Giáo án lớp 12 môn Toán - Chủ đề 1: Hàm số – đạo hàm

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 1 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định ( )xAy = ( ) 0xA ≥ tgxy = π+π≠ k 2 x ( ) ( )xBlogy xA= ( )( )⎩⎨ ⎧ ≠< > 1xA0 0xB ( ) ( )xB xAy = ( ) 0xB ≠ gxcoty = π≠ kx ⎢⎣ ⎡= x x e a y )0a(x >∀ ( )n2 xAy = ( )( )+∈ ≥Zn 0xA ⎢⎣ ⎡= xarccos xarcsin y 1x1 ≤≤− ⎢⎣ ⎡= xln xlog y 0x >∀ ( )1n2 xAy += ( )+∈∈∀ Zn Dx ( )[ ] ( )xBxAy = ( ) 0xA > ( ) (( ) ( )⎢⎣ ⎡ ±= xgxf xgxf y D ) gf DDD ∩= II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} 1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT ( ) ( ) bxf axf ≥ ≤ ( ) ( ] ( ) [ )+∞= ∞−= ,bDf a,Df ( ) ( ) bxfa bxfa << ≤≤ ( ) [ ] ( ) ( )b,aDf b,aDf = = 2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT: ( )[ ] ( ) ( )( )2222 2 dcbabdac :skyBunhiacôp .ab2 b a :Côsi BĐT * định. xác xA làm xa, aaxA * ++≤+≥+ ∀∀≥+ III. HÀM HỢP gof [ ]( ) ( )[ ] ( ){ } ( ) ( ){ }⎢⎣ ⎡ ⊂∧≠ ∈∧∈= ≠=∈∀ ∃⇒φ= gfff gfgf fg ooofg fgoff fffo DT0T,D DT;DxfDx|x D * fggf và xfgxfg:Dx * ZD:fgDT * ZD:gvàTD:f hàm haicủa hợp hàmlà fg o o o ∩ 6∩ 66 IV. HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dx lẽ khôngchẵn khôngHàm :xfxf lẽ f :Dx xfx-f chẵnf:Dx xfxf ∈∀±≠−⇒⎥⎦ ⎤ ∈∀−= ∈∀=− V. GIỚI HẠN HÀM SỐ: 1. Phương pháp 1: Khử dạng vô định 0 0 Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x0), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử số và mẫu số trong ( ) ( )xg xflim 0xx→ với các chú ý: • Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x0). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer. • Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó. llh llh 3 23 3 3 3A B A B A B A AB B+ ←⎯→ − ± ←⎯→ ± + Nếu tử và mẫu đều có chứa căn thức, ta sẽ nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng. • Không loại trừ các khả năng sử dụng nhanh các hằng đẳng thức: Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 4 4 2 2 n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 a b a b a b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a a b a b ... ab b− − − − − − = − + ± = ± ± + − = + − + − = − + + + + + • Để ý rằng việc biến đổi sơ cấp có thể làm dạng vô định này trở thành dạng vô định khác. Chẳng hạn: ( ) ( ) đó) tự thứ theo 0 (dạng xgxflim 0x ∞×→ 2. Phương pháp 2: Khử dạng vô định ∞ ∞ • PP1: Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô định. • PP2: Dùng các định lý giới hạn tương đương: ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ =ε>ε++++ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ >−++⇒−∞→ >++⇒+∞→ ⇒∞→ ∞→ 0x lim và 0a với;x a2 bxa~cbxax /3 )0a(;ax~cbxaxx )0a(;ax~cbxaxx 2/ xa~xPx 1/ x 2 2 2 n nn 3. Phương pháp 3: Khử dạng vô định ∞−∞ Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là: 1/ Sử dụng lượng liên hợp. 2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận: ( )x a2 bxa~cbxax2 ε++++ trong đó: a > 0 và ( ) 0xlim x =ε ∞→ 3/ Sử dụng các hằng đẳng thức. 4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng. 