Xây dựng Chuyên đề một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Phòng GD Yên Lạc Đơn vị: Trường THCS Tam Hồng Xây dựng chuyên đề một số phương pháp giảI phương trình nghiệm nguyên A.Mục tiêu: Học sinh: +nắm được một số phương pháp giải phương trình (PT) nghiệm nguyên +Có kĩ năng giải PT nghiệm nguyên bằng các phương pháp khác nhau +Có ý thức say mê học tập,ham học hỏi,có tinh thần vượt khó trong học tập B.Chuẩn bị bài dạy: +Nghiên cứu tài liệu trong SGK,STK;báo toán học tuổi thơ +Học sinh đọc, nghiên cứu tài liệu C.Tiến trình bài dạy Mở đầu: Đối với PT nghiệm nguyên, hệ PTnghiệm nguyên, kiến thức phần này rộng có nhiều phương pháp giải.Song đối với các trường đại trà trong huyện như trường chúng tôi chỉ đưa ra một số phương pháp giải PT nghiệm nguyên (giúp đối tượng phần đông HS các trường có thể vận dụng được) I. Lý thuyết:(học sinh tự nghiên cứu) II. Các phương pháp: 1.Phương pháp 1: Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 1: Tìm tất cả các số nguyên tố thoả mãn: x2 - 2y2 = 1 (1) Hướng dẫn giải: Từ (1) ị x2 = 2y2 + 1 .Do 2y2 chẵn nên 2y2 +1 lẻ ị x lẻ Đặt x = 2k +1(k nguyên dương) ị y chẵn mà y là số nguyên tố nên y = 2. Do đó x = 3 Vậy các giá trị thoả mãn là: (x = 3; y = 2) Ví dụ 2:Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 – 2y2 = 5 (2) Giải: Từ (2) ị x lẻ Đặt x = 2k + 1 (k ẻZ) thay vào PT (2) ta được 4k2 + 4k – 4 = 2y2 ị y là số chẵn. Đặt y = 2t (tẻZ) khi đó ta được k2 + k – 1 = 2t2 Û k(k + 1) - 1 = 2t2 (*) Vì k(k + 1) luôn chẵn nên vế trái của (*) là số lẻ còn vế phải là số chẵn Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên 2.Phương pháp 2: Đưa về phương trình tích (Đưa phương trình đã cho về dạng một vế là tích các biểu thức nguyên và có giá trị nguyên chứa ẩn còn vế kia là một số nguyên.Xét mọi trường hợp có thể xảy ra để tìm nghiệm thích hợp) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x + xy + y = 9 (3) Giải: (3) Û x + xy + y + 1 = 10 Û (x + 1)(y + 1) = 10 mà 10 = 1.10 = 2.5 = -1.(-10) = -2.(-5) Do x, y là các số nguyên nên ta có x + 1 = 1 hoặc x + 1 = 2 hoặc . y + 1 = 10 y + 1 = 5 Từ đó dẫn đến PT có 8 nghiệm : (x;y) = {(0;9); (9;0) ;(-2;-11) ;(-11;-2); (-3;-6) ; (-6;-3); (1;4); (4;1)} 3. Phương pháp 3: Phương pháp chứng minh tính duy nhất (Với một số phương trình nguyên có thể thấy ngay được một hoặc vài nghiệm. Từ đó chứng minh chỉ có chừng ấy nghiệm nguyên) Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 + 3x3 + 1 = y4 (4) Giải: Từ (4) ta thấy x = 0 ; y = ± 1 là hai nghiệm của phương trình. Ta chứng minh hai nghiệm (0;1); (0;-1) là duy nhất Thật vậy: + Với x > 0 ta có : (x3 + 1)2 = x6 + 2x3 + 1 < x6 + 3x3 + 1 = y4 < x6 + 4x3 + 4 = (x3 +2)2 hay x3 + 1 < y2 < x3 + 2 ị y ẽ Z vô lý Tương tự với x Ê -2 ta cũng có y ẽ Z vô lý +Với x = -1 thay vào (4) ta được y4 = -1 vô nghiệm +Với x = 0 thay vào (4) có y4 = 1 hay y = ± 1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm (0;1); (0;-1) 4.Phương pháp 4: Phương pháp sử dụng tính chia hết (Vận dụng tính chia hết của một số nguyên để thu hẹp miền xác định của nghiệm.Trong nhiều trường hợp có thể thử trực tiếp để tìm nghiệm.Phương pháp này thường ứng dụng chứng minh phương trình vô nghiệm nguyên) Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = -3xy + 8y2 (5) Giải Ta có : 5x + 25 = -3xy + 8y2 Û x = Do x,y nguyên Û 8y2 – 25 phải chia hết cho 3y + 5 với y nguyên Û 24y2 – 75 phải chia hết cho 3y + 5 Û 24y2 + 40y – 40y – 75 phải chia hết cho 3y + 5 Û - 40y – 75 phải chia hết cho 3y + 5 Û -120y – 225 phải chia hết cho 3y + 5 Û -25 phải chia hết cho 3y + 5 hay 3y + 5 phải là ước của 25 ị 3y + 5 = ± 1; ± 5; ± 25.Từ đó ta tính được các số nguyên x,y Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (x;y) = {(-7;2); (-5;0); (-3;-10)} 5.Phương pháp 5: Vận dụng tính chất của số nguyên tố,số vô tỉ (Có thể sử dụng (chứng minh rồi vận dụng) một số tính chất của số nguyên tố, số vô tỉ để giải phương trình nghiệm nguyên) Giáo viên giới thiệu cho học sinh 2 tính chất sau: +Với mọi số nguyên a, số a2 + 1 không có ước nguyên tố dạng 4k + 3 +Cho p số nguyên tố dạng 4k + 3; a,b ẻ Z khi đó nếu a2 + b2 chia hết cho p thì a chia hết cho p và b chia hết cho p Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2- y3 = 7 (6) Giải Từ (6) Û x2 + 1 = y 3 + 8 Û x2 + 1 = y3 + 23 Ûx2 + 1 = (y + 2)(y2 – 2y + 4) +Nếu y chẵn thì (y + 2)(y2 – 2y + 4) chia hết cho 4 Û x2 + 1 chia hết cho 4 Û x2 º 3 (mod 4) vô lí +Nếu y lẻ thì y2 -2y + 4 = y2 – 2y + 1 + 3 = (y - 1)2 + 3 có dạng 4k + 3 nên phải có một ước dạng đó.Do đó x2 + 1 phải có ước số nguyên tố dạng 4k + 3 vô lí Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên 6.Phương pháp 6: Sử dụng bất đẳng thức (Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này suy ra các giá trị nguyên của ẩn này) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 = 3 (7) Giải Ta có (7) Û Û. Vì ³ 0 Û Û 4 ³ y2 Û -2 Ê y ≤ 2 ị y = 0; ± 1; ± 2 Thay y = 0; ± 1; ± 2 vào phương trình (7) ta có các nghiệm nguyên là (x; y) = {(1;-1); (1;2); (-1;-2); (2;1); (-2; -1); (-1;1)} 7.Phương pháp 7: Phương pháp chứng minh phản chứng (Để chứng minh một phương trình không có nghiệm nguyên ta có thể dùng phương pháp phản chứng, giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0; y0; z0)rồi xây dựng dãy vô số nghiệm từ đó đi đến mâu thuẫn hoặc giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0; y0) với x0 có giá trị nhỏ nhất trong các giá trị có thể của nó rồi chứng minh phương trình có nghiệm nguyên (x1; y1; z1.)mà x0 > x1 Ví dụ: Cho a, b nguyên dương và (a; b) = 1 Chứng minh rằng phương trình: ax + by = ab không có nghiệm nguyên Giải Giả sử (x0; y0) là một nghiệm nguyên dương của phương trình ax + by = ab ta có ax0 + by0 = ab ị by0 = ab - ax0 = a(b – x0) ị by0 chia hết cho a mà (a; b) = 1 ị y0 chia hết cho a Đặt y0 = at (t là số nguyên dương). Lập luận tương tự ta có x0 = bk (k nguyên dương) Ta có: abk + abt = ab ị k + t = 1 vô lý (vì k, t nguyên dương) Vậy với a, b nguyên dương và (a; b) = 1 thì phương trình ax + by = ab không có nghiệm nguyên Trên đây là một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên.Tất nhiên còn nhiều phương pháp nữa,rất mong các đồng nghiệp bổ sung thêm. III.Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau: a, x3 – y3 = 91 b, 19x2 + 28y2 = 729 c, x + y+ z = xyz d, x3 – 3y3 – 9z3 = 0 e, g, 7(x2y + x + xy2 + 2y) – 38 = 38xy ( x, y nguyên dương) Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình a. b. x2(y + 3) = yz2 Bài 3: Chứng minh rằng phương trình 2x2 + y2 = 1999 không có nghiệm nguyên Tam Hồng, ngày 11 tháng 8 năm 2006 Nhóm GVBD