Chuyển động tròn: đều và không đều

Chuyển động tròn: đều và không đều Chuyển động tròn là dạng chuyển động thường gặp trong kĩ thuật và trong thực tế. Việc giải bài toán chuyển động tròn có ý nghĩa quan trọng. Trước hết chúng ta hãy nhắc lại vài khái niệm cơ bản. Giả sử vật (chất điểm) chuyển động tròn. Vận tốc góc được định nghĩa là giới hạn của tỉ số giữa góc quay của bán kính đi qua vật và thời gian Dt để quay góc đó, khi Dt tiến đến không : khi . Góc quay được đo bằng radian, vì vậy vận tốc góc trong hệ SI được do bằng rad/s (hay 1/s). Độ lớn V của véctơ vận tốc trong chuyển động tròn được gọi là vận tốc dài. Vận tốc góc và vận tốc dài ở thời điểm bất kì liên hệ nhau bởi hệ thức , ở đây R là bán kính của quỹ đạo. Chuyển động tròn được gọi là đều nếu độ lớn vận tốc dài (và do đó vận tốc góc) không thay đổi theo thời gian, trong trường hợp ngược lại thì chuyển động gọi là tròn, không đều. Đối với chuyển động tròn đều người ta đưa vào khái niệm chu kì và tần số. Chu kì chuyển động là khoảng thời gian T vật chuyển động được trọn một vòng. Tần số f là số vòng vật quay được trong một đơn vị thời gian. Dễ thấy T=1/f và . Trong chuyển động tròn đều gia tốc được tính theo công thức . Vectơ gia tốc luôn hướng vào tâm quỹ đạo vì vậy được gọi là gia tốc hướng tâm. Theo định luật II Newton , ở đây là tổng hợp các lực do vật khác tác dụng lên vật. Vì trong chuyển động tròn đều vectơ gia tốc luôn hướng vào tâm nên cũng hướng vào tâm, do đó nó được gọi là lực hướng tâm. Cần lưu ý rằng lực hướng tâm không phải là một lực gì huyền bí đặc biệt, xuất hiện do vật chuyển động tròn, mà đó là tổng hợp các lực của những vật khác tác dụng lên vật. Vì vậy khi bắt đầu giải một bài toán về chuyển động tròn nên biểu diễn các lực thực sự tác dụng lên vật, chứ không phải là lực hướng tâm. x R O Hình 1. Trong chuyển động tròn, không đều vectơ gia tốc không hướng vào tâm quay, vì thế nên phân tích nó thành hai thành phần và (H.1). Thành phần hướng theo tiếp tuyến quỹ đạo và được gọi là gia tốc tiếp tuyến. Nó đặc trưng cho mức độ biến đổi nhanh chậm của độ lớn vận tốc. Thành phần hướng theo pháp tuyến quỹ đạo vào tâm quay và được gọi là gia tốc pháp tuyến (hay gia tốc hướng tâm). Độ lớn của gia tốc pháp tuyến ở thời điểm bất kì được tính theo công thức: , trong đó V và là vận tốc dài và vận tốc góc ở thời điểm đó. Từ hình vẽ rõ ràng rằng trong chuyển động tròn không đều hình chiếu của vectơ gia tốc trên trục x (hướng dọc theo bán kính vào tâm quay) luôn bằng . Đây là cơ sở để giải nhiều bài toán chuyển động tròn không đều. Bài 1. Một cái đĩa quay tròn quanh trục thẳng đứng và đi qua tâm của nó. Trên đĩa có một quả cầu nhỏ được nối với trục nhờ sợi dây mảnh dài l. Dây lập với trục một góc (H.2). Phải quay hệ với chu kì bằng bao nhiêu để quả cầu không rời khỏi mặt đĩa? a x a Hình 2. Quả cầu chuyển động tròn đều trên đường tròn bán kính bằng với vận tốc góc và với gia tốc , ở đây T là chu kì quay. Quả cầu chịu tác dụng của trọng lực, lực căng