100 câu khảo sát hàm số

www.VNMATH.com TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2011 www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số Trang 1 KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 1. Cho hàm số y m x mx m x3 21 ( 1) (3 2) 3 = - + + - (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2= . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. · Tập xác định: D = R. y m x mx m2( 1) 2 3 2¢= - + + - . (1) đồng biến trên R Û y x0,¢³ " Û m 2³ Câu 2. Cho hàm số mxy x m 4+ = + (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= - . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ . · Tập xác định: D = R \ {–m}. my x m 2 2 4 ( ) -¢= + . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y m0 2 2¢< Û - < < (1) Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)-¥ thì ta phải có m m1 1- ³ Û £ - (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: m2 1- < £ - . Câu 3. Cho hàm số y x x mx3 23 4= + - - (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0= . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)-¥ . · m 3£ - Câu 4. Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1= - + + + + có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )+¥ · y x m x m m2' 6 6(2 1) 6 ( 1)= - + + + có m m m2 2(2 1) 4( ) 1 0D = + - + = > x my x m ' 0 1 é == Û ê = +ë . Hàm số đồng biến trên các khoảng m m( ; ), ( 1; )-¥ + +¥ Do đó: hàm số đồng biến trên (2; )+¥ Û m 1 2+ £ Û m 1£ Câu 5. Cho hàm số 4 22 3 1y x mx m= - - + (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). · Ta có 3 2' 4 4 4 ( )y x mx x x m= - = - + 0m £ , 0,¢³ "y x Þ 0m £ thoả mãn. + 0m > , 0¢=y có 3 nghiệm phân biệt: , 0, m m- . Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi 1 0 1£ Û < £m m . Vậy ( ];1mÎ -¥ . Câu 6. Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + - + - + + . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( )0;+¥ . www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 2 · Hàm đồng biến trên (0; )+¥ y x m x m23 (1 2 ) (22 ) 0¢Û += - + - ³ với x 0 )( ;" Î +¥ xf x m x x2 23( ) 4 1 2+ Û = ³ + + với x 0 )( ;" Î +¥ Ta có: xf x xx x x x 2 2 2 2(6( ) 03) 1 7336 (4 1 0 12) + - - ± + - = Û =¢ = = Û + Lập bảng biến thiên của hàm f x( ) trên (0; )+¥ , từ đó ta đi đến kết luận: f m m1 73 3 73 12 8 æ ö- + + ³ Û ³ç ÷ç ÷ è ø KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 7. Cho hàm số y x x mx m3 23 – 2= + + + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. · PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: x x mx m3 23 – 2 0 (1)+ + + = Û x g x x x m2 1 ( ) 2 2 0 (2) é = - ê = + + - =ë (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x Û PT (1) có 3 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û m g m 3 0 ( 1) 3 0 Dì ¢= - >í - = - ¹î Û m 3< Câu 8. Cho hàm số y x m x m m x3 2 2(2 1) ( 3 2) 4= - + + - - + - (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. · y x m x m m2 23 2(2 1) ( 3 2)¢= - + + - - + . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y 0¢ = có 2 nghiệm trái dấu Û m m23( 3 2) 0- + < Û m1 2< < . Câu 9. Cho hàm số 3 21 (2 1) 3 3 y x mx m x= - + - - (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. · TXĐ: D = R ; y x mx m2 – 2 2 –1¢= + . Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y 0¢= có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu Û 2 2 1 0 2 1 0 ì ¢ïD = - + > í - >ïî m m m 1 1 2 m m ¹ì ïÛ í >ïî Câu 10. Cho hàm số 3 23 2y x x mx= - - + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1= - . www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số Trang 3 · Ta có: 2' 3 6= - -y x x m . Hàm số có CĐ, CT 2' 3 6 0y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x ' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*) Gọi hai điểm cực trị là ( ) ( )1 21 2; ; ;A B xy yx Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 2' 2 2 3 3 3 3 m my x y xæ ö æ ö æ ö= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Þ ( ) ( )1 1 1 22 2 2 22 2 ; 2 2 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø = = ø = = è y y x y y mxm m mx x Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: 2 2 2 3 3 m my xæ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y x 1= - Û xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y x 1= - 2 32 1 3 2 m mæ ö- + = ÛçÛ = -÷ è ø (thỏa mãn) TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y x 1= - ( ) ( )2 1 2 11 2 1 2 2 2 21 1 2 2 2 2 3 3 2 23 .2 6 0 3 3 æ ö æ ö- + + + - = + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø æ öÛ + = - + + Û = - Û = - Û Û =ç ÷ è ø I I x m mx x x xx m m yy m yx Vậy các giá trị cần tìm của m là: 30; 2 m ì ü= -í ý î þ Câu 11. Cho hàm số y x mx m3 2 33 4= - + (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. · Ta có: y x mx23 6¢ = - ; xy x m 00 2 é =¢ = Û ê =ë . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB m m3(2 ; 4 )= - uur Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û AB d I d ì ^ í Îî Û m m m m 3 3 2 4 0 2 ìï - = í =ïî Û m 2 2 = ± Câu 12. Cho hàm số y x mx m3 23 3 1= - + - - . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x y8 74 0+ - = . · y x mx23 6¢= - + ; y x x m0 0 2¢= Û = Ú = . Hàm số có CĐ, CT Û PT y 0¢= có 2 nghiệm phân biệt Û m 0¹ . Khi đó 2 điểm cực trị là: A m B m m m3(0; 3 1), (2 ;4 3 1)- - - - Þ AB m m3(2 ;4 ) uuur Trung điểm I của AB có toạ độ: I m m m3( ;2 3 1)- - Đường thẳng d: x y8 74 0+ - = có một VTCP (8; 1)u = - r . www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 4 A và B đối xứng với nhau qua d Û I d AB d Îì í ^î Û 38(2 3 1) 74 0 . 0 m m m AB u ì + - - - =ï í =ïî uuur r Û m 2= Câu 13. Cho hàm số y x x mx3 23= - + (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x y– 2 – 5 0= . · Ta có y x x mx y x x m3 2 23 ' 3 6= - + Þ = - + Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y 0¢= có hai nghiệm phân biệt m m9 3 0 3D¢Û = - > Û < Ta có: y x y m x m1 1 2 12 3 3 3 3 æ ö æ ö¢= - + - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø Tại các điểm cực trị thì y 0¢= , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: y m x m2 12 3 3 æ ö = - +ç ÷ è ø Như vậy đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y m x m2 12 3 3 æ ö = - +ç ÷ è ø nên D có hệ số góc k m1 2 2 3 = - . d: x y– 2 – 5 0= y x1 5 2 2 Û = - Þ d có hệ số góc k2 1 2 = Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D Þ k k m m1 2 1 21 2 1 0 2 3 æ ö = - Û - = - Û =ç ÷ è ø Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 Câu 14. Cho hàm số y x m x x m3 23( 1) 9 2= - + + + - (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: y x1 2 = . · y x m x2' 3 6( 1) 9= - + + Hàm số có CĐ, CT Û m 2' 9( 1) 3.9 0D = + - > m ( ; 1 3) ( 1 3; )Û Î -¥ - - È - + +¥ Ta có my x y m m x m21 1 2( 2 2) 4 1 3 3 æ ö+ ¢= - - + - + +ç ÷ è ø Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A x y B x y1 1 2 2( ; ), ( ; ) , I là trung điểm của AB. y m m x m21 12( 2 2) 4 1Þ = - + - + + ; y m m x m 2 2 22( 2 2) 4 1= - + - + + và: x x m x x 1 2 1 2 2( 1) . 