn thẳng có độ dài x thành hai đoạn thẳng bởi điểm chia M thuộc đoạn thẳng ấy để có x = x1 + x2 sao cho x1y = ab (1) - Bước 2 : Chứng minh đẳng thức x2y = cd (2) - Bước 3 : Cộng từng vế của (1) và (2) ta được điều phải chứng minh . * Ví dụ : Bài thi vào lớp chuyên toán Trường THPT Chuyên Lam sơn . Cho hình bình hành ABCD ( Góc A nhọn ) . Goi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm C trên các đường thẳng AB và AD . Chứng minh : AB . AE + AD . AF = AC2 - Hướng dẫn : + Nhận xét gì về dạng biểu thức ở vế trái và vế phải của đẳng thức cần chứng minh ? ( Vế trái có dạng : tổng của hai tích , mỗi số hạng là tích của hai số , còn vế phải là tích của hai số ) + Vậy để vế phải cũng có dạng như ở vế trái thì cần có điều gì ? ( AC phải là tổng của hai số AC = AI + IC ) + Vậy phải lấy điểm I thế nào ? ( I thuộc đoạn AC ) + Hướng dẫn học sinh theo sơ đồ sau : AB . AE + AD . AF = AC2 AB . AE + AD . AF = AC ( AI + IC ) ; I thuộc AC AB . AE + AD . AF = AC . AI + AC . IC AB . AE = AC . AI và AD . AF = AC . IC Đến đây học sinh suy nghĩ đến việc lấy điểm I trên đường chéo AC sao cho BI vuông góc với AC , rồi chứng minh .