4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác • TH1: Khi (x tính bằng radian) 0x → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x 0 u x 0 22 2u x 0 sin u x tgu x lim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x u x u x 1 cos u x 1 1lim hay 1-cos u x ~ u x 2 2u x → → → = = − ⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦ Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác. ( ) ( ) ( ) ( )llh llh1 sin u 1 sin u 1 cos u 1 cos u+ ←⎯→ − + ←⎯→ − • TH2: Khi hàm lượng giác có dạng vô định (x tính bằng rađian) 0xx → * Đặt: ⎩⎨ ⎧ →⇒→ +=⇔−= 0txx txx xxt 0 0 0 * Khi: 0't,xx'txx 00 →−=⇒→ Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số. 5. Hàm kẹp: ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =⇒== ∈∀≤≤ →→→ LxglimLxhlimxflim x|Vx,xhxgxf 0 00 0 xx xxxx 0x 6. Hàm chứa giá trị tuyệt đối: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x x x x x x x lim f x L lim f x L lim f x 0 lim f x 0 → → → → ⎧ = ⇒ =⎪⎨ = ⇒ =⎪⎩ 7. Hàm liên tục: * ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =Δ= ∈∀∈ →Δ→ 0lim hayxfxflim Dx,Rxf y0x0xx 00 0 0 Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 3 * Liên tục tại x0: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎢⎢⎣ ⎡ = = ⇒== − + −+ → → →→ trái tục liên :xfxflim phảitụcliên:xfxflim xfxflimxflim 0 xx 0 xx 0 xxxx 0 0 00 8. Công thức giới hạn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin x lim 1 x 0 x tgx lim 1 x 0 x lim U x 0 x 0 sin U x lim 1 x 0 U x tgU x lim 1 x 0 U x 1 cos x 1 lim 2x 0 2x =→ =→ =→ =→ =→ − =→ xlim a x xlim a 0 x xlim e x a 1xlim e 0 x xe lim x x xlim x.e 0 x xlim a 0 x 0 a 1xlim a x = +∞→+∞ +=→−∞ = +∞→+∞ >+=→−∞ = +∞→+∞ =→−∞ +=→+∞ < < = +∞→−∞ ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫⎪⎬⎪⎭ lim log xax lim log xax 0 lim ln x x a 1lim ln x x 0 ln x lim 0 x x lim x. ln x 0 x 0 lim log xax 0 a 1 lim log xax 0 = +∞→+∞ = −∞+→ = +∞→+∞ >= −∞+→ +=→+∞ −=+→ = −∞→+∞ < <= +∞−→ ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫⎪⎬⎪⎭ * Quy tắc Lopitan: ( ) ( ) ( ) ( )x'g x'flim xg xflim 00 xxxx →→ = VI. ĐẠO HÀM: ( ) ( ) ( ) x xfxxflim x ylimx'f 00 xxxx0 00 Δ −Δ+=Δ Δ= →Δ→Δ hay: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −= − −= ⇒− −= − + → − → + → 0 0 xx 0 0 xx 0 0 xx0 xx xfxflimx'f trái ĐH xx xfxflimx'f phảiĐH xx xfxflimx'f 0 0 0 0 0 ⇒ f có đạo hàm tại x0 ⇔ ( ) ( )−+ = 00 x'fx'f . Nếu ( ) ( )−+ ≠ 00 x'fx'f thì f không có đạo hàm tại x0. 1. Chứng minh hàm số liên tục: Cơ sở của phương pháp để chứng minh một hàm f liên tục tại x0, cần làm 3 bước: B1: Kiểm tra ; tìm số trị f(xf0 Dx ∈ 0) (1) B2: Tìm ( ) Rbxflim 0xx ∈= → (2) B3: So sánh (1) và (2); nếu ( ) ( ) bxfxflim 0xx 0 ==→ , hàm f liên tục tại x = x0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00xxxx00 xx 00 xx x tại tục liên f thì xfxflimxflim x phải bêntục liên f thì ,xfxflim x trái bêntục liên f thì ,xfxflim 00 0 0 ==⇒ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = = −+ − + →→ → → Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục tại x0: (1) PP2: f là hàm sơ cấp xác định tại x0 ⇒ f liên tục tại x0. (2) PP3: ⇒ f liên tục tại x0ylim 0x =Δ→Δ 0. (3) PP4: f khả đạo hàm tại x0 ⇒ f liên tục tại x0. Ghi chú 2: Ngoài ra, khi chứng minh hàm f liên tục trên một tập thì sử dụng các định nghĩa: ĐN1: f liên tục trong ( ) ( )b;axmọitại tục liên fb,a 0 ∈⇔ ĐN2: f liên tục trên [ ] ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⇔ btại trái tục liên f a tại phảitục liên f ba; trong tục liên f b;a 2. Tìm đạo hàm tại một điểm: Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 4 B1: Tính ( ) ( ) R bnếu và b xx xfxflim x ylim 0 0 xx0x 0 ∈=− −=Δ Δ →→Δ B2: Tồn tại f’(x0)=b. Khi chỉ tồn tại một trong hai giới hạn: * ( ) ( ) ( )+ → =− − + 0 0 0 xx x'f xx xfxflim 0 : đạo hàm bên phải điểm x0. * ( ) ( ) ( − → =− − − 0 0 0 xx x'f xx xfxflim 0 ): đạo hàm bên trái điểm x0. Ghi chú: Nếu x0 là điểm thông thường của tập xác định, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) rồi thay vào ta có f’(x0). 3. Tính đạo hàm bằng định nghĩa: ( ) Dx;Rx'f x ylim 0x ∈∀∈=Δ Δ →Δ ta làm ba bước cơ bản: B1: Gọi Δx là số gia của biến số tại x tùy ý trong D, Δy là số gia của hàm số tương ứng. Ta tính Δy từ: y + Δy = f(x + Δx). B2: Lập tỷ số x y Δ Δ B3: Tính ( ) Rxgx ylim 0x ∈=Δ Δ →Δ ; thì kết luận: f’(x) = g(x). Đạo hàm Vi phân 1) Hàm cơ bản: ( ) ( ) ( ) 22 v 'v v 1 v 'v.uv'.u v u 'v.uv'.u'v.u 'v'u'vu số) hằng:(c 'u.c'u.c −= ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇒−= ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ±=± = 2) Hàm hợp: Cho u = u(x); y = f(u) đều khả đạo hàm thì hàm hợp y = (fou)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)] hay y0 = y’u.u’x. 3) Hàm ngược: Cho: ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =→ → xfyx DfD:f . Khả đạo hàm theo x và có hàm ngược: . ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =→ → − − yfxy DDf:f 1 1 Ta có: x y y x 'y 1'x 'x 1'y =⇔= 1) Định nghĩa: ( ) ( ) ( )xd.x'fdyxfy =⇒= 2) Quy tắc vi phân: ( ) ( ) 2v dv.udu.v v ud dv.udu.vv.ud dvduvud −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ±=± 3) Hàm hợp: [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )xux xxxxo 'u.'y'y uf.'u'yufufy =⇒ =⇒== 4) Hàm logarit: ( )[ ] ( ) ( )( )0xu;xuy xv >= ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +==⇒ u 'uvuln'v'u'ulnvy'y 4. Bảng tính đạo hàm: Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) ( )nn u;x ( )'u.u.n;x.n 1n1n −− sinx cosx C 0 cosx -sinx x 1 tgx xtg1 xcos 1 2 2 += ( )u;x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ u2 'u;x2 1 ex ex x 1 2x 1− ax axlna Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 5 lnx x 1 cotgx ( )xgcot1 xsin 1 2 2 +−=− logax alnx 1 5. Đạo hàm cấp cao: Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y(n) = f(n)(x), người ta sử dụng phương pháp tính quy nạp bằng ba bước cơ bản như sau: • Tính y’, y”, y’”... để dự đoán công thức của: y(n) = f(n)(x) (1) • Giả sử (1) đúng , tức là ta có: y1k ≥∀ (k) = f(k)(x) (2) • Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (2) để chứng minh: y(k+1) = f(k+1)(x); đúng 1k ≥∀ Kết luận: Công thức (1) là đạo hàm cấp (n) cần tìm. 6. Ứng dụng của đạo hàm: • Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm f’(x0) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm đó: ϕ M(x ,y )0 0 (h.1) t x (C): y = f(x)( 0x' )ftgk =ϕ= (là ý nghĩa hình học của đạo hàm) • Nếu một hàm f có đạo hàm tại x0 thì hàm f liên tục tại điểm x0. • Nhưng một hàm f liên tục tại x0 thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x0. • Một hàm f không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm x0. • Giả sử hàm f : y = f(x) có đạo hàm y’=f’(x) trên D, ta có: ) f là hàm hằng trên D ( ) )1(Dx;0x'f ∈∀=⇔ ) f đồng biến trên D ( ) )2(Dx;0x'f ∈∀≥⇔ ) f nghịch biến trên D ( ) )3(Dx;0x'f ∈∀≤⇔ Để ý trong (2) và (3), đạo hàm thể hiện một hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghịch biến) trong D có thể bằng không tại những giá trị rời rạc của biến số (xem h.2) nhưng không thể triệt tiêu trong một khoảng tùy ý của (xem h.3). ( ) D; ⊂βα y x x0,1 f'(x )=00,1 f'(x )=00,2 x0,2 ba B (h.2) A 0 C D y α f'(x )=0 x0 ( ; ) 0,1 ∀ ∈ α β x0 βa b (h.3) A 0 C D x B x0 a b f(b) 0 (C) : y = f(x) y x x0 a b B (h.6) Af(a) f(b) 0 (C) : y = f(x) x B • Nếu hàm f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm: . ( )b;ax0 ∈ • Nếu: [ ] ( ) ( ) [ ] f liên tục trên a;b f a f b 0 f đơn điệu nghiệm cách trên a;b < ⎧⎪⎨⎪⎩ ( ) [ ] phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x a;b0 =⇒ ∈ ⎧⎨⎩ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 6 • Giả sử hàm f : y = f(x) xác định trên đoạn [a;b] ) Hàm f đạt một cực đại tại , nếu tồn tại một lân cận ( b;ax0 ∈ ) ( ) ( )b;axV 0 ∈ sao cho: ( ) ( ) 00 xx;xfxf ≠∀< . ) Hàm f đạt một cực tiểu tại , nếu tồn tại một lân cận ( b;ax0 ∈ ) ( ) ( )b;axV 0 ∈ sao cho: ( ) ( ) 00 xx;xfxf ≠∀> . * Định lý 1 Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trị) Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x0) và đạt một cực trị tại x0 đó thì điều kiện cần là f’(x0) = 0. y a x0 b A B 0 f'(x )=00 (h.9) f'(x )>00 f'(x )<00 (C):y=f(x) x y a x0 b A B 0 f'(x )=00 (h.10) f'(x )>00 f'(x )<00 (C):y=f(x) x Ý nghĩa hình học: tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = f(x) tại điểm cực trị thì song song trục hoành. Hệ quả: Mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn. * Định lý 2: (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm f có cực trị) Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x0) và f’(x0) = 0 (*), đồng thời f’ đổi dấu khi x đi qua x0 thì đủ để f đạt một cực trị tại x0. • Khi f’(x0) = 0 và khi f’(x) đi qua x0 mà không đổi dấu, ta nói (x0;f(x0)) là một điểm uốn với tiếp tuyến nằm ngang. Điều kiện (*) có thể thay thế bằng f’(x0) và f liên tục tại x0. • Tiếp điểm nằm trên đường cong (C) : y = f(x) là điểm uốn ⇔ tại đó đường cong vặn mình băng qua tiếp điểm đó. * Định lý 3: (Tồn tại điểm uốn) Nếu f có đạo hàm bậc hai f” tại V(x0) (**) và f”(x0) = 