3 ì + = + í =î Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y m m x m22( 2 2) 4 1= - + - + + www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số Trang 5 A, B đối xứng qua (d): y x1 2 = Û AB d I d ì ^ í Îî Û m 1= . Câu 15. Cho hàm số mxxmxy -++-= 9)1(3 23 , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1=m . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 221 £- xx . · Ta có .9)1(63' 2 ++-= xmxy + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21, xx Û PT 0'=y có hai nghiệm phân biệt 21, xx Û PT 03)1(22 =++- xmx có hai nghiệm phân biệt là 21, xx . ê ê ë é --< +-> Û>-+=DÛ 31 31 03)1(' 2 m m m )1( + Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 =+=+ xxmxx Khi đó: ( ) ( ) 41214442 22122121 £-+Û£-+Û£- mxxxxxx m m2( 1) 4 3 1Û + £ Û - £ £ (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là 313 --<£- m và .131 £<+- m Câu 16. Cho hàm số y x m x m x m3 2(1 2 ) (2 ) 2= + - + - + + , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1=m . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 2 1 3 - > . · Ta có: y x m x m2' 3 (1 2 22 ) ( )= - + -+ Hàm số có CĐ, CT y ' 0Û = có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, (giả sử x x1 2< ) mm m m m m 2 2 5 ' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 4 1 D é >êÛ = - - - = - - > Û ê < -ë (*) Hàm số đạt cực trị tại các điểm x x1 2, . Khi đó ta có: mx x m x x 1 2 1 2 (1 2 ) 3 2 2 3 ì - + = -ï í -ï = î ( ) ( )x x x x x x x x21 2 1 22 21 2 1 1 3 14 9 Û = + -- >- > m m m m m m2 2 3 29 3 294(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 0 8 8 + - Û - - - > Û - - > Û > Ú < Kết hợp (*), ta suy ra m m3 29 1 8 + > Ú < - Câu 17. Cho hàm số y x m x m x3 21 1( 1) 3( 2) 3 3 = - - + - + , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 2= . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1 2, sao cho x x1 22 1+ = . · Ta có: y x m x m2 2( 1) 3( 2)¢= - - + - www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 6 Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y 0¢= có hai nghiệm phân biệt x x1 2, Û m m20 5 7 0D¢ > Û - + > (luôn đúng với "m) Khi đó ta có: x x m x x m 1 2 1 2 2( 1) 3( 2) ì + = - í = -î Û ( ) x m x x m 2 2 2 3 2 1 2 3( 2) ì = -ï í - = -ïî m m m2 4 348 16 9 0 4 - ± Û + - = Û = . Câu 18. Cho hàm số y x mx x3 24 – 3= + . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x1 2, thỏa x x1 24= - . · y x mx212 2 – 3¢= + . Ta có: m m2 36 0,D¢ = + > " Þ hàm số luôn có 2 cực trị x x1 2, . Khi đó: 1 2 1 2 1 2 4 6 1 4 x x mx x x x ì ï = - ï ï + = -í ï ï = -ïî 9 2 mÞ = ± Câu hỏi tương tự: a) y x x mx3 23 1= + + + ; x x1 2 2 3+ = ĐS: m 105= - . Câu 19. Cho hàm số y m x x mx3 2( 2) 3 5= + + + - , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. · Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương Û PT y m x x m = 2' 3( 2) 6 0= + + + có 2 nghiệm dương phân biệt a m m m m m mm m m mP m m m S m 2 ( 2) 0 ' 9 3 ( 2) 0 ' 2 3 0 3 1 0 0 3 20 3( 2) 2 0 2 3 0 2 D D ì = + ¹ ï = - + > ì ì= - - + > - í í í +ï ï ï+ ï +î Câu 20. Cho hàm số y x x3 2– 3 2= + (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y x3 2= - sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức g x y x y( , ) 3 2= - - ta có: A A A A B B B Bg x y x y g x y x y( , ) 3 2 4 0; ( , ) 3 2 6 0= - - = - Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y x3 2= - . Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: y x2 2= - + www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số Trang 7 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 4 3 2 5 2 2 2 5 xy x y x y ì =ï= -ì ïÛí í= - +î ï = ïî Þ 4 2; 5 5 M æ öç ÷ è ø Câu 21. Cho hàm số y x m x m x m3 2(1– 2 ) (2 – ) 2= + + + + (m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. · y x m x m g x23 2(1 2 ) 2 ( )¢= + - + - = YCBT Û phương trình y 0¢= có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thỏa mãn: x x1 2 1< < . Û m m g m S m 24 5 0 (1) 5 7 0 2 1 1 2 3 Dì ¢ = - - > ïï = - + >í -ï = < ïî Û m5 7 4 5 < < . Câu 22. Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m m= - + - - + (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. · Ta có 2 23 6 3( 1)¢= - + -y x mx m Hàm số (1) có cực trị thì PT 0¢=y có 2 nghiệm phân biệt 2 22 1 0x mx mÛ - + - = có 2 nhiệm phân biệt 1 0, mÛ D = > " Khi đó: điểm cực đại A m m( 1;2 2 )- - và điểm cực tiểu B m m( 1; 2 2 )+ - - Ta có 2 3 2 2 2 6 1 0 3 2 2 m OA OB m m m é = - + = Û + + = Û ê = - -êë . Câu 23. Cho hàm số y x mx m x m m3 2 2 3 23 3(1 )= - + + - + - (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1= . 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). · y x mx m2 23 6 3(1 )¢= - + + - . PT y 0¢= có m1 0,D = > " Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị x y x y1 1 2 2( ; ), ( ; ) . Chia y cho y¢ ta được: my x y x m m21 2 3 3 æ ö ¢= - + - +ç ÷ è ø Khi đó: y x m m21 12= - + ; y x m m 2 2 22= - + PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y x m m22= - + . Câu 24. Cho hàm số 3 23 2y x x mx= - - + có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y x4 3= - + . www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 8 · Ta có: 2' 3 6= - -y x x m . Hàm số có CĐ, CT 2' 3 6 0y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x ' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*) Gọi hai điểm cực trị là ( ) ( )1 21 2; ; ;A B xy yx Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 2' 2 2 3 3 3 3 m my x y xæ ö æ ö æ ö= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Þ ( ) ( )1 1 1 22 2 2 22 2 ; 2 2 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø = = ø = = è y y x y y mxm m mx x Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: 2 2 2 3 3 m my xæ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: y x4 3= - + 2 2 4 3 3 2 3 3 m m m ì æ ö- + = -ç ÷ïï è øÛ Û =í æ öï - ¹ç ÷ïè øî (thỏa mãn) Câu 25. Cho hàm số 3 23 2y x x mx= - - + có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x y4 – 5 0+ = một góc 045 . · Ta có: 2' 3 6= - -y x x m . Hàm số có CĐ, CT 2' 3 6 0y x x mÛ = - - = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x ' 9 3 0 3m mÛ D = + > Û > - (*) Gọi hai điểm cực trị là ( ) ( )1 21 2; ; ;A B xy yx Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 1 1 2' 2 2 3 3 3 3 m my x y xæ ö æ ö æ ö= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Þ ( ) ( )1 1 1 22 2 2 22 2 ; 2 2 3 3 3 3 æ ö æ ö æ ö æ ö- + + - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø = = ø = = è y y x y y mxm m mx x Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: 2 2 2 3 3 m my xæ ö æ ö= - + + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Đặt 2 2 3 mk æ ö= - +ç ÷ è ø . Đường thẳng d: x y4 – 5 0+ = có hệ số góc bằng 1 4 - . Ta có: 3 391 11 1 5 104 44tan 45 1 1 1 5 11 14 4 4 3 2 k mk kk k k k k m é éé = = -+ = -+ ê êê = Û Û Ûê êê ê êê- + = - + = - = -ê êêë ëë o Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: 1 2 m = - Câu 26. Cho hàm số y x x m3 23= + + (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 4= - . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho · AOB 0120= . www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số Trang 9 · Ta có: y x x23 6¢= + ; x y my x y m 2 40 0 é = - Þ = +¢= Û ê = Þ =ë Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4) OA m OB m(0; ), ( 2; 4)= = - + uur uur . Để · AOB 0120= thì AOB 1cos 2 = - ( ) ( ) mm m m m m m m mm m 2 2 2 2 2 4 0( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4) 2 3 24 44 04 ( 4) ì- < <+ Û = - Û + + = - + Û í + + =î+ + m m m 4 0 12 2 3 12 2 3 3 3 ì- < < - +ïÛ Û =í - ± =ïî Câu 27. Cho hàm số y x mx m x m3 2 2 3– 3 3( –1) –= + (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 2= - . 2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. · y x mx m2 23 6 3( 1)¢= - + - ; x my x m 10 1 é = +¢= Û ê = -ë Điểm cực đại M m m( –1;2 – 3 ) chạy trên đường thẳng cố định: 1 2 3 x t y t = - +ì í = -î Điểm cực tiểu N m m( 1; 2 – )+ - chạy trên đường thẳng cố định: 1 2 3 x t y t = +ì í = - -î Câu 28. Cho hàm số y x mx4 21 3 2 2 = - + (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 3= . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. · y x mx x x m3 22 2 2 ( )¢= - = - . xy x m2 00 é =¢= Û ê =ë Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT y 0¢= có 1 nghiệm Û m 0£ Câu 29. Cho hàm số 4 2 2( ) 2( 2) 5 5= = + - + - +y f x x m x m m mC( ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị mC( ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. · Ta có ( ) 3 2 0 4 4( 2) 0 2 =é¢ = + - = Û ê = -ë x f x x m x x m Hàm số có CĐ, CT Û PT f x( ) 0¢ = có 3 nghiệm phân biệt Û m 2< (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: ( ) ( ) ( )A m m B m m C m m20; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1- + - - - - - Þ ( ) ( )AB m m m AC m m m2 22 ; 4 4 , 2 ; 4 4= - - + - = - - - + - uur uuur Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A Û ( ) 1120. 3 =Û-=-Û= mmACAB (thoả (*)) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 10 Câu 30. Cho hàm số ( )mCmmxmxy 55)2(2 224 +-+-+= 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. · Ta có ( ) 3 2 0 4 4( 2) 0 2 =é¢ = + - = Û ê = -ë x f x x m x x m Hàm số có CĐ, CT Û PT f x( ) 0¢ = có 3 nghiệm phân biệt Û m 2< (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: ( ) ( ) ( )A m m B m m C m m20; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1- + - - - - - Þ ( ) ( )AB m m m AC m m m2 22 ; 4 4 , 2 ; 4 4= - - + - = - - - + - uur uuur Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi µA 060= Û A 1cos 2 = Û AB AC AB AC . 1 2. = uuur uuur uuur uuur Û 3 32 -=m . Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y x m x m4 24( 1) 2 1= - - + - Câu 31. Cho hàm số y x mx m m4 2 22= + + + có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 0120 . · Ta có y x mx34 4¢ = + ; x y x x m x m 2 00 4 ( ) 0 é = ¢ = Û + = Û ê = ± -êë (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: ( ) ( )A m m B m m C m m2(0; ), ; , ;+ - - - AB m m2( ; )= - - uur ; AC m m2( ; )= - - - uuur . DABC cân tại A nên góc 120o chính là µ A . µ A 120= o AB AC m m mA m mAB AC 4 4 1 . 1 . 