của dây và phản lực của đĩa. Phương trình định luật II Niutơn: . Chiếu phương trình vectơ này lên trục x vuông góc với sợi dây, ta có: Từ đó: . Quả cầu không rời khỏi mặt đĩa nếu phản lực , tức là: . Thay gia tốc a qua chu kì T theo biểu thức ở trên ta đuợc: . Dấu bằng trong biểu thức này ứng với trường hợp quả cầu nằm ở giới hạn của sự rời khỏi mặt đĩa, tức là có thể coi là tiếp xúc mà cũng có thể coi là không còn tiếp xúc với đĩa nữa (trên thực tế trường hợp này không có ý nghĩa gì quan trọng), vì vậy có thể coi câu trả lời hợp lí là ứng với dấu lớn hơn. Bài 2. Một quả cầu nhỏ khối lượng m được treo bằng một sợi dây mảnh. Kéo quả cầu để sợi dây nằm theo phương ngang rồi thả ra. Hãy tìm lực căng của sợi dây khi nó lập với phương nằm ngang một góc bằng O X a B A a Hình 3. Đây là bài toán về chuyển động tròn, không đều. Quả cầu chịu tác dụng của trọng lực và lực căng của sợi dây (H.3). Hai lực này gây ra gia tốc của quả cầu, không hướng vào tâm O. Theo định luật II Newton: Chiếu phương trình vectơ này lên trục X ta được: , trong đó , với V là vận tốc của quả cầu, R là chiều dài sợi dây. Từ định luật bảo toàn cơ năng suy ra: Từ 3 phương trình trên tính được lực căng của sợi dây: Bài 3. Một cái đĩa có thể quay xung quanh trục thẳng đứng, vuông góc với đĩa và đi qua tâm của nó. Trên đĩa có một vật khối lượng M. ở mặt trên của khối M có một vật nhỏ khối lượng m. Vật m được nối với trục nhờ một sợi dây mảnh (Hình 4). Quay đĩa (cùng vật M và m) nhanh dần lên, tức là vận tốc góc tăng dần. Ma sát giữa đĩa và khối M không đáng kể. Hỏi với vận tốc góc bằng bao nhiêu thì khối M bắt đầu trượt ra khỏi dưới vật m, biết hệ số ma sát trượt giữa vật m và khối M bằng k. Trước hết ta hãy tìm vận tốc góc mà khối M chưa trượt ra phía dưới vật m, tức là m và M cùng quay với nhau. Trong trường hợp này chúng chuyển động theo đường tròn, bán kính R và với gia tốc hướng tâm a Fms N N1 N mg Mg Fms FC Hình 4. Trong hệ có nhiều vật và nhiều lực tác dụng. Để không làm cho hình vẽ quá rối, trên hình các véc tơ lực được ký hiệu như là các độ lớn của chúng. Vật m chịu tác dụng của trọng lực , phản lực của khối M, lực căng của sợi dây và lực ma sát nghỉ (do M tác dụng). Theo định luật II Newton tổng hợp các lực này phải hướng vào trục quay. Từ đó suy ra lực ma sát phải hướng song song sợi dây. Theo định luật III Newton vật m cũng tác dụng lên khối M một lực ma sát có cùng độ lớn nhưng ngược chiều. Khối M chịu tác dụng của trọng lực , áp lực của vật m (có độ lớn bằng trọng lượng mg của nó) và lực ma sát nghỉ của vật m, phản lực của đĩa. Phương trình chuyển động của khối M chiếu lên trục song song với sợi dây có dạng:.Khối M sẽ không trượt ra khỏi vật m nếu độ lớn của lực ma sát nghỉ nhỏ hơn giá trị cực đại của nó (bằng lực ma sát trượt), tức là : , đ Từ đó suy ra rằng khối M bắt đầu trượt ra khỏi phía dưới vật m khi vận tốc góc đạt giá trị: Bài 4. Một nhà du hành vũ trụ ngồi trên Hoả tinh đo chu kỳ quay của con lắc hình nón (một vật nhỏ treo vào