0; đồng thời f” đổi dấu khi đi qua x0 thì M(x0;y0) là điểm uốn của (C) : y = f(x). Trong (**) nếu f” không tồn tại thì cần có thêm tồn tại ( )00 xVx ∈ để f liên tục tại x0; thì M vẫn là điểm uốn. y a x0 b A I B 0 f"(x )=00 (h.10) f"(x )>00 f"(x )<00 (C):y=f(x) x • f”(x) < 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thị (C) : y = f(x) lồi trong (a;b) về phía y dương. • f”(x) > 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thị (C) : y = f(x) lõm trong (a;b) về phía y dương. * Định lý 4: (Điều kiện đủ thứ hai để một hàm có cực trị) Nếu f’(x0) = 0 trong V(x0) đồng thời f”(x0) # 0 thì hàm f có cực trị tại x0. Cụ thể: f'(x )=00 f"(x )<00 f'(x )=00 f"(x )>00 * Định lý 5: (Điều kiện tồn tại hàm ngược - Điều kiện đủ) Nếu f là một hàm số liên tục, đơn điệu ngặc trong [a;b] thì f có hàm số f-1 xác định trên [f(a);f(b)]. • Lúc đó f-1 cũng liên tục đơn điệu ngặt trên [f(a);f(b)] và cùng chiều biến thiên với f. • Xét tính đối xứng của hai đồ thị hai hàm ngược nhau (C) : y = f(x) và (C-1) : y = f-1(x) qua đường phân giác thứ nhất. • Hàm f tăng nghiêm ngặt (nếu f giảm ngặt ta sẽ biến đổi sơ cấp chẳng hạn (-f) sẽ là hàm tăng ngặt). Lúc đó, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )DfDx;xxfxfxf Dtrênngặt tăng f 1 ∩∈∀=⇔⎩⎨ ⎧ = − • Thêm một ứng dụng của đạo hàm và đạo hàm cấp cao là quy tắc (định lý) L’ Hospitale như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )xg xflim... x"g x"flim x'g x'flim 0 0 Dạng xg xflim 0 0 0000 n n xxxxxxxx →→→→ ====⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 7 ) Trong đó n0 là chỉ số dừng của đạo hàm cấp n khi dạng vô định ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 0 0 vừa khử. ) ... đều có thể biến đổi về dạng ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 0 0 để sử dụng được quy tắc L’ Hospitale. ) Dạng ( ) ( ∞−∞∞×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∞ ∞ ;0; • Tính lồi lõm của hàm số trong đẳng thức Jensen. y a x 1 x 2 b0 x 2 x x 2 1 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 x x f 2 1 2 x f x f 2 1 + y a x 1 x 2 b 0 x 2 xx 21 + ⎟⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ + 2 xx f 21 2 xfx f 21 + [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )f liên tục trên a;b f x f x ... f xx x ... x nn 1 21 2f " 0 trên a;b f n n x ; x ; ...x a; bn1 2 + + ++ + +< ⇒ ≥ ∈ ⎧⎪ ⎛ ⎞⎪⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎩ Dấu đẳng thức trong BĐT xảy ra khi x1 = x2 = ... = xn. * Định lý Lagrance: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfabafbf;b;ac ba; đạo khảf ba; tục liên f −=−∈∃⇒⎩⎨ ⎧ Ý nghĩa hình học: Một hàm liên tục và có đạo hàm trên [a;b] thì tồn tại trên đồ thị (C) : y = f(x) các điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với đoạn nối hai đầu nút của đồ thị. Hệ quả: (Định lý Rolle) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) giữa 2 nghiệm x ;x phân biệt1 2 f liên tục trên a;b và f a f b nếu có của f x 0 phải có f có đạo hàm trên a;b ít nhất 1 nghiệm