1cos 2 2 2. - - - + Û = - Û = - Û = - - uur uuur uur uuur m loaïim m m m m m m m mm m 4 4 4 4 4 3 0 ( )1 12 2 3 0 2 3 é = + êÛ = - Þ + = - Û + = Û = -ê- êë Vậy m 3 1 3 = - . Câu 32. Cho hàm số y x mx m4 22 1= - + - có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . · Ta có xy x mx x x m x m 3 2 2 04 4 4 ( ) 0 é =¢= - = - = Û ê =ë Hàm số đã cho có ba điểm cực trị Û PT y 0¢= có ba nghiệm phân biệt và y ¢ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó m 0Û > . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: ( ) ( )A m B m m m C m m m2 2(0; 1), ; 1 , ; 1- - - + - - + - www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số Trang 11 ABC B A C BS y y x x m m 21 . 2 = - - =V ; AB AC m m BC m 4 , 2= = + = ABC mAB AC BC m m m R m m S mm m 4 3 2 1. . ( )21 1 2 1 0 5 14 4 2 é =+ ê= = Û = Û - + = Û -ê = ëV Câu hỏi tương tự: a) y x mx4 22 1= - + ĐS: m m 1 51, 2 - + = = Câu 33. Cho hàm số y x mx m m4 2 42 2= - + + có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. · Ta có 3 2 0 ' 4 4 0 ( ) 0 x y x mx g x x m =é = - = Û ê = - =ë Hàm số có 3 cực trị ' 0yÛ = có 3 nghiệm phân biệt 0 0g m mÛ D = > Û > (*) Với điều kiện (*), phương trình y 0¢= có 3 nghiệm 1 2 3; 0;= - = =x m x x m . Hàm số đạt cực trị tại 1 2 3; ;x x x . Gọi ( ) ( )4 4 2 4 2(0;2 ); ; 2 ; ; 2+ - + - - +A m m B m m m m C m m m m là 3 điểm cực trị của (Cm) . Ta có: 2 2 4 2; 4AB AC m m BC m ABC= = + = Þ D cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BC M m m m AM m m4 2 2 2(0; 2 )Þ - + Þ = = Vì ABCD cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó: ABCS AM BC m m m m m 5 2 5 521 1. . . 4 4 4 16 16 2 2D = = = Û = Û = Û = Vậy m 5 16= . Câu hỏi tương tự: a) y x m x4 2 22 1= - + , S = 32 ĐS: m 2= ± KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO Câu 34. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. · PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x x mx x x x m3 2 23 1 1 ( 3 ) 0+ + + = Û + + = d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û 9 , 0 4 < ¹m m Khi đó: B Cx x, là các nghiệm của PT: x x m 2 3 0+ + = Þ B C B Cx x x x m3; .+ = - = Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là B Bk x x m 2 1 3 6= + + và tại C là C Ck x x m 2 2 3 6= + + Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Û k k1 2. 1= - Û m m 24 9 1 0- + = Û 9 65 9 65 8 8 - + = Ú =m m www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 12 Câu 35. Cho hàm số y x x3 – 3 1= + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y mx m 3= + + . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. · Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x m x m3 – ( 3) – – 2 0+ = Û x x x m2( 1)( – – – 2) 0+ = Û x y g x x x m2 1 ( 3) ( ) 2 0 é = - = ê = - - - =ë d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û 9 , 0 4 > - ¹m m Khi đó: N Px x, là các nghiệm của PT: x x m 2 2 0- - - = Þ N P N Px x x x m1; . 2+ = = - - Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là Nk x 2 1 3 3= - và tại P là Pk x 2 2 3 3= - Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau Û k k1 2. 1= - Û m m 29 18 1 0+ + = Û 3 2 2 3 2 2 3 3 - + - - = Ú =m m Câu 36. Cho hàm số y x x3 23 4= - + (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau. · PT đường thẳng (d): y k x( 2)= - + PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x x k x3 23 4 ( 2)- + = - Û x x x k2( 2)( 2 ) 0- - - - = Û A x x g x x x k2 2 ( ) 2 0 é = = ê = - - - =ë + (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT g x( ) 0= có 2