sợi dây, chuyển động tròn trong mặt phẳng nằm ngang với vận tốc không đổi, khi đó dây treo quét thành một hình nón) nhận được kết quả T=3s. Độ dài của dây L=1m. Góc tạo bởi sợi dây và phương thẳng đứng . Hãy tìm gia tốc rơi tự do trên Hoả tinh. m à à Hình 5. Vật chuyển động theo đường tròn bán kính với vận tốc góc và gia tốc . Vật m chịu tác dụng của lực căng của dây treo, trọng lực , ở đây g’ là gia tốc rơi tự do trên Hoả tinh. Phương trình chuyển động của vật có dạng: . Từ hình 5 rõ ràng . Thế biểu thức của a ở trên vào sẽ tìm được gia tốc rơi tự do trên Hoả tinh: . Bài 5. Một quả cầu được gắn cố định trên măt bàn nằm ngang. Từ đỉnh A của quả cầu một vật nhỏ bắt đầu trượt không ma sát với vận tốc ban đầu bằng 0. Hỏi vật sẽ chạm vào mặt bàn dưới một góc bằng bao nhiêu? ° ° ã X R O a b a Hình 6. A Giả sử bán kính quả cầu bằng R (H.6). Chuyển động của vật trên mặt quả cầu cho đến khi rời khỏi nó là chuyển động tròn không đều với bán kính quỹ đạo bằng R. Trước hết chúng ta tìm góc và vận tốc V của vật khi rời khỏi mặt quả cầu. Vật chịu tác dụng của trọng lực và phản lực pháp tuyến của quả cầu. Phương trình chuyển động của vật chiếu lên trục X có dạng: , ở đây là gia tốc pháp tuyến. Vào thời điểm vật rời khỏi mặt quả cầu thì N=0, vì vậy ta được: . Để tìm V và cần có thêm một phương trình nữa. Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng: ị Giải hệ hai phương trình với các ẩn là V và ta tìm được : . Bây giờ chúng ta tìm vận tốc của vật khi chạm vào mặt bàn. Dùng định luật bảo toàn cơ năng: cơ năng của vật tại đỉnh hình cầu bằng cơ năng khi vật chạm bàn. , từ đó tính được Trong khoảng thời gian từ lúc rời mặt quả cầu đến khi chạm mặt bàn thành phần vận tốc theo phương ngang của vật không thay đổi. Vì vậy nếu gọi góc rơi của vật khi chạm bàn là thì ta có: . Thay các biểu thức của V, và đã tìm được ở trên vào sẽ tính được: . Bài tập: 2a Hinh 7 l 1. Một vật nhỏ được buộc vào đỉnh của hình nón thẳng đứng xoay bằng một sợi chỉ dài l (H.7). Toàn bộ hệ thống quay tròn xung quanh trục thẳng đứng của hình nón. Với số vòng quay trong một đơn vị thời gian bằng bao nhiêu thì vật nhỏ không nâng lên khỏi mặt hình nón ? Cho góc mở ở đỉnh của hình nón . 2. Một cái đĩa có thể quay xung quanh trục thẳng đứng, vuông góc với đĩa và đi qua tâm của nó. Trên đĩa có một vật khối lượng M và ở mặt trên của khối M có một vật nhỏ khối lượng m. Vật được nối với trục nhờ sợi dây mảnh (H.4). Quay đĩa (cùng khối M và vật m) nhanh dần lên, tức là vận tốc góc tăng dần. Coi ma sát giữa vật m và khối M là nhỏ không đáng kể . Hỏi với vận tốc góc bằng bao nhiêu thì khối M bắt đầu trượt ra khỏi dưới vật m, biết hệ số ma sát trượt giữa đĩa và khối M bằng k. 3. Một quả cầu bán kính R=54cm, được gắn chặt vào một bàn nằm ngang. Một viên bi nhỏ bắt đầu trượt không ma sát từ đỉnh của quả cầu. Hỏi sau khi rơi xuống mặt bàn viên bi nẩy lên độ cao cực đại bằng bao nhiêu nếu va chạm giữa nó với mặt bàn là va chạm đàn hồi?. Tô Linh (Sưu tầm & giới thiệu)