x của f' x 00 = ⇒ = = ⎧⎫ ⎪⎪⎬ ⎨⎪ ⎪⎭ ⎩ CHỦ ĐỀÀ 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU I. TÍNH TĂNG - GIẢM (ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎢⎣ ⎡ ∈∀≥ <⇒<∈∀⇔ biếnđồng số Hàm :b;ax,0x'f xfxfxx:b;ax,x ba; trên tăng f 212121 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎢⎣ ⎡ ∈∀≤ >⇒<∈∀⇔ biếnnghịch số Hàm :b;ax,0x'f xfxfxx:b;ax,x ba; trên giảm f 212121 f(x) là hàm bất kỳ Tính chất đơn điệu f(x) hàm bậc 3 Nếu min ( ) 0x'f ≥ Nếu max ( ) 0x'f ≤ f luôn tăng: ( ) 0x'f ≥ f luôn giảm: ( ) 0x'f ≤ a > 0 và 0≤Δ a < 0 và 0≤Δ II. TĂNG - GIẢM TRONG KHOẢNG: 1. Hàm bậc 2: . Tăng, giảm trong bax2'ycbxaxy 2 +=⇒++= ( )+∞α; Hệ số Hàm f tăng ( )+∞α∈∀≥ ;x,0'y Hàm f giảm ( )+∞α∈∀≤ ;x,0'y a = 0 11 mnhận :0b'ymm >=⇒= 11 mnhận :0b'ymm <=⇒= Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 8 a > 0 ?m a2 b =⇒α≤− Không xảy ra a < 0 Không xảy ra ?m a2 b =⇒α≤− 2. Hàm bậc 3: cbx2ax3'ydcxbxaxy 223 ++=⇒+++= * TH1: ( ) [ )+∞α+∞α ; hay; Hệ số f tăng ( )+∞α∈∀≥ ;x,0'y Hệ số f giảm ( )+∞α∈∀≤ ;x,0'y a = 0 Xét dấu y’ a = 0 Xét dấu y’ ⎩⎨ ⎧ ≤Δ > 0 0a Thỏa ( )+∞α∈∀≥ ;x,0'y ⎩⎨ ⎧ ≤Δ < 0 0a ( )+∞α∈∀≤ ;x,0'y ⎩⎨ ⎧ >Δ > 0 0a [ ) +−+ +∞α∞− 00'y ;xxx 21 α≤<⇔ 21 xx ⎩ ⎨⎧ >Δ < 0 0a [ ) −+− +∞α∞− 00'y ;xxx 21 α≤<⇔ 21 xx a 0 Không thỏa * TH2: ( ] ( ] [ ]( )α β α βα∞α− ;hoặc; và ;- hoặc;∞ Tăng 0'y ≥ ( ] ( ]α∞α∞− ;- hoặc; ( ) [ ]βαβα ; hoặc; ( ] +−+ ∞+α∞− 00'y xx;x 21 ⎩⎨ ⎧ ≤≤α > 21 xx 0a −+− ∞+∞− 00'y xxx 21 ( ) ( ) 0a.y' và 0'y.a xx 21 ≤β≤α⇔ ≤β<α≤ Giảm 0'y ≤ ( ] ( ]α∞α∞− ;- hoặc; ( ) [ ]βαβα ; hoặc; ( ] −+− ∞+α∞− 00'y xx;x 21 ⎩⎨ ⎧ ≤≤α > 21 xx 0a +−+ ∞+∞− 00'y xxx 21 ( ) ( ) 0a.y' và 0'y.a xx 21 ≤β≤α⇔ ≤β<α≤ 3. Hàm hữu tỷ: ( ) 'bx'a xg 'bx'a cbxaxy 2 +=+ ++= Cách 1: Giải như phần II.2 Cách 2: Phần II.2 cũng có thể làm theo cách này. f tăng hoặc ( +∞α; ) α≥x f giảm ( )+∞α; hoặc α≥x ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤α α≤− < ⇔ ∞+ − ∞+α− α=⇒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞−⇒≤⇔ +∞α∈∀≤+∞α∈∀≤ 0g a2 b 0a xg CĐ xg 0x'g a2 bx gxg max ; a2 b trong giảm xg0xg max ;x,0xgthì;x,0'y + ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥α α≤− > ⇔ ∞+ + ∞+α− α=⇒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∞−⇒≥⇔ ∞α∈∀≥+∞α∈∀≥ 0g a2 b 0a CT xg 0x'g a2 bx gxg min ; a2 b trong tăng xg0xg min ;x,0xg thì ;x,0'y xg III. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PT VÀ BPT: 1. Bất đẳng thức: Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f x 0 hoặc f x 0, x a; b f x tăng thì x 0 f x f 0 f ' x f x tăng hoặc giảm f x giảm thì x 0 f x f 0 ≤ ≥ ∀ ∈ ≥ ⇒ ≥⇒ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⎡⎢⎣ Nếu BĐT có 2 biến thì: ( ) ( )β<α ff với ba <β<α< Xét tính đơn điệu của f(x) trong khoảng ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ β>α⇒β<α⇔ β<α⇒β<α⇔⇒βα ff giảm xf fftăngxf ; 2. Phương trình có nghiệm duy nhất: • Chứng minh phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất. ) Suy đoán x = x0 là nghiệm của phương trình. ) Chứng minh x0 là nghiệm duy nhất ⇔ f(x) luôn luôn tăng (hoặc giảm). • Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có 1 nghiệm duy nhất. ) Suy đoán x = x0 là nghiệm của phương trình. ) Chứng minh f(x) và g(x) là 2 hàm số đối đơn nghiêm cách (đồng - nghịch biến). CHỦ ĐỀÀ 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ I. CỰC TRỊ: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) f đạt CĐ f' x 0 đổi dấu ( ) sang (-)0f đạt cực trị tại x f ' x 00 0 f đạt CT f' x 0 đổi dấu (-) sang ( )0 f' a 0 f có đạt cực trị tại x f ' x 0 : Hàm f x nhận M a,b làm cực trị 0 0 f a b f đạ ⇔ > +⇒ = ⇒ ⇔ < + =⇒ = ⇔ = ⎡⎢⎢⎣ ⎡⎢⎣ ( ) { ( ) ( )( ) { ( )( ) ( )( ) a 0 t CĐ và CT f' x 0 đổi dấu 2 lần f không đạt cực trị 0 f' x 0 Vô nghiệm a 0 f ' x 0 không đổi dấu 0f' x 0 Nghiệm kép f ' x 0 f ' x 00 0f đạt CĐ tại x f đạt CT tại x0 0f " x 0 f " x0 0 ≠⇔ = ⇔ ⇒Δ > = ≠⇔ = ⇔ ⇔ Δ ≤= = =⇔ ⇒ ⇔< ⎡⎢⎣ ⎧⎪⎨⎪⎩ 0> ⎧⎪⎨⎪⎩ Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó f’(x) = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. II. CỰC TRỊ HÀM HỮU TỶ: ( ) ( ) ( ) 2 2ax bx c aa ' x 2ab ' x bb ' a ' c y y ' f ' x 2a ' x b ' a ' x b ' 2y ' 0 aa ' x 2ab ' x bb ' a ' c 0 (1) aa ' 0 *f có CĐ, CT thì (1) có 2 nghiệm phân biệt y' 0 b' *f không có CĐ, CT thì (1) vô nghiệm y' 0 hay ag - a' + + + + −= ⇒ = =+ + = ⇔ + + − = ≠ ⇔ Δ > ⇔ Δ < ⎛⎜⎝ ( ) ( ) 0 C cắt Ox tại 2 điểm ở 2 bên TCĐ. y' 0 y' 0;x x 2 điểm cực trị cùng 1 phía đối với Ox1 2*f có CĐ, CT và 2 giá trị CĐ, CT cùng dấu đồ thị cắt Ox tại 2 điểm phây .y 0max min < ⇒ = Δ > ≠⇔ ⇔> ⎞⎟⎠ ⎧⎨⎩ ( ) ( ) ( ) ( )( ) y ' 0 y' 0 n biệt y 0 y 0 y' 0 y' 0y' 0 y' 0;x x1 2*f có CĐ, CT và 2 giá trị CĐ, CT trái dấu Đồ thị không cắt Ox y 0 y 0y .y 0max min *Điều kiện cần và đủ để tồn ⎧ = Δ >⎪ ⇔⎨ = Δ >⎪⎩ = Δ >= Δ > ≠⇔ ⇔ ⇔ = Δ << ⎧⎨⎩ ⎧ ⎧⎨ ⎨⎩⎩ ( ) b'tại 1 điểm mà từ đó kẻ đến C được 2 tiếp tuyến là: ag 0 a' − >⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 10 III. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG: 1. Dạng 1: ( )4 2 2y ax bx c y ' 2x 2ax b 2x 0 y ' 0 22ax b 0 (1) f có 3 cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt x 0 * f có 2 điểm uốn ab 0 a 0, b 0 f có một cực trị a 0, b 0 * f không điểm uốn (1) vô nghiệm = + + ⇒ = + == ⇔ + = ≠⇔ < = ≠ ≠ =⇔ ⎡⎢⎣ ⎡ ⎡⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎡⎢⎣ ab 0≥ ⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 2. Dạng 2: ( ) ( ) 4 3 2 2y ax bx c d y ' x 4ax 3bx c x 0 y ' 0 24ax 3bx c 0 (2) 0f chỉ có CT (2) vô nghiệm hoặc nghiệm kép * g 0 0mà không có CĐ (2) có nghiệm x 0 hoặc 1 nghiệm x 0 = + + + ⇒ = + + == ⇔ + + = Δ ≤⇔ ⇔ == ≠ ⎡⎢⎣ ⎡⎡ ⎡ ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣ 3. Dạng 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 2y ax bx cx dx e y ' 4ax 3bx 2cx d 2y ' x Ax Bx C x g x 0 y' có nghiệm thực g x 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép 0 * f có một cực trị g 0g x 0 có nghiệm x hoặc x = + + + + ⇒ = + + + = − α + + = − α = α = Δ ≤⇔ ⇔ α == = α ≠ α ⎡ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ Chú ý: ( ) [ ] 1) f có cực trị mà hoành độ lớn hơn y' 0 thỏa x x1 2 2) f có cực trị mà hoành độ nhỏ hơn x x hoặc x x1 2 1 2 3) f có cực trị trong ; y ' 0 thỏa x x1 2 4) f đạt CĐ tại x , , đạt α ⇔ = α < < α ⇔ < α < < ≤ α α β ⇔ = α < < < β ∈ α β [ ]CT tại điểm ngoài x ; y ' 0 thỏa x x0 1∈ α β ⇔ = α ≤ ≤ β ≤ 2 IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ: 1. Dạng 1: Đường thẳng qua 3 điểm cố định của (Cm) : y = fm(x) có bậc ba: 1/ Gọi (x0;y0) là điểm cố định hệ phương trình đặc trưng của các điểm cố định tương ứng từ y0 = fm(x0) (I) là: ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+++= +++=⇔ )II(0dxcxbxaxg )I(dxcxbxaxf 101 2 01 3 010 202 2 02 3 020m Với (II) là phương trình đặc trưng cho hoành độ điểm cố định. 2/ Thực hiện phép chia đa thức fm(x0) : g(x0) để đưa (I) về dạng: ( ) ( )     quả hệtrình phương 0 khôngbằng 000 xxgxfy β+α+γ== ( ) β+α=⇒ xy:d : là đường thẳng đi qua ba điểm cố định của (Cm); ∀m. Hay ba điểm cố định của (Cm) đi qua ∀m thẳng hàng trên (d) (mặc dù ta không cần tìm rõ ba tọa độ cụ thể của ba điểm cố định đó). 2. Dạng 2: Đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm bậc ba (Cm) : y=fm(x) Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 11 1/ Gọi (x0,y0) là các điểm cực trị của (Cm) thì nó thỏa hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2y f x ax bx cx d (I)m0 0 0 0 0 2g x f ' x 3ax 2bx c 0 (II)0 0 0 0 2với: b -3ac 0; m Dm = = + + + = = + + = > ∀ ∈ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2/ Thực hiện phép chia fm(x0) : g(x0) để đưa (I) về dạng: ( ) ( ) ( )   quả hệtrình phương 0 khôngbằng 000m0 xxgxxfy ξ+γ+β+α== ( ) trị cực điểm haiqua thẳng đường là:Dm ;xy:d m0 ∈∀ξ+γ=⇒ . 3. Dạng 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm hữu tỷ ( ) ( ) ( )( )xv xuxfy:C1 2 mm == 1/ Gọi (x0;y0) là điểm cực trị của (Cm); thì nó thỏa hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x0y I0 v x u ' x0 y x0 v ' xu x0 0 II phương trình hệ quảv x0 = ⇒ = = α +′ = ⎧⎪⎪⎪⎨⎛ ⎞⎪⎜ ⎟⎪⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩   β 2/Ta có: ( ) β+α= xy:d là đường thẳng qua hai cực trị của (Cm) (mặc dù ta không cần tìm rõ tọa độ hai điểm cực trị của nó). 4. Dạng 4: Đường thẳng đi qua ba điểm uốn của (Cm) : y = fm(x) 1/ Gọi (x0;y0) là điểm uốn của (Cm); thì nó thỏa hệ: ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =+++== = 0dxcxbxaxgy xfy 101 2 01 3 010 " 0 0m0 Với g(x0)=0 là phương trình đặc trưng cho điểm uốn và đã được chứng minh là có 3 nghiệm phân biệt. 2/ Thực hiện phân tích: Biến đổi thêm bớt để rút ra: ( )     quả hệtrình phương 0 không bằng 00 xxgy β+α+γ= 3/ : là đường thẳng qua ba điểm uốn. ( ) mDm ;xy:d ∈∀β+α=⇒ V. PHƯƠNG TRÌNH CHÙM PARABOL: Trong hệ trục Oxy; đường cong (P): y = ax2 + bx + c ( 0a )≠ là một Parabola có trục đối xứng song song Oy. Khi (P) đi qua đồng thời ba điểm A(xA;yA); B(xB;yB); C(xC;yC) cố định thì ta luôn xác định được bộ ba (a;b;c) duy nhất trong hệ trục Oxy. Khi (P) chỉ đi qua hai điểm A, B hoặc chỉ đi qua duy nhất điểm A, th